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PAGE1-考點(diǎn)測(cè)試66用樣本估計(jì)總體高考概覽高考在本考點(diǎn)的??碱}型為選擇題、填空題,分值為5分,中、低等難度考綱研讀1.了解分布的意義與作用,能依據(jù)頻率分布表畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖,體會(huì)它們各自的特點(diǎn)2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差),并做出合理的說(shuō)明4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征,理解用樣本估計(jì)總體的思想5.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題一、基礎(chǔ)小題1.某品牌空調(diào)在元旦期間實(shí)行促銷(xiāo)活動(dòng),右面的莖葉圖表示某專(zhuān)賣(mài)店記錄的每天銷(xiāo)售量狀況(單位:臺(tái)),則銷(xiāo)售量的中位數(shù)是()A.13 B.14C.15 D.16答案C解析由題意得,中位數(shù)是eq\f(14+16,2)=15.選C.2.某學(xué)校A,B兩個(gè)班的愛(ài)好小組在一次對(duì)抗賽中的成果如莖葉圖所示,通過(guò)莖葉圖比較兩個(gè)班愛(ài)好小組成果的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差.①A班愛(ài)好小組的平均成果高于B班愛(ài)好小組的平均成果;②B班愛(ài)好小組的平均成果高于A班愛(ài)好小組的平均成果;③A班愛(ài)好小組成果的標(biāo)準(zhǔn)差大于B班愛(ài)好小組成果的標(biāo)準(zhǔn)差;④B班愛(ài)好小組成果的標(biāo)準(zhǔn)差大于A班愛(ài)好小組成果的標(biāo)準(zhǔn)差.其中正確結(jié)論的編號(hào)為()A.①④ B.②③C.②④ D.①③答案A解析A班愛(ài)好小組的平均成果為eq\f(1,15)×(53+62+64+…+92+95)=78,其方差為eq\f(1,15)×[(53-78)2+(62-78)2+…+(95-78)2]=121.6,則其標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(121.6)≈11.03;B班愛(ài)好小組的平均成果為eq\f(1,15)×(45+48+51+…+91)=66,其方差為eq\f(1,15)×[(45-66)2+(48-66)2+…+(91-66)2]=175.2,則其標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(175.2)≈13.24.故選A.3.某班的全體學(xué)生參與英語(yǔ)測(cè)試,成果的頻率分布直方圖如圖所示,數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50C.55 D.60答案B解析依據(jù)頻率分布直方圖的特點(diǎn)可知,低于60分的頻率是(0.005+0.01)×20=0.3,所以該班的學(xué)生人數(shù)是eq\f(15,0.3)=50.故選B.4.在樣本的頻率分布直方圖中,共有7個(gè)小長(zhǎng)方形,若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其他6個(gè)小長(zhǎng)方形的面積的和的eq\f(1,4),且樣本容量為80,則中間一組的頻數(shù)為()A.0.25 B.0.5C.20 D.16答案D解析設(shè)中間一組的頻數(shù)為x,依題意有eq\f(x,80)=eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(x,80))),解得x=16.5.探討人員隨機(jī)調(diào)查統(tǒng)計(jì)了某地1000名“上班族”每天在工作之余運(yùn)用手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)間,并將其繪制為如圖所示的頻率分布直方圖,若同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,則可估計(jì)該地“上班族”每天在工作之余運(yùn)用手機(jī)上網(wǎng)的平均時(shí)間是()A.1.78小時(shí) B.2.24小時(shí)C.3.56小時(shí) D.4.32小時(shí)答案C解析該地“上班族”每天在工作之余運(yùn)用手機(jī)上網(wǎng)的平均時(shí)間是(1×0.12+3×0.2+5×0.1+7×0.08)×2=3.56(小時(shí)).6.對(duì)于一組數(shù)據(jù)xi(i=1,2,3,…,n),假如將它們變更為xi+C(i=1,2,3,…,n),其中C≠0,則下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)與方差均不變B.平均數(shù)變,方差保持不變C.平均數(shù)不變,方差變D.平均數(shù)與方差均發(fā)生變更答案B解析由平均數(shù)的定義,可知每個(gè)個(gè)體增加C,則平均數(shù)也增加C,方差不變.故選B.7.某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位:mm)進(jìn)行檢測(cè),如圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖,據(jù)此估計(jì)這批產(chǎn)品長(zhǎng)度的中位數(shù)為()A.20 B.25C.22.5 D.22.75答案C解析自左至右各小矩形的面積依次為0.1,0.2,0.4,0.15,0.15,設(shè)中位數(shù)是x,則由0.1+0.2+0.08·(x-20)=0.5,得x=22.5.選C.8.甲、乙兩名同學(xué)在7次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成果如莖葉圖所示,其中甲同學(xué)成果的眾數(shù)是85,乙同學(xué)成果的中位數(shù)是83,則成果較穩(wěn)定的是________.答案甲解析依據(jù)眾數(shù)及中位數(shù)的概念易得x=5,y=3,故甲同學(xué)成果的平均數(shù)為eq\f(1,7)×(78+79+80+85+85+92+96)=85,乙同學(xué)成果的平均數(shù)為eq\f(1,7)×(72+81+81+83+91+91+96)=85,故甲同學(xué)成果的方差為eq\f(1,7)×(49+36+25+49+121)=40,乙同學(xué)成果的方差為eq\f(1,7)×(169+16+16+4+36+36+121)=eq\f(398,7)>40,故成果較穩(wěn)定的是甲.二、高考小題9.(2024·全國(guó)卷Ⅱ)演講競(jìng)賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分,評(píng)定該選手的成果時(shí),從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分,得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比,不變的數(shù)字特征是()A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差答案A解析中位數(shù)是將9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后,處于中間位置的數(shù)據(jù),因而去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分,不變的是中位數(shù),平均數(shù)、方差、極差均受影響.故選A.10.(2024·全國(guó)卷Ⅲ)《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)珍寶,并稱(chēng)為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的狀況,隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生,其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位,閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位,閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位,則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為()A.0.5 B.0.6C.0.7 D.0.8答案C解析解法一:設(shè)調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為x,則x+80-60=90,解得x=70,所以該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為eq\f(70,100)=0.7.