2024屆山東省德州市高考二模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024屆山東省德州市高考二模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z滿足(l-i)z=3+i,則N在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.若隨機(jī)變量且尸《>4)=02,則P(2<J<3)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

3.若拋物線V=2/(p>0)的焦點(diǎn)到直線1=-2的距離為4,則，的值為()

A.1B.2C.4D.8

2

4.已知夕：1<2"<4,q:x-ax-l<0f若夕是0的充分不必要條件，則()

33

A.“2—B.0<。(一C.6Z>2D.0va<2

22

5.1+展開(kāi)式中犬廠2的系數(shù)為()

A.-840B.-420C.420D.840

6.將函數(shù)，⑴=sin+「的圖象向左平移。(0>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g⑺的圖象,

11

若x=-Y為g(x)圖象的一條對(duì)稱軸，則夕的最小值為()

O

7.在..ABC中，AB=3,AC=2,ZBAC=60,AB=3AF,BE=EC,AE,CF交于點(diǎn)D,則|CD|=

()

A.在B.6C.空D.也

324

8.歐拉函數(shù)0(M("€N*)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)"，且與”互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù),

例如研4)=2,已知〃=石仔叫，/eN*，4是數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，若為<M恒成立”則M

的最小值為()

7

B.1D.2

6

二、多選題

9.已知函數(shù)/（x）=sin尤Jcosx|,則（

A./（尤）是奇函數(shù)/（X）的最小正周期為兀

C.7（元）的最小值為七〃x）在0,"|上單調(diào)遞增

22

10.己知雙曲線r：，-2=l（a>0,6>0）的離心率為e,過(guò)其右焦點(diǎn)b的直線/與:T交于點(diǎn)

ab

A,B,下列結(jié)論正確的是（）

A.若。=6,則6=應(yīng)

B.|AB|的最小值為2a

C.若滿足|AB|=2a的直線/恰有一條，貝隆>0

D.若滿足|相=2°的直線/恰有三條，則l<e<0

11.如圖，在直三棱柱ABC-A4a中，AB=2,ABLBC,P,Q分別為棱BC,AG上的動(dòng)點(diǎn)，

且BP=22C，GQ=X￡A，Xe（O,l），則（）

A

S1L----------------

A.存在2使得尸Q，AB

B.存在幾使得尸?！ㄆ矫鍭88M

c.若長(zhǎng)度為定值，則x=g時(shí)三棱錐8-4尸。體積最大

D.當(dāng)2時(shí)，直線PQ與AR所成角的余弦值的最小值為半

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

三、填空題

12.已知集合4=｛0,1,2,3｝,3=,"一1｝,若人。3=4,則實(shí)數(shù)。的值為.

13.在一ABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,6,c,(a~+b~-c2)=absinC,且c=l,則

ABC面積的最大值為.

JT_

14.當(dāng)xe0,—時(shí)，e"+asinx-xcosx-120,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

四、解答題

15.已知｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16,且%％，%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2%,”為奇數(shù)

⑵設(shè)2=，1"為偶數(shù)，求數(shù)列也，｝的前方項(xiàng)和凡.

“+2'

16.ChatGPT是AI技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，引領(lǐng)了人工智能的新一輪創(chuàng)新浪潮.某數(shù)

學(xué)興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關(guān)系，從某社區(qū)使用過(guò)該

程序的人群中隨機(jī)抽取了200名居民進(jìn)行調(diào)查，并依據(jù)年齡樣本數(shù)據(jù)繪制了如下頻率分布直

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)年齡樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)：

(2)將年齡不超過(guò)(1)中75%分位數(shù)的居民視為青年居民，否則視為非青年居民.

(i)完成下列2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為年齡與是否喜歡該程序有關(guān)聯(lián)?

