2025高考數(shù)學一輪復習-8.1.2-全概率公式-8.1.3 貝葉斯公式【課件】

8.1.2

全概率公式8.1.3貝葉斯公式第8章

8.1條件概率1.結合古典概型，理解并掌握全概率公式，會利用全概率公式計

算概率.2.了解貝葉斯公式(不作考試要求).學習目標狼來了這個故事大家都聽過，那么從心理學角度分析，這個小孩是如何一步步喪失村民信任的呢？我們可以通過特殊概率公式來解讀.設A為事件“小孩說謊”，B為“村民覺得小孩可信”；不妨設可信的小孩說謊的概率為0.1，而不可信的小孩說謊的概率為0.5，經過第一次撒謊，第二次撒謊后，狼真的來了，小孩第三次呼救的時候，村民都不再相信這是真的，覺得這是誰家熊孩子真氣人，沒人再上山救他.于是，狼在前兩次跳出來嚇唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且無人打擾，由此可見心理學結合概率統(tǒng)計學很重要！導語隨堂練習對點練習一、全概率公式二、多個事件的全概率問題三、貝葉斯公式*內容索引一、全概率公式問題有三個箱子，其中1號箱裝有1個紅球和4個白球，2號箱裝有2個紅球和3個白球，3號箱裝有3個紅球，這些球除顏色外完全相同，某人從中隨機取一箱，再從中任意取出一球，求取得紅球的概率.提示

設事件Bi表示“球取自i號箱”(i＝1,2,3)，事件A表示“取得紅球”，其中B1，B2，B3兩兩互斥，A發(fā)生總是伴隨著B1，B2，B3之一同時發(fā)生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A兩兩互斥，運用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再對求和中的每一項運用乘法公式得知識梳理一般地，若事件A1，A2，…，An兩兩

，且它們的和

＝

，P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對于Ω中的任意事件B，有P(B)＝

.這個公式稱為全概率公式(totalprobabilityformula).互斥Ω注意點：解

如果用事件A1，A2分別表示“居民所遇到的一位同學是甲班的與乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同學是女生”，則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B?Ω，跟蹤訓練1

某商店收進甲廠生產的產品30箱，乙廠生產的同種產品20箱，甲廠每箱裝100個，廢品率為0.06，乙廠每箱裝120個，廢品率為0.05，求：(1)任取一箱，從中任取一個為廢品的概率；解

記事件A，B分別為“甲、乙兩廠的產品”，事件C為“廢品”，則Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，(2)若將所有產品開箱混放，求任取一個為廢品的概率.P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，二、多個事件的全概率問題例2

某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據以往的記錄有如下表所示的數(shù)據：元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設這三家元件制造廠的元件在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標志.在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率.解

設事件Bi表示所取到的產品是由第i家元件制造廠提供的(i＝1,2,3)，事件A表示取到的是一件次品.其中B1，B2，B3兩兩互斥，A發(fā)生總是伴隨著B1，B2，B3之一發(fā)生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A兩兩互斥，運用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)(A|B3)＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03＝0.0125.因此，在倉庫中隨機地取一只元件，它是次品的概率為0.0125.延伸探究假設某工廠生產的甲、乙、丙三種產品的百分率和三種產品的優(yōu)質率的信息如下表所示：產品種類甲乙丙百分率60%20%20%優(yōu)質率90%85%80%在生產的產品中任取一件，求取到的產品是優(yōu)質品的概率.解

用A1，A2，A3表示甲、乙、丙產品，B表示優(yōu)質品，由已知得P(A1)＝60%，P(A2)＝20%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝90%，P(B|A2)＝85%，P(B|A3)＝80%.因此由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝60%×90%＋20%×85%＋20%×80%＝54%＋17%＋16%＝87%.跟蹤訓練2

甲箱的產品中有5個正品和3個次品，乙箱的產品中有4個正品和3個次品.(1)從甲箱中任取2個產品，求這2個產品都是次品的概率；(2)若從甲箱中任取2個產品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產品，求取出的這個產品是正品的概率.解

設事件A為“從乙箱中取出的一個產品是正品”，事件B1為“從甲箱中取出2個產品都是正品”，事件B2為“從甲箱中取出1個正品1個次品”，事件B3為“從甲箱中取出2個產品都是次品”，則事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.三、貝葉斯公式*知識梳理(2)P(A1)稱為先驗概率，P(A1|B)稱為后驗概率，其反映了事情A1發(fā)生的可能在各種可能原因中的比重.例3

小張從家到公司上班總共有三條路可以走(如圖)，但是每條路每天擁堵的可能性不太一樣，由于遠近不同，選擇每條路的概率分別為P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三條路不擁堵的概率分別為P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.假設遇到擁堵會遲到，那么：(1)小張從家到公司不遲到的概率是多少？解

