二次函數(shù)與幾何的綜合（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)

培優(yōu)沖刺02二次函數(shù)與幾何的綜合

籍優(yōu)題型大集合

1、二次函數(shù)與特殊四變形的綜合

2、二次函數(shù)與最值的綜合

3、二次函數(shù)與相似的綜合

4、二次函數(shù)與新定義的綜合

*

°憂題型大提*

題型一：二次函數(shù)與特殊四邊形的綜合

此類(lèi)問(wèn)題都是在拋物線的基礎(chǔ)之上與平行四邊形、特殊平行四邊形結(jié)合，考察特殊平行四邊形的性質(zhì)

或者存在性問(wèn)題；做題時(shí)需要將二者的性質(zhì)結(jié)合思考，共同應(yīng)用。

【中考真題練】

1.（2023?揚(yáng)州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上.

（1）如果四個(gè)點(diǎn)（0,0）、（0,2）、（1,1）、（-1,1）中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)y=o?（a為常

數(shù)，且aWO）的圖象上.

①片1;

②如圖1,已知菱形ABCQ的頂點(diǎn)8、C、。在該二次函數(shù)的圖象上，且ADLy軸，求菱形的邊長(zhǎng)；

③如圖2,已知正方形ABCD的頂點(diǎn)8、。在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)、B、。在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)

。的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)2、。的橫坐標(biāo)分別為相、m試探究a-機(jī)是否為定值.如果是，求出這個(gè)值；如果不

是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）已知正方形A8C。的頂點(diǎn)8、。在二次函數(shù)y=a/Q為常數(shù)，且a>0）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)D

的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)8、。的橫坐標(biāo)分別為機(jī)、n,直接寫(xiě)出機(jī)、〃滿足的等量關(guān)系式.

【分析】（1）①在y=a/中，令尤=0得y=0,即知（0,2）不在二次函數(shù)丫二辦2（a為常數(shù)，且aWO）

的圖象上，用待定系數(shù)法可得。=1；

②設(shè)交y軸于E,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為23可得B（-3P）,故D（2/,

f）,代入y=/得及+我『“，可解得/=近，故菱形的邊長(zhǎng)為2返；

33

③過(guò)2作BP_Ly軸于R過(guò)。作DE_Ly軸于E,由點(diǎn)2、。的橫坐標(biāo)分別為相、n,可得BF=m,0F=

22

m,DE=n,0￡=n,證明△ABP0△ZME（44S）,WBF=AE,AF=DE,故相-A尸-初2,AF=

n,即可得〃-/n=l；

（2）過(guò)B作BFLy軸于F,過(guò)。作OE_Ly軸于E,由點(diǎn)8、。的橫坐標(biāo)分別為m、n,知BGn,a晶）,

D（n,an2},分三種情況：①當(dāng)8,￡＞在y軸左側(cè)時(shí)，由△ABF四△D4E（A4S）,-m=am1-AF

-an2,AF=-n,故〃-〃2=工；②當(dāng)8在y軸左側(cè)，D在y軸右側(cè)時(shí)，由△ABF四△D4E（AAS）,有

a

-m=am1+AF-an2,AF=n,知m+幾=0或=工；③當(dāng)5,。在y軸右側(cè)時(shí)，m=an2-AF-am2,

a

AF=n,可得〃-相=工.

a

【解答】解：（1）①在＞=蘇中，令x=0得尸0,

（0,0）在二次函數(shù)（〃為常數(shù)，且qWO）的圖象上，（0,2）不在二次函數(shù)＞=〃/（〃為常

數(shù)，且〃W0）的圖象上，

???四個(gè)點(diǎn)（0,0）、（0,2）、（1,1）、（-1,1）中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)y=o?（〃為常數(shù)，且。

W0）的圖象上，

???二次函數(shù)y=aW（〃為常數(shù)，且aWO）的圖象上的三個(gè)點(diǎn)是（0,0）,（1,1）,（-1,1）,

把（1,1）代入》=〃冗2得：a—\,

故答案為：1；

②設(shè)5C交y軸于￡,如圖：

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為力，則A3=5C=CO=AD=23

VB,C關(guān)于y軸對(duì)稱，

BE=CE=t,

：.B(-r,z2),

：?OE=?,

：AE=VAB2-BE2=Mt，

OA=OE+AE=^+^3^

D（2］及f

把Z）（2r,代入y=W得：

於+近/=4落

解得或t=o（舍去），

3

；.菱形的邊長(zhǎng)為漢無(wú)；

3

③九-加是為定值，理由如下：

過(guò)5作3口Ly軸于R過(guò)。作OE_Ly軸于E,如圖:

