第三章 機器人坐標系統(tǒng)

第三章機器人坐標系統(tǒng)

張遠輝機械電子所20142024/9/21機器人是個復雜的運動系統(tǒng)，它的每一個動作都是各個元部件共同作用的結果。2024/9/223.1位置與姿態(tài)

3.2正交坐標系

3.3運動坐標表示

3.4齊次坐標變換

3.5機器人坐標系統(tǒng)

為了系統(tǒng)地、精確地描述各個元部件的作用以及它們之間的關系，需要引入一套機器人坐標系統(tǒng)。

2024/9/23

要全面地確定一個物體在三維空間中的狀態(tài)需要有三個位置自由度和三個姿態(tài)自由度。前者用來確定物體在空間中的具體方位，后者則是確定物體的指向。我們將物體的六個自由度的狀態(tài)稱為物體的位姿。

如果H為手坐標系，用以描述手的姿態(tài)，那再加上手的位置就構成了手的位姿。3.1位置與姿態(tài)

一般姿態(tài)的描述可以用橫滾（Roll）、俯仰（Pitch）和側擺（Yaw）三軸的轉角來實現(xiàn)。

繞坐標系H各軸轉動yawProllpitchHXHZHYH2024/9/24從二維坐標系說起B(yǎng)HP如果已知P點在H坐標系下的坐標為[1,1]^T,則P在B下的坐標?2024/9/25BHP坐標系重合的情況（旋轉）θ2024/9/26正交基之間的變換2024/9/27帶入后坐標寫成列向量2024/9/28旋轉矩陣R2024/9/29僅僅只有平移BHPH坐標系的原點，在B坐標系中的坐標是[a,b]^T，則2024/9/210僅僅只有平移BHP2024/9/211先平移+后旋轉BHH’2024/9/212先旋轉+后(相對于B平移[a,b])BHB’2024/9/213有加法和乘法--》整合2024/9/2143.2正交坐標系3.2.1正交坐標系及矢量的基礎知識

右圖是所謂的正交坐標系B(x,y,z)，用來表示機器人的基坐標，其中,,分別是三個坐標軸的單位向量。

B系中有另外一個坐標系H（xH，yH，zH），用來表示手坐標,其中,,分別是H系三個坐標軸的單位向量。

zyxBHHzHxHyanoijkP端點P相對于機器人手坐標系H及基座坐標系B的定位2024/9/2153.2.1.1正交坐標系的性質

單位矢量,,在基坐標系中可表示為

根據(jù)矢量點積和叉積的性質，對于相互正交的單位矢量，，有

對于單位矢量,,也有同樣的性質。

2024/9/216

令矩陣R稱為正交坐標變換矩陣。

當用列向量表示單位矢量時，有于是，變換矩陣R可以表示為：當用矩陣表示兩個矢量的點乘時，有2024/9/2173.2.1.2正交坐標變換矩陣R的性質

顯然由上式可得

從而可得結論：正交變換矩陣為正交矩陣。于是可得1-=RRT2024/9/2183.2.1.3正交坐標變換矩陣的幾何意義

,上式可寫成其中

考慮到

上式表明正交坐標變換矩陣R實現(xiàn)了由手坐標系H到基坐標系B的正交坐標變換，它可以將一組3個相互正交的單位矢量變換為另一組3個相互正交的單位矢量，每一組單位矢量均代表了一個正交坐標系。這也說明了將矩陣R稱為正交坐標變換矩陣的原因。在機器人學中經(jīng)常要用到這種正交坐標變換。2024/9/2193.2.2位置的描述

一旦建立起一個坐標系，我們就可以用3維的位置矢量來確定該空間內(nèi)任一點的位置。其中，x、y、z是p點在笛卡爾坐標系的三個坐標軸上坐標分量。用這種方法可以很容易地表示出手坐標（原點）在基坐標系中的空間位置。3.2.3

