一題多解型（5大模型+解題技巧）-2024年中考數(shù)學答題技巧與模板構建（解析版）

一獗6修型

題型徐速

幾何中一題多解型問題是指由于試題條件的不明確性，或題意中含有不確定的參數(shù)或圖形時，導致結果

有多種可能性，從而使答案不唯一。而此類問題因其能更好的體現(xiàn)學生分析問題和解決問題的能力，所以此

類問題往往會出現(xiàn)在中考的試卷中，同時，許多考生因忽視問題中的“不確定性”而導致所得出的答案不全，從

而失分。

應如何解決此類問題呢？解決此類問題最好的方法就是應用分類討論思想.

分類討論思想就是人們面對比較復雜的問題，有時無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究解決,需要把研究的

對象按照一定的標準進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結論綜合，使問題得到解決。該問題是中招考

試中必考的題型，一般以壓軸題的形式出現(xiàn)，具有一定的難度，需要學生多練習、多總結。

模型01鴦折問題

幾何變換中的翻折（折疊、對稱）問題是歷年中考的熱點問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學生的

識圖能力及靈活運用數(shù)學知識解決問題的能力。

涉及翻折問題，以矩形對稱最常見，變化形式多樣。無論如何變化，解題工具無非全等、相似、勾股以及三角

函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對稱下隱藏的結論，往往是解題關鍵。本專題以各類幾個圖形（三角形、平行四邊

形、菱形、矩形、正方形、圓等）為背景進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

常見翻折模型；

模型02旋轉問題

旋轉問題在近幾年各地中考主要以填空題、選擇題、解答題的形式進行考查，各地試題有容易題、中檔題也

有壓軸題;考查的內容主要涉及的有：中心對稱和中心對稱圖形的概念與性質；圖形的旋轉的概念與性質；考

查的熱點主要有旋轉對稱圖形與中心對稱圖形;旋轉的性質;旋轉變換;幾何變換綜合問題。

三角形共頂點旋轉模型：

A

DD

模型03平移問題

對應點、對應線段、對應角一個圖形經過平移后得到一個新的圖形，這個新圖形與原圖形是能夠互相重合的全

等形，我們把互相重合的點稱為對應點，互相重合的線段稱為對應線段,互相重合的角稱為對應角。

1定義

在平面內，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置,這樣的圖形運動叫做平移.平移不改變圖

形的形狀和大小.

2.三大要素

一是平移的起點，二是平移的方向，三是平移的距離.

3ms

（1）平移前后，對應線段平行且相等、對應角相等；

（2）各對應點所連接的線段平行（或在同一條直線上）且相等；

（3）平移前后的圖形全等.

模型04存在性問題

多可能性問題中，等腰三角形與直角三角形的存在性考試較多。

等腰三角形中的分類討論：

凡是涉及等腰三角形的存在性問題優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質與三角形三邊關系解題。注

意一下幾種談論形式：⑴已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；（2）已知角度數(shù)無法確定是頂角

還是底角時要分類討論；（3）遇高線需分高在△內和△外兩類討論；（4）中線把等腰△周長分成兩部分需分類

討論.

直角三角形的存在性問題談論：

一般分三個步驟:第一步尋找分類標準,第二步列方程，第三步解方程并驗根.

解直角三角形的問題，常常和相似三角形、銳角三角函數(shù)的問題聯(lián)系在一起.一般情況下，按照直角頂點或者

斜邊分類,然后按照相似或勾股定理列方程.在平面直角坐標系中，兩點間的距離公式常常用得到.

有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便.

模型05動點問題

模型一動點運動軌跡一一直線型

【模型解讀】（1）定距離判斷直線型路徑:當某一動點到某條直線的距離不變時，該動點的路徑為直線.（2）定

角度判斷直線型路徑:當某一動點與定線段的一個端點連接后所成的角度不變時，該動點的路徑為直線.

基本圖形：

d定長

_________□________定角

Fi線°定直線

模型二動點運動軌跡一一圓或圓弧型

【模型解讀】（1）“一中同長”:到定點的距離等于定長的點的集合是圓.（2）用定弦對定角定圓：當某條邊與該

邊所對的角是定值時,該角的頂點的路徑是圓弧.見直角一找斜邊（定長）一想直徑一定外心一現(xiàn)“圓”形;見

定角一找對邊（定長）一想圓周角一轉圓心角一現(xiàn)''圓"形.

