2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：統(tǒng)計(jì) （分層練）（12種題型）解析版

專題驗(yàn)收評(píng)價(jià)專題7-2統(tǒng)計(jì)

內(nèi)容概覽

A-?？碱}不丟分

--簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（共1小題）

二.頻率分布直方圖（共3小題）

三.莖葉圖（共5小題）

四.散點(diǎn)圖（共1小題）

五.統(tǒng)計(jì)圖表獲取信息（共1小題）

六.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（共3小題）

七.極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差（共4小題）

A.百分位數(shù)（共4小題）

九.變量間的相關(guān)關(guān)系（共1小題）

十.相關(guān)系數(shù)（共1小題）

十一.線性回歸方程（共9小題）

十二.獨(dú)立性檢驗(yàn)（共6小題）

B?拓展培優(yōu)拿高分（壓軸題）（7題）

C?挑戰(zhàn)真題爭(zhēng)滿分（6題）

A?常考題不丟分、

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（共1小題）

1.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）北京時(shí)間2022年6月5日，搭載神舟十四號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)/遙十四運(yùn)

載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，某中學(xué)為此舉行了“講好航天故事”演講比賽.現(xiàn)從報(bào)名的40位

學(xué)生中利用下面的隨機(jī)數(shù)表抽取10位同學(xué)參加演講比賽，將40位學(xué)生按01、02.............40進(jìn)行編號(hào)，

假設(shè)從隨機(jī)數(shù)表第1行第3個(gè)數(shù)字開(kāi)始由左向右依次選取兩個(gè)數(shù)字，重復(fù)的跳過(guò)，則選出來(lái)的第7個(gè)號(hào)碼

所對(duì)應(yīng)的學(xué)生編號(hào)為25.

06274313263615470941251263176323261680456011

14109577742467624281145720425332373227073607

51245179301423102118219137263890014005232617

【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法求得正確答案.

【解答】解：依題意可知，選出的個(gè)體編號(hào)為：27,13,26,36,15,09,25,,

所以選出來(lái)的第7個(gè)個(gè)體的編號(hào)為25.

故答案為：25.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，屬于基礎(chǔ)題.

二.頻率分布直方圖（共3小題）

2.（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)

評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：［66,70）,［70,74）,［94,98）,并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評(píng)分

在區(qū)間［82,86）內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）

A.20B.40C.64D.80

【分析】由頻率分布直方圖先求頻率，再求頻數(shù)，即評(píng)分在區(qū)間［82,86）內(nèi)的影視作品數(shù)量即可.

【解答】解：由頻率分布直方圖知，

評(píng)分在區(qū)間［82,86）內(nèi)的影視作品的頻率為（86-82）x0.05=0.2,

故評(píng)分在區(qū)間［82,86）內(nèi)的影視作品數(shù)量是400x0.2=80,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用及頻率的定義與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2023?楊浦區(qū)二模）某中學(xué)舉辦思維競(jìng)賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成頻率分布直方圖（如

圖）估計(jì)：學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?07分.

【分析】由頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式求解.

【解答】解：由題意，平均成績(jī)?yōu)椋?95x0.030+105*0.040+115x0.015+125x0.010+135x0.005)x10

=(2.85+4.2+1.725+1.25+0.675)x10

=107分.

故答案為：107.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2023?黃浦區(qū)模擬)深入實(shí)施科教興國(guó)戰(zhàn)略是中華人民偉大復(fù)興的必由之路.2020年第七次全國(guó)人口

普查對(duì)6歲及以上人口的受教育程度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(未包括中國(guó)香港、澳門(mén)特別行政區(qū)和臺(tái)灣省的人口數(shù)據(jù))，

我國(guó)31個(gè)省級(jí)行政區(qū)具有初中及以上文化程度人口比例情況經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下的頻率分布直方圖.

(1)求具有初中及以上文化程度人口比例在區(qū)間075,0.85)內(nèi)的省級(jí)行政區(qū)有幾個(gè)？

(2)已知上海具有初中及以上文化程度人口比例是這組數(shù)據(jù)的第41百分位數(shù),求該比例落在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？

【分析】(1)先求出a的值，再根據(jù)頻率與頻數(shù)的關(guān)系即可求得答案；

(2)利用百分位數(shù)的定義求解即可.

【解答】解：(1)由題意知，a=--0.323-0.323-1.613-5.161-0.645=1.935,

0.1

則具有初中及以上文化程度人口比例在區(qū)間［0.75,0.85）內(nèi)的省級(jí)行政區(qū)的個(gè)數(shù)為31x7于a6.

