【函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的探究5600字（論文）】

函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的研究目錄TOC\o"1-2"\h\u24906函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的研究 19232摘要 17441關(guān)鍵詞：函數(shù)與方程思想，中學(xué)數(shù)學(xué)，典型問(wèn)題應(yīng)用研究，教學(xué)策略 120548前言 130069一、函數(shù)與方程思想分析 215672（一）函數(shù)與方程思想概述 29441（二）關(guān)于學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程思想的掌握程度 216958（三）教師對(duì)函數(shù)與方程思想的教學(xué)可能存在的問(wèn)題 331118二、函數(shù)與方程思想的典型應(yīng)用研究 316409（一）運(yùn)用函數(shù)思想解決含參數(shù)問(wèn)題 35878（二）運(yùn)用函數(shù)思想證明不等式 4788（三）運(yùn)用方程思想解決幾何問(wèn)題 523563三、教學(xué)案例研究 627364（一）教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用函數(shù)思想解題案例分析 623567（二）教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用方程思想解題案例分析 611932（三）教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題案例分析 71852四、函數(shù)與方程思想的教學(xué)建議 71335（一）學(xué)習(xí)建議 718847（二）教學(xué)策略 832650結(jié)論 922993參考文獻(xiàn) 10摘要函數(shù)與方程的思想方法可以直接將一些抽象復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，轉(zhuǎn)換數(shù)量關(guān)系，用主觀的函數(shù)圖像替代抽象的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而搭建解決抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題的橋梁。此外，函數(shù)與方程一直是中高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)，難點(diǎn)問(wèn)題。本文闡述了函數(shù)與方程思想的概念，并分析函數(shù)與方程思想教學(xué)中可能存在的問(wèn)題，同時(shí)探討了函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中六類(lèi)典型問(wèn)題中的應(yīng)用，最后提出了幾點(diǎn)關(guān)于函數(shù)與方程思想的學(xué)習(xí)建議和教學(xué)策略。關(guān)鍵詞：函數(shù)與方程思想，中學(xué)數(shù)學(xué)，典型問(wèn)題應(yīng)用研究，教學(xué)策略前言功能和方程式的思想既有功能的，也有方程式的。所謂的功能思維，就是利用函數(shù)的特性和概念，來(lái)分析、轉(zhuǎn)換、解決問(wèn)題，而方程的思維，就是根據(jù)問(wèn)題的數(shù)量，運(yùn)用自己的數(shù)學(xué)知識(shí)，來(lái)解決問(wèn)題。在教學(xué)和學(xué)習(xí)的過(guò)程中，函數(shù)和方程的概念經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，老師需要引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)和方程來(lái)解決和理解相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣既可以促進(jìn)學(xué)生的解題能力，又可以有效地提高解題的準(zhǔn)確率和效率。在應(yīng)用功能思維解決問(wèn)題時(shí)，研究的是數(shù)量和變量的關(guān)系，而方程式思維則是分析問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系。函數(shù)和方程式的概念是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一條主線，因此，加強(qiáng)對(duì)其教學(xué)和學(xué)習(xí)的研究具有重要的理論意義。中高考強(qiáng)調(diào)“知識(shí)與實(shí)踐相結(jié)合”，而現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中常常包含著函數(shù)和方程式，如何合理地運(yùn)用函數(shù)和方程式，是中學(xué)數(shù)學(xué)教育必須探索的一個(gè)重要問(wèn)題。一、函數(shù)與方程思想分析（一）函數(shù)與方程思想概述函數(shù)和方程式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要思想，它是運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)來(lái)分析、轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題的一種思考方法。方程式思維是用方程式來(lái)解決問(wèn)題，同時(shí)也是對(duì)方程式的概念性質(zhì)的理解，它主要是對(duì)數(shù)理問(wèn)題之間的各種變項(xiàng)進(jìn)行分析。