24.1 圓的有關(guān)性質(zhì)(提升訓(xùn)練)(解析版)

24.1圓的有關(guān)性質(zhì)【提升訓(xùn)練】一、單選題1．筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2，已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長(zhǎng)為6米，半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)到弦所在直線的距離是（）

A．1米 B．米 C．2米 D．米【答案】B【分析】連接OC交AB于D，根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根據(jù)勾股定理求得OD的長(zhǎng)，由CD=OC﹣OD即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)C為的中點(diǎn)，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4﹣，即點(diǎn)到弦所在直線的距離是（4﹣）米，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵．2．如圖，為圓O的直徑，且AB=8，C為圓上任意一點(diǎn)，連接、，以為邊作等邊三角形，以為邊作正方形，連接．若為a，為b，為c，則下列關(guān)系式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】延長(zhǎng)DC，過E作DC延長(zhǎng)線的垂線，垂足為M，在△ECM中，分別表示出EM和CM，得到DM，在△DEM中，利用勾股定理得到，結(jié)合直徑AB=8即可得到結(jié)果．【詳解】解：延長(zhǎng)DC，過E作DC延長(zhǎng)線的垂線，垂足為M，∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∵四邊形BCEF為正方形，∴∠BCE=90°，即A，C，E三點(diǎn)共線，∵△ACD為正三角形，∴∠ACD=60°，∴∠ECM=60°，在△ECM中，EM=EC·sin60°=b，CM=EC·sin30°=b，∴DM=DC+CM=a+b，在△DEM中，，∴，整理可得：，∵AB=8，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，得到a，b，c的關(guān)系式．3．在《幾何原本》中，記載了一種將長(zhǎng)方形化為等面積正方形的方法：如圖，延長(zhǎng)長(zhǎng)方形的邊到E，使，以為直徑作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，則，則以為邊的正方形的面積等于長(zhǎng)方形的面積．若，點(diǎn)E是中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，設(shè)，從而可得，，再代入可得一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，解方程即可得．【詳解】解：四邊形是正方形，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，設(shè)，則，，，由同圓半徑相等得：，，，，解得或（不符題意，舍去），則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同圓半徑相等、正方形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握同圓半徑相等是解題關(guān)鍵．4．如圖，與是的兩條互相垂直的弦，交點(diǎn)為點(diǎn)，，點(diǎn)在圓上，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用垂直的定義和圓周角定理解答即可．【詳解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，解答此題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．5．下列命題是真命題的是（）A．同弧所對(duì)的圓心角相等B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)D．若，則【答案】C【分析】利用圓心角的知識(shí)、菱形的判定、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及不等式的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、在圓中，同一條弧對(duì)的圓心角只有一個(gè)，因此A選項(xiàng)說法有問題，是假命題；B、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B選項(xiàng)是假命題；C、∵二次函數(shù)中，∴圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故C選項(xiàng)是真命題，符合題意；D、當(dāng)、b=-1時(shí)，滿足，但，故D選項(xiàng)是假命題，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓心角，菱形的判定方法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及不等式的性質(zhì).6．如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】過C點(diǎn)作CH⊥AB于H點(diǎn)，在△ABC、△CBH中由分別求出BC和BH，再由垂徑定理求出BD，進(jìn)而AD=AB-BD即可求解．【詳解】解：過C點(diǎn)作CH⊥AB于H點(diǎn)，如下圖所示：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴△ABC、△CBH均為30°、60°、90°直角三角形，其三邊之比為，Rt△ABC中，，Rt△BCH中，，由垂徑定理可知：，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖，是⊙的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)D，，則⊙的直徑為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】過D作DE⊥AB垂足為E，先利用圓周角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到DE=DC=1，再說明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，設(shè)BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根據(jù)勾股定理列式求出x，進(jìn)而求得AB．【詳解】解：如圖：過D作DE⊥AB，垂足為E∵AB是直徑∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分線BD∴DE=DC=1在Rt△DEB和Rt△DCB中DE=DC、BD=BD∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）∴BE=BC在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2AE=設(shè)BE=BC=x，AB=AE+BE=x+在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2則（x+）2=32+x2，解得x=∴AB=+=2故填：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．8．如圖，、是上的兩點(diǎn)，，交于點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得是等邊三角形，結(jié)合可得，再根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半”即可得出．【詳解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°∴△AOB是等邊三角形，∵∴∴故選：C【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及同弧或等弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，掌握“同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半”是解題的關(guān)鍵．9．如圖，點(diǎn)，，，都在⊙O上，且，AB=AD，S四邊形ABCD=（）