?點(diǎn)5、。的橫坐標(biāo)分別為相、n,

?\B(m,m2)，D(n,H2),

/.BF=m,OF=m2,DE—n,OE=n2,

??,四邊形ABC。是正方形，

ZDAB=90°,AD=AB,

：.N胡3=90°-NEAD=NEDA,

VZAFB=ZDEA=90°,

AABF^ADAE(A4S),

:,BF=AE,AF=DE,

m=n-AF-m,AF=",

???m=n2-n-m2,

m+n=(n-m)(n+m),

:點(diǎn)2、。在y軸的同側(cè)，

n-m—1；

(2)過(guò)5作BfLLy軸于R過(guò)。作OELLy軸于E,

二,點(diǎn)8、0的橫坐標(biāo)分別為相、幾,

'?B(m,am2)，D(n,an2)，

①當(dāng)8,。在y軸左側(cè)時(shí)，如圖：

同理可得AAB/絲△口!￡(A4S),

?

；BF=AE,AF=DEf

==

-mam-AF-anfAF-

；?-m=am+n-an，

m+n=a(n-m)(n+m)，

:m+n^O,

?1

?.幾-m=—；

a

②當(dāng)3在y軸左側(cè)，。在y軸右側(cè)時(shí)，如圖:

22

:.BF=-m,OF=amfDE=n,OE=anf

同理可得AAB/四△ZME(A4S),

:?BF=AE,AF=DE,

-m=am+AF-an,AF=n,

-m=am-an,

/.m+n—a(n+m)(n-m),

m+n=0或〃-m=—；

a

③當(dāng)3,。在y軸右側(cè)時(shí)，如圖：

:?BF=m,OF=an^,DE=n,OE=an2,

同理可得△A3尸絲△D4E(A4S),

:?BF=AE,AF=DE,

..m=an-AF-am,AF=n,

..?m—an9-n-am2,

m+n=a(n+m)(n-m)，

Vm+n7^0

:?n-m——\

a

綜上所述，m、n滿足的等量關(guān)系式為m+n=O或"-

a

2.(2023?棗莊)如圖，拋物線y=-7+fcc+c經(jīng)過(guò)A(-1,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)8,

點(diǎn)”是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)。.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)X是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH,DH,求MH+OH的最小值；

(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得以。，M,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式；

(2)利用待定系數(shù)法可得直線AM的解析式為y=2x+2,進(jìn)而可得。(0,2),作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱

點(diǎn)。'(0,-2),連接》M,D'H,MH+DH=MH+D'H^D'M,即MH+OH的最小值為O'M,

利用兩點(diǎn)間距離公式即可求得答案；

(3)分三種情況：當(dāng)DM、PQ為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)。尸、為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)。。、為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)

平行四邊形的對(duì)角線互相平分即對(duì)角線的中點(diǎn)重合，分別列方程組求解即可.

【解答】解：(1).拋物線>=-7+6x+c經(jīng)過(guò)A(-1,0),C(0,3)兩點(diǎn),

?r-l-b+c=0

,Ic=3

解得：(已

Ic=3

該拋物線的表達(dá)式為y=-/+2x+3；

(2)>.>=-f+2x+3=-(x-1)2+4,

，頂點(diǎn)M(1,4),

設(shè)直線AM的解析式為y=fcc+d,貝Jk+d=4,

I-k+d=0

解得：。=2,

Id=2

直線AM的解析式為y=2x+2,

當(dāng)尤=0時(shí)，y=2,

：.D(0,2),

作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。'(0,-2),連接。'M,D'H,如圖，

則。//=￡>'H,

：.MH+DH=MH+D'H^D'M,即Affl+DH的最小值為ITM,

,:DM=q(1-0產(chǎn)+(4+2)2=V§7,

C.MH+DH的最小值為

(3)對(duì)稱軸上存在點(diǎn)。使得以D,M,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