將這兩種方法結(jié)合起來(lái)，可以減少數(shù)學(xué)難題的難度，從而讓數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單和高效。這兩種方法的共同之處，就是將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、方程或者兩者的組合，從而減少了題目的難度，從而解決了問(wèn)題。為更好地理解學(xué)生會(huì)的功能和方程式的學(xué)習(xí)狀況，我們采訪了一些中學(xué)的數(shù)學(xué)教師和學(xué)生（主要是婁底市的星星實(shí)驗(yàn)學(xué)校、漣源四中、漣源六中），并參考了一些資料，得到了如下的研究結(jié)論。《幾何原本》是希臘時(shí)代和人類(lèi)發(fā)展史上最早的一部數(shù)學(xué)思想方法。《幾何原本》是一部由希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得寫(xiě)成的，大約在公元前300年左右，他將希臘的數(shù)學(xué)資料進(jìn)行了梳理，并將其運(yùn)用到了現(xiàn)代，而在近代，《幾何原本》被翻譯為中文。最早見(jiàn)于劉徽的《九章算術(shù)》。函數(shù)和方程式的概念是非常普遍的。本文以高中數(shù)學(xué)思維方法為切入點(diǎn)，闡述了數(shù)列問(wèn)題應(yīng)用、不等式應(yīng)用、應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)用三個(gè)方面的具體應(yīng)用。本文從多個(gè)方面分析了這些問(wèn)題，以期對(duì)教師在數(shù)學(xué)思維教學(xué)中的應(yīng)用有所幫助。本文通過(guò)對(duì)函數(shù)和方程思想在解題過(guò)程中的具體應(yīng)用進(jìn)行了探討，并指出了將函數(shù)和方程式的思想用于解決問(wèn)題，從而使我們能夠正確地理解和理解這些問(wèn)題。本文從功能和方程式的概念出發(fā)，闡述了函數(shù)與方程式的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的作用，強(qiáng)調(diào)了其思想的意義，并強(qiáng)調(diào)了其思想的意義，強(qiáng)調(diào)了在問(wèn)題的情況下，如何合理地構(gòu)造函數(shù)或方程的模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法來(lái)表示數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到逐步轉(zhuǎn)化的目的。（二）關(guān)于學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程思想的掌握程度大多數(shù)同學(xué)對(duì)函數(shù)和方程式的概念都很了解，但大多數(shù)同學(xué)對(duì)它的理解卻很模糊，只有少數(shù)人能用它來(lái)解決問(wèn)題。主要問(wèn)題是：沒(méi)有充分考慮到函數(shù)和方程的概念。在解題時(shí)，同學(xué)們只關(guān)注是否能解出問(wèn)題，卻忽視了解題的過(guò)程和解題方式，再加上課本上沒(méi)有函數(shù)和方程式的概念，讓他們下意識(shí)地以為，函數(shù)和方程式這兩個(gè)概念太難學(xué)，根本就不想學(xué)。學(xué)生對(duì)基本的函數(shù)和方程的理解還不充分。在中學(xué)里，函數(shù)和方程是最重要的，也是最重要的，因?yàn)樗鼈兪菑母咧械礁咧械?，每一?jié)課都是在不斷的積累，如果一個(gè)學(xué)期的時(shí)間不夠扎實(shí)，那么就會(huì)嚴(yán)重的影響到后面的公式和函數(shù)。在解決問(wèn)題時(shí)，很少采用函數(shù)和方程式思維。當(dāng)老師解答函數(shù)和方程式的問(wèn)題時(shí)，他們會(huì)覺(jué)得自己能理解，而當(dāng)他們自己做題時(shí)，卻不知道該從哪里開(kāi)始，或者說(shuō)，他們的思維模糊不清，或者根本就沒(méi)有答案。只有在老師的指導(dǎo)下，他才能用函數(shù)和公式來(lái)解決問(wèn)題。學(xué)生對(duì)功能和方程式的思考還不夠深入。在老師的講解下，中學(xué)數(shù)學(xué)的課程題目都要記下來(lái)，而做筆記，就是要讓學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行分類(lèi)，思考，總結(jié)，理解。這種學(xué)習(xí)方式是大多數(shù)同學(xué)都不具備的，有些人在課堂上做了筆記，卻沒(méi)有完全理解，有些人雖然已經(jīng)做了筆記，但卻沒(méi)有時(shí)間去思考和總結(jié)。（三）教師對(duì)函數(shù)與方程思想的教學(xué)可能存在的問(wèn)題有25%的人認(rèn)為老師在課堂上提及的是函數(shù)和方程式，只有百分之七十五。教師在教學(xué)中的主要問(wèn)題是：教師不太注重功能和公式思維。只有簡(jiǎn)單的解題思路，缺乏對(duì)函數(shù)和方程式的思考的專(zhuān)題分析。在教學(xué)方法上，沒(méi)有強(qiáng)調(diào)函數(shù)和方程式的概念。在教學(xué)設(shè)計(jì)方面，由于忙于教學(xué)進(jìn)度，沒(méi)有進(jìn)行主題練習(xí)，對(duì)函數(shù)和方程式的思維進(jìn)行了歸納，從而造成了對(duì)函數(shù)和方程式思想的指導(dǎo)不足，在教學(xué)中提出函數(shù)和方程式的思考也不多。有的老師沒(méi)有自己的知識(shí)，只是分析了一個(gè)特定的問(wèn)題，卻很少提到，也沒(méi)有提到它的概念和概念。