2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義-集合間的基本關(guān)系（學(xué)生版）

專題10集合間的基本關(guān)系

【知識點(diǎn)梳理】

知識點(diǎn)1：Venn圖的優(yōu)點(diǎn)及其表示

(1)優(yōu)點(diǎn)：形象直觀.

⑵表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合.

知識點(diǎn)2：子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念

【知識點(diǎn)撥】(1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個元素都是集合2的元素，即有任意尤GA

能推出xGB.

(2)不能把“AU8”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因?yàn)榧螦可能是空集，也可能是集合B.

(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于8,或集合8不包含集

合A.

(4)對于集合A,B,C,若AU8,BQC,則AUC；任何集合都不是它本身的真子集.

(5)若AUB,且A邦，則

知識點(diǎn)3：空集

(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為Q

(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.

知識點(diǎn)4：集合間關(guān)系的性質(zhì)

(1)任何一個集合都是它本身的子集，即AU4.

(2)對于集合A,B,C,

①若AC3,且8UC,則AUC；

②若AU3,BQC,則

(3)若A#B,則

【題型歸納目錄】

題型1：求集合的子集、真子集

題型2：判斷集合的子集、真子集個數(shù)

題型3：集合間關(guān)系的判斷

題型4：由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題

題型5：空集的概念及判斷

題型6：空集的性質(zhì)及應(yīng)用

題型7：集合間基本關(guān)系的綜合問題

【典例例題】

題型1：求集合的子集、真子集

例1.(2023?海南儲州?高一?？计谥?寫出集合{3,5,8}的所有子集和它的真子集.

例2.(2023?河北張家口?高一張家口市第四中學(xué)?？计谥?已知集合4={1-。,/-2a-1},且2ed；

⑴求實(shí)數(shù)。；

(2)寫出A的所有真子集.

1

例3.(2023?山東日照?高一?？茧A段練習(xí))設(shè)4=口|龍2一3尤+2=0},B={x\x-ax+2=G],BeA.

(1)寫出集合A的所有子集；

(2)若B為非空集合，求a的值.

變式1.(2023?河南洛陽?高一洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知集合4={。-3,2/+5”,0},且_3eA.

⑴求實(shí)數(shù)。的取值的集合M;

(2)寫出(1)中集合M的所有子集.

變式2.(2023.山東聊城.高一校考階段練習(xí))設(shè)集合A={xeN|-2<x<2},列出集合A的子集.

題型2：判斷集合的子集、真子集個數(shù)

例4.（2023?廣東佛山?高一佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┘蟵1,3,7}的真子集的個數(shù)是（）

A.8B.7C.3D.5

例5.（2023?全國?高一專題練習(xí)）集合人=［卜-7<0,無eN*},則8={y|；eN*,yeA}的子集的個數(shù)為（）

A.4B.8C.15D.16

例6.（2023?貴州遵義?高一統(tǒng)考期末）已知集合4=同04%<5,且xeN},則集合A的子集的個數(shù)為（）

A.15B.16C.31D.32

變式3.（2023?高一課時練習(xí)）設(shè)集合且尤eB},若4={1,3,5,6,7},B={2,3,5},則集合M的

非空真子集的個數(shù)為（）

A.4B.6C.7D.15

變式4.（2023.安徽蕪湖.高一?？茧A段練習(xí)）符合［A"c,“的集合的個數(shù)為（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

變式5.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知集合M滿足{2,3}=M={1,2,3,4,5},那么這樣的集合加的個數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

變式6.（2023?江西?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合A,B,C,其中A有10個元素，C有15個元素，則滿

足ABC的集合B的個數(shù)為（）

A.32B.31C.30D.5

變式7.（2023.河南洛陽?高一校考階段練習(xí)）滿足條件{1,2,3,4}=M={1,2,3,4,5,6}的集合M的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

題型3：集合間關(guān)系的判斷

例7.（2023?福建泉州?高一?？茧A段練習(xí)）有下列四個命題：①{。}口0；②0?{0}③若aeN,貝

@A={xeR|/-2x+l=0}集合有兩個元素；⑤集合8=eeN1是有限集.；其中正確命題的個數(shù)是

（）

A.1B.2C.3D.4

例8.（2023.高一課時練習(xí)）給出下列關(guān)系式:①00,1,2}；②0a{1,2,3}；@{l}e{l,2,3}；④{0,1,2}={1,2,0},

