2024年高考數學專項復習：概率遞推與馬爾科夫（解析版）

2024年高考數學專項概率遞推與馬爾科夫(解析

版)

遞推方法計算概率與一維馬爾科夫過程

一、基本原理

雖然貝葉斯公式不做要求，但是全概率公式已經是新高考考查內容了，利用全概率公式，我們既可以構造

某些遞推關系求解概率，還可以推導經典的一維隨機游走模型，即：設數軸上一個點，它的位置只能位于

整點處，在時刻t=0時,位于點x=i[iEN+),下一個時刻，它將以概率a或者B

(aG(0,l),a+￡=1)向左或者向右平移一個單位.若記狀態(tài)X±=t表示:在時刻t該點位于位置多=

N+),那么由全概率公式可得：

=P(X=i).網乂+1/乂=一)+。(乂=+1)下(乂+0[乂=+1)

另一方面，由于P(X*+1|-B^-t+1=^|-a代入上式可得：

Pi=a'Pi+i+/3-Pi-i

進一步，我們假設在④=0與x=m(m>0,mEN+)處各有一個吸收壁，當點到達吸收壁時被吸收，不再

游走.于是，冗=0,Pm=l.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.

進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為a,原地不動，其概率為b，向右平移

一個單位，其概率為c，那么根據全概率公式可得：

Pi=aPi-r+bPi+cPi+r

有了這樣的理論分析,下面我們看全概率公式及以為隨機游走模型在2019年全國1卷中的應用.

二、典例分析

(11(23屆佛山二模)有幾個編號分別為1,2,…，打的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒

子中均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一

球放入第3個盒子，以此類推,則從第2個盒子中取到白球的概率是,從第n個盒子中取到白

球的概率是.

隨2(23屆杭州二模)馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強

化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數學定義為:假設我

們的序列狀態(tài)是…，X-2，X-,X”為+1,…，那么乂+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)X”

即尸(X+J…,XT，X1,X,=/為+,).

現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1

元，每一局賭徒賭輸的概率為50%,且賭輸就要輸掉1元.賭徒會一直玩下去,直到遇到如下兩種情

況才會結束賭博游戲:一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的B元,賭徒停止

賭博.記賭徒的本金為人(人eN*,A<8),賭博過程如下圖的數軸所示.

0.50.5

A-1AA+\

AV-1——1-1-L~1----------?

0B

0.50.5

當賭徒手中有71元(0W"B,nCN)時，最終輸光的概率為F(n)，請回答下列問題：

⑴請直接寫出P(0)與尸(8)的數值.

(2)證明｛F(n)｝是一個等差數列，并寫出公差d.

⑶當A=100時,分別計算B=200,B=1000時,P(A)的數值，并結合實際,解釋當口一8時,

F(A)的統(tǒng)計含義.

113(2019全國1卷).為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行

動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只

施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白

鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效.為了方便描述問

題,約定:對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得T

分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治

愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和￡,一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

⑵若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，R(E=0,l,…,8)表示“甲藥的累計得分為E時，最終認為

甲藥比乙藥更有效”的概率，則為=0,R=1,E=aP^+bPAcP^i=0,1,…,7),其中a=

P(X=—1),b=P(X=0),c=P[X=1).假設a=0.5,/3=0.8.

(i)證明:｛一.-品｝(，=0,1,…,7)為等比數列;

(n)求并根據2的值解釋這種試驗方案的合理性.

114足球是一項大眾喜愛的運動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12

月18日晚進行，全程為期28天.

校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等

可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開

始傳球的人為第1次觸球者，第八次觸球者是甲的概率記為2,即Pi=1.

（1）求2（直接寫出結果即可）；

（2）證明：數列［2-1｝為等比數列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.

題5馬爾可夫鏈是因俄國數學家安德烈?馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第九+1次狀態(tài)

的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關，與第ri—1,八—2,八—3,…次狀態(tài)是“沒有任何關系的”.現(xiàn)有

甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個

球交換，重復進行"⑺€N*）次操作后，記甲盒子中黑球個數為X”，甲盒中恰有1個黑球的概率為

“，恰有2個黑球的概率為bn.

⑴求Xi的分布列；

（2）求數列｛為｝的通項公式；

（3）求X”的期望.