基本圖形：

模型三動點軌跡為其他曲線，構造三甭形

【模型解讀】（1）當動點軌跡不是“定線”或“定圓”,是兩條線段時，可以考慮三角形的三邊關系，最大值為其他

兩線段長之和，最小值為其他兩線段長之差.（2）在轉化較難進行時，可以借助于三角形的中位線及直角三角

形斜邊上的中線.（3）這類問題歸屬為滑竿問題.

基本圖形：

N

0AM

模型四雙動點型

【模型解讀】（1）對于不關聯(lián)的雙動點問題，采用“控制變量法”，先控制其中一個點不動,分析另一個點的運動

軌跡,再讓這個點運動起來，可以使問題更直觀，思路更清晰；（2）對于多個點運動并且是聯(lián)動的問題，一般采

用相對運動法，可以讓一些點靜止，減少動點的個數(shù)，使問題簡單化.

更結?牌型的建1

模型01翻折模型

考I向阿I測

■折模型該題型近年主要以多可能性問題和應用題形式出現(xiàn),多可能性問題一般為填空題的最后一題,

具有一定的難度，在各類考試中均為壓軸題型。翻折和折疊問題其實質就是對稱問題,翻折圖形的性質就是

翻折前后圖形是全等的,對應的邊和角都是相等的。以這個性質為基礎，結合三角形、四邊形、圓的性質，三角

形相似，勾股定理設方程思想來考查。

答I題I技I巧

第一步：利用翻折的性質:①翻折前后兩個圖形全等;②對應點連線被對稱軸垂直平分；

第二步：結合相關圖形的性質（三角形,四邊形等）；

第三步：運用勾股定理或者三角形相似建立方程。

］題型4例

題目［TJ（2024?江蘇?一模）如圖，點E在正方形AB。。邊AD上，且AE=2DE=2,點P是線段上一動

點（點P不與點A重合）,連接EP,將△AEP沿EP所在直線折疊,點A的對應點為A,過4作AF±AB

于點F,當點4落在正方形ABCD的對角線上時,線段BF的長為.

4

AE—2,DE—1,

AD=AB+DE=2+1=3,

四邊形ABC。為正方形，

AD=AB=3,Z.A=90°,

由折疊的性質可得，=AE=2,ZA=APAE=90°,AP=AP,NAEP=/4EP,

①當點A在對角線BD上時，

如圖，以點A為原點建立直角坐標系，連接BD,

則點。（0,3）,3（3,0）,E（0,2）,

設BD所在直線解析式為V=+

.J3=b

"[0=3k+b,

解得:I"：,

[b—3

??.BD所在直線解析式為沙=一2+3,

設點4的坐標為（a,—a+3）,

E（0⑵，4E=2,

（a—0）~+（—a+3—2）2=22,

解得：a=匕互或（舍去），

馬（丁廿，

BF=AB-AF=3-1+^=3-旌；

②當點發(fā)在對角線上時，此時點P與點F重合,

如圖，連接AC,

乙4及4'=4EAF=乙4FA'=/EAF=90°,

NAEP=NAEP,

：./AEP=/AEP=45°,

四邊形AEA'F為正方形，

AF—AE—2,

：.BF=AB-AF=3-2=1.

綜上,線段BF的長為"心或1.

故答案為：5丁或L

題目句（2024.河南周口.一模）如圖，在&ABC中，AB=AC=血+1,/歷1。=120°,P,Q是BC上兩點，將

△ABP沿直線AP折疊，&4?？谘刂本€AQ折疊，使得BC的對應點重合于點當△PQR為直角三角

形時，線段BP的長為o

5

A

【答案】1或2

【詳解】由題意得APRQ=APRA+AQRA=ZB+ZC=180°-ABAC=60°,

故為直角三角形分為兩種情況：

(1)當/RPQ=90°時，如圖1,作于O,

設BP=PR=/，則PQ=V3xfRQ=CQ=2/,

???ABAC=120°,AB=AC,

??.ZB=ZC=30°,

AO=yAB,BO=瓜AO=^-AB,

BC=2BO=2x^-AB=3+V3,

所以力+V3a;+2/=3+V3,

解得力=1,即BP=1；

(2)當ZRQP=90°時，如圖2,作ZOLB。于O,

設RQ=CQ=/，則PQ=V3x,PR=BR=2rc,

???ZBAC=120°,AB=AC,

??.ZB=ZC=30°,

AO=qAB,BO=瓜AO=乎極

BC=2BO=2x^-AB=3+V3,

所以2+瓜缶+2rc=3+V3,

解得a;=1,則BP=2.

綜上所述，線段BP的長為1或2.

故答案為：1或2.