青年非青年合計(jì)

喜歡20

不喜歡60

合計(jì)200

(ii)按照等比例分層抽樣的方式從樣本中隨機(jī)抽取8名居民.若從選定的這8名居民中隨機(jī)

抽取4名居民做進(jìn)一步調(diào)查，求這4名居民中至少有3人為青年居民的概率.

n(ad-bc)~

參考公式：力2=其中”=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+1)(a+c)(6+d)

參考數(shù)據(jù):

尸年訓(xùn)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

17.如圖，在三棱錐尸一ABC中，AB±BC,PB=PC,N為PC的中點(diǎn)，M為ABC內(nèi)部

一點(diǎn)且/^，平面48C

⑴證明：〃平面PLB；

⑵若AB=2BC=2PB=4,PM=l,求二面角B—MN—P的余弦值.

18.己知函數(shù)〃力=如-111升,%?1,+00).

⑴討論了⑺的單調(diào)性；

⑵若e("f＞爐—天恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

19.已知橢圓「5■+《=1(。＞0)的右焦點(diǎn)為/(1,0),過(guò)點(diǎn)尸且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交:T

于4,8兩點(diǎn)，「在A3兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)Q.

(1)求證：點(diǎn)。在定直線上，并求出該直線方程；

(2)設(shè)點(diǎn)/為直線。。上一點(diǎn)，且ABLA",求|AM|的最小值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.D

【分析】由題意求出z,進(jìn)而解出I，判斷5在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限即可.

3+i（3+i）（l+i）

【詳解】由題意知：z=「=$*4=l+2i,

所以I=l-2i，所以彳在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

故選：D.

2.B

【分析】由正態(tài)分布性質(zhì)可知：P《>3）=0.5,P（3〈畀4）=尸信>3）-尸偌>4）,由正態(tài)

分布曲線的對(duì)稱性可知：P（2<J<3）=P（3<4<4）,即可得到答案.

【詳解】由隨機(jī)變量J~N（3Q2）,根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可知：P（J>3）=0.5,

因?yàn)槭↗>4）=0.2,可得尸（3<JW4）=尸（4>3）—尸（J>4）=0.5-0.2=0.3,

再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知：P（2<J<3）=尸（3<^<4）,

所以尸（2<孑<3）=］（3<§<4）=尸（3<《V4）=0.3,

故選：B.

3.C

【分析】由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)后計(jì)算即可得.

【詳解】拋物線丁=2力（°>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為仁,0）

則有々2=4,解得。=4.

故選：C.

4.A

【分析】首先化簡(jiǎn)命題P,依題意可得當(dāng)0<x<2時(shí)必—改_1<。恒成立，參變分離可得

-工在0<x<2上恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算可得.

x

【詳解】命題P：l<2*<4,即p:0<x<2,

因?yàn)椤Ｊ?的充分不必要條件，

顯然當(dāng)x=0時(shí)滿足q：尤2-辦-1<0,

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

所以當(dāng)0<x<2時(shí)％2一改一1<0恒成立，

貝在0<%<2上恒成立，

x

1Q

又函數(shù)=在(0,2)上單調(diào)遞增，且"2)=；,

所以美3.

故選：A

5.C

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列組合問(wèn)題，使用組合方法求解.

【詳解】現(xiàn)有8個(gè)+相乘，從每個(gè)［+中的三項(xiàng)1/,一；各取一項(xiàng)相乘時(shí)，若

結(jié)果為一尸②的常數(shù)倍，則所取的8項(xiàng)中有4個(gè)1,2個(gè)無(wú)，2個(gè)-

y

所以，總的選取方法數(shù)目就是C；?c〉c；=70x6x1=420.

每個(gè)這樣選取后相乘的結(jié)果都是V衣2(一;J"丫-2,即給系數(shù)的貢獻(xiàn)總是1,所以Yy-2的

系數(shù)就是全部的選取數(shù)420.

故選：C.

6.B

【分析】本題先根據(jù)三角函數(shù)圖像平移的規(guī)則求出g(x)，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸求出。和

整數(shù)％的關(guān)系式，再對(duì)左取值即可求解.

TT7T

【詳解】由題意得：g(x)=sin2(x+—+0)=sin(2x+—+20),

63

又因?yàn)橛?-口■兀是g(x)的一條對(duì)稱軸，

6

所以左71+5=2?，不兀)+3+2/ZeZ,

即0=萬(wàn)+石?兀,k￡Z,下面結(jié)合選項(xiàng)對(duì)整數(shù)左取值(顯然左取負(fù)整數(shù))：

7IQ17

女二-1時(shí)，。二在兀；

,311

%=—2時(shí)，。二為兀；

化=—3時(shí)，(p=-n；

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

左=—4■時(shí)，(p-~—

12

故選：B.