二、函數(shù)與方程思想的典型應(yīng)用研究（一）運(yùn)用函數(shù)思想解決含參數(shù)問(wèn)題例題3.1（2020全國(guó)Ⅰ卷第21.2題）已知函數(shù)f(x)=ex+ax2?x，當(dāng)解析：本題主要考察函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的恒成立問(wèn)題，利用函數(shù)的概念來(lái)構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)模型，然后利用函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的特性來(lái)求解原問(wèn)題。解：依題意得：f(x)≥1設(shè)函數(shù)g(x)=(12x3?axg=?1=?(i)若2a+1≤0，即a≤?12，則當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，∴g(x)在(0,2)單調(diào)遞增，而g(0)=1，∴當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，g(x)>1，不合題意(ii)若0<2a+1<2，即?1當(dāng)x∈(0,2a)∪(2,+∞)時(shí)，當(dāng)x∈(2a+1,2)時(shí)，∴g(x)在(2a+1,2)單調(diào)遞增，在(0,2a),(2,+∞)單調(diào)遞減而g(0)=1∴g(x)≤1當(dāng)且僅當(dāng)g(2)=(7?4a)e?2≤1即a≥∴當(dāng)7?e2g(x)≤(12∵0∈[由（ii）可得(∴當(dāng)a≥12綜上，a的取值范圍是[（二）運(yùn)用函數(shù)思想證明不等式例題3.2（2020全國(guó)Ⅱ卷第21題）已知函數(shù)f(x)=sin（1）討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性；（2）證明：f(x)≤解析：本題主要考察函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，三角恒等變換，不等式的證明，利用三角函數(shù)的有關(guān)屬性，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)問(wèn)題。解：（1）f=2sinxcosxsin2x+2=2sinxsin3x當(dāng)x∈(0,π3當(dāng)x∈(π3∴f(x)在區(qū)間(0,π在區(qū)間(π∵f(0)=f(π)=0由（1）知f(x)在[0,π]的最大值為f(最小值為f(而f(x)是周期為π的周期函數(shù)∴f(x)（三）運(yùn)用方程思想解決幾何問(wèn)題例題3.3(2020國(guó)家卷15題）可知，錐形的底部半徑是1，而母線長(zhǎng)度是3，那么這個(gè)錐形中最大的球體的容積是什么？解析：本題主要考察了錐形內(nèi)切球，利用方程式的思路，從縱向關(guān)系出發(fā)，建立了內(nèi)切球半徑的方程式。解：根據(jù)題目的意思，最大的球體是內(nèi)切球，而錐形PE和它的內(nèi)切球O見(jiàn)圖3.3設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，PB=3,BE=1則sin∠BPE=∴OP=3r∴OP=3r∴PE=4r=∴r=∴內(nèi)切球的體積：V=即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為23圖3.3三、教學(xué)案例研究（一）教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用函數(shù)思想解題案例分析在解題過(guò)程中，教育者首先要引導(dǎo)學(xué)生思考：總的解題方向是什么？怎么轉(zhuǎn)化不等式f(x)≥12x3+1更益于解題？（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)提出問(wèn)題，將學(xué)生的思維往函數(shù)上引導(dǎo)，體現(xiàn)函數(shù)思想，為后續(xù)運(yùn)用函數(shù)思想解題做鋪墊。）不等式轉(zhuǎn)化成(12x3?a可轉(zhuǎn)化為?33至此，我們只需運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，計(jì)算其最值，加以說(shuō)明即可作用：能夠有效的將題目難度降下來(lái)，直觀地體現(xiàn)函數(shù)思想的優(yōu)點(diǎn)。（二）教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用方程思想解題案例分析在教學(xué)中，老師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生將最大的球體作為一個(gè)圓錐形的內(nèi)切球進(jìn)行解析，如果內(nèi)切球的半徑是不確定的，那么可以將半徑r設(shè)為r（設(shè)計(jì)目的：將未知的量或變量轉(zhuǎn)換成常數(shù)），利用POC和△PEB，將問(wèn)題的底部半徑與母線之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換為半徑r和PO之間的關(guān)系，然后利用直角三角形的勾股定理，得到r的方程，得到半徑，然后得到球體的表面和體積。（目的：指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用公式思維，轉(zhuǎn)換問(wèn)題的已知條件。在不確定的情況下，可以用公式來(lái)構(gòu)造公式，這樣就能更好的計(jì)算出重要的數(shù)值，從而凸顯出公式的優(yōu)點(diǎn)。）（三）教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題案例分析在教學(xué)中，教師要注意：圓錐曲線方程和函數(shù)有本質(zhì)的不同，它和函數(shù)是相關(guān)的，可以將它們結(jié)合起來(lái)，如果直線L的方程是不確定的，那么我們可以從一次函數(shù)的圖象為一條直線出發(fā)，假定它是一個(gè)拋物線的方程和它的特性y=32x+b這個(gè)b。