姿態(tài)的描述

物體的姿態(tài)可由某個固接在物體上的坐標系來描述。設在空間中除了有參考坐標系B外，還有物體質心上的一個笛卡爾正交坐標系H，且H系與此物體的空間位置關系是固定不變的，那么就可以H系的三個坐標軸的單位矢量相對于B系的方向來表示H系和B系的姿態(tài)。

2024/9/2202024/9/221

假設為H坐標系中某軸的單位向量，即它在B坐標系的方向可以與B系三軸夾角的余弦值為分量加以表達，見下圖。

因此正交坐標變換矩陣R為一方向余弦矩陣，也被稱之為旋轉矩陣（具體含義將在后面小節(jié)中闡述）。

故有根據(jù)前面的推導可得jlgxyzkBllalbi

矢量的方向矢徑表示2024/9/2223.3運動坐標表示

3.3.1平動的坐標表示

設手坐標系H與基坐標系B具有相同的姿態(tài)，但H系坐標原點與B系的原點不重合。用矢量來描述H系相對于B系的位置（如右圖所示），稱為H系相對于B系的平移矢量。如果點p在H系中的位置為，那么它相對于B系的位置矢量可由矢量相加得出，即稱其為坐標平移方程。r0rHxPHzyxHyHzBpr

表示移動的坐標變換2024/9/223

下面以繞z軸轉動角為例來研究繞坐標軸轉動某個角度的表示法。設H系從與B系相重合的位置繞B系的z軸轉動角，H系與B系的關系如右圖所示。3.3.2轉動的坐標表示

(1)繞坐標軸轉動某個角度的表示法

naHxxyzHzHyHB,ozqzq

H系相對B系繞z軸轉動θz角的坐標關系2024/9/224

若將H系的3個單位矢量表示在B系中，則有，，實現(xiàn)兩個坐標系之間的轉動關系的矩陣，又叫轉動矩陣R，可表示為

上面的分析說明了R矩陣可以用來表示繞坐標軸的轉動，這表征了R矩陣的另一種幾何意義。2024/9/225

設B系與H系的z軸相重合，B系繞z軸轉動角就得H系，如下圖所示。

(2)兩個坐標系的投影之間的關系xyHy),(HBzqzqzqHxyxACuP￠v

矢徑BP'在H系與B系的投影關系O2024/9/226已知矢徑在H系三軸投影分別為u,v,w。則由上圖可知

由上式可見，R矩陣可以將矢徑在手坐標系上的投影變換到該矢徑在基坐標系上的投影，這表征了R矩陣的又一種幾何意義。于是有（Ｒ）2024/9/227(3)具有轉動關系的兩個矢量的投影之間的關系

設矢量在坐標系Bxy的投影為u，v，w；將矢量繞z軸轉動角，得到矢量，設矢量在同一坐標系的投影為x,y,z，如下圖所示。

xyHy￠),(HBzqzqHx￠yuP￠vxQ關系具有轉動關系的兩個矢量的投影之間的投影O2024/9/228

如果注意到在x,y軸的投影相當于在軸的投影，再對比１５頁和１７頁的兩個圖所示的相同幾何關系，便可得式（Ｒ）相同結果，只是此時的u，v，w與x，y，z同前面討論的情況的幾何含義不同。這時矩陣R用來表示具有轉動關系的兩個矢量在同一坐標系中的投影之間的關系，這表征了R矩陣的最后一種幾何意義。

至此，歸納了R矩陣的四種幾何意義，這對于認識R矩陣的本質，研究機器人的坐標系統(tǒng)很有幫助。2024/9/2293.3.3復合運動的坐標表示

設H相對于B的位置矢量為，由H到B的坐標變換矩陣是。在H中有一點P，點P相對于H的位置矢量為，如右圖所示。

基坐標系B和手坐標系H的原點不重合，而且兩坐標系的姿態(tài)也不相同的情況。zyxBHr0rHzHxHyanoPP￠AuvwHr

表示轉動和移動的坐標變換2024/9/230

對于任意一點P在B和H系中的描述有以下的關系其中，是p點相對于B系的位置矢量。

至此，我們由淺入深地介紹了物體的基本宏觀運動在坐標系中的表示方法，這是我們學習機器人復雜運動的最基本的數(shù)學工具。在后續(xù)章節(jié)中會頻繁地用到。再由式（3-9），可得復合變換