（2）由題意知31x41%=4.34,

0.323x2+1.613<4.34<0.323x2+1.613+5.161,

則該比例落在［0.65,0.75）區(qū)間內(nèi).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三.莖葉圖（共5小題）

5.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）某家大型超市近10天的日客流量（單位：千人次）分別為：3.4、3.6、5.6、

1.8、3.7、4.0、2.5、2.8、4.4、3.6.下列圖形中不利于描述這些數(shù)據(jù)的是（）

A.散點(diǎn)圖B.條形圖C.莖葉圖D.扇形圖

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的特征以及各統(tǒng)計(jì)圖表的特征分析即可得解.

【解答】解：莖葉圖、條形圖、扇形圖均能將數(shù)據(jù)描述出來(lái)，并且能夠體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)；散點(diǎn)圖表

示因變量隨自變量而變化的大致趨勢(shì)，

故用來(lái)描述該超市近10天的日客流量不是很合適.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了莖葉圖、條形圖、扇形圖以及散點(diǎn)圖的性質(zhì)與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2023?松江區(qū)校級(jí)模擬）甲、乙兩位歌手在“中國(guó)好聲音”選拔賽中，5位評(píng)委評(píng)分情況如莖葉圖所示，

記甲、乙兩人的平均得分分別為臬、丘,則下列判斷正確的是（）

甲乙

6775

88868

4093

A.x甲<x乙，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定B.茶<&,乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

C.瘴〉*乙'甲比乙成績(jī)穩(wěn)定D.茶〉和，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

【分析】根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，利用平均值和數(shù)值分布情況進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：由莖葉圖知，甲的得分情況為17,16,28,30,34；

乙的得分情況為15,28,26,28,33,

因止匕可知甲的平均分為辱=gx（77+76+88+90+94）=85,

乙的平均分為忌=1x（75+86+88+88+93）=86,

臬＜&,排除C、D，

同時(shí)根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)的分布情況可知，乙的數(shù)據(jù)主要集中在86左右，甲的數(shù)據(jù)比較分散，

乙比甲更為集中，故乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，選5.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法要求熟練掌握相應(yīng)的概念和公式，考查學(xué)生的計(jì)

算能力.

7.（2023?虹口區(qū)二模）某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是

32.5

278

323668

405

5248

【分析】根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)，利用百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.

【解答】解：因?yàn)?2x25%=3,所以該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是;x（32+33）=32.5.

故答案為：32.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了莖葉圖與百分位數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

8.（2023?虹口區(qū)校級(jí)三模）某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出8名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫?/p>

成績(jī)（滿分100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績(jī)的平均分是86,乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83,

則x+y的值為13.

甲乙

89764

65X2811y

649116

【分析】根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義和公式，分別進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.

【解答】解：甲班學(xué)生成績(jī)的平均分是86,

...-8-7-4-6+X-1+0+8+10=0,即X=8.

乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83,故y=5.

:.x+y=13.

故答案為：13.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)與平均數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

五.統(tǒng)計(jì)圖表獲取信息（共1小題）

11.（2023?奉賢區(qū)校級(jí)模擬）2023年，我市仍試行“3+3”的普通高考新模式，即除語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3

門(mén)必選科目外，考生再?gòu)奈锢?、歷史中選1門(mén)，從化學(xué)、生物、地理、政治中選2門(mén)作為選考科目.為了

幫助學(xué)生合理選科，某中學(xué)將高一每個(gè)學(xué)生的六門(mén)科目綜合成績(jī)按比例均縮放成5分制，繪制成雷達(dá)圖.甲

同學(xué)的成績(jī)雷達(dá)圖如圖所示，下面敘述一定不正確的是（）

物理

-------------O..................O

甲同學(xué)成績(jī)年級(jí)平均分

A.甲的化學(xué)成績(jī)領(lǐng)先年級(jí)平均分最多

B.甲有2個(gè)科目的成績(jī)低于年級(jí)平均分

C.甲的成績(jī)最好的前兩個(gè)科目是化學(xué)和地理

D.對(duì)甲而言，物理、化學(xué)、地理是比較理想的一種選科結(jié)果

【分析】根據(jù)雷達(dá)圖，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可選出答案.