圖1圖2

模型02旋轉同6

考|向|頹|瀏

旋轉問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，旋轉模型相對固定，在各類考試中出題頻率較高。掌握旋轉

圖形的性質是解題的重點，在旋轉圖形中對應點到旋轉中心的距離相等;兩組對應點分別與旋轉中心連線所

成的角度相等；圖形在繞著某一個點進行旋轉的時候，既可以順時針旋轉，也可以逆時針旋轉。

答I題I技I巧

第一步：連接圖形中的每一個關鍵點與旋轉中心；

第二步：把連線按要求（順/逆時針）繞旋轉中心旋轉一定的角度（旋轉角）；

第三步：在角的一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離,得到各點的對應點；

第四步：連接所得到的對應點.

題型三例

［題目⑼（2023?河南）如圖所示，在TttAABC中，乙4cB=90°,AB=247=4,8為斜邊中線，點P為線段

AO上一動點,將線段PC繞點P逆時針旋轉90°得線段PQ,連接CQ,OQ,當PC垂直于△ABC的一邊

時，線段OQ的值為.

CB

【答案】四-1或0-囂

【詳解】解:①當CP,AB時，如圖1所示，

乙4cB=90°,AB=2AC=4,

?：sinB——,

ZB=30°.

?.?co為斜邊中線，

.?.QB=OC=〈AB=2,

/POC=2/B=60°.

在Rt"CQ中，OC=2,ZPOC=60°,

CP—CO-sin60°=VS,PO=CO?cos60°=1,

,:PC=PQ=BPO=1,

OQ=PQ—PO=V3—1;

②當CPLBC時;如圖2所示，過點Q作Q。，AB于點O.

???ACPQ=90°,AACB=90°,

AQ//CB.

.-.ZOAQ=30°.

QD=^-AQ=1,AD=^-AQ=V3.

：.OD^AO-AD^2-V3.

在Rt^ODQ中，OQ=y/OD2+DQ2=V(2-V3)2+l2=V6-V2.

綜上，線段O。的長為-\/3—1或y/6—A/2,

故答案為：、后一1或前一

頷目④（2024?山東?一模）如圖，在放A4BC中，/。=90°,/人=30°,6。=4,點。是邊AB的中點，點P是

7

邊上一動點,連接PO,將線段PO繞點P順時針旋轉，使點。的對應點D落在邊AC上,連接OD,若

AAOD為直角三角形，則BP的長為.

【答案】六或3

O

【詳解】?.?"=90°,乙4=30°,

/.AB=2BC=8,

?.?點O是邊AB的中點,

OA=4,

當乙400=90°時，如圖1,過P點、作PEd_OD于E點，PF_LOB于F點,

在RtAAOD中，

?/ZA=30°,

：.OD=^-OA=^~,

tjo

?.-線段PO繞點P順時針旋轉，使點。的對應點D落在邊AC上,

:.PO=PD,

:.DE=OE=^^,

???/.EOF=AOEP=APFO=90°,

???四邊形O石PF為矩形，圖1

：.PF^OE^^~,

o

在Rt/^PBF中,

VZB=60°,

A5F=卓依=Wx竽*，

oooo

4

：.BP=2BF=￡;

tj

當乙4。。=90°時，如圖2,過P點作PE_LOD于E點，

在RtAAOD中，

?/ZA=30°,

OD=^-OA—2,

?：線段PO繞點P順時針旋轉，使點。的對應點。落在邊力。上,圖2

：.PO=PD,

DE=OE=1,

?/ZEDC=ZC=APED=90°,

四邊形DEPC為矩形，

:.PC=DE=1,

；.BP=BC—PC=4—1=3,

綜上所述，BP的長為弓或3.

O

故答案為：得或3.

O

模型03平移問題

考|向|森|測

平移問題在近幾年各地中考主要以填空題或選擇題的形式進行考查，屬于中、低檔題，較為簡單;少數(shù)題目以

解答題的形式進行考查，屬于中檔題，難度一般;考查的內容主要涉及的有:平移的概念及要素;平移的性質;

平移變換作圖;利用平移設計圖案;考查的熱點主要有平移的性質;平移變換作圖;利用平移設計圖案。

答I題I技I巧

第一步：根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；

第二步：找出原圖形的關鍵點；

第三步：按平移方向和平移距離平移各個關鍵點,得到各關鍵點的對應點；

第四步：按原圖形依次連接對應點,得到平移后的圖形.