其中錯誤的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

例9.（2023.高一課時練習(xí)）下列各式：①1={0,1,2},②{l}e{0,l,2},?{0,1,2}c{0,1,2},④0a{0,1,2},

⑤{2,1,0}={0,1,2},其中錯誤的個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

變式8.（2023?高一課時練習(xí)）如果A={%￡R|%>-1},那么（）

A.0oAB.{0}EA

C.0GAD.{0}CA

變式9.（2023?高一課時練習(xí)）已知集合M={（x,y）\x+y<^xy>0}ffP={（x,y）|x<0,y<0},那么（）

A.NMB.MN

C.M=PD.MwP

變式10.（2023?全國?高一專題練習(xí)）設(shè)/=“卜=：,左?2},1V二,九卜二女+（,左￡Z，，則（）

A.MUNB.NVMC.M=ND.McN=0

變式11.（2023.湖北孝感.高一統(tǒng)考開學(xué)考試）下面五個式子中:①〃={〃}；②0q{〃}；③{a}w{a,Z?}；④

{a}c{a}；⑤ae{8c,。},正確的有（）

A.②③④B.②③④⑤C.②④⑤D.①⑤

變式12.（2023?河南鄭州?高一?？茧A段練習(xí)）已知集合4={尤卜:=2n,neN1,5={尤歸=2〃+1,〃￡N},

。={小=4〃+1,〃€陰，若bwB,貝！|（）

A.a+bGAB.a+beBC.a+bGCD.以上都不對

變式13.(2023?高一課時練習(xí))已知集合M=]小=機(jī)+：,m"},WeZ

P=L|x=^+1,pezL則M、N、尸的關(guān)系滿足()

A.M=NPB.MN=PC.MNPD.NPM

題型4：由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題

例10.(2023?高一課時練習(xí))已知集合4={x|x<l},3={x|x<a}.

(1)若A=3,則實(shí)數(shù)a的值是多少？

(2)若A=8,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是多少？

(3)若8呈A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

例11.(2023?高一課時練習(xí))已知4={犬|/一2尤一8=0},8={*|尤2+改+/-12=0}.

(1)若A=8,求a的值；

(2)若8=4,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例12.(2023?安徽蕪湖?高一?？茧A段練習(xí))若集合A={尤|f+x-6=0},B={x\mx+X=Q],且BA,求

實(shí)數(shù)m的值.

變式14.(2023?廣東東莞?高一東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中)設(shè)集合A={x|-lW尤+"6},3={沖〃-1<彳<7〃+1}.

(1)當(dāng)xwZ時，求A的非空真子集的個數(shù)；

(2)若求優(yōu)的取值范圍.

變式15.（2023?上海寶山?高一上海交大附中?？计谥校┮阎螦={1},2=卜卜②+2尤+。=0,xeR},且

A^B,則實(shí)數(shù)。的值是.

變式16.（2023.高一單元測試）已知M={小2-2工-3=。},N=?+依+1=0,aeR},且NM,則a

的取值范圍為.

變式17.（2023?高一課時練習(xí)）已知集合{3,4}屋{-1,3,明，則實(shí)數(shù)m的值是.

變式18.（2023.高一課時練習(xí)）已知集合4={-4,-1,m},B={-1,5},若則加=

變式19.（2023?廣東肇慶?高一?？茧A段練習(xí)）已知集合A={尤卜3<x<4},B=（x\2m-l<xVm+1},若8。A,

則m的取值范圍為.

題型5：空集的概念及判斷

例13.（2023?高一課時練習(xí)）下列集合中為。的是（）

A.{0}B.{0}

C.[X\X2+4=0}D.[x\x+l<2x]

例14.（2023?廣西河池?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合4={0,2},。表示空集，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.0UAB.OeAC.{0}cAD.丘卜卜訓(xùn)

例15.（2023?湖北咸寧?高一?？茧A段練習(xí)）給出下列說法：

①空集沒有子集；

②任何集合至少有兩個子集；

③空集是任何集合的真子集；

④若0qA,則

其中正確的說法有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

變式20.（2023?河南三門峽?高一?？茧A段練習(xí)）對任意集合A,下列各式①0e{0},②A|A=A,③=A,

④NeR,正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

變式21.（2023?天津和平?高一天津市匯文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四個說法中，正確的有（）

①空集沒有子集；

②空集是任何集合的真子集；

③若0qA,則A=0；

④任何集合至少有兩個子集.

A.0個B.1個C.2個D.3個

題型6：空集的性質(zhì)及應(yīng)用

例16.（2023.河北承德.高一河北承德第一中學(xué)?？计谀┯邢铝嘘P(guān)系式：①{a,6}={6,a}；②{a,6}u{6,q}；

③0={0}；?{0}=0；⑤0{0}；⑥0e{0}.其中不正確的是（）

A.①③④B.②④⑤C.②⑤⑥D(zhuǎn).③④

例17.（2023?廣西賀州?高一校考階段練習(xí)）以下四個寫法中：①{0}e{0,1,2）；②0=（1,2}；③{0,

1,2}={2,0,1）；④Oee；正確的個數(shù)有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

例18.（2023?河北保定?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）給出下列關(guān)系:

⑴0屋｛0｝；⑵Oe｛(x,y)卜=五｝；（3）哈卜€(wěn)/?且0叫={1,一1}；（4亦?14.