A． B． C． D．6【答案】A【分析】連接，求出，求出是圓的直徑，根據(jù)勾股定理求出、，分別求出和的面積即可．【詳解】解：連接，

，，，，，即是圓的直徑，，圓的半徑為2，，，由勾股定理得：，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．10．如圖，，是上直徑兩側(cè)的兩點(diǎn)．設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ACB=90°，從而求出∠BAC，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等即可求出∠BDC．【詳解】解：∵C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn)，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=25°，∴∠BAC=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠BAC=65°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，即直徑所對(duì)的圓周角是90°和同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與推論，本題蘊(yùn)含了屬性結(jié)合的思想方法．11．如圖，等腰中，頂角，用尺規(guī)按①到④的步驟操作：①以為圓心，為半徑畫圓；②在上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接；③作的垂直平分線與交于，；④作的垂直平分線與交于，．結(jié)論Ⅰ：順次連接，，，四點(diǎn)必能得到矩形；結(jié)論Ⅱ：上只有唯一的點(diǎn)，使得．對(duì)于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都對(duì) B．Ⅰ和Ⅱ都不對(duì)C．Ⅰ不對(duì)Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對(duì)Ⅱ不對(duì)【答案】D【分析】Ⅰ、根據(jù)“弦的垂直平分線經(jīng)過圓心”，可證四邊形MENF的形狀；Ⅱ、在確定點(diǎn)P的過程中，看∠MOF=40°是否唯一即可．【詳解】解：Ⅰ、如圖所示．∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，EF是AP的垂直平分線，∴MN和EF都經(jīng)過圓心O，線段MN和EF是⊙O的直徑．∴OM=ON，OE=OF．∴四邊形MENF是平行四邊形．∵線段MN是⊙O的直徑，∴∠MEN=90°．∴平行四邊形MENF是矩形．∴結(jié)論Ⅰ正確；Ⅱ、如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN左側(cè)且AP=AB時(shí)，∵AP=AB，∴．∵M(jìn)N⊥AB，EF⊥AP，∴∴∴∴．∴．∵扇形OFM與扇形OAB的半徑、圓心角度數(shù)都分別相等，∴．如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN右側(cè)且BP=AB時(shí)，同理可證：．∴結(jié)論Ⅱ錯(cuò)誤．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、矩形的判定、扇形面積等知識(shí)點(diǎn)，熟知圓的有關(guān)性質(zhì)、矩形的判定方法及扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．12．如圖，是的外接圓，交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．若，，則的長(zhǎng)是（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【分析】先根據(jù)垂徑定理可得，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)三角形中位線定理即可得．【詳解】解：，，，，，，，，又，是的中位線，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．13．如圖，為的直徑，以為斜邊作等腰，連接交于點(diǎn)．若．則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，過作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)，，在和中運(yùn)用勾股定理列出關(guān)于x、y的方程，再解方程即可求出答案．【詳解】解：連接，過作于，∵，∴，∵是等腰直角三角形（），，∴，∴，由勾股定理得：，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∵是的直徑，∴，設(shè)，，在中，由勾股定理得：，即①，在中，由勾股定理得：，即②，②-①得：，解得：，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查直徑所對(duì)的圓周角是直角、等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能夠利用勾股定理列出方程組是解題的關(guān)鍵．14．如圖，是的直徑，是的弦，先將沿翻折交于點(diǎn)．再將沿翻折交于點(diǎn)．若，設(shè)，則所在的范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，將⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，則⊙O、⊙O′、⊙O″為等圓．依據(jù)在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等可證明，從而可得到弧AC的度數(shù)，由弧AC的度數(shù)可求得∠B的度數(shù)．【詳解】解：將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，將⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，則⊙O、⊙O′、⊙O″為等圓．∵⊙O與⊙O′為等圓，劣弧AC與劣弧CD所對(duì)的角均為∠ABC，∴．同理：．又∵F是劣弧BD的中點(diǎn)，∴．∴．∴弧AC的度數(shù)=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°．∴所在的范圍是；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了翻折的性質(zhì)、弧、弦、圓周角之間的關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，找出圖形中的等弧是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，是直徑，是上的兩個(gè)點(diǎn)，．若，則的度數(shù)為（）．A．40° B．50° C．60° D．65°【答案】B【分析】由，可得∠OCA=∠DAC=25°，由等腰三角形OA=OC，可得∠OAC=∠OCA=25°，由圓周角定理可求∠BOC=2∠OAC=50°．【詳解】解：∵，∴∠OCA=∠DAC=25°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=25°，∴∠BOC=2∠OAC=2×25°=50°．故選擇B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理，平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．如圖，是⊙的直徑，是⊙上兩點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖：連接AC、AD，由圓周角定理可得∠ADC=∠ABC=40°，∠ADB=90°，最后根據(jù)角的和差運(yùn)算即可解答．【詳解】解：連接AC、AD，∴∠ADC=∠ABC=40°∵是⊙的直徑∴∠ADB=90°∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=90°-40°=50°．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角，掌握同弧或同弦所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角為90°成為解答本題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，點(diǎn)是邊和的垂直平分線、的交點(diǎn)，若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知點(diǎn)O為△ABC的外接圓圓心，由圓周角定理可求得∠A=∠BOC=50°，根據(jù)等角的余角相等得到∠EOF=∠A=50°．【詳解】解：∵點(diǎn)是邊和的垂直平分線、的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O為△ABC的外接圓圓心，∠ADF=∠OEF=90°，∴∠BOC為∠A的所對(duì)的弧對(duì)應(yīng)的圓心角，∵∠BOC=100°，∴∠A=∠BOC=50°，∵∠A+∠AFD=90°，∠EOF+∠EFO=90°，∴∠EOF=∠A=50°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、三角形外心定義、圓周角定理、同角的余角相等，熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂直平分線的性質(zhì)，熟知三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是解答的關(guān)鍵．18．如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)和點(diǎn)分別位于兩側(cè)，下列結(jié)論：①；②；③；④點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程是，其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】連接OE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)H，先證△ADO為等邊三角形，得出∠2=∠DAF=60°，再根據(jù)△DEF為等邊三角形，得出①正確；證出△DOE≌△COE，得到ED=EC，得出②正確；證出∠ADF=∠3，看得出③正確；根據(jù)△DOE≌△COE，得出點(diǎn)E在OH上運(yùn)動(dòng)，可得④正確．【詳解】解：連接OE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)H，∵矩形ABCD，∴OA=OD=OC，∵∠DAC=60°，∴△ADO為等邊三角形，∴∠2=∠DAF=60°，∵△DEF為等邊三角形，∴∠1=60°=∠5，∴∠1=∠2，∴D、F、O、E四點(diǎn)共圓，∴∠3=∠4，①正確；∴∠5=∠6=60°，∴∠7=∠6=60°，∵OD=OC，OE=OE，∴△DOE≌△COE，∴∠3=∠8，∴∠CDE=∠DCE，∴ED=EC，②正確；∵∠ADO=∠FDE=60°，∴∠ADF=∠3，∴∠ADF=∠8，即∠ADF=∠ECF，③正確；∵△DOE≌△COE，∴點(diǎn)E在∠DOC的角平分線上與CD的交點(diǎn)為H，即點(diǎn)E在OH上運(yùn)動(dòng)，∴OH=BC，∴OH=，④錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)．19．如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D在上，AD=AC，，連接DC并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接OE，若∠BAD=30°，則∠COE的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】A【分析】如圖，連接BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠DCA的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可得∠BDA=90°，可得∠DBA=60°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠BDE的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理即可得答案．【詳解】如圖，連接BD，∵，，∴∠DCA=×（180°-30°）=75°，∵為的直徑，∴∠BDA=90°，∴∠DBA=90°-30°=60°，∴∠BDE=∠DCA-∠DBA=15°，∵∠BOE和∠BDE是所對(duì)的圓心角和圓周角，∴∠COE=2∠BDE=30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；直徑所對(duì)的圓周角等于90°；熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．20．已知是半徑為1的的一條弦，且，以為一邊在內(nèi)作等邊三角形，D為上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)為（）