【解答】解：對(duì)于A,根據(jù)雷達(dá)圖，可知物理成績(jī)領(lǐng)先年級(jí)平均分最多，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于甲的政治、歷史兩個(gè)科目的成績(jī)低于年級(jí)平均分，故3正確；

對(duì)于C,甲的成績(jī)最好的前兩個(gè)科目是化學(xué)和地理，故C正確；

對(duì)于D,對(duì)甲而言，物理成績(jī)比年級(jí)平均分高，歷史成績(jī)比年級(jí)平均分低，而化學(xué)、生物、地理、政治中

優(yōu)勢(shì)最明顯的兩科為化學(xué)和地理，

故物理、化學(xué)、地理的成績(jī)是比較理想的一種選科結(jié)果，即D正確.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)知識(shí)，涉及到雷達(dá)圖的識(shí)別及應(yīng)用，考查學(xué)生識(shí)圖能力、數(shù)據(jù)分析能力，屬

于基礎(chǔ)題.

六.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（共3小題）

12.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）在下列統(tǒng)計(jì)最中，用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量是（）

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.百分位數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差

【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)、百分位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的定義即可判斷.

【解答】解：平均數(shù)、眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量，

所以說(shuō)平均數(shù)、眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，故A、3不正確；

百分位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，并計(jì)算相應(yīng)的累計(jì)百分位，

則某一個(gè)百分位所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)的值稱為這一百分位數(shù)的百分位數(shù)，

所以百分位數(shù)不能用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量，故C不正確；

標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)分散程度的大小，所以說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)差都是描述一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量，故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查中位數(shù)，平均數(shù)、百分位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的定義，屬于基礎(chǔ)題.

13.（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）已知a,b,1,2中位數(shù)為3,平均數(shù)為4,則ab=36.

【分析】根據(jù)中位數(shù)與平均數(shù)的定義建立方程即可求出*6的值，進(jìn)而可以求解.

【解答】解：■該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,其中有1,2,又要使中位數(shù)為3,

a,6都大于2,且a*6,不妨設(shè)a<6,

:A<2<a<bJ

2+a口1+2+a+Z?

/.------=3,且----------=4,

22

角犁得a=4,b=9,

ab=36.

故答案為：36.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)與平均數(shù)的定義，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2023?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）己知一組樣本數(shù)據(jù)玉，％,…，招（為<出<…<x"）,現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)七三，

三±三，…，,泡土五，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，對(duì)于新的數(shù)據(jù)有以下四個(gè)判斷：①平均數(shù)不變;

222

②中位數(shù)不變；③極差變?。虎芊讲钭冃?，其中所有正確判斷的序號(hào)是①③④.

【分析】由平均數(shù)、中位數(shù)、極差及方差的概念計(jì)算即可.

【解答】解：對(duì)于①，新數(shù)據(jù)的總數(shù)為土出+追上+…+土土土=占+々+…+七，

222

新數(shù)據(jù)的總數(shù)為土衛(wèi)+紅金+...+工^=%+羽+...+尤"，

222

與原數(shù)據(jù)總數(shù)一樣，且數(shù)據(jù)數(shù)量不變都是〃，故平均數(shù)不變，故①正確；

對(duì)于②，舉例原數(shù)據(jù)為：1,2.5,3,中位數(shù)為2.5,

則新數(shù)據(jù)為1.75,2.75,2,中位數(shù)為2,顯然中位數(shù)變了，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，原數(shù)據(jù)極差為：尤“-西，新數(shù)據(jù)極差為：%+%一土金,

22

因?yàn)閰矎V山一三上三一（斗一外）=上曰一九+三E<o,極差變小了，故③正確；

對(duì)于④，由于兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，而極差變小，說(shuō)明新數(shù)據(jù)相對(duì)原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，故方差變小，

即④正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)，中位數(shù)，極差和方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

七.極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差（共4小題）

15.（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）上海入夏的標(biāo)準(zhǔn)為：立夏之后，連續(xù)五天日平均氣溫不低于22℃.立夏之后，

測(cè)得連續(xù)五天的平均氣溫?cái)?shù)據(jù)滿足如下條件，其中能斷定上海入夏的是（）

A.總體均值為25℃,中位數(shù)為23℃

B.總體均值為25℃,總體方差大于0℃2

C.總體中位數(shù)為23℃,眾數(shù)為25°C

D.總體均值為25℃,總體方差為IC?

