2024年中考押題預(yù)測(cè)卷（廣州卷）-數(shù)學(xué)（全解全析）

絕密★啟用前

2024年中考押題預(yù)測(cè)卷【廣州卷】

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第H卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.）

1.-2024的倒數(shù)是（）

【答案】B

【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，根據(jù)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)進(jìn)行求解即可.

【解析】解：-2024的倒數(shù)是-上1

2024

故選：B.

2.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)是第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉

行.下面2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)

后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，掌握中心對(duì)稱圖形的定義是解題的

關(guān)鍵.

【解析】A、不是中心對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)不符合題意；

B、是中心對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)符合題意；

C、不是中心對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)不符合題意；

D、不是中心對(duì)稱圖形，該選項(xiàng)不符合題意;

故選：B.

3.下列運(yùn)算不正確的是（）

A.^/=27=3B,6-屈=-由C.(a2b^=a6b3D.^^+-=1

v7aa

【答案】A

【分析】本題主要考查立方根，二次根式的減法，積的乘方和幕的乘方以及分式的加法，分別根據(jù)相關(guān)運(yùn)

算法則進(jìn)行計(jì)算后再判斷即可

【解析】解：A.V=27=-3,故選項(xiàng)A計(jì)算錯(cuò)誤，符合題意；

B.V3-V12=A/3-2A/3=-A/3,故選項(xiàng)B計(jì)算正確，不符合題意;

C.=a6b3,故選項(xiàng)C計(jì)算正確，不符合題意；

D.^+-=fl~2+2=-=l,故選項(xiàng)A計(jì)算正確，不符合題意;

aaaa

故選：A

4.如圖所示，該幾何體的主視圖是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)主視圖是從幾何體正面看到的平面圖形即可解答.

【解析】解：???從幾何體的正面看到的平面圖形是一個(gè)長(zhǎng)方形和側(cè)面的長(zhǎng)方形,

即主視圖是兩個(gè)長(zhǎng)方形中間有一條實(shí)線的平面圖形，

故選C.

5.學(xué)校舉行投籃比賽，某班有7名同學(xué)參加了比賽，比賽結(jié)束后，老師統(tǒng)計(jì)了他們各自的投籃數(shù)，分別為

3,5,5,6,6,4,6.下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)描述不正確的是（）

A.眾數(shù)為6B.平均數(shù)為5C.中位數(shù)為5D.方差為1

【答案】D

【分析】此題考查了求眾數(shù)，中位數(shù)，方差及平均數(shù)，根據(jù)定義求出對(duì)應(yīng)數(shù)值分別判斷，即可得到答案.

【解析】解：A、6出現(xiàn)3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)是6,該項(xiàng)描述正確，不符合題意；

B、U。。。。=5,故該項(xiàng)描述正確，不符合題意；

C、這組數(shù)據(jù)按由小到大排列是：3,4,5,5,6,6,6.最中間的是第四個(gè)數(shù)5,中位數(shù)為5,故該項(xiàng)描述

正確，不符合題意；

D、方差為;x[（5-3『+（5-4）2+2x（5-5『+3x（6-5）2]=/故該項(xiàng)描述錯(cuò)誤；符合題意，

故選：D.

6.已知四邊形A3CD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)NABC=90。時(shí)，它是矩形B.當(dāng)Afi=3C時(shí)，它是菱形

C.當(dāng)AC13。時(shí)，它是菱形D.當(dāng)AC=B□時(shí)，它是正方形

【答案】D

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定逐個(gè)判斷即可.

【解析】解：A、；四邊形ABC。是平行四邊形，

又?ZABC=90°,

四邊形ABCD是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

又*AB=BC,

四邊形ABC。是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、「四邊形ABCO是平行四邊形，

又?AC人BD,

二四邊形ABC。是菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、：四邊形ABCD是平行四邊形，

又?AC=BD,

四邊形45co是矩形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

7.若-2府+（m-1）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍為（）

A.機(jī)B.m<—C.機(jī)>《且MJWID.—<m<1

2222

【答案】C

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，對(duì)于一元二次方程

辦2+6x+c=0（aw0）,若△=〃一4“c>0,則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若△=〃一4℃=0,則方程有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若公=4ac<0,則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，據(jù)此根據(jù)一元二次方程的定義得到力-1力0,再

利用判別式求解即可.

