重慶市某中學(xué)2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

重慶市育才中學(xué)2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.已知平面內(nèi)不同的兩點A（a+2,4）和5（3,2a+2）到x軸的距離相等，則。的值為（）

A.-3B.-5C.1或-3D.1或-5

2.如圖，AD是半圓O的直徑，AD=12,B,C是半圓O上兩點.若A5=3C=C￡＞，則圖中陰影部分的面積是

C.187rD.24n

3.下列各式：①36+3=6百；②;幣=1;③叵+底=瓜=2也;④胃=20；其中錯誤的有（）.

A.3個B.2個C.1個D.0個

4.如圖是棋盤的一部分，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，已知棋子“車”的坐標(biāo)為（-2,1）,棋子“馬”的坐標(biāo)為（3,-1）,

則棋子“炮”的坐標(biāo)為（）

A.-3-2401?B.0~3^23^D，-3-2-to12^

6.下列運算正確的是（）

A.(a-3)2=a2-9B.(—)-1=2C.x+y=xyD.X64-X2=X3

7.在3,0,-2,一一四個數(shù)中，最小的數(shù)是（)

A.3B.0C.-2D.

8.為了解某社區(qū)居民的用電情況，隨機對該社區(qū)10戶居民進行調(diào)查，下表是這10戶居民2015年4月份用電量的調(diào)

查結(jié)果:

居民（戶）1234

月用電量（度/戶）30425051

那么關(guān)于這10戶居民月用電量（單位：度），下列說法錯誤的是（）

A.中位數(shù)是50B.眾數(shù)是51C.方差是42D.極差是21

9.如圖1所示，甲、乙兩車沿直路同向行駛，車速分別為20m/s和v（m/s）,起初甲車在乙車前a（m）處，兩車同時出

發(fā)，當(dāng)乙車追上甲車時，兩車都停止行駛.設(shè)x（s）后兩車相距y（m）,y與x的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.有以下結(jié)論：

①圖1中a的值為500；

②乙車的速度為35m/s；

③圖1中線段EF應(yīng)表示為500+5%;

④圖2中函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)為1.

其中所有的正確結(jié)論是（）

A

乙Dl

-U7S,125)

田2

A.①④B.②③

C.①②④D.①③④

10.如圖，平行四邊形A3C。中，E,F分別為A。，邊上的一點，增加下列條件，不一定能得出BE//DF的是（）

C.NEBF=NFDED.NBED=NBFD

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向60。，距離燈塔為4海里的點A處，如果海輪沿正南方向航行到燈塔的

正東位置，海輪航行的距離AB長海里.

A

.

■北

I.

■I/X

IJ

P：B

12.若反比例函數(shù)y='的圖象與一次函數(shù)y=ax+b的圖象交于點A（-2,m）、B（5,n）,則3a+b的值等于

X

13.如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，EC=2,NAEP=90。，且EP交正方形外角的平分線

CP于點P,則PC的長為.

14.計算：（6+百）（6-百/.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAABO的頂點O與原點重合，頂點B在x軸上，ZABO=90°,OA與反比例函

數(shù)y=K的圖象交于點D,且OD=2AD,過點D作x軸的垂線交x軸于點C.若S??ABCD=10,則k的值為

17.若一個正n邊形的每個內(nèi)角為144。,則這個正n邊形的所有對角線的條數(shù)是.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）濟南某中學(xué)在參加“創(chuàng)文明城，點贊泉城”書畫比賽中，楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班（用A,

B,C,。表示），對征集到的作鼎的數(shù)量進行了分析統(tǒng)計，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

作品數(shù)量扇形圖

（/）楊老師采用的調(diào)查方式是（填“普查”或“抽樣調(diào)查”）;

（2）請補充完整條形統(tǒng)計圖，并計算扇形統(tǒng)計圖中C班作品數(shù)量所對應(yīng)的圓心角度數(shù)

（3）請估計全校共征集作品的件數(shù).

（4）如果全枝征集的作品中有5件獲得一等獎，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，現(xiàn)要在獲得一樣等獎的作

者中選取兩人參加表彰座談會，請你用列表或樹狀圖的方法，求恰好選取的兩名學(xué)生性別相同的概率.