7.C

【分析】根據(jù)題意可由坐標(biāo)法求解，以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.

【詳解】解：由題可建立如圖所示坐標(biāo)系:

由圖可得：A(0,0),S(3,0),C(l,y/3),

又AB=3AF,BE=ECnF(l,0),E(2,

故直線AE的方程：y$x,可得。1,

所以皿=(1一1)?+A/3--=--,

4J4

故選：C.

8.A

【分析】由歐拉函數(shù)的定義可求出勿=三n，由錯(cuò)位相減法求出4,可得3即M2：3,

即可求出知的最小值.

【詳解】因?yàn)?為質(zhì)數(shù)，在不超過(guò)3"的正整數(shù)中，所有能被3整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為3"T,

\1-2/7Inn

所以0(3"|)=32-3"=2x3"eN*),則碓巧

2=2x3"3"'

所以［=4+62+63++%+?，

_123n—1n

，；

1-3+3r+3?+........+

1123n—1n

—T———+——+——+H-----------1--------

3723233343〃3"+i'

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

兩式相減可得:

n

因?yàn)槲?￡＞。，所以，在〃eN*在單調(diào)遞增,

所以(＜加恒成立，所以M2：,

所以M的最小值為

4

故選：A.

9.AC

【分析】對(duì)于A,直接用奇函數(shù)的定義驗(yàn)證；對(duì)于B,直接說(shuō)明兀不是周期；對(duì)于C,利用

正弦二倍角公式證明7(x)2-再由可得最小值；對(duì)于D,直接計(jì)算得到

]曰=〃0)，即可否定結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/(x)定義域?yàn)镽,有=sin(-X)?|cos(一力|=-sinx?|cosx|=-/(%),

所以/(x)是奇函數(shù)，A正確;

2

71

所以+兀Jw/,這表明兀不是"》)的周期，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,我們有/(x)=sinx-|cosx|>-|sinxcosx|=-—|sin2x|>--

而之前已計(jì)算得至U=故的最小值為-g,c正確;

對(duì)于D,由于=cos]=0,/(0)=sin0-|cos0|=0,

故(3=/⑼，所以/(x)在°力上并不是單調(diào)遞增的，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.ACD

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】由雙曲線的性質(zhì)和離心率可得A正確；分情況討論，當(dāng)與一支有交點(diǎn)時(shí)，最短弦

長(zhǎng)為通徑—可得B錯(cuò)誤；若滿足|鉆|=2a的直線,恰有一條可知直線與雙曲線的兩支分別

a

相交，可得2a幺？b2a2,可判斷C正確；若滿足|AB|=2a的直線/恰有三條，則該直

a

線與雙曲線的兩支分別相交，且有兩條直線/與雙曲線的同一支相交，可得

2h2

2a＞—?b2可推導(dǎo)出D正確.

a

【詳解】A：當(dāng)。=＞時(shí)，因?yàn)?=/+〃，所以e=（=E^=0,故A正確；

B：當(dāng)過(guò)其右焦點(diǎn)尸的直線/與「交于左右兩支時(shí)，卻的最小值為2“，（此時(shí)A,8為雙曲線

的兩頂點(diǎn)）

當(dāng)過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線/與：T交于同一支時(shí)，最短弦長(zhǎng)為通徑，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

代入雙曲線方程為二-1=1,解得＞=±幺，此時(shí)弦長(zhǎng)為生，

abaa

由于。不一定等于6,故B錯(cuò)誤；

C：若滿足|AB|=2a的直線/恰有一條,

由選項(xiàng)B可知直線與雙曲線的兩支分別相交，與同一支不相交,

D：若滿足|AB|=2a的直線/恰有三條，則該直線與雙曲線的兩支分別相交，且有兩條直線/

與雙曲線的同一支相交,

又e〉l,所以故D正確;

故選：ACD.