【解析】解：根據(jù)題意得〃7-1工0且A=（-2m）2-4（w-1）2>0,

解得機(jī)＞/且"沖1.

故選：C.

8.當(dāng)溫度不變時(shí)，某氣球內(nèi)的氣壓P(kPa)與氣體體積V(n?)成反比例函數(shù)關(guān)系(其圖象如圖所示)，己知

當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓P＞120kPa時(shí)，氣球?qū)⒈?，為了安全起?jiàn)，氣球內(nèi)氣體體積V應(yīng)滿足的條件是()

C.小于*D.大于*

【答案】C

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)圖象可知，函數(shù)圖象是反比例函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)(1660),將點(diǎn)

(1.6,60)代入反函數(shù)解析式即可求得上的值，從而得出函數(shù)解析式，再根據(jù)。的范圍即可得出答案.

【解析】.函數(shù)圖象是雙曲線的一條分支，且過(guò)點(diǎn)(1660)

/.k=1.6x60=96,

,衿20

4

\V?-

5

故選：A.

9.如圖，在《ABC中，AC=BC,NACB=100。，「O與A5,5C分別切于點(diǎn)。，C,連接8.則/ACD

的度數(shù)為()

A.50B.40C.30D.20

【答案】C

【分析】由AC=BC,ZAC5=100°,求得N3=NA=40。，由與AB,BC分別切于點(diǎn)。，C,根據(jù)切

線長(zhǎng)定理得班＞=3C,則/BCD=/BDC,所以248+40。=180。，求得ZBCD=70°,則

ZACD=ZACB-ZBCD=30°,于是得到問(wèn)題的答案.

【解析】解：AC=BC,ZACB=100°,

ZB=ZA=-x（180°-100°）=40°,

.。與AB,BC分別切于點(diǎn)。，C,

BD=BC,

.?.NBCD=NBDC,

ZBCD+ZBDC+ZB=180°,

/.2ZBCD+40o=180°,

../BCD=70。，

..ZACD=ZACB-ZBCD=100°-70°=30°f

故選：C.

10.如圖，矩形紙片45co中，AB=4,BC=8,點(diǎn)E,F分別在AO,BC±,將紙片沿直線E尸折疊，

點(diǎn)C落在4）上的點(diǎn)H處，點(diǎn)￡＞落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分NDCH；

③線段8尸的取值范圍為3V叱V4；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，E尸=2有.則正確結(jié)論的有（）

【答案】C

【分析】①先證明四邊形CFHE是平行四邊形，結(jié)合=即可判斷說(shuō)法正確與否；②若EC平分

可求得/FCH=/ECH=NDCE=；/BCD=30。,即可判斷說(shuō)法正確與否；③當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)H重合時(shí)，正可

以取得最小值，當(dāng)四邊形CFHE為正方形時(shí)，肝可以取得最大值；④根據(jù)勾股定理即可判斷說(shuō)法正確與否.

【解析】①根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知/C=HF，NHFE=ZCFE,

?：AD//BC,

：.ZHEF=ZCFE.

：.ZHEF=ZHFE.

/.HE=HF.

：.HE=FC.

又EE〃尸C,.?.四邊形CFHE是平行四邊形.

又HE=〃F,...四邊形CFHE是菱形.

說(shuō)法①正確.

②：四邊形CFHE是菱形，

???ZFCH=ZECH.

若EC平分NDCH,則NOC￡=NECH,

ZFCH=ZECH=NDCE=-/BCD=30°.

3

所以，只有當(dāng)NDCE=30。時(shí)，EC平分/DCH.

說(shuō)法②錯(cuò)誤.

③如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)8重合時(shí)，3尸可以取得最小值.

^BF=x,則AF=C5=8-x.

在RtABR中

AF2=AB2+BF2,即

（8-X）2=42+X2

解得

龍=3

所以，8尸的最小值為3.

當(dāng)四邊形CFHE為正方形時(shí)，成可以取得最大值.

此時(shí)點(diǎn)E、G、。重合，BF=BC-FC=8-4=4.

所以，8尸的最大值為4.

綜上所述，3<BF<4.

說(shuō)法③正確.

④根據(jù)題意可知AC=-JAB2+BC2=4逐，

???四邊形CW（A）E是菱形.

AO=-AC=2y/5,FO=-EF.

22

FO=>JAF2-AO2=小■

/.EF=2FO=2下.

說(shuō)法④正確.

