考題猜想06 八年級期中必刷題（壓軸必刷48題13種題型）（原題版）

專題06八年級期中必刷題（壓軸必刷48題13種題型專項訓(xùn)練）一．利用特殊四邊形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題（共5小題）1．（22-23八年級下·廣東廣州·期中）如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB，CD交于點E，F(xiàn)，連接BF，交AC于點M，連接DE，BO．若∠BOC=60°②四邊形BFDE是菱形；③BF垂直平分線段OC；④BE=3AE．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（22-23八年級下·貴州安順·期中）如圖，在正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于點O，E、F分別是邊BC、CD上的動點（點E、F不與線段BC、CD的端點重合），BE=CF，連接OE，OF，EF．在點E、F運動的過程中，有下列四個結(jié)論：①△OEF始終是等腰直角三角形；②△OEF面積的最小值是12；③四邊形OECF的面積始終是1；④至少存在一個△ECF，使得△ECF的周長是2+3；所有正確結(jié)論的序號是（

A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④3．（23-24八年級上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，點E在正方形ABCD外，連結(jié)AE、BE、DE，過點A作AE的垂線交DE于點F．若AE=AF=42，BF=10，則下列結(jié)論：①△AFD≌△AEB；②EB⊥ED；③點B到直線AE的距離為22；④S△ABF4．（21-22八年級下·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中：①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC<2

5．（2021·山東菏澤·一模）如圖，已知正方形ABCD，點M是邊BA延長線上的動點（不與點A重合）且AM<AB，△CBE由△DAM平移得到，若過點E作EH⊥AC，H為垂足，則有以下結(jié)論：①點M位置變化，使得∠DHC=60°時，2BE=DM；②無論點M運動到何處，都有DM=2③在點M的運動過程中，四邊形CEMD可能成為菱形；④無論點M運動到何處，∠CHM一定大于135°．以上結(jié)論正確的有（把所有正確結(jié)論的序號都填上）．

二．折疊問題綜合（共5小題）6．（23-24八年級下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊；頂點E落到點E處，BE交AD于點F．(1)求證：△BDF是等腰三角形；(2)如圖2，O為BD的中點，F(xiàn)O的延長線交BC于G，連接DG，①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；②若AB=6，AD=8，求FG的長．7．（23-24八年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動．【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點D落在點D?處，MD'與BC交于點【猜想】（1）請直接寫出線段MN、CN的數(shù)量關(guān)系______．【應(yīng)用】如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD'上，點A落在點A'處，點B落在點B（2）若CD=4，MD=8，求（3）猜想MN、EM、MC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；8．（22-23八年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在正方形紙片ABCD中，點M、N分別是BC、AD上的點，連接MN．(1)問題探究：如圖1，作DD'⊥MN，交AB于點D(2)問題解決：如圖2，將正方形紙片ABCD沿過點M、N的直線折疊，點D的對應(yīng)點D'恰好落在AB上，點C的對應(yīng)點為點C'，若BD'=129．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）綜合與實踐：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．在矩形ABCD中，E為AB邊上一點，F(xiàn)為AD邊上一點，連接CE、CF，分別將△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，點D、B的對應(yīng)點分別為點G、H，且C、H、G三點共線．(1)如圖1，若F為AD邊的中點，AB=BC=6，點G與點H重合，則∠ECF=°，BE=；(2)如圖2，若F為AD的中點，AB=5，BC=4，求BE的長．(3)AB=5，AD=3，若F為AD的三等分點(圖僅供參考)，請直接寫出BE的長．10．（21-22八年級下·江蘇無錫·期中）已知，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．(1)以點B為坐標(biāo)原點，將矩形ABCD放在平面直角坐標(biāo)系中，點C、A分別在x軸、y軸上（如圖1），沿對角線BD折疊該矩形，點A落在點E處，DE交x軸于點F，求過點F并將矩形面積平分的直線所對應(yīng)的一次函數(shù)表達式；(2)以對角線BD為邊長作正方形DBQP，并將該正方形繞點D旋轉(zhuǎn)，記作正方形DB1Q1P1（如圖2），DB1交邊BC于點M，B1Q1①求證：MN=DH；②正方形DBQP在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點B對應(yīng)的點B1恰好落在線段QP1上時，求線段Q三．與特殊四邊形有關(guān)的最值問題（共4小題）11．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC滿足OA∥BC，OC∥AB，OA=AB=4，且∠OAB=60°．(1)如圖1，求直線AB的解析式；(2)如圖2，將線段AB沿線段AC方向從點A向點C平移，記平移中的線段AB為A'B'，當(dāng)△CA'B'為直角三角形時，在x(3)如圖3，將線段OC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°≤α≤180°），記旋轉(zhuǎn)中的線段OC為OC'，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)線段OC'所在直線與直線BC交于點P，與直線AC交于點Q，是否存在角α，使得△12．（22-23八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，點M、N分別是邊BC、CD上的兩個動點，∠MAN=60°，連接MN．