【分析】根據(jù)總體均值，中位數(shù)，眾數(shù)，總體方差的定義判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A,總體均值為25℃,中位數(shù)為23℃,可能出現(xiàn)低于22℃的情況，故A不正確；

對(duì)于3,當(dāng)總體方差大于de?,不知道總體方差的具體數(shù)值，因此不能確定數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，故3不正確；

對(duì)于C,中位數(shù)和眾數(shù)也不能確定，故C不正確：

對(duì)于D,當(dāng)總體均值為25℃,總體方差為:TC:根據(jù)方差公式求得五天氣溫的最小值25-6度，大于22

度平均氣溫，故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查總體均值，中位數(shù)，眾數(shù)，總體方差，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2023?徐匯區(qū)校級(jí)一模）若已知30個(gè)數(shù)玉，x2,X30的平均數(shù)為6,方差為9；現(xiàn)從原30個(gè)數(shù)中

剔除王，馬,…，/這10個(gè)數(shù)，且剔除的這10個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8,方差為5,則剩余的20個(gè)數(shù)孫，占2,

...?X%的方差為8.

【分析】根據(jù)方差定義結(jié)合已知條件分析求解.

【解答】解：由題意得玉+x,+…+/）=6x30=180,

22

尤;+x2+...+x30=9x30+30x6?=1350,占+x,+…+玉（；=8x10=80,

玉2+x2+...+x(Q2=5xl0+10x82=690,

所以剩余的20個(gè)數(shù)的平均數(shù)為身上理=5,

20

%]2++…+—1350—690=660,

所以剩余的20個(gè)數(shù)的方差為66°-20x25=8.

20

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求平均數(shù)與方差的問(wèn)題，記住平均數(shù)與方差的公式是解題的關(guān)鍵.

17.(2023?徐匯區(qū)二模)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)%，3，…，x,的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10玉，1QX2,....10x?

的方差為1.

【分析】根據(jù)題意，由方差的性質(zhì)，若石，x2,...,x”的方差為$2,則啊，ax2...,依“的方差為a2s2,

據(jù)此計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，一組樣本數(shù)據(jù)玉，/，…，%的方差相=0。1,

則數(shù)據(jù)10W，10%，…，10%的方差為KP*$2=1；

故答案為：1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差的計(jì)算公式，注意方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

18.(2023?楊浦區(qū)校級(jí)模擬)已知樣本數(shù)據(jù)2、4、8、機(jī)的極差為10,其中〃z>0,則該組數(shù)據(jù)的方差為

59

T--

【分析】由題意先求得機(jī)，再求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由方差的計(jì)算公式求值即可.

【解答】解：由題意得相-2=10,所以m=12,所以該組的平均數(shù)為《=2+4+8+12=*,

42

由方差的計(jì)算公式可知：S2=-[(2--)2+(4--)2(8-+(12--)2]=—.

422+224

故答案為：—.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

A.百分位數(shù)(共4小題)

19.(2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬)數(shù)據(jù)7,4,2,9,1,5,8,6的第70百分位數(shù)為7.

【分析】利用百分位數(shù)的定義，即可得解.

【解答】解：數(shù)據(jù)7,4,2,9,1,5,8,6共有8個(gè)數(shù)據(jù)，

按照從小到大排列為：1,2,4,5,6,7,8,9,

所以8x70%=5.6,是個(gè)小數(shù)，

則第70百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)據(jù)為7.

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

20.（2023?崇明區(qū)二模）以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的15人的成績(jī)（單位：分），分?jǐn)?shù)從低到高依次：

56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,則這15人成績(jī)的第80百分位數(shù)是90.5.

【分析】計(jì)算15x80%=12,即可確定這15人成績(jī)的第80百分位數(shù)為第12和第13個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由

此可得答案.

【解答】解：因?yàn)?5x80%=12,

故這15人成績(jī)的第80百分位數(shù)為里士衛(wèi)=90.5.

2

故答案為：90.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

21.（2023?上海模擬）2022年12月18日在卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊(duì)?wèi)?zhàn)勝法國(guó)隊(duì)冠222卡塔爾世界

杯也緩緩落下了帷幕.下表是連續(xù)8屆世界杯足球賽的進(jìn)球總數(shù)：

年份19941998200220062010201420182022

進(jìn)球總數(shù)141171161147145171169172

則進(jìn)球總數(shù)的第60百分位數(shù)是169.

【分析】將進(jìn)球總數(shù)從小到大排列，然后根據(jù)百分位數(shù)的求解公式即可求解.

【解答】解:由題意將進(jìn)球總數(shù)從小到大排列為：141,145,147,161,169,171,171,172,

因?yàn)?x60%=4.8,

則進(jìn)球總數(shù)的第60百分位數(shù)為169.

故答案為：169.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了百分位數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

22.（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）高三年級(jí)某8位同學(xué)的體重分別為45,50,55,60,70,75,76,80（單位：

kg）,現(xiàn)在從中任選3位同學(xué)去參加拔河，則選中的同學(xué)中最大的體重恰好為這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)的

概率是—.