題型三例

題目回（2023?湖南）如圖，AABC和都是等邊三角形，AB=4,2,邊BC,BC位于同一條直

線Z上,點。'與點B重合.現(xiàn)將△48。固定不動，把△nB'C自左向右沿直線，平移，移出AABC外（點F

與C重合）時停止移動.在移動過程中,當兩個三角形重合部分的面積為空時，平移的距離是

；

B1A5/（。'）\C

【答案】V2或6-V2

【詳解】解:分兩種情況：

①△HPC'完全進入前，兩個三角形重合部分的面積為工J時，如圖，

AABC和△4BZC'都是等邊三角形，A

/￡\

ANDCB=/DBC'=60°,

為等邊三角形，

設BD=BC'=a，過點D作DH_LBC'于H,

則ZBHD=90°,BH=C'H=^BC'=Ja,

B'BHC'

??.DH=y/Blf-BH2="—（導丫=興Q,

rI2VI

重合部分的面積S^BC'D--^-BC-BH—x~a=

a2'

???

a—A/2,

???此時平移的距離為2；

②△AB'。'完全進入后，兩個三角形重合部分的面積為乎時,如圖，

此時，仍有笈。=2,

此時△4BZC'平移的距離為2+4-2=6-"2;

綜上，/\ABC平移的距離是2或6—2，

故答案為：或6—A/2.

題目U(2023?貴州)如圖，兩個直角三角板4BC與CDE按如圖所示的方式擺放，其中/B=/D=30°,

AACB=NECD=90°,AC=CE=皿,且A、。、D共線,將ADCE沿。。方向平移得到△DC'E',若點

E'落在上，則平移的距離為.

【答案】心-1

【分析】根據(jù)平移的性質可知C'E'=CE=設平移的距離為,，則可表示出AC'=V3-c,再根據(jù)含30°

角的Rt^AC'E'的性質可得四4。'=CE,從而列出含c的方程，解方程即可得解.

【詳解】解：；相■△DCE沿。。方向平移得到ADC'E'

：.C'E'=CE=V3

???若設平移的距離為c,則CC'=x

AC=V3-x

?：ZE'CU=2ECD=90°

CE,//CB

：.ZAE'C'=ZB=30°

：.在Rt/XAC'E'中，由勾股定理可推導出聰AC=C'E'

：.V3,(V3—x)—V3

x=A/3—1

.?.平移的距離為四一1.

10

故答案是：V3-1

模型04存在性問題

考|向|演|惻

存在性問題該題型主要是在填空題的多可能性試題、綜合性大題中考試較多，具有一定的綜合性和難度。

這部分考題的考查形式多樣，主要考查等腰三角形性質與判定，與等腰三角形有關的證明及計算，與直角

三角形有關的證明與計算，在命題點下拓展其他新的考查形式。形式上年年有創(chuàng)新,年年有新意。從各

省近幾年真題分析,該題型均與其他知識結合考查,命題在繼承中有創(chuàng)新,創(chuàng)新體現(xiàn)在加大開放探究,注

重學生思維認知能力的考查。

答I題I技I巧

第一步：根據(jù)題意確定分類討論的思路，等腰三角形或直角三角形分別以各頂點為直角頂點或等腰三

角形頂點分類討論；

第二步：依據(jù)圖形變化，畫出對應圖形；

第三步：利用等腰三角形、直角三角形的性質并結合勾股定理或者相似進行求解；

或型不例

題目⑦（2024.福建.一模）如圖，點P為矩形ABCD對角線AC上異于4C的一個動點,過點P作PE，

40于點E,點F為點力關于PE的對稱點，連接PF、FC,若4B=6,8,當△CFF為直角三角形時,

AE的長為.

DFEA

【答案】彳或學

44

【詳解】解:①當ZCFF=90°H+,

???△PCF為直角三角形，

??.ZCFF=90°,

??.ZCFD+ZFFA=90°,

???四邊形ABCD為矩形，

??.ZCAB+ZFAF=90°,

???PE_L4D,點人與點F關于PE對稱，

：.PE=PA,EF=EA,

：.APFA=APAF,

11

???ACAB^ACFD,

/ZD——/

{/CAB=/CFD

：.ACBA?4CDF,

.BC=AB

''~CD~~DF"

'：AB=CD=6,BC=8,

.8=6

??6DF9

即DF=—,

：.AE^^(AD-DF)

②當/PCF=90°時，

ZACB=ZCAF,ZB=AACF=90°,

：.^ACB-/\FAC,

.AC_BC

"AF~AC'

???

：.AE=^AF^

故答案為：1或學.