可把上式看成坐標旋轉和坐標平移的復合變換。實際上，規(guī)定一個過渡坐標系C，使C的坐標原點與H系重合，而C的姿態(tài)和B系保持一致。根據(jù)式（Ｒ）可得由H系到過渡坐標系C的坐標變換為其中，是點P在C中的位置矢量。2024/9/2313.4齊次坐標變換

3.4.1齊次坐標的定義和性質

3.4.1.1齊次坐標的概念

用四個數(shù)所組成的列向量來表示三維空間中的一點，這兩個坐標向量之間的關系是，，則稱為三維空間點的齊次坐標。通常情況下取w=1,則的齊次坐標表示為。

2024/9/2323.4.1.2齊次坐標的性質

（1）齊次坐標的不唯一性

所謂不唯一性是指某點的齊次坐標有無窮多點，不是單值確定的。例如是某點的齊次坐標，則也是該點的齊次坐標。

（2）齊次坐標的原點和坐標軸

根據(jù)齊次坐標的定義，齊次坐標表示坐標原點，而，，分別表示OX軸、OY軸和OZ軸的無窮遠點，即表示直角坐標的OX軸、OY軸和OZ軸。2024/9/233=常量標量設則有其中，（Ａ）2024/9/2343.4.2齊次變換和齊次矩陣

在引入齊次坐標之后，現(xiàn)在我們來看如何用齊次坐標來表示上一節(jié)中所講的內(nèi)容。在上一節(jié)的最后我們曾用笛卡爾標系統(tǒng)表示出了物體復合運動，最后我們得出了的結論，它表示了由到的變換?，F(xiàn)在我們利用齊次坐標來表示出上式：

2024/9/235A矩陣稱為齊次矩陣（Homogeneousmatrix）,在機器人學中是個重要的術語，它將轉動和移動組合在一個4×4矩陣中。其中為3×3的轉動矩陣，為1×3的零陣，為表示移動的3×1的列陣。接下來我們將利用齊次矩陣來表示物體的運動。

式中旋轉矩陣３×３平移矢量３×１透視變量１×３比例因子１×１齊次矩陣＝齊次矩陣用途很廣，更一般形式為：2024/9/2363.4.2.1利用齊次矩陣表示平移變換

設向量，要和向量相加得V，即

（Ｂ）欲求一變換矩陣H，使得U經(jīng)過H變換之后變成向量V，即

（Ｃ）考慮到式（Ｃ）和式（Ｂ）等效，根據(jù)式（Ａ）可知

平移變換就是用于兩個向量的相加。2024/9/237

此變換矩陣有一性質就是它的每一個元素乘上一個非零的元素后不會改變這個變換。

由此可知得2024/9/2383.4.2.2利用齊次矩陣表示旋轉變換

根據(jù)直角坐標和齊次坐標的關系，易得繞X，Y，Z軸旋轉一個角的相應旋轉變換是

2024/9/239例如，已知一個向量U繞Z軸旋轉90ο變成V，則用旋轉矩陣表示為如，一個向量U先后繞X、Y軸分別旋轉90ο、60ο得到V，用旋轉矩陣表示為2024/9/2403.4.2.3利用齊次矩陣表示旋轉加平移變換

把上述兩種變換結合起來用齊次矩陣表示，這時的齊次變換矩陣就是2024/9/241可見，在齊次變換矩陣中旋轉矩陣和表示平移的列陣確實是分離的。注意，一般情況下2024/9/2423.4.2.4利用齊次矩陣表示手的轉動和移動

