小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)小升初復(fù)習(xí)：式與方程 知識(shí)點(diǎn)

第八節(jié)：數(shù)量關(guān)系（二）式與方程

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用字母表示數(shù)的意義、作用、寫(xiě)法及規(guī)則

-012用字母表示數(shù)一用含有字母的式子表示數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和性質(zhì)、計(jì)算公式

求含有字母式子的值

式與方程等式的意義

e等式與方程一方程的意義

等式與方程的關(guān)系

-簡(jiǎn)易方程

七解方程、方程的解等式的性質(zhì)1、2

列方程解決實(shí)際問(wèn)題

用含有字母的式子表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系

【例1】

一個(gè)數(shù)的百位上數(shù)字是b,十位上數(shù)字是7,個(gè)位上數(shù)字是m,這個(gè)數(shù)是（）。

思路引導(dǎo)一

在數(shù)學(xué)上，一個(gè)數(shù)字所在的數(shù)位不同，其位值也就不同。百位上的數(shù)表示幾個(gè)100,十位上的數(shù)表示幾個(gè)10,

個(gè)位上的數(shù)表示幾個(gè)lo這個(gè)數(shù)為bX100+7X10+mXl=100b+70+m。

正確解答：

100b+70+m

?技法提煉

用含有字母的式子表示數(shù)量的思考方法與解決問(wèn)題的方法一樣，要分析數(shù)量間的關(guān)系，只是把字母看作某

一個(gè)數(shù)來(lái)思考。當(dāng)一個(gè)三位整數(shù)從左往右各數(shù)位上的數(shù)字分別是“a、b、c”時(shí)，表達(dá)時(shí)要用100a+10b+c

的形式，數(shù)字寫(xiě)在字母的前面，乘號(hào)可以省略不寫(xiě)。

【變式1】

1.有三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，中間一個(gè)數(shù)是m,則其他兩個(gè)數(shù)分別是（）和（）o

【例2】

小學(xué)買(mǎi)來(lái)10個(gè)籃球和b個(gè)足球，每個(gè)籃球a元，每個(gè)足球96.8元。a—96.8表示（）；10a+96.8b表示

（）；10a—96.8b表示（）。

思路引導(dǎo)一

“a—96.8”中a是籃球的單價(jià)，96.8是足球的單價(jià)，那么這個(gè)式子表示每個(gè)籃球比每個(gè)足球貴的錢(qián)數(shù)；同

樣的道理，根據(jù)式子求得的是什么就可以說(shuō)出式子表示的意義。

正確解答：

每個(gè)籃球比每個(gè)足球貴的錢(qián)數(shù)；10個(gè)籃球和b個(gè)足球的總錢(qián)數(shù)；10個(gè)籃球比b個(gè)足球貴的錢(qián)數(shù)

蘇因?技法提燥

要知道一個(gè)含有字母的式子表示的意義，就要理解這個(gè)式子求得的是什么數(shù)量，那么這個(gè)式子求得的是什

么就表示什么意義。

【變式2】

(2021六下?河北邢臺(tái))

2.甲、乙兩輛汽車(chē)分別從A、B兩地同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，兩車(chē)速度分別是a千米/時(shí)和b千米/時(shí)，6小時(shí)后兩車(chē)

在途中相遇。A、B兩地相距()千米。

【例3】

如下圖，擺1個(gè)三角形用3根小棒，擺2個(gè)三角形用5根小棒，擺3個(gè)三角形用7根小棒。

①擺5個(gè)三角形需要多少根小棒？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

②擺10個(gè)三角形需要多少根小棒？

③擺n個(gè)三角形需要多少根小棒？

思路引導(dǎo)一

認(rèn)真觀察圖形，可以找出三角有形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系：除第一個(gè)三角形外，每增加一個(gè)三角形需要

增加2根小棒。即需要小棒的根數(shù)=2X擺成三角形的個(gè)數(shù)十(3—2)。

正確解答：

①2X5+(3-2)

=2X5+1

=10+1

=11(根)

答：擺5個(gè)三角形需要11根小棒；發(fā)現(xiàn)了每增加一個(gè)三角形，就增加2根小棒。

②2X10+(3-2)

=2X10+1

=20+1

=21（根）

答：擺10個(gè)三角形需要21根小棒。

③2n+（3-2）

=2n+l（根）

答：擺n個(gè)三角形需要2n+l根小棒。

小,技法提煉

解決這類(lèi)問(wèn)題，找到數(shù)量之間的規(guī)律是關(guān)鍵。找到規(guī)律之后，還要能夠用含有字母的式子把規(guī)律表示出來(lái)。

【變式3】

（2019六上?湖南懷化）

3.用同樣長(zhǎng)的小棒擺正方形，如圖：

（1）填一填。（每空1分，共2分）

正方形個(gè)數(shù)12345???