由(2)得：D(0,2),M(1,4),

???點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

???設(shè)PCm,-徵2+2加+3),

拋物線y=-/+2x+3的對(duì)稱軸為直線x=1,

???設(shè)Q(1,〃)，

當(dāng)。M、尸。為對(duì)角線時(shí)，DM、尸。的中點(diǎn)重合，

.’O+l=m+l

2+4=_m^+2m+3+n

解得："0,

ln=3

：.Q(1,3)；

當(dāng)DP、MQ為對(duì)角線時(shí)，DP、MQ的中點(diǎn)重合，

.’Otm=l+1

.2~m^+2m+3=4+n

解得：［m=2,

ln=l

：.Q(1,1)；

當(dāng)?！恪M為對(duì)角線時(shí)，DQ、PM的中點(diǎn)重合，

fO+l=ltm

；?L2c,

=_

k2+n4m+2m+3

解得：(m=0,

ln=5

：.Q(1,5)；

綜上所述，對(duì)稱軸上存在點(diǎn)。，使得以D,M,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,

3)或(1,1)或(1,5).

3.(2023?濟(jì)寧)如圖，直線y=-x+4交x軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為乂色■的拋物線經(jīng)過(guò)3，C

2

兩點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為山，過(guò)點(diǎn)P作無(wú)軸的平行線交拋物

線于另一點(diǎn)M，作無(wú)軸的垂線PN,垂足為N,直線MN交y軸于點(diǎn)D

(1)求拋物線的解析式；

(2)若當(dāng)根為何值時(shí)，四邊形CDNP是平行四邊形？

(3)若1n〈微，設(shè)直線"N交直線8C于點(diǎn)E,是否存在這樣的機(jī)值，使MN=2ME?若存在，求出此

時(shí)機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過(guò)求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；

(3)根據(jù)MN=2ME,分E在MN內(nèi)部與外部?jī)煞N情況討論，從而利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征計(jì)算求

解.

【解答】解：(1)在直線y=-x+4中，當(dāng)x=0時(shí)，y=4,當(dāng)y=0時(shí)，尤=4,

.?.點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)C(0,4),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+k，

把點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)C(0,4)代入可得：

a(4得)沁=0

a(?；?2+k=4

拋物線的解析式為＞=_底旦)2二2=-7+3尤+4；

'X2)4

(2)由題意，P(m,-m^+3m+4),

:.PN=-蘇+3m+4,

當(dāng)四邊形CDN尸是平行四邊形時(shí)，PN=CD,

：.OD=-m2+3m+4-4=-m2+3m,

:.D(0,m2-3m)N(m,0),

設(shè)直線MN的解析式為y=kiX+m2_3ir，

2,

把N(m,0)代入可得k1m+m-3m=0

解得：無(wú)1=3-m,

???直線MN的解析式為y=(3-m)x+m2-3m,

又???過(guò)點(diǎn)P作X軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)且拋物線對(duì)稱軸為X空

2

/.M(3-m,-m2+3m+4),

(3-m)2+m2-3m=-m2+3m+4,

解得向=且竺叵(不合題意，舍去)，.2=6-伍；

33

/.當(dāng)m為6一同時(shí),四邊形CDNP是平行四邊形；

3

(3)存在,理由如下：

:對(duì)稱軸為％=旦，

2

設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(如-m2+3m+4),

點(diǎn)橫坐標(biāo)為：3x2-m=3-w,

2

:.NQm,0)，M(3-m,-m2+3m+4)，

圖1

,;MN=2ME,即E是MN的中點(diǎn)，點(diǎn)￡■在對(duì)稱軸尤=芭上，

2

?￡(-_3__m^+3m+4)

,?T2~

又點(diǎn)E在直線BC：y=-x+4,代入得：

9

~m+3m+4___3_+4

~2~2，

解得：m=3M或§正(舍去)，

22

故此時(shí)m的值為之近_.

2

②如圖2,設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(%-"+4),N(m,0),M(3-m,-m2+3m+4),

.*.0-(-m2+3m+4)=2(-m2+3m+4+n-4)①,

.*.3-m-m=2(n-3+m)②,

聯(lián)立①②并解得：m=5+7181(舍去)或5一百五,

66

綜上所述，m的值為立近■或5-JI近.