11.BCD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系用-孫z,用向量在空間直線、面位置關(guān)系和空間角、距離上

的應(yīng)用方法一一去計(jì)算求解，并結(jié)合一元二次函數(shù)、基本不等式求最值即可.

【詳解】如圖，由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系片-孫z,設(shè)BC=a,BBi，

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

則由題:4(0,0,0),4(0,2,0),G(a,0,0),A(0,2力),3(0,0,b),

所以AB=(O,_2,b),C]A=(—a,2,0),BC=B1C1=(?,0,0),g3=(0,0,b),

又BP"Be，GQ=4GA，2e(0,l),

所以4P=g3+5P=3]3+；l3C=(/la,0,6),即尸(2a,0,b),

OQ=OCX+CXQ=OCX+XCx\=(a-Aa,2A,0),即Q(a-%a,2Z0),

所以PQ=(a-22a,24,-6),

對(duì)A,由上尸0AJ5=(a—2九z,24,—b),—Q?)2,—4-,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由題意4G=(a,°,°)是平面48瓦4的一個(gè)法向量，

PQ,B[Ci=(a—24”,24,—0,0)=礦一22a2,

故當(dāng)2=g時(shí)尸Q.gG=〃-2Mz2=o,此時(shí)尸Q〃平面A844，故B正確;

對(duì)C,由上4。=(4a,—2,Z?),PQ=(a—24a,24,—0)，45=(0,—2,Z?)

m_LAB

設(shè)平面A5P的一個(gè)法向量為機(jī)=(x,y,z),則＜

mJ_A^P

m-A,B=-2y+bz=0(、

所以，取z=2,則加=(0,42),

m-AxP=Aax-2y+bz=0

__,/、\PQm\2Z?|2-1|2Z?(l-2)

設(shè)點(diǎn)Q到平面\BP的距離為d,則由幾e(0,1)得d=_L_L

又由題意可知sABP=||AB||BP|=普三

2

,12瘋/+42Z?(l-2)ab(A2-A.)

故/APO=—Sd{=-x---------x—.-=-----------I2ab,

\BP32亞+43+一

312

因?yàn)?牛耳G長(zhǎng)度為定值，所以而為定值,

故當(dāng)2時(shí)，三棱錐2-4尸。體積最大，故C正確;

PQ\B

對(duì)D,設(shè)直線PQ與AB所成角為。，由上當(dāng)X=g時(shí)cos9=

P^\B

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

2〃>rJ一一20

b+2產(chǎn)+4/+4+[+4]

===\2r4+53

揚(yáng)+1揚(yáng)+4加+5〃+4歸3+5=

〃+〉5

4—

當(dāng)且僅當(dāng)戶即b=0時(shí)等號(hào)成立，故D對(duì).

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遇立體幾何復(fù)雜問(wèn)題，如求最值，有垂直條件一般考慮建立空間直角坐

標(biāo)系用向量法解決.

12.1或2

【分析】由題意可得5=A,由此可求出。的值，代入檢驗(yàn)即可得出答案.

【詳解】因?yàn)榧先?{0,1,2,3},B={ad-1},若AuB=A,

所以8=所以。=0或1或2或3,或a2T=?；?或2或3,

解得：。=0或1或2或3或-1或月或-方或-2,

當(dāng)a=0時(shí)，3={0,—1},不滿足BqA；

當(dāng)a=l時(shí)，8={1,0},滿足BqA；

當(dāng)a=2時(shí)，8={2,3},滿足B=A；

當(dāng)a=3時(shí)，8={3,8},不滿足B=

當(dāng)a=—l時(shí)，B={-l,0},不滿足3=A；

當(dāng)a=S'時(shí)，B2j-,不滿足BqA；

當(dāng)a=-有時(shí)，B={-V3,2),不滿足3=A；

當(dāng)a=—2時(shí)，■8={-2,3},不滿足BgA；

綜上：實(shí)數(shù)。的值為1或2.

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

故答案為：1或2.