小棒根數(shù)1+3X11+3X21+3X3???

（2）這樣擺7個(gè)正方形，需要多少根小棒?

（3）現(xiàn)有31根小棒，能擺多少個(gè)這樣的正方形？

忙箴用

求含有字母式子的值

【例4】

已知a—3b=14,求4a—12b—5的值。

思路引導(dǎo)一

此題考查的是求含有字母的式子的值，這里把a(bǔ)—3b看作一個(gè)整體，它的4倍是4a—12b,把a(bǔ)—3b的值代

入4a—12b—5中，即可求出這個(gè)式子的值。

正確解答：

方法一：當(dāng)a-3b=14時(shí),方法二：a—3b=14>4a—12b=56

4a—12b-5當(dāng)4a—12b=56時(shí)，

—4(a—3b)—54a-12b-5

=4X14-5二56-5

=51二51

小

將含有幾個(gè)字母的式子看作一個(gè)整體，求出這個(gè)整體的值，再代入相關(guān)的式子中，通過(guò)整理、運(yùn)算，進(jìn)而求

出式子的值。

【變式4】

4.已知2a+6b=28,那么a+3b=(

【例5】

方程和等式的關(guān)系可以用（）表示

等式）0程

思路引導(dǎo)一

由方程的定義可知：含有未知數(shù)的等式是方程；方程一定是等式，但是等式不一定都是方程，如：3+x=5,

既是方程也是等式；3+2=5,是等式但不是方程。

正確解答：B

國(guó)?技法提燎

掌握方程的定義以及方程和等式的區(qū)別是解題的關(guān)鍵。

【變式5】

5.4a+8<50>2x+5=55、6b—9都是方程。

【例6】

解方程

28X05+0.6x=32.64(x-58.2)=16.8

思路引導(dǎo)一

28X0.5+0.6x=32.6,先求出28X0.5的積，再根據(jù)等式的性質(zhì)1,方程兩邊同時(shí)減去28X0.5的積，再根據(jù)

等式的性質(zhì)2,方程兩邊同時(shí)除以0.6,求出x的值;

21211

—X—X———x—

5315,將方程左邊合并為15.，根據(jù)等式的性質(zhì)2,將方程左右兩邊同時(shí)除以15,求出x的值；

4(x-58.2)=16.8,根據(jù)等式的性質(zhì)1和2,將方程左右兩邊同時(shí)除以4,再同時(shí)加上58.2,求出x的值。

正確解答：

28X0.5+0.6x=32.6

解：14+0.6x=32.6

14-14+0.6X=32.6-14

0.6x=18.6

0.6x4-0.6=18.64-0.6

x=31

212

—x——x=一

5315

12

—x——

解：1515

1121

----X-......=------：-----

151515,15

x=2

4(x-58.2)=16.8

解：4(x-58.2)+4=16.8+4

x-58.2=4.2

x—58.2+58.2=4.2+58.2

x=62.4

小國(guó)?技法提煉

解稍復(fù)雜的方程時(shí)，在方程的左邊能先算的要先算，再根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，解出方程后可以把方程的

解代入原方程檢驗(yàn)一下方程的兩邊是否相等。

【變式6】

6.解方程。

32_3

-x—X—X

⑴4-3+7=13(2)19-1.2^=7(3)4-50%^=17.5

列方程解決實(shí)際問(wèn)題

【例7】

甲、乙兩車(chē)從相距272千米的兩地同時(shí)相向而行，3小時(shí)后兩車(chē)還相隔17千米。甲車(chē)每小時(shí)行45千米，乙

車(chē)每小時(shí)行多少千米？

思路引導(dǎo)一

第一步：根據(jù)題意可以畫(huà)出線段圖。

3小時(shí)后兩車(chē)

每小時(shí)行45千米還相隔17千米存小a+彳〒？千米

一,I乙

車(chē)1-----------------------------------v------------------------------------車(chē)