26

【中考模擬練】

1.(2024?新沂市模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/+6x-3的圖象交無(wú)軸于A(-1,0)、

B(3,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)尸在線段08上，過(guò)點(diǎn)尸作龍軸，交拋物線于點(diǎn)。，交直線BC

于點(diǎn)E.

(1)a=1,b=-2；

(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若△口)￡是直角三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在y軸上是否存在點(diǎn)后使得以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解;

(2)當(dāng)NECD=90°,

由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,-4),則直線C￡)_LBC,即可求解；當(dāng)NCDE=90°

時(shí)，則點(diǎn)C、。關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，即可求解；

(3)由CE=Z)E,得到x=3-&,則CE=&x=3我-2=CH即可求解.

【解答】解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x-xi)(x-X2),

則y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax1+bx-3,

則a=l,

故拋物線的表達(dá)式為：y=7-2x-3,

即a=l,b=-2,

故答案為：1,-2；

(2)由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C(0,-3),

點(diǎn)、B、C的坐標(biāo)的得，直線BC的表達(dá)式知：y=x-3,

當(dāng)/EC￡>=90°,

由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,-4),

則直線CD的表達(dá)式為：y=-x-3,

則直線CDLBC,

即當(dāng)點(diǎn)D和拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，△CDE是直角三角形，

即點(diǎn)P(1,0)；

當(dāng)/CDE=90°時(shí)，

則點(diǎn)C、。關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

則點(diǎn)P(2,0)；

綜上，P(1,0)或(2,0)；

(3)存在，理由：

設(shè)點(diǎn)P(x,0),則點(diǎn)E(x,x-3)，點(diǎn)。(尤，/-2x-3),

則DE=x-3-X2+2X+3=-/+3x,

①當(dāng)CE=ED=CF,

貝ijCE=DE,

即-f+3x=

解得：尤=3-A/2>

則CE=&x=3&-2=CF,

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：(0,3&-5)(舍去)或(0,-372-1).

②當(dāng)FE=ED=CD=CF,

此時(shí)NCED=/BCO=45,NFEC=NCED=45(菱形的對(duì)角線平分菱形的角)，

：.ZFED=90,

因此這個(gè)菱形正好是特殊的正方形.

.?.當(dāng)CD〃尤軸(ZCD￡=90)時(shí)，即可滿足.

此時(shí)E(2,-1),

'：FE//CD,

：.F(0,-1),

綜上，點(diǎn)b的坐標(biāo)為：(0,-1)或(0,-372-1).

題型二：二次函數(shù)與最值的綜合

1、”二次函數(shù)本身可以轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式求最值；

2、拋物線上不規(guī)則三角形求面積最大值，常用“水平寬X鉛垂高+2”來(lái)計(jì)算

【中考真題練】

1.(2023?荊州)已知：y關(guān)于尤的函數(shù)y=(a-2)/+(a+1)x+b.

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且a=4b,則a的值是0或2或-」；

(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與無(wú)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),并與動(dòng)直線/：尤

=m(0＜機(jī)＜4)交于點(diǎn)P,連接鞏，PB,PC,BC,其中陰交y軸于點(diǎn)。，交于點(diǎn)E.該叢PBE

的面積為Si,的面積為S2.

①當(dāng)點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求APBC的面積；

②探究直線/在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，Si-S2是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

【分析】(1)y關(guān)于x的函數(shù)應(yīng)分一次函數(shù)與二次函數(shù)兩種情況，其中二次函數(shù)應(yīng)分為①與x軸有兩個(gè)

交點(diǎn)且一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)；②與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)兩種情況討論；

(2)①如圖，設(shè)直線/與BC交于點(diǎn)R待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為y=-f+2x+8,當(dāng)x=0時(shí),

y=8,得到C(0,8),P(1,9),求得直線3c的解析式為y=-2x+8,得至l］尸(1,6),根據(jù)三角

形的面積公式即可得到結(jié)論；

②如圖，設(shè)直線尤=機(jī)交x軸于H,由①得，。2=4,AO=2,AB=6,OC—8,AH—?.+m,P^m,-m2+2m+8),

得至I]P”=-川+2根+8,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到。。=8-2也根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)①當(dāng)a-2=0時(shí)，即a=2時(shí)，

y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=3x+_l,

2

此時(shí)＞=3尤+上與無(wú)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-工，0),

26

與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,A)；

2

②當(dāng)a-2#0時(shí)，y關(guān)于尤的函數(shù)為二次函數(shù)，

???二次函數(shù)圖象拋物線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

拋物線可能存在與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)或與x軸有一個(gè)交點(diǎn)與y軸一個(gè)交點(diǎn)兩

種情況.