一28一

【分析】先求出第70百分位數(shù)，再結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解.

【解答】解：8x70%=5.6,

則第70百分位數(shù)為75,

故選中的同學(xué)中最大的體重恰好為這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)的概率是年=工.

28

故答案為：—.

28

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

九.變量間的相關(guān)關(guān)系(共1小題)

23.(2023?奉賢區(qū)校級(jí)三模)己知兩組數(shù)據(jù)％,a2,%。和々，b2,0,其中掇110且z,eZ時(shí)，

4=7；liij9且ieZ時(shí)，匕=%,bl0=a,我們研究這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性，在集合｛8,11,12,13｝中取

一個(gè)元素作為a的值，使得相關(guān)性最強(qiáng)，則。=()

A.8B.11C.12D.13

【分析】根據(jù)相關(guān)性與線性回歸方程的關(guān)系得到答案.

【解答】解：由題意前9個(gè)點(diǎn)位于直線y=x上，而%。=10,要使相關(guān)性最強(qiáng)，甌就要最接近10,四個(gè)選

項(xiàng)中11最接近10.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性強(qiáng)弱的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

一十.相關(guān)系數(shù)(共1小題)

24.(2023?浦東新區(qū)校級(jí)三模)在一次試驗(yàn)中，測(cè)得(x,y)的五組數(shù)據(jù)分別為(1,3),(2,4),(4,5),(5,13),

(10,12),去掉一組數(shù)據(jù)(5,13)后，下列說(shuō)法正確的是()

A.樣本數(shù)據(jù)由正相關(guān)變成負(fù)相關(guān)

B.樣本的相關(guān)系數(shù)不變

C.樣本的相關(guān)性變?nèi)?/p>

D.樣本的相關(guān)系數(shù)變大

【分析】根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，再根據(jù)散點(diǎn)圖分析判斷得解.

【解答】解：根據(jù)題意，散點(diǎn)圖如圖所示，

在5個(gè)數(shù)據(jù)中去掉A4(5,13)后，y與x的相關(guān)性加強(qiáng).所以樣本相關(guān)系數(shù)r變大，

故選：D.

14-

13-?a

12-?A

11-

10-

9-

8-

7-

6-

5-

4-

3-

2-A,

,I2345678910II12X

-2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)變量的線性相關(guān)，涉及相關(guān)系數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

一十一.線性回歸方程（共9小題）

25.（2023?普陀區(qū)模擬）某種兼職工作雖然以計(jì)件的方式計(jì)算工資，但是對(duì)于同一個(gè)人的工資與其工作時(shí)

間還是存在一定的相關(guān)關(guān)系，已知小孫的工作時(shí)間x（單位：小時(shí)）與工資y（單位：元）之間的關(guān)系如

表：

X24568

y3040506070

若y與x的線性回歸方程為夕=6.5x+a,預(yù)測(cè)當(dāng)工作時(shí)間為9小時(shí)時(shí)，工資大約為（）

A.75元B.76元C.77元D.78元

【分析】根據(jù)已知條件，求出x，y的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過(guò)樣本中心，求得線性回歸方程，再

將x=9代入，即可求解.

【解答】解：x=|x（2+4+5+6+8）=5,y=1x（30+40+50+60+70）=50,

又，y與龍的線性回歸方程為y=6.5x+a,

.,.1=50—6.5x5=17.5,

9=6.5%+17.5,

當(dāng)％=9時(shí)，^=6.5x9+17.5=76.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

26.(2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模)實(shí)驗(yàn)測(cè)得六組成對(duì)數(shù)據(jù)(x,y)的值為(4,90),(5,84),(6,83),(7,80),(8,75),

(9,68),由此可得y與x之間的回歸方程為y=-4x+6,則可預(yù)測(cè)當(dāng)x=10時(shí)，y的值為()

A.67B.66C.65D.64

【分析】先求出樣本中心點(diǎn)，線性回歸方程y=Tx+匕恒過(guò)(元,5)，代入即可求出6,再令x=10,代入求

解即可.

【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得，元='x(4+5+6+7+8+9)=6.5,y=-x(90+84+83+80+75+68)=80,

66

線性回歸方程為y=-4x+6,則80=Tx6.5+b,解得b=106,

故y=—4x+106,當(dāng)x=10時(shí)，y=Yxl0+106=66.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性回歸方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.