(1)△AMN是等邊三角形嗎？如是，請證明；如不是，請說明理由．(2)在M、N運動的過程中，△CMN的面積存在最大值嗎？如存在，請求出該最大值；如不存在，請說明理由．13．（21-22八年級下·江蘇南京·期中）如圖1，∠A=∠B=∠C=∠D=∠=∠F=90°，AB、EF、CD為鉛直方向的邊，AF、DE、BC為水平方向的邊，點E在AB、CD之間，且在AF、BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，若一條直線將該圖形的面積分為面積相等的兩部分，則稱此直線為該“L圖形”的等積線．(1)下列四副圖中，直線L是該“L圖形”等積線的是_________(填寫序號)(2)如圖2，直線m是該“L圖形”的等積線，與邊BC、AF分別交于點M、N，過MN中點O的直線分別交邊BC、AF于點P、Q，則直線PQ(填“是”或“不是”)該圖形的等積線．(3)在圖3所示的“L圖形”中，AB=6，BC=10，AF=2．①若CD=2，在下圖中畫出與AB平行的等積線l(在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù))②在①的條件下，該圖形的等積線與水平的兩條邊DE、BC分別交于P、Q，求PQ的最大值；③如果存在與水平方向的兩條邊DE、BC相交的等積線，則CD的取值范圍為．14．（21-22八年級下·江蘇揚州·期末）如圖1，在正方形ABCD中，AD=4，點E是AD的中點，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG、CE．將正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<90°(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，判斷△AGD與△CED是否全等，并說明理由；(2)如圖3，延長CE交直線AG于點P．①求證：AG⊥CP；②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．四．與四邊形有關(guān)的動點問題（共5小題）15．（22-23八年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，AD=10，BC=24，CD=82，∠C=45°，點P(1)當(dāng)x的值為多少時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；(2)點P在邊BC上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由．16．（23-24八年級下·江蘇揚州·階段練習(xí)）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=6cm，AD=14cm，BC=20cm，∠ABC=90°，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C(1)當(dāng)t為何值時，四邊形ABQP成為矩形？(2)當(dāng)t為何值時，以點P、Q與點A、B、C、D中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形？(3)四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由，并探究如何改變Q點的速度（勻速運動），使四邊形PBQD在某一時刻為菱形，求點Q的速度．17．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）四邊形ABCD是正方形，點G、H分別是AB和CD上的動點，將四邊形GBCH沿GH翻折，點B和點C的對稱點分別是E和F．(1)如圖1，若點E在AD上，求證：∠EBC=∠BEF；(2)若點E恰好是AD的中點．①如圖2，當(dāng)正方形的邊長為4時，求AG的長；②如圖3，若EF交CD于點P，連接GP，判斷GP、18．（23-24八年級上·江蘇徐州·期中）數(shù)學(xué)實驗：對矩形紙片進行折紙操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如圖1，①將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②再一次折疊紙片，使點A落在EF上的點N處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN．提出問題：（1）觀察所得到的∠ABM，∠MBN和∠NBC，猜想這三個角之間有什么關(guān)系？證明你的猜想．變式拓展：如圖2，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合，得到折痕PQ，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點A落在PQ上的點A′處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BH、線段BA′；提出問題：（2）已知AB=DC=PQ=10，AD=BC=16，求AH的長．（3）若點G是線段PQ上一動點，當(dāng)△ABG周長最小時，QG=________．19．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為16，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，點P為正方形ABCD邊上的動點，動點P從點A出發(fā)，沿著A→B→C→D運動到A點時停止，設(shè)點P經(jīng)過的路程為x，△APD的面積為y．(1)如圖2，當(dāng)x=4時，y=______；如圖3，當(dāng)點P在邊BC上運動時，y=______；(2)當(dāng)y=24時，求x的值；(3)若點E是邊BC上一點且CE=6，連接DE．①在正方形的邊上是否存在一點P，使得△DCE與△BCP全等？若存在，求出此時x的值；若不存在，請說明理由．②點P在運動過程中，△PBE為等腰三角形，求出此時x的值．五．平行四邊形有關(guān)的存在性問題（共3小題）20．（23-24八年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=2，OC=4，直線y=?12x+2過A點，且與y(1)求點A、點B的坐標(biāo)；(2)試說明：AD⊥BO；(3)若點M是直線AD上的一個動點，在x軸上是否存在另一個點N，使以O(shè)、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．21．（23-24八年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD在直角坐標(biāo)系中，點B、點C都在x軸上，其中OA=4，OB=3，AD=6，E是線段OD的中點．(1)求出C，D的坐標(biāo)；(2)平面內(nèi)是否存在一點N，使以A、D、E、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．（22-23八年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，直線y=?2x+6與x軸、y軸分別相交于點C、B，與直線y=x相交于點A．