19.（5分）綜合與探究：

如圖1,拋物線y=-避^2+2班*+括與*軸分別交于人、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于C點.經(jīng)過

33

點A的直線1與y軸交于點D（0,-73）.

（1）求A、B兩點的坐標(biāo)及直線1的表達式；

（2）如圖2,直線1從圖中的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向運動，運動中直線1與x軸交于點E,

與y軸交于點F,點A關(guān)于直線1的對稱點為A，，連接FA，、BAS設(shè)直線1的運動時間為t（t>0）秒.探究下列問

題：

①請直接寫出A，的坐標(biāo)（用含字母t的式子表示）；

②當(dāng)點A，落在拋物線上時，求直線1的運動時間t的值，判斷此時四邊形A，BEF的形狀，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，探究：在直線1的運動過程中，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P,使得以P,A，，B,E為頂點的四

20.（8分）對幾何命題進行逆向思考是幾何研究中的重要策略，我們知道，等腰三角形兩腰上的高線相等，那么等

腰三角形兩腰上的中線，兩底角的角平分線也分別相等嗎？它們的逆命題會正確嗎？

（1）請判斷下列命題的真假，并在相應(yīng)命題后面的括號內(nèi)填上“真”或“假”.

①等腰三角形兩腰上的中線相等;

②等腰三角形兩底角的角平分線相等;

③有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形;

（2）請寫出“等腰三角形兩腰上的中線相等”的逆命題，如果逆命題為真，請畫出圖形，寫出已知、求證并進行證明，

如果不是，請舉出反例.

21.（10分）我市在黨中央實施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司，

某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費用y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點為原點

的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示

的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達到產(chǎn)銷平衡，所獲毛利潤為W萬元.（毛利潤=銷售額-生產(chǎn)費用）

（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（寫出自變量x的取值范圍）

（2）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（寫出自變量x的取值范圍）；并求年產(chǎn)量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛

利潤是多少？

（3）由于受資金的影響，今年投入生產(chǎn)的費用不會超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？

22.（10分）已知：如圖1在R3ABC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速

運動，速度為2cm/s；同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向點C勻速運動，速度為lcm/s；連接PQ,設(shè)運動的時間為t秒

（0<t<5）,解答下列問題：

（1）當(dāng)為t何值時，PQ〃BC；

（2）設(shè)AAQP的面積為y（em2）,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值；

（3）如圖2,連接PC,并把APQC沿QG翻折，得到四邊形PQPC,是否存在某時刻t,使四邊形PQPt為菱形？

若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由.

23.(12分)在2018年韶關(guān)市開展的“善美韶關(guān)?情暖三江”的志愿者系列括動中，某志愿者組織籌集了部分資金，計劃

購買甲、乙兩種書包若干個送給貧困山區(qū)的學(xué)生，已知每個甲種書包的價格比每個乙種書包的價格貴10元，用350

元購買甲種書包的個數(shù)恰好與用300元購買乙種書包的個數(shù)相同，求甲、乙兩種書包每個的價格各是多少元？

24.(14分)如圖，AABC中，CD是邊AB上的高，且包=92

CDBD

求證：AACDs/\CBD；求NACB的大小.

參考答案

一、選擇題(每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分)

1、A

【解析】

分析：根據(jù)點A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x軸的距離相等，得到4=|2a+2|,即可解答.

詳解：???點A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x軸的距離相等，

；.4=|2a+2|,a+2W3,

解得：a=-3,

故選A.

點睛：考查點的坐標(biāo)的相關(guān)知識；用到的知識點為：到x軸和y軸的距離相等的點的橫縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù).

2、A

【解析】

根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系得到NAOB=NBOC=NCOD=60。，根據(jù)扇形面積公式計算即可.

【詳解】

,:AB=BC=CD>

NAOB=NBOC=NCOD=60。.

,陰影部分面積=處互=6”.

360

故答案為：A.

【點睛】

本題考查的知識點是扇形面積的計算，解題關(guān)鍵是利用圓心角與弧的關(guān)系得到NAOB=NBOC=NCOD=60。.

3、A

【解析】

36+3=6&,錯誤，無法計算；②g幣=1,錯誤；③0+#=次=20,錯誤，不能計算；④手=2行，

正確.

故選A.

4、B

【解析】

直接利用已知點坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系進而得出答案.