272千米

第二步：由線段圖分析題中的數(shù)量關(guān)系。

兩車(chē)行駛的路程+相隔的距離=總路程

甲車(chē)行駛的路程+乙車(chē)行駛的路程+相隔的距離=總路程

兩車(chē)行駛的路程=總路程一相隔的距離

甲車(chē)行駛的路程+乙車(chē)行駛的路程=總路程一相隔的距離

第三步：根據(jù)不同的等量關(guān)系式，可列出不同的方程求解。

正確解答：

解：設(shè)乙車(chē)每小時(shí)行x千米。

方法一：(45+x)X3+17=272

(45+x)X3=255

45+x=85

x=40

方法二：45X3+3x+17=272

152+3x=272

3x=120

x=40

方法三：(45+x)X3=272-17

(45+x)X3=255

45+x=85

x=40

方法四：45X3+3x=272-17

135+3x=255

3x=120

x=40

答：乙車(chē)每小時(shí)行40千米。

蘇因?技法提燥

生活中有許多需要逆思考的問(wèn)題，這些問(wèn)題思路復(fù)雜，難以解決。如果用列方程的方法來(lái)解，不需要逆思考，

只需根據(jù)最簡(jiǎn)單、直接、明顯的數(shù)量關(guān)系式，將其中的未知量設(shè)x,列出方程即可解決。

變式7】

（2021五上?遼寧阜新）

7.一個(gè)正方形花壇的周長(zhǎng)是24m。如果把這個(gè)花壇改為長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)不變，寬4米，長(zhǎng)是多少米？（列方

程解答）

【例8】

有三筐同樣重的蘋(píng)果，取出第一筐的一半，第二筐的35%,從第三筐中取出12千克，這時(shí)三筐剩下的蘋(píng)果

恰好等于原來(lái)兩筐蘋(píng)果的質(zhì)量。原來(lái)每筐蘋(píng)果重多少千克？

思路引導(dǎo)一

第一步：分析數(shù)量關(guān)系。根據(jù)“三筐剩下的蘋(píng)果恰好等于原來(lái)兩筐蘋(píng)果的質(zhì)量”可知，取出的蘋(píng)果一共等于

一筐蘋(píng)果的質(zhì)量。

第二步：把一筐蘋(píng)果的質(zhì)量設(shè)為x,根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列方程解答。

一筐蘋(píng)果的質(zhì)量一第一筐中取出的質(zhì)量一第二筐中取出的質(zhì)量=第三筐中取出的質(zhì)量。

正確解答：

解：設(shè)原來(lái)每筐蘋(píng)果重x千克。

x—2x—35%x=12

15%x=12

x=80

答：原來(lái)每筐蘋(píng)果重80千克。

國(guó)?技法提燥

在列方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，最關(guān)鍵的是找到數(shù)量之間的等量關(guān)系。有時(shí)數(shù)量關(guān)系不那么明顯，需要聯(lián)系題目

的各個(gè)條件進(jìn)行分析，將已知量放在數(shù)量關(guān)系式的右邊，列出方程進(jìn)而解答。

【變式8】

1

8.笑笑今年的年齡正好是爸爸的4,爸爸比笑笑大24歲，爸爸和笑笑今年分別是多少歲？

一、填空。

（2021五上?江蘇揚(yáng)州）

9.大詩(shī)人李白筆下的詩(shī)句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”廣為流傳。若唐代的一尺相當(dāng)于現(xiàn)在的x

米，詩(shī)中的三千尺相當(dāng)于現(xiàn)在的（）米，如果唐代的一千尺約為現(xiàn)在的307米，那么x約表示

（）米。

（2022六上?重慶高新區(qū)）

10.小聰設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算機(jī)程序：輸入一個(gè)數(shù)一除以0.4-加上m-輸出數(shù)據(jù)。

（1）如果輸入一個(gè)數(shù)是a,則輸出的數(shù)據(jù)是（）o

（2）當(dāng)小聰輸入的數(shù)是20時(shí)，輸出的數(shù)是100。那么當(dāng)小聰輸入的數(shù)是100時(shí)，輸出的數(shù)是（）o

（2021六下?湖南岳陽(yáng)）

11.在學(xué)校組織的“愛(ài)閱讀”活動(dòng)中，小明看一本書(shū)，看了a天，平均每天看20頁(yè)，還剩5頁(yè)沒(méi)看，這本

書(shū)的總頁(yè)數(shù)用含有字母的式子表示是（）。當(dāng)a=13時(shí)，小明看到這本書(shū)是（）。

（2022六下?山西太原）

12.一臺(tái)半自動(dòng)洗衣機(jī)，如果按定價(jià)銷(xiāo)售，可以獲得利潤(rùn)200元，如果按定價(jià)打七折銷(xiāo)售，就會(huì)虧損100