(1)求出這兩條直線的交點A的坐標(biāo)；(2)在直線y=x上是否存在一點P，使△ACP的面積等于9？(3)點E為OB的中點，點D從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的正方向移動，過點D作y軸的平行線，與直線y=?2x+6相交于點F，與直線y=x相交于點G，點D的運動時間是t秒．試問以O(shè)、E、F、G為頂點的四邊形能否是平行四邊形？如果能，求出所有t的值；如果不能，請說明理由．六．矩形有關(guān)的存在性問題（共3小題）23．（22-23八年級下·江蘇淮安·期中）如圖，已知直線AB：y=?34x+6交y軸于點A，交x軸于點B，直線AC交x軸于點C（3(1)點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為_______；(2)如圖1，作射線BD∥y軸，交直線AC于點D，請說明：AD平分∠BAO(3)點P為直線AB上的一個動點，連接CP，若S△APCS△BPC(4)過C作直線l垂直于x軸，若M是直線l上的一個動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．24．（23-24八年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OBCD，點C4,22，現(xiàn)將矩形OBCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)（0°<∠EOB<180°）得到矩形OEFG，點B、C、D的對應(yīng)點分別為點E、F、

(1)如圖1，當(dāng)點E落在邊CD上時，求直線FG的函數(shù)表達式；(2)如圖2，當(dāng)C、E、F三點在一直線上時，CD所在直線與OE、GF分別交于點H、M，求線段MG的長度；(3)如圖3，設(shè)點P為邊FG的中點，連接PE，在矩形OBCD旋轉(zhuǎn)過程中，點B到直線PE的距離是否存在最大值？若存在，請直接寫出這個最大值；若不存在，請說明理由．25．（22-23八年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)矩形ABCD，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°)，得到矩形AEFG，點B、點C、點D的對應(yīng)點分別為點E、點F、點G．(1)如圖①，當(dāng)點E落在DC邊上時，直寫出線段EC的長度為______；(2)如圖②，當(dāng)點E落在線段CF上時，AE與DC相交于點H，連接AC．①求證：△ACD≌△CAE；②求線段DH的長度．(3)如圖③設(shè)點P為邊FG的中點，連接PB，PE，在矩形ABCD旋轉(zhuǎn)過程中，△BEP的面積是否存在最大值？若存在請直接寫出這個最大值；若不存在請說明理由．七．菱形有關(guān)的存在性問題（共3小題）26．（23-24八年級下·江蘇揚州·階段練習(xí)）已知，如圖，O為坐標(biāo)原點，四邊形OABC為矩形，A10,0，C0,3，點D是OA的中點，動點P在線段BC上以每秒2個單位長的速度由點C向B運動.設(shè)動點P的運動時間為

(1)當(dāng)t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形；(2)在直線CB上是否存在一點Q，使得O、D、Q、P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)在線段PB上有一點M且PM=5，直接寫出四邊形OAMP的周長的最小值，并在圖上畫圖標(biāo)出點M的位置，27．（22-23八年級下·江蘇連云港·期中）如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C在坐標(biāo)軸上，B點坐標(biāo)?4,12，△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點D在x軸上，直線BD交y軸于點F，交OE于點H

(1)求直線BD的解析式；(2)求△BOH的面積；(3)點M在x軸上，平面內(nèi)是否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．28．（22-23八年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8．點E、F、G、H分別在AD、BC、AB、CD上，且AE=CF，AG=GH．

(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形；(2)當(dāng)AE=5時，是否存在四邊形EGFH是菱形？若存在，請求出DH的長；若不存在，請說明理由；(3)對于AD上的任意一點E，是否存在一個四邊形EFGH是菱形？若都存在，請加以證明；若AD上只有一部分點存在，請求出存在四邊形EFGH是菱形時，AE長的取值范圍．八．正方形有關(guān)的存在性問題（共3小題）29．（20-21八年級下·江蘇連云港·期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B、C、D坐標(biāo)分別為（0，3）、（7，0）、（4，3）、（0，2），連接AC和BC，點P為線段AC上一從左向右運動的點，以PD為邊作菱形PDEF，其中點E落在x軸上．