A． B．1 C． D．a(chǎn)【答案】B【分析】通過證，得，從而求出的長(zhǎng)．【詳解】解：連接OE，OA，OB，是等邊三角形，，；，，；，；四邊形內(nèi)接于，，即；又，，即是等腰三角形；在等腰和等腰中，，，；．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大；能夠發(fā)現(xiàn)并證得是解答此題的關(guān)鍵．21．如圖，點(diǎn)A、B、C、D均在上，是的直徑，連接，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到即可求出．【詳解】解：如圖，連接BC，∵，，∴∵是的直徑，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．22．如圖，的直徑為26，弦的長(zhǎng)為24，且，垂足為，則的長(zhǎng)為（）A．25 B．8 C．5 D．13【答案】B【分析】連接OA，由垂徑定理得到M為AB中點(diǎn)，求出AM的長(zhǎng)，在直角三角形AOM中，利用勾股定理求出OM的長(zhǎng)，再由求出CM的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接OA．∵直徑，，∴,在中，,,根據(jù)勾股定理得：．則故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．23．如圖，四邊形內(nèi)接于，，為中點(diǎn)，，則等于（）A．42° B．46° C．50° D．54°【答案】A【分析】先根據(jù)已知條件推出，則，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)，得到，即求出的度數(shù)．【詳解】解：為中點(diǎn)，，，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，能根據(jù)定理求出是解此題的關(guān)鍵．24．如圖，是⊙的直徑，，是⊙的弦，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用鄰補(bǔ)角的定義計(jì)算出∠BOF=140°,再根據(jù)圓周角定理計(jì)算出∠BEF=70°得到∠EBF=∠EFB然后利用三角形內(nèi)角和計(jì)算度數(shù)．再由°，再計(jì)算∠F的度數(shù)即可．【詳解】解：連接BF∵∴°∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)∴35°故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及推論、鄰補(bǔ)角、三角形的內(nèi)角和、靈活進(jìn)行角的和差關(guān)系的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．25．如圖，已知，為上一點(diǎn)，以為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，且與、交于點(diǎn)、，設(shè)，，則（）A．若，則弧的度數(shù)為B．若，則弧的度數(shù)為C．若，則弧的度數(shù)為D．若，則弧的度數(shù)為【答案】B【分析】連接BD，根據(jù)圓周角定理求出∠ABD=90°，求出∠ADB=90°-β，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出90°-β=α+x，求出的度數(shù)是180°-2(α+β)，再逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：連接BD，設(shè)的度數(shù)是x，則∠DBC=x，∵AC過O，∴∠ABD=90°，∵∠A=β，∴∠ADB=90°-β，∵∠C=α，∠ADB=∠C+∠DBC，∴90°-β=α+x，解得：x=180°-2(α+β)，即的度數(shù)是180°-2（α+β），A．當(dāng)α+β=80°時(shí)，的度數(shù)是180°-160°=20°，故本選項(xiàng)不符合題意；B．當(dāng)α+β=80°時(shí)，的度數(shù)是180°-160°=20°，故本選項(xiàng)符合題意；C．當(dāng)α-β=80°，即α=80°+β或β=α-80°，的度數(shù)是180°-2(80°+β+β)=20°-4β或180°-(α+α-80°)=260°-2α，故本選項(xiàng)不符合題意；D．當(dāng)α-β=80°時(shí)，的度數(shù)是20°-4β或260°-2α，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和三角形的外角性質(zhì)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．26．內(nèi)接于圓，延長(zhǎng)到D，點(diǎn)E在上，連接，，如圖所示．圖中等于與之差的角是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角形外角的性質(zhì)及圓周角定理可得∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠ABC=∠AEC，由此可得∠ACD=∠AEC+∠BAC，即可得∠ACD-∠BAC=∠AEC．【詳解】∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠ABC=∠AEC，∴∠ACD=∠AEC+∠BAC，∴∠ACD-∠BAC=∠AEC．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角定理，圓周角定理，熟練掌握三角形的外角定理和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．27．如圖，四邊形ABCD是菱形，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、C、D，與BC相交于點(diǎn)E，連接AC、AE．若∠D＝80°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】根據(jù)四邊形ABCD是菱形，可求得∠DCB的度數(shù)，從而求得∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，得∠AEB=∠D，由三角形內(nèi)外角的關(guān)系，即可求得∠EAC的度數(shù)．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四邊形AECD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到∠AEB的度數(shù).28．如圖，為的直徑，是的弦，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓周角定理，得到，則，即可求出答案．【詳解】解：∵為的直徑，∴，∵，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，正確求出．29．如圖，點(diǎn)，，在上，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AB，則由∠AOB=100°、OA=OB，可求得∠OAB=∠OBA及其度數(shù)，進(jìn)而可得∠ABC的度數(shù)，由圓周角定理可求得∠C的度數(shù)，在△ABC中可求得∠CAB的度數(shù)，從而可得∠OAC的度數(shù)．【詳解】如圖，連接AB則OA=OB∴∠OAB=∠OBA=∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=60°∵∠C∴在△ABC中，∠CAB=180°?∠C?∠ABC=70°∴∠OAC=∠CAB?∠OAB=70°?40°=30°故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，圓周角定理等知識(shí)，關(guān)鍵是連接AB，使得有關(guān)角度的計(jì)算可以在三角形中進(jìn)行．30．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AC＝OD B．BC＝BDC．∠AOD=∠CBD D．∠ABC=∠ODB【答案】A【分析】利用垂徑定理，線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)，圓心角與圓周角的關(guān)系計(jì)算判斷即可．【詳解】∵AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，∴直線AB是CD的垂直平分線，∴BC=BD，∠CBA=∠DBA，∴B選項(xiàng)正確；∵∠AOD=2∠DBA，∴∠AOD=∠DBA+∠CBA=∠CBD，∴C選項(xiàng)正確；∵OD=OB，∴∠ODB=∠DBA=∠CBA，∴D選項(xiàng)正確；無法證明AC=OD，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的對(duì)稱性，等腰三角形的性質(zhì)，圓心角與圓周角關(guān)系定理，熟練掌握垂徑定理，靈活運(yùn)用圓心角與圓周角關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題31．如圖，的直徑為6，，都是的半徑，，點(diǎn)P在直徑上移動(dòng)，則的最小值為______．