【詳解】

解：根據(jù)棋子“車”的坐標(biāo)為（-2,1）,建立如下平面直角坐標(biāo)系：

二棋子“炮”的坐標(biāo)為（2,1）,

故答案為：B.

【點睛】

本題考查了坐標(biāo)確定位置，正確建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.

5、B

【解析】

按照解一元一次不等式的步驟求解即可.

【詳解】

去括號，得2+2x>l+3x；移項合并同類項，得x<L所以選B.

【點睛】

數(shù)形結(jié)合思想是初中常用的方法之一.

6、B

【解析】

分析：根據(jù)完全平方公式、負(fù)整數(shù)指數(shù)基，合并同類項以及同底數(shù)塞的除法的運算法則進行計算即可判斷出結(jié)果.

詳解：A.(a-3)2=a2-6a+9,故該選項錯誤；

B.(-)-1=2,故該選項正確；

2

C.x與y不是同類項，不能合并，故該選項錯誤；

D.x6+x2=x&2=x4,故該選項錯誤.

故選B.

點睛：可不是主要考查了完全平方公式、負(fù)整數(shù)指數(shù)騫，合并同類項以及同度數(shù)塞的除法的運算，熟記它們的運算法

則是解題的關(guān)鍵.

7、C

【解析】

根據(jù)比較實數(shù)大小的方法進行比較即可.根據(jù)正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,兩個負(fù)數(shù)絕對值大的反而小即可求解.

【詳解】

因為正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值較大的數(shù)反而較小，

所以__.?一二.：口<?

所以最小的數(shù)是

故選C.

【點睛】

此題主要考查了實數(shù)的大小的比較，正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,兩個負(fù)數(shù)絕對值大的反而小.

8、C

【解析】

試題解析：10戶居民2015年4月份用電量為30,42,42,50,50,50,51,51,51,51,

平均數(shù)為(30+42+42+50+50+50+51+51+51+51)=46.8,

中位數(shù)為50；眾數(shù)為51,極差為51-30=21,方差為(30-46.8)2+2(42-46.8)2+3(50-46.8)2+4(51-46.8)2]=42.1.

故選C.

考點：1.方差；2.中位數(shù)；3.眾數(shù)；4.極差.

9、A

【解析】

分析：①根據(jù)圖象2得出結(jié)論;②根據(jù)(75,125)可知：75秒時，兩車的距離為125m,列方程可得結(jié)論;③根據(jù)圖1,線段

的和與差可表示EF的長；④利用待定系數(shù)法求直線的解析式，令y=0可得結(jié)論.

詳解:①y是兩車的距離，所以根據(jù)圖2可知：圖1中a的值為500,此選項正確；②由題意得：75x20+500-75y=125,v=25,

則乙車的速度為25m/s,故此選項不正確；③圖1中：EF=a+20x-vx=500+20x-25x=500-5x.故此選項不正確；④設(shè)圖2的

?b—500{k=—5

解析式為：y=kx+b,把(0,500)和(75,125)代入得：;，解得〈一“c，y=-5x+500,

75左+。=125[b=500

當(dāng)y=0時，-5x+500=0,x=l,即圖2中函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)為1,此選項正確；其中所有的正確結(jié)論是①④；故

選A.

點睛：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)圖象，讀懂題目信息，理解兩車間的距離與時間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10、B

【解析】

由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD//BC,AD=BC,然后由AE=CF,ZEBF=ZFDE,NBED=NBFD均可判定

四邊形BFDE是平行四邊形，則可證得BE//DF,利用排除法即可求得答案.

【詳解】

四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD//BC,AD=BC,

A、VAE=CF,

；.DE=BF,

二四邊形BFDE是平行四邊形，

BE//DF,故本選項能判定BE//DF；

B、VBE=DF,

四邊形BFDE是等腰梯形，

???本選項不一定能判定BE//DF；

C、VAD//BC,

:.ZBED+ZEBF=180°,NEDF+NBFD=180°,

VZEBF=ZFDE,

NBED=NBFD,

四邊形BFDE是平行四邊形，

/.BE//DF,

故本選項能判定BE//DF；

D、VAD//BC,

，ZBED+ZEBF=180°,ZEDF+ZBFD=180°,

VZBED=ZBFD,

/.ZEBF=ZFDE,

二四邊形BFDE是平行四邊形，

/.BE//DF,故本選項能判定BE//DF.