由題意知，不遲到就意味著不擁堵，設事件C表示到公司不遲到，則P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3)＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36.(2)已知到達公司未遲到，選擇道路L1的概率是多少？所以已知到達公司未遲到，選擇道路L1的概率約為0.28.跟蹤訓練3

設某公路上經過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率.解

設B表示事件“中途停車修理”，A1表示事件“經過的是貨車”，A2表示事件“經過的是客車”，則B＝A1B∪A2B，由貝葉斯公式得隨堂練習1234A.0.08 B.0.8

C.0.6

D.0.5√解析

因為P(BA)＝P(A)P(B|A)，12342.有朋自遠方來，乘火車、船、汽車、飛機來的概率分別為0.3，0.2,0.1,0.4，遲到的概率分別為0.25,0.3,0.1,0，則他遲到的概率為A.0.65 B.0.075

C.0.145 D.0解析

設A1表示事件“他乘火車來”，A2表示事件“他乘船來”，A3表示事件“他乘汽車來”，A4表示事件“他乘飛機來”，B表示事件“他遲到”.√＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.12343.盒中有a個紅球，b個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是√123412344.一項血液化驗用來鑒別是否患有某種疾病，在患有此種疾病的人群中通過化驗有95%的人呈陽性反應，而健康的人通過化驗也會有1%的人呈陽性反應，某地區(qū)此種病患者占人口數(shù)的0.5%，則：(1)某人化驗結果為陽性的概率為________；1.47%解析

A＝“呈陽性反應”，B＝“患有此種病”.P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.1234(2)若此人化驗結果為陽性，則此人確實患有此病的概率為________.對點練習基礎鞏固123456789101112131415161.甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，其產量分別占總量的25%，35%，40%，次品率分別為5%,4%,2%.從這批產品中任取一件，則它是次品的概率為A.0.0123 B.0.0234

C.0.0345 D.0.0456√解析

所求概率為0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.0345.2.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，現(xiàn)隨機選一人，則此人恰是色盲的概率是A.0.01245 B.0.05786C.0.02625 D.0.0286512345678910111213141516√123456789101112131415163.兩臺機床加工同樣的零件，第一臺的廢品率為0.04，第二臺的廢品率為0.07，加工出來的零件混放，并設第一臺加工的零件是第二臺加工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件，則它是合格品的概率為A.0.21 B.0.06

C.0.94 D.0.95解析

令B＝“取到的零件為合格品”，Ai＝“零件為第i臺機床的產品”，i＝1,2.由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)√12345678910111213141516A.0.08 B.0.1

C.0.15 D.0.2√12345678910111213141516則由全概率公式，得所求概率為P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)123456789101112131415165.一袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球(不放回)，則第二次取到的是黑球的概率為√123456789101112131415166.設有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報名表，其中女生報名表分別為3份、7份和5份，隨機地取一個地區(qū)的報名表，從中先后取出兩份，則先取到的一份為女生表的概率為√解析

設A表示事件“先取到的是女生表”，Bi表示事件“取到第i個地區(qū)的表”，i＝1,2,3，12345678910111213141516123456789101112131415167.人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)假設人們經分析估計利率下調的概率為60%，利率不變的概率為40%.根據經驗，人們估計，在利率下調的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%，則該支股票將上漲的概率為_____.64%123456789101112131415168.袋中裝有編號為1,2，…，N的N個球，先從袋中任取一球，如該球不是1號球就放回袋中，是1號球就不放回，然后再摸一次，則取到2號球的概率為________.123456789101112131415169.1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，問：(1)從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？解

記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球.12345678910111213141516(2)從2號箱取出紅球的概率是多少？12345678910111213141516解

設Ai＝“第i個地區(qū)”，i＝1,2,3；B＝“感染此病”，12345678910111213141516(2)若此人感染此病，求此人來自乙地區(qū)的概率.綜合運用1234567891011121314151611.把外形相同的球分裝在三個盒子中，每盒10個.其中，第一個盒子中有7個球標有字母A,3個球標有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個.試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球.如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功，則試驗成功的概率為A.0.59B.0.41C.0.48D.0.64√12345678910111213141516解析

設A表示事件“從第一個盒子中取得標有字母A的球”，B表示事件“從第一個盒子中取得標有字母B的球”，R表示事件“第二次取出的球是紅球”，P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151613.設袋中有12個球，9個新球，3個舊球，第一次比賽取3球并使用，比賽后放回，第二次比賽再任取3球，則第二次比賽取得3個新球的概率為解析

設Ai＝“第一次比賽