【答案】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接就是最小值(P此時(shí)為與CD的交點(diǎn))，根據(jù)垂徑定理及圓周角定理可得，最后由勾股定理可得答案．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接就是最小值(P此時(shí)為與CD的交點(diǎn))，，且，，關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，，，為等腰直角三角形，的最小值為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是圓的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理是解決此題的關(guān)鍵．32．如圖，在中，，則的度數(shù)是______°．

【答案】80【分析】首先連接OC，由OA＝OC＝OB，可得∠ACO＝∠CAO＝15°，∠BCO＝∠CBO＝55°，繼而求得∠ACB的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得∠AOB的度數(shù)．【詳解】解：連接OC，∵OA＝OC＝OB，∴∠ACO＝∠CAO＝15°，∠BCO＝∠CBO＝55°，∴∠ACB＝∠BCO?∠ACO＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．故答案是：80．

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．33．如圖，已知是的直徑，且，弦，點(diǎn)是弧上的點(diǎn)，連接、，若，則的長(zhǎng)為______．

【答案】9【分析】連接OC和OE，由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求出∠COB=60°，再在△COH中求出CH，最后由垂徑定理求出CD．【詳解】解：連接OC和OE，如下圖所示：

由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可知，∠A=∠EOB，∠D=∠COE，∵∠A+∠D=30°，∴∠EOB+∠COE=∠COB=30°，∴∠COB=60°，∵CD⊥AB，∴△COH為30°，60°，90°的三角形，其三邊之比為，∴CH=，∴CD=2CH=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及垂徑定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，本題的關(guān)鍵是求出∠COB=60°．34．如圖，是的弦，C是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)D．若，則的半徑為________．【答案】5【分析】連接OA，由垂徑定理得AD=4cm，設(shè)圓的半徑為R，根據(jù)勾股定理得到方程，求解即可【詳解】解：連接OA，∵C是的中點(diǎn)，∴∴設(shè)的半徑為R，∵∴在中，，即，解得，即的半徑為5cm故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)垂徑定理判斷出OC是AB的垂直平分線是解答此題的關(guān)鍵．35．圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了圖2的機(jī)械設(shè)備，磨盤半徑，把手，點(diǎn)O，M，Q成一直線，用長(zhǎng)為的連桿將點(diǎn)Q與動(dòng)力裝置P相連（大小可變），點(diǎn)P在軌道上滑動(dòng)并帶動(dòng)磨盤繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，．（1）點(diǎn)P與點(diǎn)O之間距離的取值范圍是_______．（2）若磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)500周，則點(diǎn)P在軌道上滑動(dòng)的路徑長(zhǎng)為__________m．【答案】100cm≤OP≤170cm900m【分析】（1）連接OP，求出OQ和PQ，再根據(jù)兩種情況求出OP的最值，可得取值范圍；（2）求出AP的取值范圍，可得磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)1周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑動(dòng)的路徑長(zhǎng)，再乘以500即可．【詳解】解：（1）連接OP．由題意得：OQ=OM+MQ=35cm，PQ=135cm，當(dāng)Q、O、P三點(diǎn)共線且Q在線段OP左上方延長(zhǎng)線上時(shí)，OP取得最小值，此時(shí)OP=PQ-MQ-OM=135-15-20=100cm；當(dāng)Q、O、P三點(diǎn)共線且Q在右下方線段OP上時(shí)，OP取得最大值，此時(shí)OP=PQ+MQ+OM=135+15+20=170cm，∴100cm≤OP≤170cm；（2）當(dāng)OP=170cm時(shí)，∵OA⊥AP，OA=80cm，∴AP==150cm，當(dāng)OP=100cm時(shí)，AP==60cm，∴60cm≤AP≤150cm，∴若磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)500周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑動(dòng)的路徑長(zhǎng)=500×2×（150-60）=90000cm=900m．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．三、解答題36．如圖，四邊形內(nèi)接于，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，且．