故選B.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，注意根據(jù)題意證得四邊形BFDE是平行四邊形是關(guān)鍵.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、1

【解析】

分析：首先由方向角的定義及已知條件得出NNPA=60。，AP=4海里，ZABP=90°,再由AB〃NP,根據(jù)平行線的性質(zhì)

得出NA=NNPA=60。.然后解RtAABP,得出AB=AP-cosNA=l海里.

詳解：如圖，由題意可知NNPA=60。，AP=4海里，ZABP=90°.

；AB〃NP,

/.ZA=ZNPA=60°.

在RtAABP中，VZABP=90°,ZA=60°,AP=4海里，

AB=AP?cosZA=4xcos60°=4x—=1海里.

2

故答案為1.

點睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，正確理解方向角的定義是解題

的關(guān)鍵.

12、0

【解析】

分析：本題直接把點的坐標(biāo)代入解析式求得利n,a,6之間的關(guān)系式，通過等量代換可得到3a+b的值.

詳解：分別把4（-2,旭）、

代入反比例函數(shù)y=t的圖象與一次函數(shù)產(chǎn)依+方得

X

—2m=5n,-2a+b=m,5a+b=n9

綜合可知5(5a+b)=-2(-2a+b),

25a+5b=4a-2bf

21a+7ft=0,

即3a+A=0.

故答案為：0.

點睛：屬于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合題，考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，比較基礎(chǔ).

13、O

【解析】

在A3上?、蘓=8E,連接EN,根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定AANE義AECP,從而得到NE=CP,在等腰

直角三角形5NE中，由勾股定理即可解決問題.

【詳解】

AB±<BN=BE,連接EN,作PM_L5C于M.

'：BE=BN,ZB=90°,AZBNE=45°,ZANE=135°.

"JPC^^-ZDCM,：.ZPCM=45°,NECP=135°.

'：AB=BC,BN=BE,：.AN=EC.

'：NAEP=90。，,ZAEB+NPEC=90°.

VZAEB+ZNAE=9Q°,：.ZNAE=ZPEC,：./\ANE^/\ECP(ASA),：.NE=CP.

,:BC=3,EC=2,：.NB=BE=1,:.NE=[f=啦,：.PC=y[1.

故答案為：拒.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全

等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

14、2

【解析】

利用平方差公式求解，即可求得答案.

【詳解】

(y/5+6)(石-石)=(石)2-(石)2=5-3=2.

故答案為2.

【點睛】

此題考查了二次根式的乘除運算.此題難度不大，注意掌握平方差公式的應(yīng)用.

15、-1

【解析】

VOD=2AD,

,0D_2

"~0A~3,

VZABO=90°,DC±OB,

AABDC,

/.△DCO^AABO,

.DC_OC_OD_2

"AB~OB~OA~3'

?S四邊形ABCD=10,

**SAODC=8,

:.-OCxCD=8,

■

OCxCD=l,

/.k=-1,

故答案為-1.

16、3(a—I)2

【解析】

先提公因式，再套用完全平方公式.

【詳解】

解：3a2-6a+3=3(a2-2a+l)=3(a-l)2.

【點睛】

考點：提公因式法與公式法的綜合運用.

17、2

【解析】

由正n邊形的每個內(nèi)角為144。結(jié)合多邊形內(nèi)角和公式，即可得出關(guān)于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，將

其代入"("一3中即可得出結(jié)論.

2

【詳解】

?..一個正n邊形的每個內(nèi)角為144°,

144n=180x(n-2),解得：n=l.

這個正n邊形的所有對角線的條數(shù)是：〃("3)=吆Z=2.

22

故答案為2.

【點睛】

本題考查了多邊形的內(nèi)角以及多邊形的對角線，解題的關(guān)鍵是求出正n邊形的邊數(shù).本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解

決該題型題目時，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出多邊形邊的條數(shù)是關(guān)鍵.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

2

18、(1)抽樣調(diào)查(2)150°(3)180件(4)j

【解析】

分析：(1)楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班，屬于抽樣調(diào)查.

90

(2)由題意得：所調(diào)查的4個班征集到的作品數(shù)為：6+—=24(件)，C班作品的件數(shù)為：24-4-6-4=10(件)；繼而

360

可補全條形統(tǒng)計圖；

(3)先求出抽取的4個班每班平均征集的數(shù)量，再乘以班級總數(shù)可得；

(4)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩名學(xué)生性別相同的情況，再利用概率公式即

可求得答案.