故選C.解法二:用Venn圖表示調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過(guò)《西游記》和《紅樓夢(mèng)》的人數(shù)之間的關(guān)系如圖:易知調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70,所以該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為eq\f(70,100)=0.7.故選C.11.(2024·全國(guó)卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變更狀況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例,得到如下餅圖:則下面結(jié)論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入削減B.新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半答案A解析設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M,而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M,則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M,而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M,所以種植收入增加了,所以A項(xiàng)不正確;新農(nóng)村建設(shè)前其他收入為0.04M,新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M12.(2024·全國(guó)卷Ⅰ)為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別為x1,x2,…,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A.x1,x2,…,xn的平均數(shù) B.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位數(shù)答案B解析因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述數(shù)據(jù)的離散程度,所以要評(píng)估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度,應(yīng)當(dāng)用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差.故選B.13.(2024·全國(guó)卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變更規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2024年1月至2024年12月期間月接待游客量(單位:萬(wàn)人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.依據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變更比較平穩(wěn)答案A解析對(duì)于選項(xiàng)A,由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份,故A錯(cuò);對(duì)于選項(xiàng)B,視察折線圖的變更趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,D,由圖可知明顯正確.故選A.14.(2024·山東高考)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位:小時(shí)),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].依據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()A.56 B.60C.120 D.140答案D解析由頻率分布直方圖,知這200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為1-(0.02+0.10)×2.5=0.7,則這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為200×0.7=140.故選D.15.(2024·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)高鐵發(fā)展快速,技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì),在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中,有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.97,有20個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.98,有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)全部車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為_(kāi)_______.答案0.98解析平均正點(diǎn)率eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(10×0.97+20×0.98+10×0.99,10+20+10)=0.98.則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)全部車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.98.16.(2024·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是________.答案eq\f(5,3)解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,故其方差為s2=eq\f(1,6)×[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=eq\f(5,3).17.(2024·江蘇高考)已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示,那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為_(kāi)_______.答案90解析由莖葉圖可知,5位裁判打出的分?jǐn)?shù)分別為89,89,90,91,91,故平均數(shù)為eq\f(89+89+90+91+91,5)=90.三、模擬小題18.(2024·河南省名校聯(lián)考)如圖給出的是某小區(qū)居民一段時(shí)間內(nèi)訪問(wèn)網(wǎng)站的比例圖,則下列選項(xiàng)中不超過(guò)21%的為()A.騰訊與百度的訪問(wèn)量所占比例之和B.網(wǎng)易與搜狗的訪問(wèn)量所占比例之和C.淘寶與論壇的訪問(wèn)量所占比例之和D.新浪與小說(shuō)的訪問(wèn)量所占比例之和答案B解析由于網(wǎng)易與搜狗的訪問(wèn)量所占比例之和為18%,不超過(guò)21%,故選B.19.(2024·濟(jì)南模擬)隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)實(shí)力的不斷提升,居民收入也在不斷增加.某家庭2024年全年的收入與2024年全年的收入相比增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番.同時(shí)該家庭的消費(fèi)結(jié)構(gòu)隨之也發(fā)生了變更,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該家庭這兩年不同品類(lèi)的消費(fèi)額占全年總收入的比例,得到了如下折線圖:則下列結(jié)論中正確的是()A.該家庭2024年食品的消費(fèi)額是2024年食品的消費(fèi)額的一半B.