綜上所述，說(shuō)法正確的為①③④.

故選：C.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11.分解因式：2a2-6ab=.

【答案】2a(a-3b)

【分析】本題考查了因式分解，利用提公因式法即可求解.

【解析】解：原式=2a(a-36),

故答案為：2a(a-3Z?)

12.分式方程^的解尤=____________.

x—12%—2

71

【答案】7Z17

66

【分析】本題考查解分式方程，去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后檢驗(yàn)即可.

【解析】解：去分母得：2x=3-2x2(x-l),

去括號(hào)得：2x=3-4x+4,

7

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：6x=7,x=—,

6

經(jīng)檢驗(yàn)，x=:7是原方程的解；

6

7

故答案為：—.

o

13.在一個(gè)不透明口袋有四個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1,2,3,4.隨機(jī)摸出一個(gè)球后不放

回，再隨機(jī)摸出一個(gè)，則兩次摸出的小球標(biāo)號(hào)之和為5的概率為.

【答案】I

【分析】先利用樹(shù)狀圖列出兩次取出的小球標(biāo)號(hào)和的所有可能情況數(shù)，再找出兩次取出的小球標(biāo)號(hào)的和等

于5的情況數(shù)，最后求出概率即可.

【解析】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：

開(kāi)始

由樹(shù)狀圖可知：共有12種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球標(biāo)號(hào)之和等于5的有4種情況,

41

???兩次摸出的小球標(biāo)號(hào)之和等于5的概率是：=j.

故答案為：

14.如圖，CD為RtZXABC斜邊上的中線，E為AC的中點(diǎn).若AC=8,CD=5,則?！?

C

E

A----------D------------B

【答案】3

【分析】首先根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出48,然后利用勾股定理即可得出BC,最后利用三角形

中位線定理即可求解.

【解析】解：：在RCA3C中，CD為Rt^ABC斜邊上的中線，CD=5,

：.AB=2CD=10,

BC=yjAB2-AC2=V102-82=6-

,/E為AC的中點(diǎn)，

DE=-BC=3

2

故答案為：3.

15.如圖，正方形ABCD的邊AB=2,點(diǎn)E、尸為正方形邊的中點(diǎn)，以E尸為半徑的扇形交正方形的邊于點(diǎn)

【分析】本題主要考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，先求出/GEH=60。，再運(yùn)用弧長(zhǎng)公式

進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.

【解析】解：.??點(diǎn)E、/為正方形邊的中點(diǎn)，

EF=AB=2,BE=-BC=1,

2

在RtABEG中，4=90。，

BF1

cosZBEG=——=—,

GE2

ZSEG=60°,

同理可求出NCEH=60。，

JZ.GEH=180°-ZBEG-ACEH=60°,

60萬(wàn)x22

GH長(zhǎng)為=—7T

1803

2

故答案為：—71.

3

16.如圖，在拋物線y=o?—4（〃>0）上有兩點(diǎn)尸、。，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4m,絲），點(diǎn)。的坐標(biāo)為（如"）

（加>0）,點(diǎn)”在y軸上，M的坐標(biāo)為（0,-1）.

（1）用含a、m的代數(shù)式表示|乂-%|二___.

（2）連接PM,。河，小磊發(fā)現(xiàn)：當(dāng)直線尸M與直線QM關(guān)于直線產(chǎn)-1對(duì)稱時(shí)，|x-%|為定值d,則d=.

【答案】15am2弓45

4

【分析】（1）把P、Q的坐標(biāo)分別代入y=ax2-4,求得yi=16am2-4,y2=am2-4,即可得到-"1=15/〃.

（2）根據(jù)待定系數(shù)法求得直線PM的解析式，然后半軸％=加代入求得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，直線與直線。加

關(guān)于直線丁=-1對(duì)稱，即可得出16。生__Z+（即2-4）=2x（-1）,解得卬/=3,由（1）可知，\yi

44

45

-y2\=15m2a,即可得出1=彳.

【解析】解：（1）??,拋物線>=〃/_4（〃>0）上有兩點(diǎn)尸、。，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4形，》），點(diǎn)。的坐標(biāo)為（加，

”）（m>0）,

.?.〃=16〃帆2-4,y2=am2-4,

2

\yi-y2\=\15ma\9

m>0,

\yi->2|=15m2〃.

故答案為：15加4.