手的轉動可以表示為繞X軸的側擺，繞Y軸的俯仰和繞Z軸橫滾，依次構成的復合轉動，采用簡化符號，則有2024/9/243

上式表示了手的轉動運動。如果手除了轉動運動以外還可做移動運動，只需將上式中齊次矩陣的第4列用表示移動的矩陣塊來代替，便可得到包括3個姿態(tài)轉動和3個平移的6自由度運動的齊次矩陣。2024/9/2443.4.3齊次變換的性質

3.4.3.1變換過程的相對性－相對變換

前面所介紹的所有旋轉和平移變換都是相對于參考坐標系B系而言的。例如

上述的變換過程是：手坐標系H首先繞著基坐標系B旋轉，然后平移。這種變換的順序是從右向左進行的。這樣的過程也可以以相反的順序進行，即從左向右進行。此時可以理解為首先手坐標系H在基坐標系B中平移 然后繞當前的手坐標系H的軸旋轉。

2024/9/245一般的變換過程可以分兩種情況：

(1)如果我們用一個描述平移和（或）旋轉的變換C，左乘一個坐標系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉就是相對于靜止坐標系進行的。(2)如果我們用一個描述平移和（或）旋轉的變換C，右乘一個坐標系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉就是相對于運動坐標系進行的。

真是那么精彩嗎?2024/9/2463.4.3.2變換過程的可逆性－逆變換

在機器人學中很多時候要用到齊次變換矩陣的逆陣，下面我們將導出齊次變換矩陣的逆陣的求法。由公式易得由此可見將上兩式表示成矩陣的形式，即2024/9/2473.4.3.3變換過程的封閉性--變換方程的建立

在解機器人運動學和動力學方程時，要經(jīng)常解變換方程。在這些變換方程里，一個坐標點往往要用兩種或多種方式來描述。

（1）機器人變換Z：參考坐標系U→基坐標系B變換A：基坐標系B→手坐標系H變換E：手坐標系H→加工工具T（2）變位機變換P：參考坐標系U→變位機V

變換Q：變位機V→被加工件WBUHAEPQWT

操作機坐標系及變換過程分析ZV2024/9/248這種聯(lián)系亦可由一有向變換圖表述，見右圖。

右圖中每一段弧表示一個變換，由參考坐標系向外指向，封閉于物體的某一個點。由于變換Z-A-E與P-Q具有相同的起點與終點，故有

如果我們希望解上述方程，求出變換A，就必須對方程左乘，然后右乘，得到

實際上，可以從封閉的有向變換圖的任一變換開始列變換方程。從某一變換弧開始，順箭頭方向為正方向，逆箭頭方向為逆變換，一直連續(xù)列寫到相鄰于該變換弧為止（但不再包括該起點變換），如果包括該起點變換，則得到一個單位變換。變換過程的封閉性ZQPEA2024/9/2493.5機器人坐標系統(tǒng)

3.5.1機器人坐標系統(tǒng)的構成

現(xiàn)在讓我們設想完成將一條螺栓擰入螺母這樣一項簡單的工作。如果是人來完成這件事情，每個人看來都是非常容易的。但是如果讓機器人來完成這項工作，機器人必須規(guī)劃出每個關節(jié)的運動過程，最終合成末端執(zhí)行器的動作。在完成這樣的工作時，我們必須為每個關節(jié)變量規(guī)劃出運動軌跡，而這樣的軌跡是相對于每個關節(jié)所對應的坐標系而言的。由此可見，我們必須為每一個關節(jié)定義出一個坐標系。除此之外，為了能與工件相配合完成既定的工作，也需要為工件和周圍環(huán)境定義出坐標系統(tǒng)。所有上述的坐標系就構成了一個機器人的坐標系統(tǒng)。由上面的分析可以得出這樣的坐標系統(tǒng)包括三大部分：（1）機器人自身的坐標系（2）作業(yè)工件和變位機的坐標系（3）作為共同參考的世界坐標系其中，世界坐標系是聯(lián)系前兩種坐標系的紐帶。下面我們舉一個例子來說明如何建立機器人的坐標系統(tǒng)。2024