（目的：讓同學(xué)們了解到，函數(shù)和方程式之間的關(guān)系，可以互相配合，讓他們感受到函數(shù)和方程式的精妙，讓他們?cè)诓恢挥X(jué)中，對(duì)函數(shù)和方程的概念進(jìn)行培養(yǎng)。）在課堂上，引導(dǎo)同學(xué)們對(duì)方程式進(jìn)行解析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這并非一元二次方程式，而是一元三次方程式，以方程式根的判別法，根本無(wú)法解決此問(wèn)題。這時(shí)，請(qǐng)同學(xué)將等號(hào)左側(cè)的項(xiàng)看作一個(gè)函數(shù)，如果這個(gè)函數(shù)就是我們要找到的。兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)正好是等式的解法，所以交點(diǎn)的數(shù)目就是方程式的實(shí)根數(shù)f(x)=在教學(xué)過(guò)程中，幫助學(xué)生理清解題思路，為學(xué)生提供簡(jiǎn)單直接有效的解題方法，此題旨在構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，分析已給信息，沒(méi)有直接的函數(shù)關(guān)系可以運(yùn)用，但是有等量關(guān)系，可以構(gòu)建方程，而構(gòu)建方程需要假設(shè)未知量，此題有兩個(gè)未知量：兩車(chē)之間的距離f(x)、行駛時(shí)間x。處理好未知量，找等量關(guān)系；f(x)=900?(90+60)x，建立好一元二次方程，也解決了兩車(chē)之間的距離f(x)與行駛時(shí)間x的四、函數(shù)與方程思想的教學(xué)建議（一）學(xué)習(xí)建議首先，要注重對(duì)基本的函數(shù)和方程的掌握，這是高中階段的一個(gè)難點(diǎn)，要注意記筆記，并及時(shí)鞏固所學(xué)的內(nèi)容。其次，整理整理好的筆記，獨(dú)立使用函數(shù)和方程式進(jìn)行思考，得出答案，所謂“好事多磨”，就是這樣，反復(fù)練習(xí)，才能有自己的想法。第三步，歸納歸納了函數(shù)和方程的相關(guān)知識(shí)，理清了它們之間的邏輯關(guān)系，找到了它們之間的聯(lián)系和差異，并建立起了一個(gè)完整的知識(shí)庫(kù)。（二）教學(xué)策略教師在教學(xué)中注重函數(shù)和方程式的思想，但在教學(xué)中難免會(huì)出現(xiàn)教育者的錯(cuò)誤，或是在傳授知識(shí)時(shí)忽視了許多因素，從而影響了學(xué)生的功能和方程式觀念，從而影響了他們的應(yīng)用意識(shí)。在教學(xué)中，要注重函數(shù)和方程式的教學(xué)，要把函數(shù)和方程式的思想滲透得像質(zhì)一樣，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)更加深刻，把課堂作為主要途徑，不斷改善教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。在解題過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生積極地運(yùn)用函數(shù)和方程式思維，積極地幫助學(xué)生對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)，培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

結(jié)論函數(shù)和方程是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)中，靈活地使用函數(shù)和方程式，可以有效地解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高求解的效率和精確度。從中學(xué)數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，函數(shù)和方程式一直是高中物理教學(xué)中的一個(gè)熱門(mén)話題，也是一個(gè)難題。在數(shù)學(xué)思維中，函數(shù)和方程的概念非常突出和重要，它可以把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，把抽象的問(wèn)題具體化，把問(wèn)題變成方程，或者函數(shù)，然后利用方程和函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，來(lái)解決問(wèn)題。教師在研究函數(shù)和方程式的思想時(shí)，要概括出函數(shù)、方程式的概念和研究意義，并具體分析其實(shí)際應(yīng)用。在解題之前，學(xué)生要先了解方程（群），函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，這是函數(shù)和方程的基本概念，在解題時(shí)，將函數(shù)和方程結(jié)合起來(lái)，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了。在日常教學(xué)中，及時(shí)幫助同學(xué)們對(duì)函數(shù)和方程式的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行整理，使他們能夠靈活的使用函數(shù)和方程式，并充分發(fā)揮函數(shù)和方程式思維的優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)方法、教學(xué)技巧進(jìn)行了總結(jié)和反思，及時(shí)對(duì)學(xué)情進(jìn)行分析，并作出相應(yīng)的調(diào)整和改善。

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