（1）則BC的長為，∠OBC的度數(shù)為°；（2）在點P運動過程中，是否能使得四邊形PDEF為正方形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)若不存在，請說明理由；（3）如圖2，當(dāng)點P運動到使得菱形PDEF的頂點F恰好在邊BC上時，求出此時點F的坐標(biāo)．（4）若要使得頂點F不落在四邊形OACB外，請直接寫出菱形PDEF的對角線交點的最大運動路徑長．30．（21-22八年級下·河北滄州·期末）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中．直線l：y=?2x+10k≠0經(jīng)過點C3,4，與x軸，y軸分別交于點A，B，點D的坐標(biāo)為(8，4)，連接OD，交直線l于點M，連按OC，CD，(1)填空：點A的坐標(biāo)為_________；點M的坐標(biāo)為______；(2)求證：四邊形OADC是菱形；(3)直線AP：y=?x+5與y軸交于點P．①連接MP，則MP的長為_______；②已知點E在直線AP上，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點F，使以O(shè)，A，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．31．（21-22八年級下·江蘇泰州·期中）如圖，四邊形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，點M從點D出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時，點N從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動．當(dāng)其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP⊥AD于點P，連接AC交NP于點Q，連接MQ，設(shè)運動時間為t秒（0<t<4）．(1)求點B到線段AC的距離；(2)當(dāng)NP經(jīng)過線段AC中點時，求t的值并直接寫出此時線段MQ、NQ的關(guān)系；(3)連接AN、CP，在點M、N運動過程中，是否存在某一時刻t，使四邊形ANCP的面積與四邊形ABNP的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(4)將△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在點M、N運動過程中，①是否存在某時刻t，使四邊形AQMK為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；②是否存在某時刻t，使四邊形AQMK為正方形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．九．其它存在性問題（共3小題）32．（22-23八年級下·江蘇無錫·期中）在8×8的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A（2,?4），B（4,?2）．C是第四象限內(nèi)的一個格點，由點(1)填空：C點的坐標(biāo)是，△ABC的面積是；(2)將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)180°得到△A1B1C1，連接AB(3)請?zhí)骄浚涸趛軸上是否存在這樣的點P，使四邊形ABOP的面積等于△ABC面積的2.5倍？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)（不必寫出解答過程）；若不存在，請說明理由．33．（22-23八年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E、F依次為AD、CD邊上的動點，且分別從A、D出發(fā)，以相同的速度同時向終點D、C運動，連接BE、AF相交于H．(1)試問：在整個運動過程中，BE、AF之間的關(guān)系是否保持不變，并請說明理由；(2)AB的中點為G，在整個運動過程中，是否存在某一時刻．使DH+HG=2+2234．（21-22八年級下·江蘇徐州·階段練習(xí)）情境：如圖1，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，A′B′、A′D′與正方形ABCD相鄰兩邊的交點分別為點E、F，A′B′>2．(1)【問題】求證：OE=OF；(2)【探究】將正方形A′B′C′D′繞點A′旋轉(zhuǎn)，兩個正方形重合部分的形狀會隨之發(fā)生變化，①當(dāng)正方形A′B′C′D′的邊A′B′、A′D′與正方形ABCD的對角線共線時，如圖2，此時兩個正方形重合部分為等腰直角三角形，重合部分面積為___________；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至其他任意位置時，這兩個正方形重合部分的面積會發(fā)生變化嗎？若不變，請求出重合部分面積．(3)【拓展】連接EF，在旋轉(zhuǎn)過程中，EF是否存在最小值，若存在，請在圖3中畫出示意圖，并直接寫出EF的最小值．十．正方形45°半角模型（共5小題）35．（22-23八年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N．當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時（如圖1），易證BM+DN=MN．

