第四章培優(yōu)課2數(shù)列的求和課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

第四章數(shù)列培優(yōu)課?數(shù)列的求和人教A版

數(shù)學選擇性必修第二冊課程標準1.鞏固等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式.2.理解并掌握常用的幾種求和方法.3.體會轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學中的應用.重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標重難探究·能力素養(yǎng)速提升重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一公式法求和(1)求{bn}的通項公式;(2)求b2+b4+b6+…+b2n的值.規(guī)律方法

公式法求和主要是利用以下兩個基本公式:(1)等差數(shù)列的前n變式訓練1[2024云南高二月考]在正項等比數(shù)列{an}中,a1+a3=34,a3+a5=544.(1)求{an}的通項公式;(2)若bn=log2an,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解

(1)設{an}的公比為q,則q>0.由a1+a3=34,a3+a5=544,得34q2=544,解得q=4.a1+a3=17a1=34,則a1=2,故an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1.(2)由(1)可知bn=log2an=2n-1,則{bn}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,故Sn==n2.探究點二裂項相消法求和化簡整理,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,∵an>0,n∈N*,∴an+an-1>0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2,∵a1=2,∴數(shù)列{an}是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,∴an=2+2·(n-1)=2n,n∈N*.規(guī)律方法

裂項相消法求和的實質(zhì)是將數(shù)列中的通項分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的,其解題的關鍵就是準確裂項和消項.(1)裂項原則:一般是前邊裂幾項,后邊就裂幾項,直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律:消項后前邊剩幾項,后邊就剩幾項,前邊剩第幾項,后邊就剩倒數(shù)第幾項.變式訓練2已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3=-3,S7=-21.(1)求{an}的通項公式;解

(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,可得S3=3a1+3d=-3,S7=7a1+21d=-21,解得所以an=a1+(n-1)d=-n+1.探究點三分組求和法求和【例3】

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),且滿足a1=b1=1,S5=35,a6=b5.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;(2)記cn=an+2bn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.解

(1)記等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0),解得d=3,q=2,所以an=1+3(n-1)=3n-2,bn=2n-1.(2)由(1)可得,cn=3n-2+2n,所以Tn=(1+2)+(4+22)+(7+23)+…+(3n-2+2n)=[1+4+7+…+(3n-2)]+(2+22+23+…+2n)規(guī)律方法

分組求和法的解題策略當一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列,但如果它的通項公式可以拆分為幾項的和,而這些項又構成等差數(shù)列或等比數(shù)列時,就可以用分組求和法,即原數(shù)列的前n項和等于拆分成的每個數(shù)列前n項和的和.探究點四并項轉(zhuǎn)化法求和【例4】

已知數(shù)列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n項和Sn.變式探究(變條件變結論)本例中,將條件改為“已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1-5+9-13+…+(-1)n-1·(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.所以S15=29,S22=-44,S31=61.故S15+S22-S31=-76.規(guī)律方法

并項轉(zhuǎn)化法求和的解題策略(1)一般地,當數(shù)列中的各項正負交替,且各項的絕對值成等差數(shù)列時,可以采用并項轉(zhuǎn)化法求和.(2)在利用并項轉(zhuǎn)化法求和時,因為數(shù)列的各項是正負交替的,所以一般需要對項數(shù)n進行分類討論,最終的結果可以用分段形式來表示.探究點五錯位相減法求和【例5】

已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項公式及Sn;解(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,則d>0,∵2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,∴

=2a1·(a3+1),∴(a1+d)2=2a1(a1+2d+1).規(guī)律方法

錯位相減法求和的關注點(1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列的公比為負數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時,應將兩式“錯項對齊”,以便下一步準確寫出Sn-qSn的表達式.若公比是字母參數(shù),則應先對參數(shù)加以討論(一般情況下,分公比等于1和不等于1兩種情況分別求和).變式訓練3[2024福建漳州高二期末]已知各項為正的數(shù)列{an}的前n項和為又an>0,所以an+1+an>0,所以an+1-an-2=0,即an+1-an=2,所以數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)并項轉(zhuǎn)化法求和.(2)分組求和法求和.(3)裂項相消法求和.(4)公式法求和.(5)錯位相減法求和.(6)倒序相加法求和.2.方法歸納:公式法、分組求和法、裂項求和法、倒序相加法、錯位相減法.3.常見誤區(qū):并項求和易忽略總項數(shù)的奇偶;錯位相減法中要注意相減后的項數(shù)、符號及化簡;裂項相消求和中要關注正項與負項的個數(shù)是否相同及相消后前后剩余的項數(shù).重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標1231.數(shù)列{an}的前n項和Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S27=(

)A.-13 B.13

C.14 D.-14C解析

S27=1-2+3-4+…+25-26+27=(1-2)+(3-4)+…+(25-26)+27=27-13=14.123其前n項和為Sn,則S30