44

題目回（2024?陜西?一模）如圖，在4ABC中，ABAC=120°,AB=AC=3,點。為邊AB的中點，點E是邊

BC上的一個動點，連接DE,將ABDE沿DE翻折得到△NDE,線段交邊BC于點F.當△DEF為直

角三角形時，BE的長為

【詳解】解:：?48=47=3,點D為邊AB的中點,

13

22

依題意得：NEDFW90。，

如圖，當NDEF=90°時，點B、F重合,

?/ZBAC=120°,AB=4。=3,

??."="=180。］20。=30。，

???ZDEB=90°f

13

：.DE=^BD=^9

BE=dB^-DE2=J弓）-得）=竽;

如圖，當/DFE=90°時，

?.?/DFE=90°,ZB=30°

1Q

：.DF=qBD=.,NPFE=90°,

BF=^Bb2-DF2=7（f）2-（f）2=竽，

又由折疊可得，BE=BE,/B=/B=30°

設BE=EE=c,則EF=BF—BE=—,

?.?ZB'FE=90°,30°,

PE=2EF,

即力=2（早一a;）,

解得/=乎，

.?.BE=乎；

綜上，BE的長為為竽或空，

故答案為：手或凈.

42

模型05動點問息

者|向|頹|惻

動點問題該題型主要是在填空題的多可能性試題、綜合性大題中考試較多，具有一定的綜合性和難度。

本題型在各省的中招考試中考試頻率較高,均位于填空題的第15題，分值3分,且都有兩個答案,屬于幾

何題型的多可能性問題討論。難度系數(shù)較難，得分率較低。本題屬于幾何范疇，主要借助折疊或旋轉的

思想應用在三角形或四邊形中，涉及的知識點主要有勾股定理,三角形的全等或相似，四邊形中的特殊平

行四邊形的性質，本題一般有兩個答案。

答I題I技I巧

第一步：根據(jù)圖形特點，結合運動特征,確定在運動變化過程中符合運動規(guī)律的固定點的位置；

第二步：分析圖中某些基本元素之間的位置關系，為計算最值提供解題的入口；

第三步：分析圖中的數(shù)量關系，尋求在運動變化過程中長度固定的線段,為兩點間的距離最值計算

做好準備。

或型三例

題目回（2023?河北）如圖，在Rt/XABC中，AACB=90°,ABAC=30°,AB=10,動點P從點B出發(fā)，沿A4

方向以每秒4個單位的速度向終點人運動，同時動點Q從點。出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB方向運

動，當點P到達點A時，點Q也停止運動.以BP,BQ為鄰邊作平行四邊形BPDQ,PD,QD分別交AC

13

于點E,F,設點P運動的時間為t秒.連接PF,PQ,點。關于直線PF的對稱點為。'點，當點D'恰好落

在△PQB的邊上時,t的值為.

【答案】1或目

O

【詳解】解:在RtZXABC中，ZC=90°,AB=1Q,ABAC=30°,

：.BC=^-AB=5,AC=5V3,ZAPD=ZB=60°,

由題意，CQ=t,BP=^t,(0<t<2.5),

BQ=5—t,AP=10-41，

???四邊形PBQO是平行四邊形，

??.PD//BC,PD=BQ,4PDF=ZB=60°,

???90°,

???在Rt/^APE中，NA=30°,

：.PE=^-PA=5-2t,

:.PD=BQ=5T,

:.DE=PD-PE=5-t—(5—2t)=t=CQ,

2EFD=4CFQ,NDEF=ZC,

AEFD第△CFQ(44S),

EF=CF,DF=QF=和Q=^-BP=2t,

點D在BQ上時，

由對稱得：PD=PU,FD=Fiy,

?：FD=FQ,點Q在BC上，點Z7在BC上，

.?.點D與點Q重合，

?:BQ=PD,

：.PQ=BQ,

?：ZB=60°,

.?.△PBQ是等邊三角形，

:.PB=BQ,

.'.4：t=5—t,

D在邊PB上時，如圖所示：

此時AUPD=180°-AAPD=180°-60°=120°,

由對稱得：2DPF=ND'PF=60°,

??/PDF=/B=60°,

?.△PDF是等邊三角形,

：.PD=DFf

.\5—t=2t,

.i=A

3，

綜上分析可知，當點D恰好落在△PQB的邊上時，土的值為1或

O

故答案為：1或日.

O

題目?(2023?山東)如圖，RtAABC中，48=AC=18,點。在AC上，且力O=6,。為BC上任意一點,

若將AD繞A點逆時針旋轉90°得到AE,連接OE,則在D點運動過程中，線段OE的最小值為.