（2）設(shè)直線尸M的解析式為y=H+。，

??,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4m,16〃m2-4）,M（0,-1）,

4mk+b=16am2-4

b=-l

.16am2-3

k=------------

解得4m

b=-l

直線PM為y=-a"-31-1,

4m

16am2-3.16am2—7

當(dāng)工=加時(shí)，y=------------*m-i=-------------

4m4

?..直線PM與直線關(guān)于直線^=-1對(duì)稱,

.16am2-7/_/八

>.-------------+(am27-4)=2x(-1),

4

??..2=3,

4

\yi~”|為定值d,\yi-y2\=15m2a,

.?"=竺,

4

故答案為：菖

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答要求寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟.）

2x-y=17

17.解方程組:

7x—3y=4

%=-47

【答案】

y=-lll

【分析】根據(jù)加減消元法可求解方程組.

2x-y=17①

【解析】解:

7x-3y=4②

①x3-②得：x=T7,

把％=^7代入①得：2x(T7)—y=17,

解得：y=-m,

x=-47

.?.原方程組的解為

y=—111

18.如圖，AB±CF,DF±CF,AC//DF,AB=DE,求證：BF=CE.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用AAS證明△ABC當(dāng)”>￡尸，得到所=BC,再根據(jù)等式

的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解析】證明：???ABLCF，DELCF,

???ZABC=ZDEF=90°.

AC//DF,

：./C=/F,

ZABC=ZDEF

在，ABC和尸中，＜ZC=ZF,

AB=DE

：.AABC^AZ)EF(AAS).

??.EF=BC.

：.EF-BE=BC-BE.

即：BF=CE.

19.已知T=4〃(〃—2m)—(mm2

⑴化簡(jiǎn)T；

⑵若根，〃是菱形ABC。兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，且該菱形的面積為6,求7的值.

【答案】

(2)T8

【分析】(1)先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則和完全平方公式將原式展開(kāi)，去括號(hào)后再合并同類項(xiàng)即可；

(2)根據(jù)菱形的面積公式可求出加〃的值，然后整體代入由(1)所得的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】(1)解：T=4n(n—2m)—(m—2n)2+m2

=4n2—Smn—^m2—4mn+4H2)+m2

=4n2—Smn—m2+4mn—4n2+m2

=Ymn；

(2)???根，〃是菱形ABC。兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，且該菱形的面積為6,

/.—mn=6,

2

mn=12,

T=Tmn=-4xl2=Y8.

.?.T的值為-48.

20.為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，賽后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)，按

得分劃分為A,B,C,。四個(gè)等級(jí)，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖表信息，回答下列

問(wèn)題：

等級(jí)成績(jī)⑴人數(shù)

A90<x<10015

B80<x<90a

C70<x<8018

Dx<707

（1）表中。=；扇形統(tǒng)計(jì)圖中，O等級(jí)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為度；若全校共有1800名學(xué)生參加了此次

知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，請(qǐng)估計(jì)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生共有—人；

（2）若95分以上的學(xué)生有4人，其中甲、乙兩人來(lái)自同一班級(jí)，學(xué)校將從這4人中隨機(jī)選出兩人參加市級(jí)比

賽，請(qǐng)用列表或樹(shù)狀圖法求甲、乙兩人都未被選中的概率.

【答案】（1）20,42°,450

⑵1

【分析】（1）由A等級(jí)的人數(shù)和所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)求出抽取的學(xué)生人數(shù)，用總?cè)藬?shù)減去其它等級(jí)的人

數(shù)，求出。，再用360。乘以。等級(jí)所占的百分比，求出。等級(jí)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)；用全校的總?cè)藬?shù)乘

以成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生所占的百分比，即可得出答案；

（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，甲、乙兩人都未被選中的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可.

【解析】（1）解：抽取的學(xué)生人數(shù)為：15+券=60（人），

.-.a=60-15-18-7=20,

7

。等級(jí)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為：360°X—=42°,

oO

估計(jì)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生共有：1800x2=450（人），

60

故答案為：20,42°,450；

（2）95分以上的學(xué)生有4人，其中甲、乙兩人來(lái)自同一班級(jí)，其他兩人記為丙、丁，

畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：

開(kāi)始

共有12種等可能的結(jié)果，甲、乙兩人都未被選中的結(jié)果有2種,

21

則甲、乙兩人都未被選中的概率；『

126

21.隨著疫情防控形勢(shì)穩(wěn)步向好，“復(fù)工復(fù)產(chǎn)”成為主旋律.某生產(chǎn)無(wú)人機(jī)公司統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，公司今年2月份生

產(chǎn)A型無(wú)人機(jī)2000架，4月份生產(chǎn)A型無(wú)人機(jī)達(dá)到12500架.