（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)為弧上一點(diǎn)，連接、、，若，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)作，垂足為，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）7【分析】方法一：（1）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)推出，即可得到結(jié)論；（2）連接，由，得到，由推出，利用證明，由此得到，推出結(jié)論；（3）連接，設(shè)與交于點(diǎn)，設(shè)，，求出，過點(diǎn)作于，證得，證明，設(shè)，由求得，再由勾股定理求出即可得到答案；方法二：（1）設(shè)，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義及三角形外角的性質(zhì)表示出∠EBC及∠E的度數(shù)，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出，依據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，再求出，得到，由此得到結(jié)論；（3）作于、于，設(shè)，證明，得到CR=TD，由，，易得，利用得到，求出，再利用勾股定理求出答案．【詳解】方法一：解：（1）∵四邊形內(nèi)接于，∴，∴，∵，∴，∴；（2）連接，由（1）知，

∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）連接，設(shè)于交于點(diǎn)，設(shè)，∵，

∴，，∴，∴，過點(diǎn)作于，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，設(shè)，則，，∴，∵，∴，解得，所以，，，由勾股定理得，∵，∴．方法二：（1）設(shè)．∴，∵，∴，∴，∴．

（2）設(shè)，∴，∴，∴，∴，∴．

（3）作于、于，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴,∴CR=TD，∵，，∴，∵，∴∴，，∴，∴中，勾股．．【點(diǎn)睛】此題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形的外角定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，是一道較難的綜合題，熟記各知識(shí)點(diǎn)并熟練應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．37．如圖，已知AB是O的直徑，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周長(zhǎng)．【答案】cm【分析】連接OC．根據(jù)垂徑定理可得．由AB=10cm，可求cm，cm．根據(jù)勾股定理cm．可得cm．根據(jù)勾股定理cm．即可．【詳解】解：連接OC．∵AB是O的直徑，CD⊥AB，∴．∵AB=10cm，∴AO=BO=CO=5cm．∵BE=OE，∴cm，cm．在Rt△COE中，∵CD⊥AB，∴OE2+CE2=OC2．∴cm．∴DE=cm．∴cm．在Rt△ACE中∴∴cm．在Rt△ADE中∴∴∴△ACD的周長(zhǎng)=AD+DC+AC=++=cm．【點(diǎn)睛】本題考查圓的垂徑定理，勾股定理，掌握?qǐng)A的垂徑定理，勾股定理是解題關(guān)鍵．38．如圖，已知在⊙O中，，OC與AD相交于點(diǎn)E．求證：（1）AD∥BC（2）四邊形BCDE為菱形．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=∠CBD，根據(jù)平行線的判定可得結(jié)論；（2）證明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)得到BC=CD，從而證明菱形．【詳解】解：（1）連接BD，∵，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；

