21.3二次函數(shù)與一元二次方程

21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系溫故知新（1）一次函數(shù)y＝x＋2的圖象與x軸的交點(diǎn)為（，）一元一次方程x＋2＝0的根為_(kāi)_______（2）一次函數(shù)y＝－3x＋6的圖象與x軸的交點(diǎn)為（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根為_(kāi)_______思考：一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸的交點(diǎn)與一元一次方程kx＋b＝0的根有什么關(guān)系？一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元一次方程kx＋b＝0的根

－20－2202那么，二次函數(shù)和一元二次方程又有什么關(guān)系呢？如何求二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)呢？設(shè)y=0,得到一個(gè)一元二次方程x2-2x-3=0，解得x1=3,x2=-1,所以與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），（-1，0).想一想：觀察y=x2-2x-3的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)-3-2-10123-1-2-3123xy4（3，0）（-1，0）y=x2-2x-3探究一：你的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)為（－1，0）（3，0）方程x2－2x－3＝0的兩根是x1＝－1,x2＝3

你發(fā)現(xiàn)了什么？（1）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y＝0時(shí)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程去解決即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1、x2，則拋物線y=ax2+bx+c與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（），B（）x1

，0x2，0xOABx1x2y例題精講1.求二次函數(shù)y＝x2＋4x－5與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)解：令y＝0則x2＋4x－5＝0解之得，x1＝－5,x2＝1∴交點(diǎn)坐標(biāo)為：（－5，0）（1，0）結(jié)論一：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1、x2，則拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（），B（）思考：函數(shù)y＝x2-6x+9和y＝x2-2x+3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？試試看！X1，0X2，0-3-2-10123-1-2-3123xy4-3-2-10123-1-2-3123xy4觀察下列圖象，分別說(shuō)出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情況.想一想：探究二：二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與一元二次方程的解有什么關(guān)系？結(jié)論二：函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)方程有兩不相等根函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)方程有兩相等根函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)方程沒(méi)有根方程的根的情況是由什么決定的？判別式b2－4ac的符號(hào)探究2、拋物線與X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)能不能用一元二次方程的知識(shí)來(lái)說(shuō)明呢？△＞0△=0△＜0OXY結(jié)論2：拋物線y=ax2+bx+c拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況說(shuō)明：1、△＞0一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)——相交。拋物線y=ax2+bx+c2、△=0一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根與x軸有唯一公共點(diǎn)——相切（頂點(diǎn)）。拋物線y=ax2+bx+c3、△＜0一元二次方程ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)——相離。x1判別式?=?______0?______0?_____0二次函數(shù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,2=有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=沒(méi)有實(shí)數(shù)根x2oxyX1=x2oxyoxy二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)（X1，0），（X2，0）與方程的兩根X1，X2和?的關(guān)系＞=＜探究3、若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1、x2，則由韋達(dá)定理得：x1+x2=-

x1x2=若拋物線y=ax2+bx+c與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（x1，0），B（x2，0），則是否有同樣的結(jié)論呢？結(jié)論3、若拋物線y=ax2+bx+c與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（x1，0），B（x2，0），則x1+x2=-

，x1x2=x-4.1-4.2-4.3-4.4y=x2+2x-10x2.12.22.32.4y=x2+2x-10-1.39-0.76-0.110.56-1.39-0.76-0.110.56利用下列條件估計(jì)一元二次方程x2+2x-1=0的根（精確到0.1）例題例題精講2.判斷下列二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b為常數(shù)，a≠0）聯(lián)想：二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以借助判別式解決，那么二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)又該怎么解決呢？例如，二次函數(shù)y＝x2－2x－3和一次函數(shù)y＝x＋2有交點(diǎn)嗎？有幾個(gè)？分析：兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是這兩個(gè)函數(shù)的公共解，先列出方程組，消去y后，再利用判別式判斷即可.例題精講3.二次函數(shù)y＝x2－x－3和一次函數(shù)y＝x＋b有一個(gè)公共點(diǎn),求出b的值.解：由題意，得消元，得x2－x－3＝x＋b整理，得x2－2x－（3＋b）＝0∵有唯一交點(diǎn)∴（－2）2＋4（3＋b）＝0解之得，b＝－4y＝x2－x－3y＝x＋b二、基礎(chǔ)訓(xùn)練1、已知拋物線y=x2-6x+a的頂點(diǎn)在x軸上，則a=

；若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的范圍是

；若拋物線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的范圍是

；3、已知拋物線y=x2+px+q與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），（3，0），則p=