當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，

由題意得b=0,此時(shí)a=O,拋物線為y=-2/+x.

當(dāng)y=0時(shí)，-2/+尤=0,

解得Xl=0,X2=—.

2

其圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)(1,0).

2

當(dāng)拋物線與X軸有一個(gè)交點(diǎn)與y軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

由題意得，y=(a-2)/+(a+1)x+6所對(duì)應(yīng)的一元二次方程(a-2)/+(a+1)x+b=0有兩個(gè)相等實(shí)

數(shù)根.

；.△=(6f+l)2-4(a-2)xL=0,

4

解得a=-―,

4

止匕時(shí)y=--X2+AX-

4416

當(dāng)尤=0時(shí)，y=-2_,

16

...與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,,

16

當(dāng)y=0時(shí)，-—x2+-5..r-_1_=0,

4416

解得尤1=X2=—,

6

...與尤軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0),

6

綜上所述，若y關(guān)于x的函數(shù)y=Q-2)/+(a+l)x+匕的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則?？扇〉闹禐?/p>

2,o,-A,

4

故答案為：2或?；?工；

4

(2)①如圖，設(shè)直線/與BC交于點(diǎn)R

根據(jù)題意得［2a+b=10,

I20a+b=28

解得卜=1，

lb=8

二拋物線的解析式為y=-f+2x+8,

當(dāng)x=0時(shí)，y=8,

：.C(0,8),

??？=-/+2x+8=-(x-1)2+9,點(diǎn)尸為拋物線頂點(diǎn)，

：.P(1,9),

,：B(4,0),C(0,8),

?,?直線BC的解析式為y=-2x+8,

：.F(1,6),

；?PF=9-6=3,

.?.△尸8(7的面積=/08//=/乂4乂3=6；

②Si-S2存在最大值，

理由：如圖，設(shè)直線無(wú)=相交x軸于H,

由①得，。8=4，AO=2,AB=6,OC=8,AH=2+m,P(m,-7M2+2/n+8)，

：.PH=-m2+2/?7+8,

'：OD//PH,

：./\AOD^/\AHP,

??---A--O-~--0--D-，

AHPH

.20D

??------=，

2+m-m2+2m+8

=8-2m,

VSi-S2=SAPAB-S^AOD-SZKOBL6Lm+2m+E!)_4/<g=-3m2+8m=-3(m-A)2+

2223

—16，

3

-3<0,0<m<4,

.?.當(dāng)"2=4■時(shí)，S1-S2存在最大值，最大值為也.

33

2.(2023?重慶)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>="2+陵+2過(guò)點(diǎn)(1,3)，且交x軸于點(diǎn)A(-1,

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸。J_8C于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線交直

線BC于點(diǎn)E,求△POE周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)中△尸QE周長(zhǎng)取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線C8方向平移&個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M

為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn).在平面內(nèi)確定一點(diǎn)M使得以點(diǎn)A,P,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱

形，寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程.

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)由周長(zhǎng)的最大值=PE(1+sinZPED+cosZPED),即可求解；

(3)當(dāng)AP是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AM=AN,列出方程組即可求解；當(dāng)AM或AN是對(duì)角線時(shí)，

同理可解.