元，這臺(tái)半自動(dòng)洗衣機(jī)的成本是（）元。

（2021六下?遼寧阜新）

13.一輛公共汽車(chē)到站時(shí)，有5人下車(chē)，8人上車(chē)，車(chē)上現(xiàn)有15人，車(chē)上原有x人，等量關(guān)系式為

（）。

（2021六下?福建莆田）

14.一個(gè)養(yǎng)殖場(chǎng)養(yǎng)的雞和鴨共有225只，先賣(mài)出雞的37.5%,又買(mǎi)來(lái)100只鴨，這時(shí)雞和鴨的只數(shù)正好相

等。原來(lái)養(yǎng)的雞有（）只。

（2021六下?浙江臺(tái)州）

15.一件玩具去年售價(jià)a元，今年售價(jià)比去年上漲了20%,用含有a的式子表示今年的售價(jià)是

（）元。如果去年的售價(jià)是100元，那么今年的售價(jià)是（）元。

（2022六下?陜西榆林）

16.下列圖形都是由同樣大小的正方形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)正方形，第②

個(gè)圖形中一共有7個(gè)正方形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)正方形,,按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中

一共有（）個(gè)正方形。

<^o

您oo反o

濘

晶oooooooooooo

?②④

二、選擇。

（2021六下?山東棗莊）

17.在下列各式中，是方程的是（）。

A.14X5=2MB.3x+91<8C.25.5=50%X51D.2?=6.28

（2021六下?福建福州）

18.當(dāng)a?=2a時(shí)，a等于（)o

A.1或0B.2或0C.3或0口.4或0

（2021六下-廣東佛山）

19.姐姐比小麗大〃歲。小麗今年10歲,五年后姐姐比小麗大（）歲。

AaB.104+10D.Q+10+5

（2021六上?福建寧德）

20.下面選項(xiàng)中，能用2a+8表示的是（)o

A.如圖中整條線段的總長(zhǎng)度：?2?a?8B.如圖中整條線段的總長(zhǎng)度：?a?8?8

aa

C.如圖的面積:D.如圖的周長(zhǎng):O

84

（2021六下?深圳福田）

21.下面各組的兩個(gè)式子中，結(jié)果不一定相等的是)o

A.a+b和b+aB.2a和a+a

C.a2和a+aD.a3和axaxa

（2022六下?山西太原）

22.在“0.8m+2.5n=33"中，若m=10,則n的值為()o

A.10B.8C.2

（2021六下?浙江臺(tái)州溫嶺）

23.下面不能用方程“4%=80”來(lái)表示的是（）o

XC1U

24.某建筑隊(duì)修筑一段公路,原計(jì)劃每天修56米，15天完成，實(shí)際上每天多修4米，如果實(shí)際上用了x天

修完，則正確的方程是（

A.56X15=（56+4）xB.56=15x

C.（56+4）X15=56xD.15x=56+4

三、計(jì)算。

（2022六上?廣東珠海）

25.解方程。

(2)x---x=27

4

(4)20%x+15=35%x

四、解決問(wèn)題。

（2021六下?浙江臺(tái)州）

26.數(shù)學(xué)與思考：如圖，根據(jù)小棒擺放規(guī)律，第1：幅圖的形狀是（），擺第n個(gè)圖形需要

用（）根小棒。

小棒圖①公③存???

0田

形狀三角形平行四邊形梯形平行四邊形???

總數(shù)量/根3579???

（2021六上?福建寧德）

27.兩個(gè)小隊(duì)共植樹(shù)105棵，其中第二小隊(duì)植樹(shù)棵數(shù)是第一小隊(duì)的g,兩個(gè)小隊(duì)各植樹(shù)多少棵？（先把線

段圖補(bǔ)充完整，再解答）

第一小隊(duì):?---------------------------1

第二小隊(duì)：

（2022六下-湖北襄陽(yáng)）

28.為推進(jìn)“綠色襄陽(yáng)”和“美麗襄陽(yáng)”建設(shè)，轉(zhuǎn)變城市生活垃圾治理模式，襄陽(yáng)市積極倡導(dǎo)“垃圾分類(lèi)

就是新時(shí)尚”理念，引導(dǎo)市民參與生活垃圾分類(lèi)。如下圖，春天小區(qū)添置了一個(gè)“智能垃圾分類(lèi)回收

機(jī)”。

智能垃圾分類(lèi)回收標(biāo)準(zhǔn)

紙類(lèi)回收紡織物回收金屬回收塑料回收玻璃回收

0.80元/千克0.50元/千克1.50元/千克0.20元/千克公益回收

秦阿姨往回收機(jī)里投遞3