，q=

。2、已知拋物線y=x2-3x+a+1與x軸最多只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的范圍是

。4、判斷下列各拋物線是否與x軸相交，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。（1）y=6x2-2x+1（2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+46、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象全部在軸下方的條件是（）（A）a＜0b2-4ac≤0（B）a＜0b2-4ac＞0（C）a＞0b2-4ac＞0（D）a＜0b2-4ac＜0D三、例題推薦1、已知二次函數(shù)y=x2-kx-2+k.(1)求證:不論k取何值時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)y=x2-kx-2+k與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。(2)如果二次函數(shù)y=x2-kx-2+k與軸兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，設(shè)此拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，當(dāng)k為6時(shí),求S△ABC.2、已知拋物線y=x2+2x+m+1。（1）若拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值。（2）若拋物線與直線y=x+2m只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值。例2.已知二次函數(shù)（1）判別上述拋物線與X軸交點(diǎn)情況（2）設(shè)拋物線與X軸交點(diǎn)之間距離為，求k的值練習(xí)：已知二次函數(shù)的圖像與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（1）求k的取值范圍（2）當(dāng)k為何值時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方和等于50例3設(shè)二次函數(shù)的圖像與X軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，線段OA與OB的長(zhǎng)的積等于6（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）求：m的值(1).用描點(diǎn)法作二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象；一元二次方程的圖象解法

例4利用函數(shù)的圖象估計(jì)一元二次方程x2+2x-10=0的根(2).觀察估計(jì)二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；由圖象可知,圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)一個(gè)在-5與-4之間,另一個(gè)在2與3之間,分別約為-4.3和2.3(3).確定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根為:x1≈-4.3,x2≈2.3.3、已知二次函數(shù)y=x2-kx-2+k.(1)求證:不論k取何值時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)y=x2-kx-2+k與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。(2)k為何值時(shí),二次函數(shù)y=x2-kx-2+k與軸兩個(gè)交點(diǎn)A、B之間的距離最?。浚?）設(shè)此拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，當(dāng)k為6時(shí),求S△ABC.4、已知拋物線y=-x2+2（m+1）x+m+3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，其中A在x軸的正半軸，B在x軸的負(fù)半軸，1）若OA=3OB，求m的值。2）若3（OA-OB）=2OA·OB，求m的值。例4如圖，拋物線和X軸的正半軸相交于A，B兩點(diǎn)，和y軸相交于點(diǎn)C∠ABC=∠ACO求證：a與c互為倒數(shù)AoBxyC5、右圖是泰州某河上一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋物線兩端點(diǎn)與水面的距離都是1m，拱橋的跨度為10m，橋洞與水面的最大距離是5m，橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈．若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中（如下圖）．

1、求拋物線

的解析式．

2、求兩盞景觀燈之

間的水平距離．5110?5m1m10m?ABCD4二次函數(shù)y=ax2+bx+c何時(shí)為一元二次方程?它們的關(guān)系如何?在本節(jié)一開(kāi)始的小球上拋問(wèn)題中,何時(shí)小球離地面的高度是60cm?你是如何知道的?三、基礎(chǔ)練習(xí)1、已知拋物線y=x2-6x+a的頂點(diǎn)在x軸上，則a=

；若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的范圍是

；3、已知拋物線y=x2+px+q與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），（3，0），則p=

，q=

。2、已知拋物線y=x2-3x+a+1與x軸最多只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的范圍是

。評(píng):若拋物線y=ax2+bx+c與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（x1，0），B（x2，0），利用根與系數(shù)的關(guān)系，求證：A、B兩點(diǎn)間的距離AB=4、判斷下列各拋物線是否與x軸相交，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。（1）y=6x2-2x+1（2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+45.已知拋物線,①求拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo);②求拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離.6、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象全部在軸下方的條件是（）（A）a＜0b2-4ac≤0（B）a＜0b2-4ac＞0（C）a＞0b2-4ac＞0(D）a＜0b2-4ac＜0D7．已知二次函數(shù)ｙ＝-ax2，下列說(shuō)法不正確的是（）Ａ．當(dāng)ａ＞０,ｘ≠０時(shí),ｙ總?cè)∝?fù)值Ｂ．當(dāng)ａ＜０,ｘ＜０時(shí),ｙ隨ｘ的增大而減?。茫?dāng)ａ＜０時(shí)，函數(shù)圖象有最低點(diǎn)，即ｙ有最小值Ｄ．當(dāng)ｘ＜０，ｙ＝-ax2的對(duì)稱軸是ｙ軸D四、小結(jié)1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)