其中不正確的個數(shù)為（)

A.1B.2C.3D.4

變式22.（2023?北京?高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知六個關(guān)系式①0e{0}；②0?{0}；③

{0}=）0；④0走0；⑤0={0}；⑥0盧{0},它們中關(guān)系表達(dá)正確的個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

變式23.（2023?甘肅慶陽?高一?？茧A段練習(xí)）有下列四個命題：①0={0}；②0u{O}；③{1}U{1,2,3）；

?{l}e{l,2,3};其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

題型7：集合間基本關(guān)系的綜合問題

例19.（2023?高一課時練習(xí)）已知集合&=卜卜=/

⑴判斷8,9,10是否屬于集合A；

⑵集合B={x|x=2左+l#eZ},證明:B是4的真子集.

例20.(2023?浙江?高一階段練習(xí)XD從集合口，2,3,…,10}中，選出由5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中的

任何兩個數(shù)的和不等于11,則這樣的子集共有多少個？

(2)設(shè)集合A={1,2,3,,13},集合B是A的子集，且集合B任意兩數(shù)之差都不等于6或7.問：集合B中最

多有多少個元素？說明理由.

例21.(2023?廣東深圳?高一深圳外國語學(xué)校校考階段練習(xí))給定的正整數(shù)之2),若集合

,

A={o1M滿足％+』++an=ax-a2an,則稱A為集合M的"元"好集，

(1)寫出一個實(shí)數(shù)集R的2元“好集”；

(2)證明：不存在自然數(shù)集N的2元“好集”.

變式24.(2023?上海虹口?高一上海市復(fù)興高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知集合M={meZ|x2+mx-36=0有整

數(shù)解},非空集合A滿足條件：(l)AuM,(2)若aeA,則-aeA,則所有這樣的集合A的個數(shù)為一.

變式25.(2023?陜西安康?高一陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí))規(guī)定：在整數(shù)集Z中，被7除所得余數(shù)為人的

所有整數(shù)組成一個''家族"，記為因，^[k]={7n+k\neZ},左=0,1,2,3,4,5,6,給出如下四個結(jié)

論：

①2021e[5]；

②-3e[3]；

③若整數(shù)b屬于同一“家族”，則"-6注0]；

④若a-6e[0],則整數(shù)a,b屬于同一“家族”.其中，正確結(jié)論為_.(填寫正確的序號)

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?高一課時練習(xí)）下列集合的表示方法中，不同于其他三個的是（）

A.{%|%=2018}B.{2018}

C.{x=2018}D.卜|0—2018）2=0}

2.（2023?高一課時練習(xí)）已知非空集合加={1,2,3,4,5},若aGM,則6-adM,那么集合M的個數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

3.（2023?高一課時練習(xí)）若一個集合含有"個元素，則稱該集合為“〃元集合”.已知集合4=卜21,3,“，則其“2

元子集,，的個數(shù)為（）

A.6B.8C.9D.10

4.（2023?高一課時練習(xí)）已知非空集合M滿足:對任意xeM,總有V仁加,且五￡加.若M={0,1,2,3,4,5},

則滿足條件的M的個數(shù)是（）

A.11B.12C.15D.16

5.（2023?湖南長沙?高一長沙市明德中學(xué)?？计谥校┮阎螹U{2,3,5）,且M中至少有一個奇數(shù)，則這

樣的集合M共有（）

A.5個B.6個

C.7個D.8個

6.（2023?湖南長沙?高一雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列與集合{2023,1}表示同一集合的是（）

A.（2023,1）B.{（x,y）lx=2023,y=l}

C.{x\x2-2024%+2023=0}D.{x=2023,^=1}

7.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一統(tǒng)考期中）非空集合P滿足下列兩個條件:⑴尸{1,2,3,4,5},（2）若元素。€2，

則6—aeP,則集合尸個數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

8.（2023?四川眉山?高一校考期末）若集合4=卜彳=：（2左+1）,左"|,8=卜|A白±：,建2:,則集合4,

8之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（）

A.AcBB.BeAC.A=BD.A與B互不包含

二、多選題

9.（2023?四川瀘州?高一統(tǒng)考期末）給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論有（）

A.0={0}

B.若aeZ,貝!J-aeZ

c.集合{y|y=2尤,xeQ}是無限集

D.集合{x|-l<x<2”N}的子集共有4個

10.（2023?高一課時練習(xí)）（多選）下列說法正確的是（）

A.空集沒有子集

B.{1,2}a{x|爐-3x+2=0}

C.{y|y=尤,xeR}={y|y=;r2,尤eR}

D.非空集合都有真子集

11.（2023?海南信州?高一校考期末）下列關(guān)系中表述正確的是（）

A.0e{尤2=0}B.0c{1,2,3}C.Oe0D.OeN

12.（2023?浙江杭州?高一校聯(lián)考期中）若集合M={X|*+6X-16=0},N={x|ax-3=0},且N=則實(shí)

數(shù)。的值為（）

331

A.—B.0C.—D.-

822

三、填空題

13.（2023?高一課時練習(xí)）對于一個集合S,若aGS時，有工GS,則稱這樣的數(shù)集為“可倒數(shù)集”，試寫出一