(1)當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（如圖2），線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出猜想：________________________．(2)當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．(3)圖3中若AB=5，MN=8，求△AMN的面積．36．（22-23八年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖1，四邊形ABCD是矩形，動點P從B出發(fā)，沿射線BC方向移動，作△PAB關(guān)于直線PA的對稱△PAB

(1)若四邊形ABCD是正方形，直線PB'與直線CD相交于點M，連接①如圖2，當(dāng)點P在線段BC上(不包括B和C)，說明結(jié)論“∠PAM=45°”成立的理由．②當(dāng)點P在線段BC延長線上，試探究：結(jié)論∠PAM=45°是否總是成立？請說明理由．(2)在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，當(dāng)△PCB'為直角三角形時，求37．（2019·山東德州·二模）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=45°．則有結(jié)論(1)如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF是(2)若將（1）中的條件改為：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延長BC到點E，延長CD到點F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結(jié)論38．（19-20九年級上·江西上饒·期中）探究：(1)如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=45°，試判斷BE，DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：______．(2)如圖2，若把（1）問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=1(3)在（2）問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點分別E，F(xiàn)運動到BC，CD延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結(jié)論并予以證明．十一．與特殊四邊形有關(guān)的新定義問題（共3小題）39．（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）問題背景定義：若兩個等腰三角形有公共底邊，且兩個頂角的和是180°，則稱這兩個三角形是關(guān)于這條底邊的互補三角形．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB=AC，DB=DC，且∠A+∠D=180°，則△ABC與△DBC是關(guān)于(1)初步思考：如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E為△ABC外兩點，EB=EC，∠EBC=45°，△DBC為等邊三角形．則(2)實踐應(yīng)用：如圖3，在長方形ABCD中，AB=8，AD=10．點E在AB邊上，點F在AD邊上，若△BEF與△BCF是關(guān)于BF互補三角形，試求(3)思維探究：如圖4，在長方形ABCD中，AB=8，AD=10．點E是線段AB上的動點，點P是平面內(nèi)一點，△BEP與△BCP是關(guān)于BP的互補三角形，直線CP與直線AD交于點F．在點E運動過程中，線段BE與線段AF的長度是否會相等？若相等，請直接寫出40．（23-24八年級上·江蘇南京·期中）在數(shù)學(xué)實驗課上，老師讓學(xué)生以“折疊箏形”為主題開展數(shù)學(xué)實踐探究活動．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)概念理解：如圖1，將一張紙對折壓平，以折痕為邊折出一個三角形，然后把紙展平，折痕為四邊形ABCD．判斷四邊形ABCD的形狀：箏形（填“是”或“不是”）；(2)性質(zhì)探究：如圖2，已知四邊形ABCD紙片是箏形，請用測量、折疊等方法猜想箏形的角、對角線有什么幾何特征，然后寫出一條性質(zhì)并進行證明；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，AD是銳角△ABC的高，將△ABD沿邊AB翻折后得到△ABE，將△ACD沿邊AC翻折后得到△ACF，延長EB,FC交于點G．①若∠BAC=50°，當(dāng)△BCG是等腰三角形時，請直接寫出∠BAD的度數(shù)；②若∠BAC=45°，BD=2,AD=5,AE=EG=FG，求CD的長．41．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期中）定義：平面內(nèi)一點P到點A，點B，點C三個點的距離分別為PA、PB、PC，若有PA2+PB2=PC2，則稱點P為