13.正

4

【分析】先由已知條件結(jié)合余弦定理和sin?C+cos2c=l,Ce（O㈤求出sinCcosC,再由余

弦定理結(jié)合基本不等式求出必最大值，即可由正弦定理形式面積公式求出面積最大值.

【詳解】V2(?2+b2-c2)=absinC,

所以由余弦定理2〃Z?cosC=a?+/_02,得26abeosC=absinC，

所以sinC=272cosC,又sin2C+cos2C=l,Ce(O,7i),

貝!JsinC=2?,cosC=—,

33

所以由余弦定理以及基本不等式得：

4ab

l=a2+b2-labcosC=a2+b2------->lab--------

33

BPab<^~,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=走時(shí)等號(hào)成立，

42

所以SABC即ABC面積的最大值為^,

ABC2344

故答案為：叵.

4

14.a>—

2

【分析】由令/（力=y+儂加一宜0訝-1,由40）=0,故有/'（0）20,可得即得

其必要條件，再在的條件下，借助e，2x+l,x>sinx,可得

2

+asiwe-xcosx-1>sinx-xcosx,借助導(dǎo)數(shù)可得2asinx-xcos%2。，即可得〃之;是

其充分條件，即可得解.

［詳角軍］令/(%)=e?+asiwe-xcosx-1,貝1J/'(%)=ae依+acosx-cosx+%sinx,

由/(0)=e0+0—0—l=0,故/'(0)=ae°+a-l+0=2a—120,即azg,

］兀

即“。是“當(dāng)0,—時(shí)，y+asinx-xcosx-lNO”的必要條件，

當(dāng)〃2；時(shí)，

令屋%)=1-%—,貝U/(x)=e"—120,

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

故g(x)在0,TT-上單調(diào)遞增，即g(x"g(O)=O,即e-x+l,

則有產(chǎn)2辦+1,

令/z(x)=x-sinx,xe0,^-,貝|"(x)=l-cos%N0,

故MX)在。弓上單調(diào)遞增，即/z(x)N/z(0)=0,即xNsinx,

貝U有a)c>asmx,

BPWe"+asiwc-xcosx-l>ax-^-l-\-asiwc-xcosx-l>2asinx-xcosx，

令"(x)=2〃sinx—xcosx,x￡0,],

貝!J"(x)=2acosx-cos%+%sinx=(2a—1)cosx+xsinx,

?兀

由,xe0,—,故“(％)=(2a-l)cosx+%sinxN0,

2_2_

即MM在上單調(diào)遞增，則有MX)NM°)=°，

BPe6+asiwc-xcosx-l>2asinx-xcosx>0，

i兀

故，〃之大”是“當(dāng)無(wú)￡0,—時(shí)，e"+asinx-xcosx-l20”的充分條件，

2L2J

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為

故答案為：a~^2'

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一是借助必要性探路法(端點(diǎn)效應(yīng))，得到其必

I7117r

要條件二是借助常見(jiàn)不等式e，2x+l,在xe0,-時(shí)，xNsinx,在xe0,-

的情況下，得至Ue"+asinx—xcosx—1)2〃sin%—xcosx,從而可通過(guò)導(dǎo)數(shù)得到

2asin%—xcos九20.

15.⑴％=2〃-1

⑵T=」J__1

2”152016〃+12

【分析】(1)設(shè)出公差，借助等差數(shù)列性質(zhì)與等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可得；

(2)分奇數(shù)項(xiàng)及偶數(shù)項(xiàng)分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)與裂項(xiàng)相消法計(jì)算即可得.

/、/\伉+%+/+。4=16

【詳解】(1)設(shè)｛%｝的公差為d(dH0),由題意知，一，即

I〃2—

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

4q+6d=16

(q=ax(q+4d)，

f2〃[+3d=8

即有Lc,因?yàn)榭傻胐=2,

[a=2%

所以％=2〃—1；

（2）設(shè)數(shù)列｛〃｝的前2〃項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)之和為A,偶數(shù)項(xiàng)之和為3,

nil2(1-16")