詳解：(1)楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班，屬于抽樣調(diào)查.

故答案為抽樣調(diào)查.

90

(2)所調(diào)查的4個班征集到的作品數(shù)為：6+y=24件，

360

C班有24-(4+6+4)=10件，

補全條形圖如圖所示，

作品(件)

扇形統(tǒng)計圖中c班作品數(shù)量所對應(yīng)的圓心角度數(shù)36O°X—=150°；

24

故答案為150°；

(3)???平均每個班7上4=6件，

4

，估計全校共征集作品6x30=180件.

更2男3女1女2男1男3女1女2男1男2女1女2男1男2里3女2男1男2男3女1

?.?共有20種等可能的結(jié)果，兩名學(xué)生性別相同的有8種情況，

???恰好選取的兩名學(xué)生性別相同的概率為《=|.

點睛：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問

題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.同時古典概

rn

型求法：(1)算出所有基本事件的個數(shù)n；(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m；(3)代入公式P(A)=—,求出

n

P(A)..

19、(1)A(-1,0),B(3,0),y=-&x-5

(2)①A，—t)；②A，BEF為菱形，見解析；

22

(3)存在，P點坐標(biāo)為(2，至)或(:，-士叵).

3333

【解析】

(1)通過解方程-gx2+gGx+G=0得A(-1,0),B(3,0),然后利用待定系數(shù)法確定直線1的解析式;

(2)①作A，H，x軸于H,如圖2,利用OA=LOD=3得到NOAD=60。，再利用平移和對稱的性質(zhì)得到EA=

EA，=t,NA，EF=NAEF=60。，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系表示出A，H,EH即可得到A，的坐標(biāo)；

②把A，Tt-l,立t)代入y=-1x2+氈x+有得-正(-t-1)2+空+百=1t,解方程

223332322

得到t=2,此時A，點的坐標(biāo)為(2,6)，E(l,0),然后通過計算得到AF=BE=2,AT//BE,從而判斷四邊形A，BEF

為平行四邊形，然后加上EF=BE可判定四邊形ABEF為菱形；

3

(3)討論：當(dāng)A，B，BE時，四邊形A，BEP為矩形，利用點A，和點B的橫坐標(biāo)相同得到一tT=3,解方程求出t得

2

到A，(3,拽)，再利用矩形的性質(zhì)可寫出對應(yīng)的P點坐標(biāo)；當(dāng)ABLEA，，如圖4,四邊形ABPE為矩形，作A，Q，x

3

軸于Q,先確定此時A，點的坐標(biāo)，然后利用點的平移確定對應(yīng)P點坐標(biāo).

【詳解】

(1)當(dāng)y=0時，-^~好3也X+6=Q,解得XI=-1,X2=3,則A(-1,0),B(3,0),

33

設(shè)直線1的解析式為y=kx+b,

l-k+b=0k=—^3

把A(-1,0),D(0,-班)代入得｛廣，解得｛廣

b=-y/3b=-y/3

二直線1的解析式為y=-V3x-V3;