（2）連接CD，∵AD∥BC，∴∠EDF=∠CBF，∵，∴BC=CD，∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE=BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形，又BC=CD，∴四邊形BCDE是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用垂徑定理得到BF=DF．39．已知：在圓O內(nèi)，弦與弦交于點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求證：四邊形為矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連結(jié)，由M、N分別是和的中點(diǎn)，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由，可得，可證，，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì);（2）設(shè)OG交MN于E，由，可得，可得，，可證可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可證是平行四邊形，再由可證四邊形ACNM是矩形．【詳解】證明：（1）連結(jié)，∵M(jìn)、N分別是和的中點(diǎn)，∴OM，ON為弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，，在中，，，在Rt△OMG和Rt△ONG中，，，∴，;（2）設(shè)OG交MN于E，，∴，∴，即，，在△CMN和△ANM中，，，∵CN∥OG，，，，∴AM∥CN，是平行四邊形，，∴四邊形ACNM是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定，掌握垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定是解題關(guān)鍵．40．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)G是邊上的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，交于點(diǎn)F．連接．（1）求證：；（2）若四邊形是平行四邊形，求四邊形與正方形的面積之比；（3）直接寫出的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）2：5；（3）【分析】（1）證明即可；（2）由四邊形是平行四邊形，可得=2BF=2AE,在中利用勾股定理可求出AF、BF，于是可得EF的長(zhǎng)，即可求出四邊形與正方形的面積之比；（3）由可知點(diǎn)F在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，連接圓心與點(diǎn)C交半圓于F，此時(shí)取最小值．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，∵，且B與關(guān)于對(duì)稱，∴∴．∵，∴．∴∴．（2）∵四邊形是平行四邊形，∴又∵點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，∴．∵，∴，，∴．在中利用勾股定理可求，，∴，，∴四邊形與正方形的面積之比2：5．（3）由可知點(diǎn)F在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，連接圓心與點(diǎn)C交半圓于F，如圖，此時(shí)取最小值∵BC=4，OB=2，∴OC=，∴CF=，∴的最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，圓周角定理的推論(隱圓問題)，難點(diǎn)在于（3）中探究出點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡．41．如圖①，在⊙O中，弦CD垂直直徑AB于點(diǎn)E．已知AC＝4，BD=.（1）求直徑AB的長(zhǎng)．（2）小慧說“若將題目條件中的‘直徑AB’改為‘弦AB’，其余條件均不變（如圖②），⊙O的直徑仍不變”，你覺得小慧的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）（2）小慧的說法不正確，理由見解析【分析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理,圓的對(duì)稱性即可求出AB的長(zhǎng)；（2）根據(jù)垂徑定理的條件即可作出判斷．【詳解】解：（1）連接AD，如圖所示：∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∵弦CD垂直直徑AB于點(diǎn)E，∴由垂徑定理可知：AD＝AC＝4，在Rt△ADB中，AB＝=；（2）小慧的說法不正確，理由如下：因?yàn)槿魧㈩}目條件中的“直徑AB“改為“弦AB”，無法求出⊙O直徑．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的對(duì)稱性,垂徑定理,直徑所對(duì)的圓周角是直角,勾股定理,熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性,垂徑定理,勾股定理是解題的關(guān)鍵．42．如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，D為弧BC的中點(diǎn)，過D作DF⊥AB于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)F，交弦BC于點(diǎn)G，連接CD、BF（1）求證：△BFG≌△DCG；（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）4．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理解得＝，結(jié)合D為弧BC的中點(diǎn)，可證明BF＝CD，再由同弧所得的圓周角相等，得到∠BFG＝∠DCG，再結(jié)合對(duì)頂角∠BGF＝∠DGC，可證△BFG≌△DCG（AAS）；（2）證明OM是△ABC的中位線，進(jìn)而在Rt△BEF中，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）∵D是的中點(diǎn)，∴＝，∵AB為⊙O的直徑，DF⊥AB，∴＝，∴＝，∴BF＝CD，又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，∴△BFG≌△DCG（AAS）；（2）如圖，連接OD交BC于點(diǎn)M，∵D為的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴BM＝CM，∵OA＝OB，∴OM是△ABC的中位線，∴OM＝AC＝5，∵＝，∴＝，∴OE＝OM＝5，∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，∴EF＝DE＝＝12，∴BF＝＝＝4．【點(diǎn)睛】本題考查圓的知識(shí)，涉及垂徑定理、同弧所得的圓周角相等，勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．43．如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)E．（1）M是CD的中點(diǎn)，OM＝3，CD＝12，求圓O的半徑長(zhǎng)；（2）點(diǎn)F在CD上，且CE＝EF，求證：．【答案】（1）；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)M是CD的中點(diǎn)，OM與圓O直徑共線可得，平分CD，則有，利用勾股定理可求得半徑的長(zhǎng)；（2）連接AC，延長(zhǎng)AF交BD于G，根據(jù)，，可得，，利用圓周角定理可得，可得，利用直角三角形的兩銳角互余，可證得，即有．【詳解】（1）解：連接OC，∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，OM與圓O直徑共線∴，平分CD，．在中．∴圓O的半徑為（2）證明：連接AC，延長(zhǎng)AF交BD于G．，又在中【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的兩銳角互余，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．44．如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，且，連接，交于點(diǎn)，連接，，．（1）若，求的度數(shù)；（2）用尺規(guī)作圖作出的角平分線交于點(diǎn)（保留作圖痕跡），并求證：．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）連接，求得，再根據(jù)得，求出即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線的作法作出的角平分線，再證明即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）連接∵是圓直徑，∴又∵，∴∵，∴∴∴（2）如圖，∵，∴∵平分，∴∴即∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓有定理，角平分線的作法，等腰三角形的判定，作輔助線AD是解答此題的關(guān)鍵．45．如圖，為的直徑，是上的一點(diǎn)，連接，．是的中點(diǎn)，過作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）的長(zhǎng)度為【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)．由垂徑定理可得點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，由是的中點(diǎn)可得弧弧弧，所以弧弧，由此結(jié)論可證；（2）連接、．根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)等腰三角形的判定可得．在中，根據(jù)勾股定理求得，由此求得；由勾股定理易求，則；設(shè)，根據(jù)勾股定理可得，解方程即可求得的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．∵是直徑，，∴點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，∵是的中點(diǎn)，∴弧弧弧，∴弧弧，∴．（2）連接、．∵弧?。唷啵谥校?，由（1）知，，則，∵，∴OD=5，在中，，∴，設(shè)，在中，∵，∴，解得，即的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理及勾股定理，熟練運(yùn)用相關(guān)定理是解決問題的關(guān)鍵．46．如圖，AB是的直徑，弦于點(diǎn)E，連結(jié)BD，CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AF，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）求證：．（2）若，求的半徑．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）由直徑所對(duì)的圓周角是90°得到，同弧所對(duì)的圓周角相等，繼而根據(jù)同角的余角相等解題即可；（2）利用正切定義解得，設(shè)，解得，由求得的值，據(jù)此解題．【詳解】解：（1）連接是的直徑，；（2）由（1）知，設(shè)．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合題，涉及直徑所對(duì)的圓周角是90°、同弧所對(duì)的圓周角相等、正切等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．47．已知：如圖，是的直徑，，過點(diǎn)D作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形是菱形．（2）連結(jié)，若半徑為5，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接AD，BD，根據(jù)圓周角定理可證明，結(jié)合可證明四邊形AODE是菱形；（2）連接BC，交OD于點(diǎn)F，利用垂徑定理得到且，設(shè)，利用勾股定理求出OF，根據(jù)中位線定理得到AC，再根據(jù)菱形的性質(zhì)求出CE．【詳解】解：（1）連接AD，BD，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形AODE為平行四邊形，∵，∴平行四邊形AODE是菱形．（2）連接BC，交OD于點(diǎn)F，∵，∴且，設(shè)，則，又，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵四邊形AODE是菱形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，菱形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．48．如圖，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2．以AB為邊作正方形ABCD．