27.(2023?徐匯區(qū)校級(jí)一模)某地為響應(yīng)“扶貧必扶智，扶智就扶知識(shí)、扶技術(shù)、扶方法”的號(hào)召，建立

了農(nóng)業(yè)科技圖書(shū)館，供農(nóng)民免費(fèi)借閱.現(xiàn)收集了該圖書(shū)館五年的借閱數(shù)據(jù)如表：

年份20162017201820192020

年份代碼尤12345

年借閱量y4.95.15.55.75.8

(萬(wàn)冊(cè))

根據(jù)如表，可得y關(guān)于x的線性回歸方程為3=0.24x+九則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

A.b=4.68

B.借閱量4.9,5,1,5.5,5.7,5.8的第75百分位數(shù)為5.7

C.y與尤的線性相關(guān)系數(shù)r>0

D.2021年的借閱量一定少于6.12萬(wàn)冊(cè)

【分析】對(duì)于A：根據(jù)線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)運(yùn)算求解；

對(duì)于根據(jù)百分位的定義運(yùn)算求解；

對(duì)于C：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義分析判斷；

對(duì)于D：根據(jù)回歸方程的進(jìn)行預(yù)測(cè).

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：年份代碼x的平均數(shù)元=g(l+2+3+4+5)=3,

年借閱量y的平均數(shù)了=g(4.9+5.1+5.5+5.7+5.8)=5.4(萬(wàn)冊(cè))，

貝|]5.4=0.24x3+6,解得否=4.68,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)3：因?yàn)?x0.75=3.75,所以借閱量的第75百分位數(shù)為5.7,故3正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?.24>0,所以y與x的線性相關(guān)系數(shù)r>0,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。：由選項(xiàng)A可得：y=0.24x+4.68,

令x=6,可得9=0.24x6+4.68=6.12,

預(yù)計(jì)2021年的借閱量為6.12萬(wàn)冊(cè)，但并不能確定具體結(jié)果，故。錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性回歸方程的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

28.（2023?楊浦區(qū)二模）對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)區(qū)，％）、（x2,%）、…、（%，"）用最小二乘法求回歸方程是為了

使（）

A.E（.y,-y）=oB.t（—）=o

i=\i=l

C.汽（%-%）最小D.￡（y-%）2最小

z=li=l

【分析】利用最小二乘法求回歸方程的定義，判斷選項(xiàng)的正誤即可.

【解答】解：最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù).它通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)

的最佳函數(shù)匹配.利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤

差的平方和為最小.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸直線方程的性質(zhì)，最小二乘法的定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

29.（2023?青浦區(qū)二模）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)x（單位：萬(wàn)元）與銷售額y（單位：萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表

廣告費(fèi)尤（萬(wàn)元）2345

銷售額y（萬(wàn)元）26394954

根據(jù)上表可得回歸方程'=云+石中6=9.4,據(jù)此模型可預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)為6萬(wàn)元時(shí)，銷售額約為（）

A.63.6萬(wàn)元B.65.5萬(wàn)元C.67.7萬(wàn)元D.72.0萬(wàn)元

【分析】廣告費(fèi)用x與銷售額y（萬(wàn)元）的平均數(shù)，得到樣本中心點(diǎn)，代入樣本中心點(diǎn)，求出3的值，寫(xiě)出

線性回歸方程.將x=6代入回歸直線方程，得y,可以預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額.

_26+39+49+54C

【解答】解：X=2+3+4+5=3.5,y=---------------------=42,

44

回歸方程y=+B中6=9.4,

由線性回歸方程：f=9.4%+B,3=42—9.4x3.5=9.1.

.?.線性回歸方程：y=9.4x+9.1,

模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)，即彳=6時(shí)，即y=9.4x6+9.1=65.5,

據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額65.5,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用最小二乘法求出線性回歸方程的系

數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

30.（2023?普陀區(qū)二模）“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y（單位hv/）與氣溫x（單位：

°C）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)下表：

氣溫X181310-1

用電量y24343864

若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程y=-2x+6SeR）來(lái)預(yù)測(cè)，則當(dāng)氣溫為Y°C時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為

68kw-h.

【分析】根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)，計(jì)算出（元歹），將其代入到回歸方程可解6,再令無(wú)=Y,即可解.

24+34+38+64口

【解答】解：根據(jù)題意，=10,y=---------------------=40，

4

則將（10,40）代入回歸方程可得，40=—20+6,得6=60,

則回歸直線方程為y=-2x+60，

當(dāng)x=T■時(shí)，用電量約為68hv-//,

故答案為：68.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查回歸直線方程的性質(zhì)，屬于中檔題.