(1)求該公司生長(zhǎng)A型無(wú)人機(jī)每月產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；

(2)該公司還生產(chǎn)5型無(wú)人機(jī)，已知生產(chǎn)1架A型無(wú)人機(jī)的成本是200元，生產(chǎn)1架8型無(wú)人機(jī)的成本是300

元.現(xiàn)要生產(chǎn)兩種型號(hào)的無(wú)人機(jī)共100架，其中A型無(wú)人機(jī)數(shù)量不超過(guò)B型無(wú)人機(jī)數(shù)量的3倍.公司生

產(chǎn)A2兩種型號(hào)無(wú)人機(jī)各多少架時(shí)才可使生產(chǎn)成本最少？

【答案】(1)該公司生產(chǎn)A型無(wú)人機(jī)每月產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為150%；

(2)公司生產(chǎn)A型號(hào)無(wú)人機(jī)75架，生產(chǎn)B型號(hào)無(wú)人機(jī)25架成本最小.

【分析】(1)直接利用連續(xù)兩次平均增長(zhǎng)率求法得出等式求出答案；

(2)根據(jù)題意求出。的取值范圍，再利用一次函數(shù)增減性得出答案.

【解析】(1)解：設(shè)該公司生產(chǎn)A型無(wú)人機(jī)每月產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為尤，

2000(1+x)2=12500,

二%=1.5=150%,X2=-3.50(不合題意，舍去)

,該公司生產(chǎn)A型無(wú)人機(jī)每月產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為150%；

(2)解：設(shè)生產(chǎn)A型號(hào)無(wú)人機(jī)。架，則生產(chǎn)2型號(hào)無(wú)人機(jī)(10。-。)架，需要成本為w元，依據(jù)題意可得:

a<3(100-a),

解得：a<75,

w=200a+300(100-cz)=-100a+30000,

V-100<0,

...當(dāng)a的值增大時(shí)，w的值減小，

?.?。為整數(shù)，

.?.當(dāng)a=75時(shí)，w取最小值，此時(shí)100—75=25,

w=-100x75+30000=22500,

二公司生產(chǎn)A型號(hào)無(wú)人機(jī)75架，生產(chǎn)8型號(hào)無(wú)人機(jī)25架成本最小.

22.如圖，在RdABC中，ZC=90°.

(1)尺規(guī)作圖：作NA的角平分線AP交于點(diǎn)P；(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

⑵在(1)所作的圖中，若AC=5,BC=12,求CP的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)C尸的長(zhǎng)為了.

【分析】(1)利用基本作圖(作已知角的平分線)作A尸平分/BAC；

(2)過(guò)點(diǎn)于點(diǎn)。，設(shè)尸D=PC=x,貝|PB=12-x,先利用勾股定理計(jì)算出48=13,再根據(jù)金人8尸=

-ABxPD=-PBxAC,計(jì)算即可得出x.

22

【解析】(1)解：如圖，A尸為所作；

(2)解：過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)D,

：.PD=PC,

在放"BC中，AC=5,BC=12,

.?.48=6+122=13,

設(shè)尸D=PC=x,則PB=12-x,

,/SABP=-ABXPD=-PBxAC,

A22

/.13x=5(12-x),

解得：4g.

.??CP的長(zhǎng)為g.

23.最佳視點(diǎn)

如圖1,設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)P距底面。米，最低處的點(diǎn)。距底面方米，站在何處觀賞最理想？所謂觀

賞理想是指看展品的視角最大，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在水平視線EF上求使視角最大的點(diǎn).

如圖2,當(dāng)過(guò)尸，2,七三點(diǎn)的圓與過(guò)點(diǎn)E的水平線相切于點(diǎn)E時(shí)，視角NPEQ最大，站在此處觀賞最理想,

小明同學(xué)想這是為什么呢？他在過(guò)點(diǎn)E的水平線碰上任取異于點(diǎn)E的點(diǎn)E,連接P*交于點(diǎn)孔連

接。尸，…

p

HEE'M

圖1圖2

任務(wù)一：請(qǐng)按照小明的思路，說(shuō)明在點(diǎn)E時(shí)視角最大；

任務(wù)二：若。=3,人=1.8,觀察者的眼睛距地面的距離為1.5米，最大視角為30。，求觀察者應(yīng)該站在距離多

遠(yuǎn)的地方最理想（結(jié)果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)?1.73）.

