內(nèi)蒙古通遼市蒙古族中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期第一次月考試題理

PAGE9-內(nèi)蒙古通遼市蒙古族中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期第一次月考試題理選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．已知集合，，則（A）A．B．C．D．2．若為實數(shù)且,則（B）A．B．0C．1D．23．已知，，向量的夾角為，則（D）A．B．C．1D．24．已知p：，q：，則是成立的（A）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件5．《九章算術》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面節(jié)的容積共升，下面節(jié)的容積共升，則該竹子最上面一節(jié)的容積為（C）A．升B．升C．升D．升6．函數(shù)的大致圖象為（A）A.B.C.D.7．已知等比數(shù)列滿意，，則數(shù)列前項的和（A）A．B．C．D．8．把函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸為（C）A．B．C.D．9．已知命題．若命題p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是(D)A.B．C．D．10．下列大小關系正確的是（C）A.B.C.D.11．若函數(shù)，又，且的最小值為，則正數(shù)的值為（B）A.B.C.D.12．已知以為周期的函數(shù)，其中．若方程恰有5個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（B）A.B.C.D.第12題【解析】因為當時，將函數(shù)化為方程，實質(zhì)上為一個半橢圓，其圖像如圖所示，同時在坐標系中作出當?shù)脠D像，再依據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖像，由圖易知直線與其次個橢圓相交，而與第三個半橢圓無公共點時，方程恰有5個實數(shù)解，將代入得令，則有由同樣由與第三個半橢圓無交點，由可計算得綜上知．完整計算出來太困難，時間不允許，可用解除法.要留意的是：直線與半橢圓相切，切點不在頂點，而在側(cè)面，若直線與其次個半橢圓相切，則應當比小，假如，那么只要比大一點，就有兩個交點，明顯C、D選項范圍小了；再考慮直線和第三個半橢圓相切時，應當比小，例如，那么要比要小，明顯選項A范圍太大.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．已知向量，，則．14．在極坐標系中，點A到點B的距離為．15．點M是橢圓上隨意點，則點M到直線的距離的最大值為．16．某煤氣站對外輸送煤氣時，用號個閥門限制，且必需遵守以下操作規(guī)則：（i）若開啟號，則必需同時開啟號并且關閉號；（ii）若開啟號或號，則關閉號；（iii）禁止同時關閉號和號，現(xiàn)要開啟號，則同時開啟的另外個閥門是3號和4號．三、解答題（本小題共6小題，第17題10分，第18—22題各12分，共計70分；解答時請寫出必要的文字說明，方程式和重要的演算步驟。）17．在平面直角坐標系中，已知曲線（為參數(shù)），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的一般方程和直線的直角坐標方程；（2）過點且與直線平行的直線交于兩點，求的值解：（1）曲線化為一般方程為：,----------------得2分由，得，-------------得3分所以直線的直角坐標方程為.------------------得5分（2）由題知，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），---------得6分代入化簡得：，----------------得7分設兩點所對應的參數(shù)分別為，∴，----------------得8分∴-----------得10分18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=,PD⊥平面ABCD,PD=AB=1，點E,F分別為AB和PD中點。（I）求證：直線AF//平面PEC；（Ⅱ）求PE與平面PBC所成角的正弦值。解：（I）證明：取PC的中點為M，連接FM，EM,∴AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM，∴直線AF∥平面PEC．----------得6分（Ⅱ）連接DE，∴以D為坐標原點，以DE,DC,DP所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角標系D-xyz，----------------得7分則P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0)，，∴----------------得8分設平面PBC的一個法向量為.∵∴，∴.----得10分設PE與平面PBC所成角為，∴∴PE平面PBC所成角的正弦值為.---------------得12分19．微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件，一經(jīng)推出便風靡全國，甚至涌現(xiàn)出一批在微信的摯友圈內(nèi)銷售商品的人（被稱為微商）．為了調(diào)查每天微信用戶運用微信的時間，某經(jīng)銷化妝品的微商在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各50名，其中每天玩微信超過6小時的用戶為“A組”，否則為“B組”，調(diào)查結(jié)果如下：A組B組合計男性262450女性302050合計5644100（Ⅰ）依據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有60%的把握認為“A組”用戶與“性別”有關？（Ⅱ）現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人贈送養(yǎng)分面膜1份，求所抽取5人中“A組”和“B組”的人數(shù)；（Ⅲ）從（Ⅱ）中抽取的5人中再隨機抽取3人贈送200元的護膚品套裝，記這3人中在“A組”的人數(shù)為X，試求X的分布列與數(shù)學期望．參考公式：，其中.臨界值表：0.500.400.250.050.0250.0100.4550.7081.3233.8415.0246.635解：（1）K2==≈0.649＜0.708；∴沒有60%的把握認為“A組”用戶與“性別”有關；------------得4分（2）由題意得，所抽取的5位女性中，“A組”有5×=3人，“B組”有5×=2人；------------得6分（3）X的全部可能取值為1，2，3，------------得7分則P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，全部X的分布列為：X123P------------得10分∴數(shù)學期望為EX=1×+2×+3×=．-----------得12分20．在數(shù)列中，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.解：（1）證明：-----------得4分是首項為4，公比為2的等比數(shù)列------------得5分------------得7分（2）---------得9分（會分組給2分）------------得12分（兩個和，每一個和給2分，都對給3分）21．已知的內(nèi)角所對應的邊分別為，且滿意.（1）推斷的形態(tài)；（2）若，，為角的平分線，求的面積.解：（I）由，得,-----------得2分,.-----------得4分<A+B<,,所以為直角三角形.---得6分(II)由（I）知，又，，,-----------得8分由正弦定理得,，---------得10分-----------得12分另外：可用角平分線定理，22．已知橢圓的離心率為，且過點；若點在橢圓上，則點稱為點的一個“橢點”．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點，且兩點的“橢點”分別為，以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，試推斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．解：（1）解：由題意知，∴，即又∴，∴橢圓的方程為-----------得4分（2）設，則由于以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，所以即-----------得5分由得，，.