遞推方法計算概率與一維馬爾科夫過程

一、基本原理

雖然貝葉斯公式不做要求，但是全概率公式已經是新高考考查內容了，利用全概率公式，我們既可以構造

某些遞推關系求解概率，還可以推導經典的一維隨機游走模型，即：設數軸上一個點，它的位置只能位于

整點處，在時刻t=0時,位于點x=i［iEN+),下一個時刻，它將以概率a或者B

(aG(O,l),a+￡=1)向左或者向右平移一個單位.若記狀態(tài)X±=t表示:在時刻t該點位于位置多=

N+),那么由全概率公式可得：

pgq=P(X=i)?。(乂+1/*=一)+。(乂=+1)下(乂+0［乂=+1)

另一方面，由于P(X*+1|i-B^-t+1=^|-a代入上式可得：

Pi=a'Pi+i+/3-Pi-i

進一步，我們假設在④=0與x=m(m>O,mEN+)處各有一個吸收壁，當點到達吸收壁時被吸收，不再

游走.于是，冗=0,Pm=l.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.

進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為a,原地不動，其概率為b，向右平移

一個單位，其概率為c，那么根據全概率公式可得：

Pi=aPi-r+bPi+cPi+r

有了這樣的理論分析，下面我們看全概率公式及以為|?機游走模型在2019年全國1卷中的應用.

二、典例分析

刷1(23屆佛山二模)有幾個編號分別為1,2,…，打的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒

子中均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一

球放入第3個盒子，以此類推,則從第2個盒子中取到白球的概率是,從第n個盒子中取到白

球的概率是.

Q___

解析:記事件4表示從第認i=l,2,…,n)個盒子里取出白球，則P(4)=—,F(A)=1—P(4)=

o

1

所以尸(4)=~人㈤+P(*2)=P(A)尸⑷4)+玳4)網聞4)=-|x-|+|x|=|,

P(A)=F(A2)F(A|A)+P(A)P(A|A)=F(A)x|-+p㈤x^=^-xP(A2)+/=*,

尸(4)=P(4)尸⑶|4)+P(瓦)P("4)=F(A3)x告+p(W)x*=今P(4)+y,

進而可得P(4)=-1-P(Al-i)+v>P(4)—卷=9P(4-i)-卷］，又P(4)一.=",P(4)—

OOZDZZO

I2=白，。(4)一卷=書—一半，所以「(4)一打是首項為小，公比為1■的等比數列，所

；Zlo2o'-2JI2)0o

\以尸(4)-六卷*信廣=/(打，即口兒)=j*信-，故答案為：f;fx(17

,1

[+亍

廁2(23屆杭州二模)馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強

化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數學定義為:假設我

們的序列狀態(tài)是…，Xi,X-,X,M+1,…，那么X‘+i時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)X”

即F(Xt+1|…,X-,Xi,X，=F(Xi+1|xt).

現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1

元，每一局賭徒賭輸的概率為50%,且賭輸就要輸掉1元.賭徒會一直玩下去,直到遇到如下兩種情

況才會結束賭博游戲:一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光;一種是賭金達到預期的8元，賭徒停止

賭博.記賭徒的本金為A(AeN*,A<8),賭博過程如下圖的數軸所示.

0.50.5

C\CX

A-\AA+\

I111

AV_——__L

0

0.50.5

當賭徒手中有九元(0WnWB,neN)時，最終輸光的概率為P("),請回答下列問題：

⑴請直接寫出P(0)與P(B)的數值.

⑵證明｛F(n)｝是一個等差數列，并寫出公差d.

(3)當A=100時，分別計算B=200,5=1000時，P(A)的數值，并結合實際，解釋當8->8時,

F(A)的統(tǒng)計含義.

解析：(1)當？1=0時，賭徒已經輸光了，因此P(0)=1.當71=時，賭徒到了終止賭博的條件，不再

賭了，因此輸光的概率P(B)=0.

(2)記Al:賭徒有n元最后輸光的事件，N:賭徒有n元上一場贏的事件，

F(M)=P(N)P(M\N)+P(N)P(M\N),即P(n)=-1-P(n-1)+yP(n+1),

所以P(n)-P(n-1)=P(n+1)-P(n),所以｛P(n)｝是一個等差數列，設P(n)-P(n-l)=cZ,

則P(n—1)—P(n—2)=d,…,P⑴-P(0)=d,累加得P(n)—P(0)=」d,故P(8)—尸(O)=Bd,

得弓=--1

ID

(3)A=100,由P(n)-F(0)=nd得P(/)-P(0)=Ad,即P(⑷=1一*，當B=200時，P(/)=

50%,當B=1000時，P(A)=90%,當B一8時，P(A)-1,因此可知久賭無贏家，

即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會100%的概率輸光.