【答案】任務(wù)一：見(jiàn)解析；任務(wù)二：觀察者應(yīng)該站在距離0.87米的地方最理想

【分析】任務(wù)一：見(jiàn)詳解作圖，由圓周角定理得/跳=再由三角形外角定理得義?/。>/PE'。，

所以NPEQ>NPE'Q,因此在點(diǎn)E時(shí)視角最大.

任務(wù)二：由圓心角定理知NPOQ=60。，可證△。尸。是等邊三角形，再由切線定理可證/。硝=90。，從而

可證尸Q〃OE,于是可證四邊形尸QOE是平行四邊形，則NOPE=NPEQ=30°,推得/EPH=30。.最后解

Rt/XPHE可求得HE的長(zhǎng).

【解析】任務(wù)一：過(guò)點(diǎn)E的水平線碰上任取異于點(diǎn)E的點(diǎn)￡,連接尸E'交（。于點(diǎn)E連接。尸，

?；NPFQ是QFE'的外角，

ZPFQ>ZPE'Q,

又?/ZPFQ與ZPEQ都是弧尸Q所對(duì)的圓周角，

/.ZPFQ=ZPEQ,

：.ZPEQ>ZPE'Q,

在點(diǎn)E時(shí)視角最大.

任務(wù)二：：ZPEQ=30°,

/.ZPOQ=60°,

又?.?OP=OQ,

???△。尸。是等邊三角形，OP=OQ=PQ.

如圖2,連接OE,

圖2

,/HE是二。的切線，

ZOEH=90°,

,?NPHE=90°,

：.ZOEH+ZPHE=180°,

：.PQ//OE,

又：PQ=OP=OE,

四邊形PQOE是平行四邊形，

ZOPE=ZPEQ=30°,

：.ZEPH=ZOPQ-ZOPE=60°-30°=30°.

由題意得，尸〃=3-1.5=1.5（米），

在RtAPfffi中，HE=PH>twZEPH=1.5x日a0.87（米）.

答：觀察者應(yīng)該站在距離0.87米的地方最理想.

24.綜合運(yùn)用：己知，拋物線>=依2+法+2如圖1所示，其對(duì)稱軸是x=l.

(1)①寫(xiě)出。與b的數(shù)量關(guān)系；

②證明：拋物線與直線>=-2x+2有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)如圖2,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-將此拋物線記為片，把拋物線片先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移

1個(gè)單位長(zhǎng)度，得拋物線尸2.

①求拋物線尸2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②點(diǎn)尸為拋物線耳上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作X軸的垂線，交拋物線F?于點(diǎn)Q,連接尸Q,以點(diǎn)尸為圓心、PQ的長(zhǎng)

為半徑作IP.當(dāng)：P與x軸相切時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴①6=-2。，②見(jiàn)解析

⑵①（—1,0）,（3,0）：②（一3,-13）或（1,3）或（3+質(zhì),一11一49）或（3-質(zhì)，一11+4師）

【分析】（1）①根據(jù)對(duì)稱軸是X=l,列式-9=1,即可求解，②聯(lián)立拋物線與直線方程，計(jì)算A并配方,

2a

即可求解，

（2）①將（一1,一1）代入y=ax1-2ax+2,求出拋物線尸]的表達(dá)式:y=-x2+2x+2,頂點(diǎn)式：y=-（x-l）2+3,

根據(jù)坐標(biāo)的平移，得到拋物線F?的表達(dá)式，當(dāng)y=0時(shí)，即可求解②，根據(jù)PQ與尸點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等,

列出等式，即可求解，

本題考查了，拋物線的對(duì)稱軸，求拋物線解析式，二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意列出等

量關(guān)系式.