(1)若點P為A，B，C三點關(guān)于點C的勾股點，且PA=1，PB=2，則PC=；(2)如圖1，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC，AD=AE，點D為邊BC上一動點．求證：點D為B，C，E三點關(guān)于點E的勾股點；(3)如圖2，△AEC為直角三角形，∠EAC=90°，點P為A，B，C三點關(guān)于點C的勾股點，連接PA，PC，作PD⊥AC，垂足為點B，交EC于點D，連接BE，且BE∥AP，AP=5，EC=8，試求十二．與特殊四邊形有關(guān)的規(guī)律探索問題（共3小題）42．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）（1）探究規(guī)律：如圖1，點P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，△PAB，△PCD的面積分別記為S1，S2，平行四邊形ABCD的面積記為S，試探究S1（2）解決問題：如圖2矩形ABCD中，AB=5，BC=8，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，且AE=CG=3，AH=CF=2，點P為矩形內(nèi)一點，四邊形AEPH、四邊形CGPF的面積分別記為S1，S2，求43．（22-23八年級下·江蘇·期末）解答題(1)證明三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；[要求根據(jù)圖1寫出已知、求證、證明；在證明過程中，至少有兩處寫出推理依據(jù)（“已知”除外）](2)如圖2，在?ABCD中，對角線交點為O，A1、B1、C1、D(3)借助圖形3反映的規(guī)律，猜猜l可能是多少？

44．（21-22八年級下·安徽淮北·期中）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】：如圖1，D是等邊△ACB的邊BC上的一動點，其中等邊△ACB的邊長為10，以AD為邊在AB上方作等邊△ADE，小明認(rèn)為AD有最小值，那么AD的最小值是___________．（2）①【問題探究】：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為___________；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是___________．②【問題探究】：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【問題解決】（3）如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，十三．與特殊四邊形有關(guān)的閱讀材料問題（共4小題）45．（23-24八年級上·湖北十堰·階段練習(xí)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型.半角模型可證出多個幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點的∠EAF=45°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點.易證得EF=BE+FD.大致證明思路：如圖2，將延長CB至點H，使BH=DF，連AH，可證△ADF≌△ABH，再證△AEF≌△AEH，故EF=BE+DF.任務(wù)：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A為頂點的∠EAF=60°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點.請參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論EF=BE+DF是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.46．