【解答】解：⑴由題意得：(a+b+2=3,

I0=a-b+2

f1

a二r

則拋物線的表達(dá)式為：y=-1?+1%+2；

22

(2)令尸-AX2+AA+2=0,

22

解得：x=4或-1,即點(diǎn)3(4,0),

,?PE//y軸，則ZPED=ZOCB,

則tan/PED=tanN0C2=2,貝l|sin/PE￡>=2cosZPED=—L_

V5V5

由點(diǎn)2、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y=-l.r+2,

2

貝I]PE=-AX2+2X+2+AX-2=-A(x-2)2+2W2,

2222

即PE的最大值為2,此時(shí)，點(diǎn)尸(2,3),

L)PE=10+6述,

則△「￡>￡周長(zhǎng)的最大值=PE(1+sinZPED+cosZPED)=(1+

行5

即APDE周長(zhǎng)的最大值為l0+6遍,點(diǎn)尸(2,3)；

5

(3)拋物線沿射線C8方向平移泥個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于向右平移2個(gè)單位向下平移1個(gè)單位,

則平移后拋物線的對(duì)稱軸為x=工,

2

設(shè)點(diǎn)M(Z.,m),點(diǎn)N(s,/),

2

由點(diǎn)A、P的坐標(biāo)得，A戶=18,

當(dāng)AP是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AM=AN得:

.3

m-3

-l+2=s

+=—9

3=m+t,解得：,2'

(■^?+1)2+m2=(s+l)2+t25

S~~T

即點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(-5,9)；

22

當(dāng)AM或AN是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AN=AP或AM^AP得:

77

y-l=s+2s-l=y+2

m=t+3或，t=m+3

(s+l)2+t2=18(y+1)2+m2=18

,3V7

解得：t=±-萬(wàn)一(不合題意的值已舍去)，

金平

即點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(工，+3巨)；

2-2

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(工-3V1)或(上，至巨)或(-5,旦).

222222

【中考模擬練】

1.(2024?東平縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C、。在y軸上，且。8=0C

=3,OA=OD=1,拋物線＞=/+加;+0(a/0)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，直線AD與拋物線交于另一點(diǎn)Af.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)N,使得△⑷VC的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)E是直線AM上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上直線AM下方一動(dòng)點(diǎn)，“〃y軸，當(dāng)線段PE的長(zhǎng)度最

大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△可1〃面積的最大值.

【分析】(1)由OB,OC,OA,。。的長(zhǎng)度可得出點(diǎn)A,B,C,。的坐標(biāo)，由點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)，利

用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；

(2)利用配方法可求出拋物線的對(duì)稱軸，連接BC,交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M此時(shí)AN+CN和最小，即

△⑷VC的周長(zhǎng)最小，由點(diǎn)2,C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，再利用一次函數(shù)圖

象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)由點(diǎn)A,。的坐標(biāo)可得出直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式成方程組，通過(guò)解方

程組可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)尸尸作尸軸，交直線AQ于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(m,m2+2m-3)

(,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,-m+l),進(jìn)而可得出PE的長(zhǎng)，由三角形的面積結(jié)合S“PM=S

△APE+SAMPE可得出SAAPM關(guān)于/找的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題.

【解答】解：(1)點(diǎn)4、8在x軸上，點(diǎn)C、。在y軸上，且O8=OC=3,OA=OD=1,拋物線y=a?+6x+c

(a#0)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),直線A。與拋物線交于另一點(diǎn)M.

?,?點(diǎn)3的坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-3),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,

1),

將A(1,0),B(-3,0),C(0,-3)代入丁=蘇+法+。得：

'a+b+c=0

<9a_3b+c=0?

c=-3

'a=l

解得：?b=2，

c=-3

這條拋物線的解析式為y=/+2x-3；

(2)在拋物線對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)N,使得AANC的周長(zhǎng)最小；理由如下：

'.,>=尤2+2%-3=(x+1)2-4,

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,

連接8C,交拋物線對(duì)稱軸點(diǎn)N,如圖1所示，

圖1

,/點(diǎn)A,B關(guān)于直線尤=-1對(duì)稱,

：.AN=BN,

：.AN+CN=BN+CN,

當(dāng)點(diǎn)B,C,N三點(diǎn)共線時(shí)，2N+CN取得最小值,即△⑷VC的周長(zhǎng)最小,

設(shè)直線BC的解析式為>=依+4(AW0),

將2(-3,0),C(0,-3)代入y=fcc+d得：

f_3k+d=0

1d=-3'

解得：

ld=-3

直線BC的解析式為y=-x-3,

當(dāng)尤=-1時(shí)，y=-(-1)-3=-2,

在這條拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)N(-1,-2)時(shí)△ANC的周長(zhǎng)最小;

(3)點(diǎn)E是直線AM上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上直線AM下方一動(dòng)點(diǎn)，

VA（1,0）,D（0,1）,

直線A。的解析式為y=-x+1,聯(lián)立直線AD和拋物線的解析式成方程組，得:

y=-x+l

y=x2+2x-3

Xj=-4X2=l

解得：.