【解析】（1）解：①???拋物線丫=依2+法+2的對(duì)稱軸是％=1,

bL

-----=1,即：b=一2〃，

2a

???拋物線方程為：y=ax2-2ax+2,

fy=—2x+2

②聯(lián)立拋物線與直線方程，2c…

[y=ax-2ax+2

整理得：tzx?+（2-2a）%=0,

a<0,

A=（2-2a）2>0,

???拋物線與直線y=-2x+2有兩個(gè)交點(diǎn)，

故答案為：①Z?=-2a,

（2）解：①將（一1,一1）代入y=-2ax+2,得：-1=。（一1）2-2分（-1）+2,

解得：a=-\,

.,.拋物線表達(dá)式為：y=-x2+2x+2,頂點(diǎn)式為：y=-（%-1）"+3,

???拋物線《先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得拋物線尸2,

二拋物線尸2的表達(dá)式為：y=-（x+iy+4=-x2-2x+3,

當(dāng)y=°時(shí)，0=-X2-2X+3,

解得：為=-3,無(wú)2=1，

拋物線F?與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3,0）,（1,0）,

②根據(jù)題意得：卜V+2x+2—^—x2—2x+3J=|—x2+2x+，

-/+2%+2-(-x?—2x+3)=-x?+2%+2,或-f+2i+2-(--2%+3)—￡-2%-2,

整理得：x2+2x-3=0,或爐-6%-7=0，

解得：x=-3或x=l或x=3+或x=3-^U,

當(dāng)x=—3時(shí)，y=—(―3)2+2x(-3)+2=—13,尸(—3,—13),

當(dāng)％=1時(shí)，J=-(1)2+2X(1)+2=3,尸(1,3),

當(dāng)％=3+時(shí)，y=—^3+A/TOj+2X(3+A/IU)+2=-11-4折U,P^3+A/10,—11—4V10j,

當(dāng)％=3—時(shí)，y=—(3—A/IU)+2X(3—^/^U)+2=—11+4A/I5\P^3—A/10,—11+4^/10j,

故答案為：(―3,—13)或(1,3)或(3+質(zhì),—11—4加)或(3—而,—11+4加).

25.在正方形ABC。中，點(diǎn)E在邊上，連AE.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若sinNEAC=巫，AB=4,求EC長(zhǎng)；

10

(2)如圖2,點(diǎn)尸在對(duì)角線AC上，滿足AF=Afi,過(guò)點(diǎn)下作所人AC交8于G,點(diǎn)//在線段FG上(不與

端點(diǎn)重合)，連接AH.若44H=45。，求證：BE=DG-HG；

⑶如圖3,在(1)的條件下，點(diǎn)G是AD中點(diǎn)，點(diǎn)H是射線C。上的一動(dòng)點(diǎn)，連GH,將，。GH沿著G”翻

BP

折得到△PGH,連PB交AE于Q,連以PD,當(dāng)歷最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出.皿*的面積.

【答案】(1)2

(2)見(jiàn)解析

⑶孚

【分析】(1)作跖上AC交AC于尸，則Z/ME=NCFE=90。，由正方形的性質(zhì)可得AB=3C=4,NABC=90。，

ZACB=45°,則△CEF為等腰直角三角形，設(shè)CE=2x,則砂=CF=缶，BE=BC-CE=4-2x,由勾股

定理可得鉆=，32_儂+4/，最后根據(jù)sin/EAC=?得出蕓=/=%,求出x的值即

10AEj32—16x+4d10

可得到答案；

(2)連接AG,證明Rt.AFG絲RtADG(HL)得到FG=DG,證明AFH(ASA)得到班=加，即

可得證；

（3）作尸K〃BC,交AE于K,得至％PKQS.BEQ,推出瞿=警，從而得到”段=”詈，進(jìn)而

r（7J\rr{Ji\r

Bp2BP

得到==7^+1，即當(dāng)最小時(shí)，KP最大，由折疊的性質(zhì)可得主=尸3=2，得出點(diǎn)尸在以G為圓心,

FQK尸r<2

2為半徑的圓上，作尸'皿〃AE,且1G于P,交AD的延長(zhǎng)線于W,從而得出當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P，時(shí)，KP最

BP

大，而最小，解直角三角形GWP，求出PW=1,再解直角三角形W7P,求出P7,根據(jù)三角形面積公式進(jìn)

行計(jì)算即可得到答案.

【解析】（1）解：如圖，作砂）AC交AC于尸，則ZAKE=NCEE=90。,

四邊形ABCD是正方形,

：.AB=BC=4,ZABC=9Q°,ZACB=45°,

：.CEF為等腰直角三角形,

EF=CF,

設(shè)CE=2x,貝I