貝1JA=2?+2%+.+2^=21+25+.+24n-3=—-----L

1-16

1-1615

1

B=----1---------H--------------

^^4^^4^^6a2na2n+2

j_Q]、

2dI“2〃2”+2>

Ifl__?_L±__L_

4t34n+3；1216H+12

94〃+l_91

所以7；“=A+8=------+--

2"151216a+12一不20-16/7+12

16.(1)45

（2）（i）列聯(lián)表見(jiàn)解析；有；（ii）巳

【分析】（1）借助頻率分布直方圖及百分位數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得；

（2）（i）完善2x2列聯(lián)表后，計(jì)算卡方即可得；（ii）借助分層抽樣的性質(zhì)可得抽取8人中

居民類(lèi)別，再結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算與概率公式計(jì)算即可得.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，

年齡在40歲以下的居民所占比例為10X（0.01+0.025+0.03）=0.65,

年齡在50歲以下的居民所占比例為0.65+10x0.02=0.85,

所以75%分位數(shù)位于［40,50）內(nèi)，

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

,0.75—0.65

由40+10x--------------=45,

0.85-0.65

所以，樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為45；

(2)(i)由題知，2x2列聯(lián)表為:

青年非青年合計(jì)

喜歡9020110

不喜歡603090

合計(jì)15050200

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得:

234

2_200(90x30-60x20)

2150x50x110x90-6.061>3,841.

所以，有95%的把握認(rèn)為年齡與是否喜歡該程序有關(guān)聯(lián)；

3

(ii)按照分層抽樣，青年居民應(yīng)抽取8x^=6人，非青年居民應(yīng)抽取2人.

4

設(shè)從中隨機(jī)抽取的4名居民中為青年居民的人數(shù)為X,

P(X=3)=皆C3cl4

7

p(X=4)=與3

14

所以P(XN3)=P(X=3)+P(X=4)=q,

所以，這4名居民中至少有3人為青年居民的概率為普.

14

17.(1)證明見(jiàn)解析

(2)運(yùn)

''33

【分析】(1)連接CM,取中點(diǎn)。，連接DM,DN,先證明出平面〃平面由

面面平行證明線面平行即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由面面夾角的向量公式求解即可.

【詳解】(1)連接CM,取2C中點(diǎn)。，連接

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

因?yàn)镹為PC的中點(diǎn)，所以DN//PB,

因?yàn)镻Bu平面R4B,平面上4B,所以DN〃平面B1B.

又因?yàn)槠矫鍭BC,BMu平面ABC,所以尸

所以，在RtPMB中，BM-=PB2-PM2，同理C”=202-尸”，

因?yàn)槭?=PC,所以3M=CM.

因?yàn)镈為8C中點(diǎn)，所以DMLBC,

因?yàn)锳BJ.5C,且DW,A3在同一平面內(nèi)，所以

又因?yàn)锳Bu平面上4B,平面E4B,

所以DM〃平面R4B.

又因?yàn)镈MDN=D,DM,DNu平面DMN,

所以平面DMN//平面PAB.

因?yàn)镸Nu平面DMN,所以MN〃平面B4B.

(2)以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以瓦1,8C以及與BABC垂直向上的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-孫z.

在直角RtPMB中,因?yàn)槭?=2,尸河=1,所以

在Rt中，DM=JBM。-BD?=0，所以M（也,1,°b

又3（0,0,0）,P（"l,l）,C（0,2,0）,N,

（222）

所以（0,1,0）,=（0,0,1）,MN=.

6x1+必=0

nx.BM=0

設(shè)面5MN的一個(gè)法向量“=(百,％,zj,貝!J<,即^11

%-MN=0-T^+2yi+2Z1=0

取玉=血，則%=—2,4=4,所以々=(0,—2,4).

z2=0

n2MP=Q

設(shè)面加V的一個(gè)法向量%=(兄2，%*2),貝卜，即，近11c，

++Z=0

n2?MN=0一_-^22^222

取々=JL則%=2,所以%=(a,2,0).

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

2屈

設(shè)二面角B-ACV-P為6,由圖可知。為銳角，則cos6=

>722x5/633'

18.(1)答案見(jiàn)解析

(2)m>l+—r

e

【分析】(1)先求導(dǎo)函數(shù)/'(X),再對(duì)加進(jìn)行分類(lèi)討論得廣(X)的正負(fù)情況，進(jìn)而得函數(shù)單

調(diào)性.