刷3(2019全國1卷).為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行

動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只

施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白

鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效.為了方便描述問

題,約定:對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得T

分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治

愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和￡,一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，R(￡=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為勿時，最終認為

甲藥比乙藥更有效”的概率，則冗=0,R=1,PkaP^+bPi+cP^i=0,1,…,7),其中a=

尸(X=-1),b—P(X=0),c=P(X—1).假設a=0.5,B=0.8.

(i)證明：｛―一一周(4=0,1,…,7)為等比數列；

(H)求局,并根據馬的值解釋這種試驗方案的合理性.

解析：⑴由題意可知X所有可能的取值為：-1,0,1

P(X=-1)=(1-a)p;P(X=0)=aBQ_a)(1-0);P(X=1)=a(l-￡)

則X的分布列如下：

X-101

p破1-4)(1-￡)0(1一夕)

(2)a=0.5,6=0.8

/.a=0.5x0.8=0.4,b=0.5x0.8+0.5X0.2=0.5,c=0.5x0.2=0.1

(i)VPi=aPt^+bPt+cPi+^i=0,1,…,7)

即R=0.4ET+0.5R+0.1R+I(，=0,1,…,7)

整理可得：58=短_1+2+1(力=0,1,…,7)

APi+-Pi=4(舄-RT)(E=0,1,…,7)

{8+1—2}(4=0,1「一,7)是以R—冗為首項，4為公比的等比數列

⑻由⑴知：R+1—2=(H—冗)?4'=導4'

76

p8T=B-4,P7-P6=B-4,……，P「R=R4°

1_4848_1

作和可得：R—(40+4]+-??+47)=國會月=1

i—4o??

|Fk3（40+41+d）=WR=?*/=亡=備

馬表示最終認為甲藥更有效的.由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時，認

為甲藥更有效的概率為只=[70.0039,此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種實驗方案合

|257

I理.

j注：1.雖然此時學生未學過全概率公式，但命題人也直接把E=aR+i+b舄+CBT給出，并沒有讓考生

推導這個遞推關系，實際上，由前面的基本原理，我們可以看到，這就是一維隨機游走模型.

而1足球是一項大眾喜愛的運動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12

月18日晚進行，全程為期28天.

校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時,傳球者都等

可能的將球傳給另外三個人中的任何一人,如此不停地傳下去,且假定每次傳球都能被接到.記開

始傳球的人為第1次觸球者，第八次觸球者是甲的概率記為2,即P尸1.

（1）求8（直接寫出結果即可）；

（2）證明：數列｛2一1｝為等比數列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.

解析：（1）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，

i11

故傳給甲的概率為—,故己=可.

IJO

\

（2）第n次觸球者是甲的概率記為Pn,則當n>2時，第九一1次觸球者是甲的概率為Pn-x,

\11

第八一1次觸球者不是甲的概率為1—則2=2T?0+（I—2T）?專=2（1—2T）,

iOO

=

\從而Pn—~,又Pl—"（4-,?e?[pn—~~r\是以印"為首項，公比為—的等比數列.

I則2=,X（一"廠++島=Ix（-jf+j>+，瑪=%（-1），9+1<I，

\舊9>Bo,故第19次觸球者是甲的概率大

幽5馬爾可夫鏈是因俄國數學家安德烈?馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第71+1次狀態(tài)

的概率分布只跟第九次的狀態(tài)有關，與第九一1,八—2,71—3,…次狀態(tài)是“沒有任何關系的”.現(xiàn)有

甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個

球交換，重復進行n（neN*）次操作后，記甲盒子中黑球個數為X”，甲盒中恰有1個黑球的概率為

冊,恰有2個黑球的概率為bn.

⑴求Xi的分布列；

（2）求數列｛an｝的通項公式；

（3）求X”的期望.

???

解析：⑴由題可知，X1的可能取值為0,1,2.由相互獨立事件概率乘法公式可知:

P(X1=0)=4-X-|=4；F(X1=1)=|X|+|-X|-=4；F(X1=2)=2x—2

ooyOOOObz339'

故Xi的分布列如下表:

X1012

252

P

~9~9V

（2）由全概率公式可知:

P(X“+產1)=F(X?=1)?P(Xn+產l|Xn=1)+P(X=2)-P(X〃+產1|X?=2)

xx

+P(X?=o)-P(X“+產i|xn=o)=(yy+ff)^(X=1)+(|-xi)F(xn=2)+

(lx|)F(Xn=0)

-5=

=-4-P(-Q1)+-|-P(X,=2)+-|-P(An-0),即:%+i=-^-an+^bn+-|-(l-On-bn),

yooyoo

所以an+1=