31.（2023?楊浦區(qū)校級(jí)模擬）某科技公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)，需了解年研發(fā)費(fèi)x（單

位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量y（單位：百件）和年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的影響，現(xiàn)對(duì)近6年的年研發(fā)費(fèi)％和年

銷售量/。=1,2,…，6）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

年銷件量/百件

_662666

之（X,-元）2i（y-y）

XytX（A-A）22（%一君（%—歹）-"）（％-9）

1=1i=lZ=1i=li=l

表中從=biXj,/7=—V//..

6I

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=a+bx^y=c+dlnx哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型；（給出判斷即

可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于尤的回歸方程；

（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z=0.5y-x,根據(jù)（2）的結(jié)果，當(dāng)年研發(fā)費(fèi)為多少時(shí)，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值最

大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（嗎，V1）,（w2,v2）,（wZi,v?）,其回歸直線f=&+/w的斜率和截距的最小

-w)(v,-v)

二乘法估計(jì)分另IJ為8=『-----------，a=v-Pwl.

之（嗎一網(wǎng)2

【分析】（1）由散點(diǎn)圖可以判斷y=c+成心更適宜作為年研發(fā)費(fèi)尤的回歸方程類型；

（2）令〃=〃吠，建立y關(guān)于"的線性回歸方程,再利用最小二乘法求出y關(guān)于〃的線性回歸方程即得解;

（3）求出z=30/nx-x+6,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值得解.

【解答】解：（1）由散點(diǎn)圖可以判斷y=c+d仇x更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型；

（2）令"=lnx,所以y=c+〃〃，

所以y關(guān)于〃的線性回歸方程y=60〃+12,因此y關(guān)于尤的回歸方程為y=601依+12；

(3)由(2)可知z=0.5y—x=30/?x—x+6,

當(dāng)0<x<30時(shí)，z'>0,函數(shù)z單調(diào)遞增；當(dāng)x>30時(shí)，z'<0,函數(shù)z單調(diào)遞減，

所以當(dāng)研發(fā)費(fèi)為30萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值最大.？

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了可線性化的回歸方程的求解，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中

檔題.

32.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）2020年全面建成小康社會(huì)取得偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅(jiān)取得決定性勝

利.某市積極探索區(qū)域特色經(jīng)濟(jì)，引導(dǎo)商家利用多媒體的優(yōu)勢(shì)，對(duì)本地特產(chǎn)進(jìn)行廣告宣傳，取得了社會(huì)效

益和經(jīng)濟(jì)效益的雙豐收，某商家統(tǒng)計(jì)了7個(gè)月的月廣告投入無(wú)（單位：萬(wàn)元）與月銷量y（單位：萬(wàn)件）

的數(shù)據(jù)如表所示：

月廣告投1234567

入%/萬(wàn)元

月銷量y/28323545495260

萬(wàn)件

（1）已知可用線性回歸模型擬合y與尤的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明，并求y關(guān)于x的線性回歸方程;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，預(yù)計(jì)月廣告投入大于多少萬(wàn)元時(shí)，月銷量能突破70萬(wàn)件.（本題結(jié)果均按四舍五

入精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）

【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式求值，判斷即可，再求出B的值，再利用回歸直線方程過(guò)樣本中心

點(diǎn)求出G的值，寫(xiě)出線性回歸方程即可;

（2）結(jié)合（1）,列解不等式，求解即可.

【解答】解：（1）由題意知,

x=yX(l+2+3+4+5+6+7)=4,(28+32+35+45+49+52+60)=43,

777

2(%一元)2=28,-7)2=820，^(x,.-x)(y,-y)=150.

i=li=li=l

7

150

相關(guān)系數(shù)i=lX0.99，

77，28義820

君2（%-寸

i=\i=\

顯然y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而線性回歸模型能夠很好地?cái)M合y與x的關(guān)系,

7

,2(%-君(％一9)

75

由題知，b=X,&=y一辰

14

Z=1

75151

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為夕=:—x+-—,

147，

（）若月銷量突破萬(wàn)件，則151

2702XH----->70,

147

解得x＞當(dāng)、9.04.