(2)先由題意得出隱性條件“X)>0得機(jī)的限制范圍,再對(duì)不等式e("Te〃x"d_X兩

邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)整理得左右兩邊為同樣形式的不等式

(〃2-1)龍+1+111(月a-111^)2111%+111(尤-1),進(jìn)而將原問(wèn)題等價(jià)簡(jiǎn)化成研究M-111%2左-1恒成

立即可求解.

【詳解】(1)由題可知-(X)="—Jxe(l,+8),且/'(x)在定義域上單調(diào)遞增，

當(dāng)機(jī)40時(shí)，/'(尤)=〃?-1<0恒成立，此時(shí)/(x)在(1,+e)上單調(diào)遞減，

當(dāng)0<相<1時(shí)，令/'(x)=0,貝=

m

所以尤時(shí)，/'(x)<0,此時(shí)/(x)單調(diào)遞減；

時(shí),(((>0,此時(shí)“X)單調(diào)遞增，

當(dāng)mN1,即0<一W1時(shí)，

m

此時(shí)r⑺>o在a+”)恒成立,/(X)單調(diào)遞增,

綜上，當(dāng)機(jī)40時(shí)，/(%)在(1,+<)上單調(diào)遞減;

當(dāng)0〈根<1時(shí)，/(X)在［1,：)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

當(dāng)〃亞1時(shí)，f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

(2)因?yàn)闊o(wú)e(l,+8),所以或2-x>0,

又e(%%+i.〃x)“2-x,所以〃力>0,即痛—lnx>0,

故龍?1,+力)時(shí)，m>史恒成立，

令夕(x)=也，xe(l,+oo),則('(彳)=1—產(chǎn),

XX

當(dāng)xe(l,e)時(shí)，(p'(x)>0,0(x)為增函數(shù)，

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí)，d(x)<0,°(x)為減函數(shù)，

所以。(無(wú))沖=0(e)=：，從而加>L

將e('"T)Ai〃x)2d—%兩邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)可得

0/一1)龍+l+ln(7nr-lnx)21nx+ln(x-l),

整理可得(mr-lnx)+ln(〃zr-lnx)>(j:-l)+ln(x-l).

令g(r)=t+lnt,IJ10g(wzx-lnx)>g(x-l),且g(。在(0,+e)上單調(diào)遞增,

因?yàn)閙x—lnx>0且無(wú)一l>0,

所以痛-InxNx-l在上恒成立,

匚匚…x+lnx-11lnx-1

所以加2--------=1+------恒成乂，

XX

令％(X)=@F，貝I」〃(無(wú))=馬那，

當(dāng)尤e(1,e?)時(shí)，//(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)無(wú)￡.,+8)時(shí)，”(力<0,,(X)單調(diào)遞減，

所以〃⑴儂=可5)=*，

所以加21+—Z-,

e

111

又因?yàn)椤?lt;1+三，所以根21+下.

eee

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于指、對(duì)、幕函數(shù)同時(shí)出現(xiàn)的復(fù)雜不等式問(wèn)題，如本題

e(，B-1)x+I(/m-lnx)>x2-x,一般考慮用同構(gòu)思想方法將不等式兩邊轉(zhuǎn)化成形式一樣的式子,

答案第14頁(yè)，共16頁(yè)

再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)研究.

19.（1）證明見(jiàn)解析，尤=4

(2)12

【分析】（1）由題得出橢圓方程，設(shè)直線A3方程為y=%（無(wú)一雙左中。）,4（4%）,3（々,%），

寫(xiě)出A,8兩點(diǎn)處的切線方程，由對(duì)稱性得，點(diǎn)。處于與x軸垂直的直線上，法一：兩切線方

程聯(lián)立得力,再代入乂=左（％-1）,%=人（迎-1）即可證明；法二：由點(diǎn)。（尤°，治）在兩切線上得

直線A8的方程壬+gy=l,結(jié)合直線AB過(guò)點(diǎn)尸（1,0）,即可得出%；