了1=5起=0

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4,5）,

過(guò)點(diǎn)尸作軸，交直線AD于點(diǎn)E,如圖2所示,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Gn,i?r+2m-3)(-4<m<l),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,-m+1),

PE=-m+1-(m2+2m-3)=-m2-3m+4,

/.SMPM=SMPE+S/^MPE,

X(1-m)(-m2-3m+4)VX[m-(-4)1(-m2-3m+4A

.?.當(dāng)m=/■時(shí)，△AMP的面積取最大值，最大值為及，

28

.?.當(dāng)面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（且，」互），面積最大值為3.

、24/8

題型三：二次函數(shù)與相似的綜合

【中考真題練】

1.（2023?樂(lè)至縣）如圖，直線y4x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-^x2+bx+c經(jīng)過(guò)人、

3兩點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。是拋物線在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作無(wú)軸的平行線與直線AB交于點(diǎn)C,求。C的長(zhǎng)的最大

值；

(3)點(diǎn)。是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PQ交y軸于點(diǎn)M是否存在

點(diǎn)P,使△AB。與△BQN相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

【分析】(1)首先求得A、3點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

(2)設(shè)DCm,--m2-—m+3),貝!JC(-/-3m,--m2-—?/+3),進(jìn)而表不出CD的長(zhǎng)；接下

4444

來(lái)用含相的二次函數(shù)表示S,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答；

(3)分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分別求解即可.

【解答】解：(1):直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

4

A(-4,0),B(0,3),

拋物線y=-^-x2+bx+c經(jīng)過(guò)AyB兩點(diǎn).

4

.f-12-4b+c=0

"lc=3

解得「4，

c=3

y=--x2-—x+3；

44

(2)設(shè)D(m,--m2--/T?+3),

44

：￡>C〃作x軸，與直線AB交于點(diǎn)C,

Wx+3=--m2-—m+3,解得x—-m2-3m,

444

C(-m2-3m,--nr--m+3),

44

27

DC--m-3m-m=-m-4m(m+2)2+4,

當(dāng)初=-2時(shí)，DC的長(zhǎng)的最大值為4；

(3)設(shè)N(0,"),

VA(-4,0),B(0,3),

AB=J§2+42=5，

分兩種情況：

①當(dāng)△ABQs^BQN時(shí)，

OQ=—n=—,

34

設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+a,

9,■：

Nk+a=Ok=y

?Ycr，解得1cr，

27,27

la^[F

直線PQ的解析式為y=3x+2L,

416

聯(lián)立y=-lx1-9X+3解得尤=返二芻或士叵（不合題意，舍去）

4422

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（"23——,23+，）；

216

②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作QHJ_A3于H,

?:△ABQS/\QBN,

:./ABQ=/QBN,NBAQ=/BQN,

：.QH=QO,

,:BQ=BQ,

：.RtABHQ^RtABOQ,

BH=0B=3,

：.AH=AB-BH=2,

設(shè)OQ=q,則AQ=4-q,QH=q,

A21+q2=(4-q)2,解得q=3,

2

：.Q(一旦，0),

2

,?ZBQO=ZBQN+ZOQN=ZBAQ-^-ZABQ,ZBAQ=ZBQN,/ABQ=NQBN,

:?/OQN=/QBN,

?：/QON=/BOQ=90°,

???△OQNS/\O3。，

???-ON~—0Q,

0QOB

3

.n_Jl

,*2-3,

~2

4

：.Q(-3,0),N(0,3),

24

同理得直線PQ的解析式為y^lx+1,

24

聯(lián)立y=-lx1-lx+3解得x=Tl+&藥或-lb遮魚(yú)(不合題意，舍去)

4466

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(二]]+7229一,722g—；

612

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(立乙心，6怎+3)或(-11+7^,^229-2).