(2)①作A'HLx軸于H,如圖，

VOA=1,OD=V3,

...NOAD=60。，

；EF〃AD,

:.NAEF=60。，

V點A關(guān)于直線1的對稱點為N,

.*.EA=EA'=t,ZA,EF=ZAEF=60°,

在RtAA,EH中，EH=-EAr=-t,ArH=J3EH=—t,

222

13

/.OH=OE+EH=t-l+-t=-t-1,

22

?*.Ar(-1-1,t)；

22

②把A'(3-1,Bt)代入y=-1x2+述X+6得-B(-t-1)2+RI(-t-1)+g=@t,

解得ti=O(舍去)，t2=2,

...當(dāng)點A，落在拋物線上時，直線1的運動時間t的值為2；

此時四邊形A，BEF為菱形，理由如下：

當(dāng)t=2時，A，點的坐標(biāo)為(2,百)，E(1,0),

ZOEF=60°

.,.OF=73OE=73,EF=2OE=2,

，F(xiàn)(0,73)>

；.A，F(xiàn)〃x軸,

,."AT=BE=2,AT//BE,

四邊形A，BEF為平行四邊形，

而EF=BE=2,

二四邊形ABEF為菱形；

當(dāng)A，BJ_BE時，四邊形A，BEP為矩形，則3-1=3,解得t=§,則A，（3,勺8）,

233

5

VOE=t-1=-,

3

二此時p點坐標(biāo)為（*,生8）；

33

當(dāng)A'BLEAl如圖，四邊形A，BPE為矩形，作A，Q_Lx軸于Q,

■:ZAEAr=120°,

JZArEB=60°,

:.NEBA，=30。

；?BQ=班A，Q=6百t=；t,

22

334

—t-1+—1=3,解得t=—,

223

此時A，(1,^1),E(-,0),

33

點A，向左平移三個單位，向下平移口8個單位得到點E,則點B（3,0）向左平移三個單位，向下平移其1個單位

3333

得到點P,則P（z,-空）,

33

綜上所述，滿足條件的p點坐標(biāo)為（*,生8）或（工，-2叵）.

3333

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的判定和矩形的性質(zhì);

會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

20、（1）①真；②真；③真；（2）逆命題是：有兩邊上的中線相等的三角形是等腰三角形；見解析.

【解析】

⑴根據(jù)命題的真假判斷即可；

⑵根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)進行證明即可.

【詳解】

⑴①等腰三角形兩腰上的中線相等是真命題；

②等腰三角形兩底角的角平分線相等是真命題；

③有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形是真命題；

故答案為真；真；真；

⑵逆命題是：有兩邊上的中線相等的三角形是等腰三角形；

已知：如圖，AABC中，BD,CE分別是AC,邊上的中線，且

求證：AABC是等腰三角形；

證明：連接。E,過點。作。尸〃EC,交3c的延長線于點F,

'：BD,CE分別是AC,邊上的中線，

.,?。E是^ABC的中位線，

J.DE//BC,

'：DF//EC,

二四邊形DECF是平行四邊形，

1.EC=DF,

'：BD=CE,

:.DF=BD,

：.ZDBF=ZDFB,

,JDF//EC,

：.ZF=ZECB,

:.NECB=NDBC,

在4DBC與公ECB中

BD=EC

<ZDBC=NECB,

BC=CB

:.ADBC^AECB,

：.EB=DC,

：.AB=AC,

...△ABC是等腰三角形.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；證明的步驟是：先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)圖形寫出已

知和求證，最后寫出證明過程.

21、(1)y=^x1.z=-TJX+30(0<X<100)；(1)年產(chǎn)量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1115萬元；(3)今

年最多可獲得毛利潤1080萬元

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法可求出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(1)根據(jù)(1)的表達式及毛利潤=銷售額-生產(chǎn)費用，可得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求出最值即可；

(3)首先求出x的取值范圍，再利用二次函數(shù)增減性得出答案即可.

【詳解】

(1)圖①可得函數(shù)經(jīng)過點(100,1000),

設(shè)拋物線的解析式為(存0),

將點(100,1000)代入得：1000=10000a,

解得：a——,

故y與A?之間的關(guān)系式為

圖②可得：函數(shù)經(jīng)過點(0,30)、(100,10),

100左+匕=20

設(shè)z—kx+b,則\,

。=30

k=—

解得：［10,

b=30

故z與x之間的關(guān)系式為z=-^x+30(0<r<100)；

(1)W=zx-y^-—x^SOx--x1

1010

=-爐+30》

=-—(x1-150x)

5

=--(x-75)1+lU5,

5

1

；--<0,

5

.?.當(dāng)x=75時，W有最大值1115,

.?.年產(chǎn)量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1115萬元;

(3)令y=360,x1=360,

解得：*=±60(負(fù)值舍去)，

由圖象可知，當(dāng)0〈正360時，0〈止60,

由W=-g(x-75)51115的性質(zhì)可知，

當(dāng)0〈爛60時，W隨x的增大而增大，

故當(dāng)x=60時，W有最大值1080,

答：今年最多可獲得毛利潤1080萬元.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，注意二次函數(shù)最值的求法，一般用配方法.

22、(1)當(dāng)1=竺時，PQ〃BC；(2)--(t--)2+—,當(dāng)t=3時，y有最大值為上；(3)存在，當(dāng)1="時，四

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