點(diǎn)M是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，過O作AM的垂線，垂足為N，連接CN．則線段CN的最小值是__．【答案】﹣【分析】先根據(jù)∠ANO＝90°確定CN最小時(shí)點(diǎn)N的位置，根據(jù)勾股定理計(jì)算AO，CQ的長(zhǎng)，可得CN的值．【詳解】解：如圖，點(diǎn)N在以AO的中點(diǎn)Q為圓心，AO為直徑的圓上，連接CQ與圓Q的交點(diǎn)即為點(diǎn)N，此時(shí)線段CN的值最小，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2，∴AO＝＝＝2，∴QN＝AO＝，過Q作QH∥AB，交OB于H，∴QH＝AB＝2，BH＝OB＝1，∴CQ＝＝，∴CN＝CQ﹣QN＝﹣，則線段CN的最小值是﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，圓的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能夠熟練運(yùn)用圓周角定理，確定點(diǎn)N的軌跡在以AO為直徑的圓上．49．如圖，AB，AC是的弦，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連結(jié)BE．（1）求證：（2）過點(diǎn)B作交于點(diǎn)H，若BE的長(zhǎng)等于半徑，，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=∠BEC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、對(duì)頂角相等得到∠BEC=∠BGE，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論；（2）連接OB、OE、AE、CH，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得到CG=BH=4，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BOE=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算，得到答案．【詳解】解：（1）證明：由圓周角定理得，∠BAC=∠BEC，∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠ADC=∠GFC=90°，∴∠CGF=∠BAC，∴∠BEC=∠CGF，∵∠BGE=∠CGF，∴∠BEC=∠BGE，∴BE=BG；（2）連接OB、OE、AE、CH，∵BH⊥AB，CE⊥AB∴BH∥CE，∵四邊形ABHC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ACH=∠ABH=90°，∴BF∥CH，∴四邊形CGBH為平行四邊形，∴CG=BH=4，∵OE=OB=BE，∴△BOE為等邊三角形，∴∠BOE=60°，∴∠BAE=∠BOE=30°，∴DE=AE，設(shè)DE=x，則AE=2x，由勾股定理得，AD==x，∵BE=BG，AB⊥CD，∴DG=DE=x，∴CD=x+4，在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，即（x）2+（x+4）2=272，解得，x1=，x2=（舍去）則DE=DG=，∴CE=CG+GD+DE=．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用圓周角定理是解題的關(guān)鍵．50．如圖，四邊形內(nèi)接于，是上一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，連接．（1）若，，求的度數(shù)；（2）若的半徑為4，且，求的長(zhǎng)．【答案】（1）50°；（2）【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC，再根據(jù)圓周角的性質(zhì)得到∠DCE，即可求出∠E；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得到∠ADC=60°，連接AO，CO，過點(diǎn)O作OM⊥AC交AC于點(diǎn)M，再根據(jù)垂徑定理和直角三角形的性質(zhì)即可求出AC．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°-∠ABC=75°，∵，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC-∠DCE=50°；（2）∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠B=2∠ADC，∴2∠ADC+∠ADC=180°，∴∠ADC=60°，連接AO，CO，過點(diǎn)O作OM⊥AC交AC于點(diǎn)M，∵∠ADC=60°，∴∠AOC=120°，∵OM⊥AC，∴∠AOM=∠COM=∠AOC=60°，∵半徑為4，即AO=OC=4，∴在Rt△AOM中，AM==，∴AC=2AM=．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．51．已知是的直徑，是的弦，連接．（1）如圖1，連接，．若，求及的大小；（2）如圖2，過點(diǎn)C作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．若，，求的大?。敬鸢浮浚?），＝；（2）【分析】（1）首先根據(jù)是的直徑得到，然后求出，在根據(jù)同弦的圓心角是圓周角的2倍即可求解；（2）首先根據(jù)得到，再由可以得到，，，在中進(jìn)行計(jì)算即可達(dá)到答案．【詳解】解：（1）∵是的直徑，∴．∵，∴．∴在中，．（2）∵，∴．即，∵，∴，∴，∵，∴，∴在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于圓心角與圓周角的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角的度數(shù)等等．52．如圖，⊙是的外接圓，且，四邊形是平行四邊形，邊與⊙交于點(diǎn)，連接．0（1）求證：；（2）若，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)．【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析．【分析】(1)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可證，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形可證，利用等角對(duì)等邊可證；(2)利用平行四邊形的性質(zhì)證出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵⊙是的外接圓，邊與⊙交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴=即點(diǎn)是的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，圓周角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確運(yùn)用等腰三角形和圓周角的性質(zhì)進(jìn)行推理證明．53．如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接、．（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）求證：；（3）是否存在點(diǎn)，使得是以為底的等腰三角形，若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，試說明理由．【答案】（1）6；（2）見解析；（3）存在，3【分析】（1）由同弧所對(duì)的圓周角相等可得，從而求得，然后利用等角對(duì)等邊求解；（2）由平行線的性質(zhì)得出∠B=∠FCB，由圓周角定理可得出答案；（3）由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案．【詳解】解：（1）∵，∴∴（2）∵，∴，∵，∴，①又②∵是圓的直徑，，∴③由①②③可得（3）是為底的等腰三角形，則，則∠EFC=∠ECF．連接，并延長(zhǎng)和相交于，∵四邊形CEDF為圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADG=∠ECF，又∵∠CDE=∠CFE，∴∠ADG=∠CDE，∵CD為⊙O的直徑，∴∠DFC=90°，∵FC∥AB，∴∠FGA=90°，∴∠FGA=∠ACD，∵AD=AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG=CD，在Rt△BDG中，設(shè)CD=x，BG2+DG2=BD2，∴42+x2=（8-x）2，解得x=3，即CD=3【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．54．如圖，在中，分別平分和．延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)C，連接．（1）若，求的度數(shù)．（2）求證：．【答案】（1）80°；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD=2∠CAD，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC=∠DAC，∠ABE=∠DBE，求得弧BC=弧CD，得到BC=CD，求得BC=EC=DC，于是得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAD=2∠CAD，∵∠CAD=∠CBD=40°，∴∠BAD=80°；（2）∵AE、BE分別平分∠BAD和∠ABD，∴∠BAC=∠DAC，∠ABE=∠DBE，∴弧BC=弧CD，∴BC=CD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠CBE=∠CBD+∠DBE，∠BEC=∠BAC+∠ABE，∴∠CBE=∠BEC，∴BC=EC，∴BC=EC=DC．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓和外心，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．55．已知：⊙O的兩條弦AB，CD相交于點(diǎn)M，且AB＝CD．（1）如圖1，連接AD．求證：AM＝DM．（2）如圖2，若AB⊥CD，在弧BD上取一點(diǎn)E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于點(diǎn)F，連接AD、DE．①判斷∠E與∠DFE是否相等，并說明理由．②若DE＝7，AM＋MF＝17，求△ADF的面積．【答案】（1）見解析；（2）①相等，見解析；②42【分析】（1）如圖1，利用AB＝CD得到，則，根據(jù)圓周角定理得到∠A＝∠D，然后根據(jù)等腰三角形的判定得到結(jié)論；（2）①連接AC，如圖，由弧BE＝弧BC得到∠CAB＝∠EAB，再根據(jù)等腰三角形的判定方法得到AC＝AF，則∠ACF＝∠AFC，然后圓周角定理、對(duì)頂角和等量代換得到∠DFE＝∠E；②由∠DFE＝∠E得DF＝DE＝7，再利用AM＝DM得到AM＝MF＋7，加上AM＋MF＝17，于是可求出AM，然后根據(jù)三角形面積公式求解．【詳解】（1）證明：如圖1，∵AB＝CD，∴，即，∴，∴∠A＝∠D，∴AM＝DM；（2）①∠E與∠DFE相等．理由如下：連接AC，如圖，∵，∴∠CAB＝∠EAB，∵AB⊥CD，∴AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，∴∠DFE＝∠E；②∵∠DFE＝∠E，∴DF＝DE＝7，∵AM＝DM，∴AM＝MF＋7，∵AM＋MF＝17，∴MF＋7＋MF＝17，解得MF＝5，∴AM＝12，∴7×12＝42.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓周角、弧、弦的關(guān)系．56．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度數(shù)；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）連接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）如圖，過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F．利用面積法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，連接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．又∵AD＝AE，∴．（2）如圖，過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．又∵?AF?BC＝?AC?AB，∴，∴．∵AC＝AD，AF⊥CD，∴．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．57．小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：如圖，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)，線段點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．