216612

2.(2023?朝陽(yáng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-1？+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A(-2,0),B

2

(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接8c.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線n彳軸于點(diǎn)M(旭，0),交BC

于點(diǎn)N,連接CM,PB,PC.△PCB的面積記為Si,△BCM的面積記為S2,當(dāng)Si=%時(shí)，求”的值;

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)Q在拋物線上，直線MQ與直線BC交于點(diǎn)"，當(dāng)△8/則與△BCM相似時(shí)，

請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

備用圖

【分析】(1)把A(-2,0),B(4,0)代入y=--^x2+bx+c可解得拋物線的解析式為y=-A%2+x+4；

(2)求出C(0,4),直線BC解析式為＞=-x+4,由直線軸，M(m,0),得-lm2+m+4),

2

NCm,-機(jī)+4),PN—-—m2+m+4-(-〃z+4)=--nr+2m,故SI=—PN*\XB-xc|=—X(--X；r+2m)

22222

X4--trr+4m,而S2=』3A/*|yd=」X(4-m)X4=8-Im,根據(jù)Si=S2,-m2+4m=8-2m,即

22

可解得m的值；

(3)由2(4,0),C(0,4),得△BOC是等腰直角三角形，△BMN是等腰直角三角形，故NBNM

=/MBN=45°,而與△BCM相似，且/MNH=NCBM=45°，可知”在MN的右側(cè)，且迪=

BC

典或嶇=期，設(shè)HG,-什4),當(dāng)?shù)?典時(shí)，11-2\_=2,可解得“(6,-2),直線

BMBMBCBCBM蛻2

解析式為丫=-工什1,聯(lián)立解析式可解得。的坐標(biāo)為(之返上返_)或(3_后,上返_)；

22424

當(dāng)?shù)?迪時(shí)，同理得。的坐標(biāo)為(-2+2a，-12+6戈)或(-2-2加，-12-676).

BMBC

【解答】解：(1)把A(-2,0),B(4,0)代入y=-12+灰+。得：

2

f-2_2b+c=0

I-8+4b+c=0

解得小1,

Ic=4

???拋物線的解析式為y=-A%2+X+4；

2

(2)在y=-中，令x=0得y=4,

2

：.C(0,4),

由3(4,0),C(0,4)可得直線8C解析式為y=-x+4,

???直線LLx軸，M(m,0),

:?P(m,-A；7i2+m+4),N(m,-m+4),

2

:.PN=-Am2+m+4-(-m+4)=-Am2+2m,

22

.\Si=-PN*\XB-xc\=-X(-Am2+2m)X4=-m2+4m,

222

VB(4,0),C(0,4),M(m,0),

S2=—BM9\yc\=—X(4-m)X4=8-2m,

22

VS1=S2,

-m2+4m=8-2m,

解得加=2或相=4(尸與5重合，舍去)，

?"的值為2；

(3)VB(4,0),C(0,4),

：?OB=OC,

???ABOC是等腰直角三角形，

???NC5O=45°,

ABMN是等腰直角三角形，

：.NBNM=NMBN=45°,

與△BCM相似，且NAfNH=NCBM=45。,

在MN的右側(cè)，且生1=圓■或地=耳其，

BCBMBMBC

設(shè)//G,-t+4),

由(2)知M(2,0),N(2,2),8(4,0),C(4,0),

22

.,.8C=4&,BM=2,MN=2,NH=yJt_2)+(-t+4-2)=721?-2|,

?V2|t-2|=2

..4如T

解得f=6或t=-2(此時(shí)X在MN左側(cè)，舍去)，

：.H(6,-2),

由M(2,0),H(6,-2)得直線MH解析式為y=-/+1,

_3+V^_3-V^

=_-1,

y^x+lx=2x=~2~

解《得，1或，

12.1-庫(kù)1+V33；

y=—x+x+4

?…為（唔耳基或（吟喑）;

當(dāng)?shù)?典時(shí)，如圖:

BMBC

解得(舍去)或r=5,

22

：.H(5,2),

22

由M(2,0),H(A,3)得直線MH解析式為y=3x-6,

y=3x-6(x=-2+2V6^fx=-2-2V6

解<12得

y=—x+x+4]y=-12+6V6ly=-12-6V6

，。的坐標(biāo)為(-2+