該家庭2024年教化醫(yī)療的消費(fèi)額與2024年教化醫(yī)療的消費(fèi)額相當(dāng)C.該家庭2024年休閑旅游的消費(fèi)額是2024年休閑旅游的消費(fèi)額的五倍D.該家庭2024年生活用品的消費(fèi)額是2024年生活用品的消費(fèi)額的兩倍答案C解析2024年食品消費(fèi)占0.2,2024年食品消費(fèi)占0.4,因2024年全年的收入與2024年全年的收入相比增加了一倍,所以?xún)赡甑氖称废M(fèi)額相當(dāng),故A錯(cuò)誤.2024年教化醫(yī)療消費(fèi)占0.2,2024年教化醫(yī)療消費(fèi)占0.2,因2024年全年的收入與2024年全年的收入相比增加了一倍,所以2024年教化醫(yī)療消費(fèi)額是2024年的兩倍,故B錯(cuò)誤.2024年休閑旅游消費(fèi)占0.25,2024年休閑旅游消費(fèi)占0.1,因2024年全年的收入與2024年全年的收入相比增加了一倍,所以2024年休閑旅游的消費(fèi)額是2024年的五倍,故C正確.2024年生活用品消費(fèi)占0.3,2024年生活用品消費(fèi)占0.15,因2024年全年的收入與2024年全年的收入相比增加了一倍,所以2024年生活用品消費(fèi)額是2024年的四倍,故D錯(cuò)誤.故選C.20.(2024·日照二模)某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中不肯定正確的是()注:90后指1990年及以后誕生,80后指1980~1989年之間誕生,80前指1979年及以前誕生.A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多答案D解析由題圖易知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員90后占56%,A正確;僅90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)比為0.56×0.396=0.22176超過(guò)20%,B正確;90后從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)比為0.56×0.17=0.0952>0.03,C正確;90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)比為0.56×0.396=0.22176<0.41,而題中未給出80后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布狀況,故D不肯定正確.21.(2024·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè))在某中學(xué)實(shí)行的環(huán)保學(xué)問(wèn)競(jìng)賽中,將三個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生的成果進(jìn)行整理后分為5組,繪制如圖所示的頻率分布直方圖,圖中從左到右依次為第一、其次、第三、第四、第五小組,已知其次小組的頻數(shù)是40,則成果在80~100分的學(xué)生人數(shù)是()A.15 B.18C.20 D.25答案A解析依據(jù)頻率分布直方圖,得其次小組的頻率是0.04×10=0.4,∵頻數(shù)是40,∴三個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生總?cè)藬?shù)是eq\f(40,0.4)=100,又成果在80~100分的頻率是(0.01+0.005)×10=0.15,∴成果在80~100分的學(xué)生人數(shù)是100×0.15=15.故選A.22.(2024·上海市復(fù)旦附中模擬)一個(gè)公司有8名員工,其中6名員工的月工資分別為5200,5300,5500,6100,6500,6600,另兩名員工數(shù)據(jù)不清晰,那么8位員工月工資的中位數(shù)不行能是()A.5800 B.6000C.6200 D.6400答案D解析∵一個(gè)公司有8名員工,其中6名員工的月工資分別為5200,5300,5500,6100,6500,6600,∴當(dāng)另外兩名員工的工資都不超過(guò)5300時(shí),中位數(shù)為eq\f(5300+5500,2)=5400;當(dāng)另外兩名員工的工資都不小于6500時(shí),中位數(shù)為eq\f(6100+6500,2)=6300,∴8位員工月工資的中位數(shù)的取值區(qū)間為[5400,6300],∴8位員工月工資的中位數(shù)不行能是6400.故選D.23.(2024·成都市高三其次次診斷性檢測(cè))為比較甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員的近期競(jìng)技狀態(tài),選取這兩名球員最近五場(chǎng)競(jìng)賽的得分制成如圖所示的莖葉圖,有以下結(jié)論:①甲最近五場(chǎng)競(jìng)賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場(chǎng)競(jìng)賽得分的中位數(shù);②甲最近五場(chǎng)競(jìng)賽得分平均數(shù)低于乙最近五場(chǎng)競(jìng)賽得分的平均數(shù);③從最近五場(chǎng)競(jìng)賽的得分看,乙比甲更穩(wěn)定;④從最近五場(chǎng)競(jìng)賽的得分看,甲比乙更穩(wěn)定.其中全部正確結(jié)論的編號(hào)為()A.①③ B.①④C.②③ D.②④答案C解析甲的中位數(shù)為29,乙的中位數(shù)為30,故①不正確;甲的平均數(shù)為29,乙的平均數(shù)為30,故②正確;從比分來(lái)看,乙的得分集中度比甲的得分集中度高,故③正確,④不正確.故選C.24.(2024·新疆高三一模)在發(fā)生某公共衛(wèi)生事務(wù)期間,我國(guó)有關(guān)機(jī)構(gòu)規(guī)定:“該事務(wù)在一段時(shí)間沒(méi)有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)記為連續(xù)10天,每天新增加疑似病例不超過(guò)7人”.依據(jù)過(guò)去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù),肯定符合該標(biāo)記的是()A.甲地總體均值為3,中位數(shù)為4B.乙地總體均值為2,總體方差大于0C.丙地中位數(shù)為3,眾數(shù)為3D.丁地總體均值為2,總體方差為3答案D解析由于平均數(shù)和中位數(shù)不能限制某一天的病例超過(guò)7人,A不正確;當(dāng)總體方差大于0,不知道總體方差的詳細(xì)數(shù)值,因此不能確定數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,B不正確;中位數(shù)和眾數(shù)也不能限制某一天的病例超過(guò)7人,C不正確;當(dāng)總體平均數(shù)是2,若有一個(gè)數(shù)據(jù)超過(guò)7,則方差就超過(guò)3,D正確.故選D.一、高考大題1.(2024·全國(guó)卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗(yàn):將200只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.依據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:記C為事務(wù):“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,依據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).解(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35,b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.2.(2024·全國(guó)卷Ⅰ)某家庭記錄了未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和運(yùn)用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7]頻數(shù)13249265運(yùn)用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6]頻數(shù)151310165(1)作出訪用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:(2)估計(jì)該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3(3)估計(jì)該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)約多少水?