小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計(jì)算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究此問題，請(qǐng)將下面的探究過程補(bǔ)充完整：（1）根據(jù)點(diǎn)在弧上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測(cè)量線段的長(zhǎng)度，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值．BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.10FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，．則上中的值是；②線段的長(zhǎng)度無需測(cè)量即可得到．請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；（2）將線段的長(zhǎng)度作為自變量和的長(zhǎng)度都是的函數(shù)，分別記為和，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)的圖象，如圖所示．請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段長(zhǎng)度的近似值．(結(jié)果保留一位小數(shù))．

【答案】（1）①5.0；②見解析；（2）圖象見解析；（3）圖象見解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm【分析】（1）①點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由題意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)運(yùn)用描點(diǎn)法即可畫出函數(shù)圖象；（3）畫出的圖象，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分情況討論，任意兩邊分別相等時(shí)，即任意兩個(gè)函數(shù)圖象相交時(shí)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為BD的近似值．【詳解】解：（1）①點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，由圓的性質(zhì)可得：，∴△ABD≌△ACD，∴CD=BD=5.0，∴；②∵，∴，∵，∴△ACF≌△ABD，∴CF=BD，∴線段CF的長(zhǎng)度無需測(cè)量即可得到；（2）函數(shù)的圖象如圖所示：

（3）由（1）知CF=BD=畫出的圖象，如上圖所示，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，①，BD為與函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即BD=5.0cm；②，BD為與函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即BD=6.3cm；③，BD為與函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即BD=3.5cm；綜上：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段BD長(zhǎng)度的近似值為3.5cm或5.0cm或6.3cm．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)結(jié)合幾何的應(yīng)用，學(xué)會(huì)用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．58．已知：內(nèi)接于，，于點(diǎn)，連接．（1）如圖，求證：；（2）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，若，求證：；（3）如圖，在（2）的條件下，若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．【分析】（1）如圖，連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)可得，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，即可得結(jié)論；（2）如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)圓周角定理可得，利用角的和差關(guān)系可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)圓周角定理可得，利用AAS可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，設(shè)，根據(jù)圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)可得，即可得出，利用SAS可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而可得，可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，即可得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，利用ASA可證明，可得，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得，利用ASA可證明，可得，利用勾股定理列方程求出m的值即可得答案．【詳解】（1）連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵∠BAC和∠BOC分別是所對(duì)的圓周角和圓心角，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∵∠EBC和∠EAC是所對(duì)的圓周角，∴，∵，∴=，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，在△BOK和△OBH中，，∴，∴，∴．（3）延長(zhǎng)CO交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．設(shè)，∴，∴，∵∠OBC=∠OCB=，∴，在△BCM和△ACM中，，∴，∴，，，∴，∴，∵，∴，在中，，∠EGB=90°-∠OBC=90°-，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在△GBD和△MDN中，，∴，∴，在中，，在中，，∴，解得：舍去，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，正確作出輔助線，構(gòu)建全等三角形并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．59．問題提出（1）如圖①，在中，，于點(diǎn)，若，求的最大值；問題探究（2）如圖②，在四邊形中，．連接，求面積的最大值．問題解決（3）如圖③，某市效區(qū)點(diǎn)外有一棵古樹，點(diǎn)外是某市古樹名木保護(hù)研究中心，且，為加強(qiáng)對(duì)該古樹的檢測(cè)和保護(hù)，擬在距古樹處設(shè)置三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，以形成保護(hù)區(qū)域四邊形．則是否存在一個(gè)滿足以上要求的面積最大的四邊形？若存在，求出滿足條件的四邊形的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．（研究中心及各觀測(cè)點(diǎn)的占地面積忽略不計(jì)）【答案】問題提出：（1）AH的最大值為2．問題探究：（2）△BCD的面積的最大值＝×12×（6）＝36+54．問題解決：（3）存在．圖形見詳解，最大面積＝129（km2）．【分析】（1）根據(jù)如圖1中，取BC的中點(diǎn)T，連接A