【答案】6囂

【詳解】解:如圖，在AB上截取AQ=AO=6,連接DQ,

?.?將AD繞4點逆時針旋轉90°得到AE,

ABAC=ZDAE=9Q°,

：.ABAC-/DAC=/DAE—/D4C,即ABAD=/CAE,

在△AQ。和△AOE中，

(AQ^AO

lzQAD=ZOAE,

[AD^AE

：.AAQD空A4OE(SAS),

:.QD=OE,

???O點在線段BC上運動，

當QD_LBC時，QD的值最小，即線段OE有最小值，

?/△ABC是等腰直角三角形，

/B=45°,

-：QD±BC,

：.AQBD是等腰直角三角形，

■：AB=AC=18,AO=6,

：.QB=12,

由勾股定理得QD=與QB=6V2,

線段OE有最小值為6V2,

故答案為：62.

京典?強牝?|'|練

題目工］(2023?山西)如圖，矩形ABCD中，=2遙，BC=2,點。為矩形對角線力。，BD的交點，將04

繞點A順時針旋轉?(0°<?<360°)，點。的對應點為。，連接BO',當點。落在矩形ABCD的對稱軸上

時，的長為.

【答案】2或2，72a或2

【詳解】解：?.?四邊形ABCD是矩形，

AO=BO=CO=DO,

■：AB=2V3,BC=2,AABC=90°,

：.AC=y/AB-+BC2=V12+4=4,

：.BO=2=AO,

如圖，當。落在AB的垂直平分線上時，

BO'=AO,

?.?將OA繞點A順時針旋轉巴

.?.OA=OA=O3=2,

當點O"落在AD的垂直平分線上時，連接O"D,設AD的垂直平分線與BC交于點

同理可得4。'=。。"=2,

AO=OD^AO"=DO"=2,

四邊形40。。"是菱形，

AO"http://OD,

又?.?BO=AO"=2,

四邊形AO"OB是平行四邊形，

：.AB=O(y'=2V3,

?：BC=BO=CO=2,

是等邊三角形，

?：BH=CH=1,

：./BOH=30°,

：.OH=V3BH=V3,

：.O"H=3V3,

：.O"B=y/BH-+O"H-=V1T27=2。，

綜上所述：B。的長為2或2/7,

故答案為：2或2/7.

題目0（2023?內蒙古）如圖，已知矩形ABCD,AB=2,BC=4,點E是線段AD上一點，且不與A、。重合,

沿BE折疊使點。落在矩形某邊所在直線上，則DE的長是

【答案】2或

【詳解】解:設點。、點。的對應點分別為點C、點D,

?/四邊形ABCD是矩形，4B=2,BC=4,

ZBAD=AABC=ZC*=ZL>=90°,CD=AB=2,AD=BC=4,

由折疊得BC'=BC=4,C'O=CD=2,/。'=/。=90°,ZZ7=Z￡?=90°,

當點。在氏4的延長線上，如圖1,則ZEAC'=180°-ABAD=90°,

四邊形AC'ZXE是矩形，

?/AC'=BC'-AB=4-2=2,

AC'=C'iy,

：.四邊形AC'DE是正方形，

AT7E=AC'=2,

:.DE=DE=2;

當點。在D4的延長線上，如圖2,

?：AD//BC,

：.ZCEB=4CBE,

由折疊得4CBE=ACBE,

ANC'EB="BE,

:.EC'=BC'=BC=4,

222

DE=^/EC^-C'iy=V4-2=2A/3,圖2

/.DE=DE=2A/3,

故答案為：2或2盜.

題目可（2023?南京）如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC=2,乙4=30°,點。為的中點.將線段

AD繞點。旋轉，得到線段DE,連接CE,BE.當。時，BE的長為

17

C

D,

【答案】《或B

【詳解】解:在等腰三角形ABC中，AC=BC=2,/CAB=30°，點。為AC的中點.