(一年按365天計(jì)算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)解(1)(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù),該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m(3)該家庭未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(-))1=eq\f(1,50)×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.該家庭運(yùn)用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(-))2=eq\f(1,50)×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.估計(jì)該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后,一年可節(jié)約水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).3.(2024·北京高考)某高校藝術(shù)專(zhuān)業(yè)400名學(xué)生參與某次測(cè)評(píng),依據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,運(yùn)用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如右頻率分布直方圖:(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.解(1)依據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02+0.04)×10=0.6,所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1-0.6=0.4,所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)值為0.4.(2)依據(jù)題意,樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100-100×0.9-5=5,所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400×eq\f(5,100)=20.(3)由題意可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02+0.04)×10×100=60,所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)=30,所以樣本中的男生人數(shù)為30×2=60,女生人數(shù)為100-60=40,所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為60∶40=3∶2,所以依據(jù)分層抽樣原理,估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例為3∶2.4.(2024·四川高考)我國(guó)是世界上嚴(yán)峻缺水的國(guó)家,某市政府為了激勵(lì)居民節(jié)約用水,安排調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸),一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi),超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水狀況,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)依據(jù)[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值;(2)設(shè)該市有30萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說(shuō)明理由;(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x(噸),估計(jì)x的值,并說(shuō)明理由.解(1)由頻率分布直方圖,知月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5解得a=0.30.(2)由(1),知100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布,可以估計(jì)全市30萬(wàn)居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12=36000.(3)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.所以,估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí),85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn).二、模擬大題5.(2024·安徽淮北模擬)如圖為2025屆淮北師范高校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測(cè)評(píng)成果(百分制)分布直方圖,已知80~90分?jǐn)?shù)段的學(xué)員數(shù)為21人.(1)求該專(zhuān)業(yè)畢業(yè)總?cè)藬?shù)N和90~95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)n;(2)現(xiàn)欲將90~95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的n名畢業(yè)生隨機(jī)地安排往A,B,C三所學(xué)校,每所學(xué)校至少安排兩名畢業(yè)生.①若這n名畢業(yè)生中甲、乙兩人必需進(jìn)同一所學(xué)校,共有多少種不同的安排方法?②若這n名畢業(yè)生中恰有兩名女生,設(shè)隨機(jī)變量ξ表示n名畢業(yè)生中安排往B學(xué)校的兩名畢業(yè)生中女生的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)80~90分?jǐn)?shù)段的頻率p1=(0.04+0.03)×5=0.35,此分?jǐn)?shù)段的學(xué)員總數(shù)為21人,所以畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)N=eq\f(21,0.35)=60,90~95分?jǐn)?shù)段的頻率p2=1-(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.1,所以90~95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)n=60×0.1=6.(2)①將90~95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的6名畢業(yè)生隨機(jī)地安排往A,B,C三所學(xué)校,每所學(xué)校至少安排兩名畢業(yè)生,且甲、乙兩人必需進(jìn)同一所學(xué)校,則共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)=18種不同的安排方法.②ξ的全部可能取值為0,1,2,P(ξ=0)=eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))=eq\f(2,5),P(ξ=1)=eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))=eq\f(8,15),P(ξ=2)=eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(0,4),C\o\al(2,6))=eq\f(1,15),所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)所以隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×eq\f(2,5)+1×eq\f(8,15)+2×eq\f(1,15)=eq\f(2,3).6.(2024·武漢一模)十九
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