25

故當(dāng)月廣告投入大于9.04萬(wàn)元時(shí)，月銷量能突破70萬(wàn)件.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

33.（2023?閔行區(qū)校級(jí)一模）一場(chǎng)始于煙火，歸于真誠(chéng)的邂逅，讓無(wú)數(shù)人赴山趕海“進(jìn)淄趕烤”，淄博某燒

烤店趁機(jī)推出150元燒烤套餐.某同學(xué)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，燒烤店成本y（單位：千元，包含人工成本、原料成本、

場(chǎng)地成本、設(shè)備損耗等各類成本）與每天賣出套餐數(shù)尤（單位：份）的關(guān)系如下:

X13467

y56.577.58

?＞與了可用回歸方程5=&r+g（其中為常數(shù)）進(jìn)行模擬.參考數(shù)據(jù)與公式：設(shè)t=/gx,則線性回歸直

,』仁-?。ǎヒ淮酰?/p>

線中公=辦+坂，a=--------------,b=y-at.

/-=1

55

I之（Li

Z=1Z=1

0.546.81.530.45

（1）試預(yù)測(cè)該燒烤店一天賣出100份的利潤(rùn)是多少元.（利潤(rùn)=售價(jià)-成本，結(jié)果精確到1元）

（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，由于燒烤的火爆，飲料需求也激增.4月份的連續(xù)16天中某品牌飲料每天為淄博配送的箱數(shù)

的頻率分布直方圖，用這16天的情況來(lái)估計(jì)相應(yīng)的概率.供貨商擬購(gòu)置〃輛小貨車專門(mén)運(yùn)輸該品牌飲料,

一輛貨車每天只能運(yùn)營(yíng)一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該飲料，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車.若發(fā)車，則

每輛車每趟可獲利500元；若未發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元.若〃=3或4,請(qǐng)從每天的利潤(rùn)期望

角度給出你的建議.

【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求、，即可求出回歸方程，再代入x=100求出預(yù)測(cè)值，即可得到利潤(rùn);

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，得到送貨箱數(shù)的概率分布表，設(shè)該運(yùn)輸戶購(gòu)3輛車和購(gòu)4輛車時(shí)每天的利潤(rùn)

分別為乂、與元，求出分布列，計(jì)算出期望，即可判斷.

5

【解答】解：（1）根據(jù)題意，6二且

5出=34,

之（4-丁）2

，=1

貝！Jg=歹一方亍=6.8-3.4x0.54=4.964,

故夕=347+4.964,

又t=lgx,

貝！]y=3>Algx+4.964,

所以x=100時(shí)，y=3.4/gl00+4.964=6.8+4.964=11.764（千元），

即賣出100份的成本為11764元，故利潤(rùn)15000-11764=3236（元）.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，可知送貨箱數(shù)的概率分布表為：

箱數(shù)[40,80)[80,120)[120,160)[160,200]

P11J_1

8428

設(shè)該運(yùn)輸戶購(gòu)3輛車和購(gòu)4輛車時(shí)每天的利潤(rùn)分別為耳、為元，

則匕的可能取值為1500,800,100,其分布列為：

1500800100

P511

848

?E(K)=-xl500+-x800+-xl00=1150,

1848

則乂的可能取值為2000,1300,600,-100,其分布列為：

20001300600-1000

P11J_1

8248

故E（Y2）=-X2000+1x1300+；X600+gX（-100）=1037.5,

因?yàn)镋（b）<E（X）,即購(gòu)置3輛小貨車的利潤(rùn)更高，建議購(gòu)買3輛車.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量期望，以及線性回歸方程的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

一十二.獨(dú)立性檢驗(yàn)（共6小題）

34.（2023?上海模擬）某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男

女生人數(shù)相同，男生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲的人數(shù)占男生人數(shù)的壯，女生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲的人數(shù)占女生人數(shù)的若

55

根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲和性別有關(guān)，且此推斷犯錯(cuò)誤的概率超過(guò)0.01但不超過(guò)0.05,則被調(diào)查

的學(xué)生中男生可能有45,50,55,60,65人.（請(qǐng)將所有可能的結(jié)果都填在橫線上）

附表：,2=---------ri（ad__be）------------,其中幾=[+。+。+4?

（Q+b）（c+d）（a+c）（b+d）

a0.0500.010

Xa3.8416.635

【分析】根據(jù)題意，設(shè)男生有無(wú)人，結(jié)合題意建立2x2列聯(lián)表，用x表示/的值，可得關(guān)于x的不等式,

又由X為5的整數(shù)倍，分析可得尤的值，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)男生有無(wú)人,

由于男生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲的人數(shù)占男生人數(shù)的3,女生喜歡網(wǎng)絡(luò)游戲的人數(shù)占女生人數(shù)的3,

55

可得2x2列聯(lián)表如下:

喜歡不喜歡合計(jì)

41X

男生-X一X

55

女生32X

-X-X

55

73

合計(jì)——X一X2x