AAD=。。=1,NABC=ZDEA=30°,

如圖，過點。作CR_LAB于點F,則=

.?.CF=9AC=1,

在Rt/\ACF中，AF=V3CF=同,則AB=2AF=2V3

如圖，當￡在A。的右側時，

■：DE//BC

&AED?/\ABC

.AE_AD

"BECD

：.BE==V3,

如圖，當E在AC的左側時，連接AE,

???ZABC=ZCAB=30°

：.乙4cB=120°

?：DE//BC

：.ZEDC=/LACB=120°

/ADE=60°

旋轉，

DA—DE,

：.△ADE是等邊三角形，

AAEAD=6Q°,EA=AD=1

"AB=90°

在Rt/\EAB中，

BE=y/AE2+AB2=4+（2遍y=V13,

綜上所述，BE的長為或，*

題目⑷（2023?重慶）如圖,正方形ABCD中，4B=6,點E為對角線AC上的動點，以DE為邊作正方形

DEFG,點〃是CD上一點，連接GH,則GH的最小值為

O

【答案】g

【詳解】解：〈四邊形ABCD是正方形，四邊形DEFC是正方形,

：.DA=DC=6,DE=DG,/ADC=/EOG=90°,ZDAC=45°,

???/ADE=/CDG,

???4ADE注4CDG（SAS）,

??.ADCG=ADAE=45°,

?,?點G的軌跡是射線CG,

根據(jù)垂線段最短可知，當GH_LCG時，G8有最小值，

99

VOH=^-CD=^-X6=4,

OO

：.CH=CD—DH=6—4=2,

GH最,］、=CH-sin45°=2x=鼻,

故答案為：血.

題目回（2023?北京）如圖，在△48。中,AACB=90°,AB=15,人。=12,E為上的點，將EB繞點E在

平面內旋轉，點B的對應點為點。，且點。在△48。的邊上，當△ADE恰好為直角三角形時，BE的長為

???

【詳解】解：；AACB=90°,,AB=15,AC=12,

.-.5(7=7152-122=9.

△ADE為直角三角形時分兩種情況：

①如圖，當/ADE=90°時，設。E=c=

由NADE=NACB,乙4=乙4,

4ADE~/\ACB,

.DE_AE

一布’

.x_15—x

解得，=當；

O

②當/AE；Q=90°時，設=g=

同理可得：XAED?AACB,

.DE=AE

''~CB~~AC9

.n=15—n

??9—12'

解得夕=?.

故答案為：票或吊.

【題目回（2023?東北）如圖，在△AB。中,4ABe=60°,AB=9,點。為AB邊上一動點，點H在AC邊上,

DE〃BC,將△ADE沿DE翻折，點A的對應點為F,連接BF.當△BDF為直角三角形時，AD的長為

【答案】3

【詳解】解：ZABC=60°,

A/ADE=/ABC=60°.

?.?將△ADE沿DE翻折，點人的對應點為F,

ZEDF=NADE=60°,AD^AF,

：./BDF=60°,

：.當ABDF為直角三角形時，則/BFD=90°,

：./DBF=30°,

：.BD=2DF=2AD.

\-BD+AD=9,

：.2AD+AD=9,

AD=3.

故答案為：3.

［題目?（2023?甘肅）如圖，在AABC中，4。=4,石。=2,AC，B。,。為4。中點，石為直線AB上任意一

20

點，將△入￡)￡；沿。E翻折，點A落在點F上，線段DF、線段AB交于點河,則當△EFW為直角三角形時,

AE的長為.

【詳解】解：???AC=4,BC=2,4C_LBC,

AB=y/AC'2+BC2=V42+22=2V5,

根據(jù)題意,當/XEFM為直角三角形時，分兩種情況：

①當點E為直角頂點時，如圖1,

由翻折可知：ZF=ZA,

?/￡FEM=4ACB=90°,

/\FEMfACB,

.EM_BC=\

"EF-AC-T)

設硒■=a,則EF=2a=AE,

：.FM=^EF2+EM2=V5a,

過點D作DG//BC交AB于點G,

.AG_AD

"^BG~~CD'

■：。為力C中點，圖I

G為AB中點，

DG=qBC=1,

?：NEMF=/ZWG=90°-ZF=90°一/A=ADGM,

：.DM=DG=1,

,:DF=DA=2,

：.FM=1,

：.V5a=1,

.?.a=卓，

5

：.AE=2a=^~;

5

②當點”為直角頂點時，如圖2,

由翻折可知：NF=NA,

ZFAffi?=ZACB=90°,

/\FME\ACB,???

.EM=BC=1

-FM—近一萬，

設磯f=a,則FM=2Q,

???EF=y/EM2+FM2=Vba=AE,

AM—AE+EM=展a+a,

???ZDAM=ZC=90°,/MAD=/CAB,

：./\AMD~/\ACB,

.AM=AD

**AC~~AB9

.瓜a+a_2

"4一iTT

.?.a=^A

5

AE—Vba—V5—1.

綜上所述：4E的長為區(qū)⑤或弱—L

5

故答案為：2號或，K—i.

5

題目回（2023?四川）如圖所示,在矩形ABCD中，AB=3,AD=5.點P為邊上一定點且PC=2,點Q為

邊上不與端點重合的一動點，將四邊形PCDQ沿PQ翻折,使得點。的對應點E落在矩形的邊上，連

接BE,則BE的長為.

【答案】或2/2或，叵

【詳解】解:①如圖：當點E在AD上時，

,/在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,

：.CD=AB=3,BC=AD=5,

■：四邊形PCDQ沿PQ翻折,使得點D的對應點E落在矩形的邊上，

四邊形EQPF是矩形，

:.EP=FP=PC=2,AQ=BP=BC—PF=3—2=1,EF=AB=

：.BE=y/BF2+EF2=V13.

如圖：當點E在AB上時，

,/在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,

.?.CD=AB=3,BC=AD=5,

PD=VCD2+FC2=V13,

四邊形PCDQ沿PQ翻折,使得點D的對應點E落在矩形的邊上，

PE=PD=V13,PF=PC=2,

?：BP=BC-PC=5-2=3,

BE=dPE2+Ep2=2,AQ=BP=BC-PF=3-2=1,EF=AB=3,

：.BE=^BE2-PB2=2.

22

綜上，BE的長為，*或2.

題目可（2023?廈門）如圖，在4ABC中，/4=90°,AB==碗，點。為AC邊上一動點，將/。沿過點。

的直線折疊，使點C的對應點。'落在射線CA上，連接BC,當Rt/\ABC的某一直角邊等于斜邊BC'長度

的一半時，CD的長度為.

A

【答案】聲;方或提1

【詳解】解：由翻折得，CD號。C,分三種情況：

①當點。'在邊AC上，且AC'=~^BC\即BC'=2AC）時，

乙4=90°,AB=AC=V6,

由勾股定理得，BC'2-AC'2^AB2,

即（2AC,）2-AC,2=（A/6）2,

AAC=?,

：.CC'^V6-V2,

:.CD=七吟

②當點C在CA的延長線上,且AC'=（即BC'=2AC）時，同理得AC'=V2,

.?.（70=76+72,

:.CD=血；R

③當點。'在C4的延長線上，且AB=yBCX即BC=2AB=276）時，

由勾股定理得，AC,2=BC'2-AB2,

即AC'2=（（2A/6）2-（V6）2=18,

AC'=3V2,

：.CC=V6+3V2,

..V6+3y/2rx3A/2—V6A/18^—A/6、

?—2---------娓=—2—=—2—>依n

.?.CD>AB,此時點。不在邊AC上，不符合題意，舍去，

綜上，當RtAABC的某一直角邊等于斜邊BC長度的一半時，CD的長度為應于旦或還

故答案為：汽W2或汽X2.

支支.題型逼美

題目F（2024.江蘇宿遷.模擬預測）如圖,Rt^ABC中，AACB=90°,/B=30°,AC=4,點P為AB上一個

動點，以PC為軸折疊△APC得到△QPC,點A的對應點為點Q,當點Q落在A4BC內部（不包括邊）上

時，AP的取值范圍為.

【答案】2VApV4V^—4

【詳解】解:過點。作CB±AB,垂足為Pi,以PC為軸折疊△4RC得到△QRC,點4的對應點為點Qr,則

點Qi落在邊上,

?/ZACB=90°,ZB=30°,

ZA=90o-ZB=60°,

?：CPrYAB,

ZACP,=90°-ZA=30°,

?.?在AtAAHC中，AC=4,

：.AP1=^-AC=2,

作NACB的角平分線沖，交43于點B,以為。為軸折疊△AgC得到△Q2BC,點人的對應點為點Q,則

點Q2落在反7邊上，

?/由折疊可知：△ABCWZXQzB。，

AP2=Q2P2,AC=Q?c=2,=ACQ2P2=60°,

???”JQ2P2=ZB+ZBP2Q2=60°,ZB=30°,

=

ZB7^Q230°,

^BP2Q2=ZB,

?e?BQ2—P2Q2,

**?AP2,—BQ2,

???在Rt/XABC中，=30°,

/.AB=2AC—8,

BC=S/AB2-AC2=V82-42=4V3,

：.BQ?=BC-Qq=4V3-4,

"2=4沖-4,

?.?點Q落在AABC內部（不包括邊），

.-.2<AP<4V3-4,

故答案為：2VAPV4v怎一4.

題目0（2024.新疆.模擬預測）如圖,在矩形ABCD中，AB=10,BC=6,點E為射線BC上一動點,將

△ABE沿AE折疊,得到△AB'E.若恰好落在射線CD上，則BE的長為