2024年中考數(shù)學知識 四邊形(解析版)(全國版)

知識必備07四邊形（公式、定理、結(jié)論圖表）

考點一、四邊形的相關(guān)概念

1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

2.多邊形的性質(zhì)：⑴多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）?180°；

⑵推論：多邊形的外角和是360°；

⑶對角線條數(shù)公式：n邊形的對角線有“條;

2

⑷正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.

3.四邊形的定義：同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形.

4.四邊形的性質(zhì)：⑴定理：四邊形的內(nèi)角和是360°；⑵推論：四邊形的外角和是360°.

典例1：2022?甘肅）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學家”，如圖1,蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而

且節(jié)省材料，多名學者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形.如圖2,一個巢房的橫

截面為正六邊形ABCDEF,若對角線AD的長約為8mm,則正六邊形ABCDEF的邊長為（）

圖1圖2

A.2mmB.C.2y[^nmD.4mm

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和題目中的數(shù)據(jù)，可以求得正六邊形/BCD跖的邊長.

【解答】解：連接BE,CF,BE、CF交于點。，如右圖所示，

六邊形ABCDEF是正六邊形，AD的長約為Smm,

乙AOF=60°,OA=OD=OF,OA和OD約為4mm,

:.AF約為4mm,

故選：D

圖2

【點評】本題考查多邊形的對角線，解答本題的關(guān)鍵是明確正六邊形的特點.

典例2：（2022?柳州）如圖，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于（）

B.270°C.360°D.540°

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360。解答即可.

【解答】解：四邊形/8CO的內(nèi)角和為360。.

故選：C.

【點評】本題考查了四邊形的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和等于360。.

考點二、特殊的四邊形

1.平行四邊形及特殊的平行四邊形的性質(zhì)

對角線相等

四個內(nèi)角為90°

正T對邊平行I

方行

四露T對邊相等

形"1

邊

形T對角相等

i一J對角線互相革芬

—I四條邊相綱

對角線互相垂直］

-I對角線平分各丙用

2.平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定

矩形

平行四邊形｝正方形

【要點詮釋】

面積公式：S菱形=京5⑶b為菱形的對角線，c為菱形的邊長’h為c邊上的高）

S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高）

典例3：（2022?朝陽）將一個三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，乙EFG=90。，乙

EGF=60°,乙AEF=5Q°,則乙￡GC的度數(shù)為（）

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到乙G訪的度數(shù)，依據(jù)

平行線的性質(zhì)，即可得到AEGC的度數(shù).

【解答】解：,四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//DC,

：.乙AEG=AEGC,

?-?AEFG=90°,AEGF=60°,

:.乙GEF=30°,

AGEA=8Q°,

r.4EGC=80°.

故選：B.

【點評】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.

典例4：（2022?鞍山）如圖，在四邊形A8CD中，/C與3。交于點。，BELAC,DF1AC,垂足分別為點E,

F,且BE=DF,乙ABD=LBDC.求證：四邊形4BCD是平行四邊形.

【分析】結(jié)合已知條件推知/8〃CD;然后由全等三角形的判定定理44s證得則其對

應邊相等：AB=CD；最后根據(jù)“對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論.

【解答】證明：=4ADC,

：.AB//CD.

：.乙BAE=ADCF.

在與△CD尸中，

，ZBAE=ZDCF

,ZAEB=ZCFD=90°.

,BE=DF

???AABE^/XCDF（AAS）.

：.AB=CD.

..四邊形ABCD是平行四邊形.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組

對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

典例5：（2022?內(nèi)江）如圖，在。4BCD中，點￡、下在對角線AD上，且BE=DF.

求證：（1）△NBE/ACDF1；

（2）四邊形NECF是平行四邊形.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD,AB//CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到4CA8,

利用SAS定理證明LABE”△CDF；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/E=CF,AAEB=ACFD,根據(jù)平行線的判定定理證明/E〃CF,再

根據(jù)平行四邊形的判定定理證明結(jié)論.

【解答】證明：（1）???四邊形/BCO為平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.乙ABD=乙CDB,

在和△CDF中，

'AB=CD

,ZABE=ZCDF-

BE=DF

/\ABE^△CDF（&4S）;

（2）由（1）可知，△NAE'/AC。/，

AE=CF,AAEB=ZCFD,

180°-4ZE2=180°-/_CFD,即乙

：.AE//CF,

?；AE=CF,AE//CF,

四邊形"EC尸是平行四邊形.

【點評】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的對邊平

行且相等、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

典例6：（2022?蘭州）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,E為AD的中點，連接OE,乙ABC

=60°,BD=4正，貝ijOE=（）

AE

A.42V3C.2D.M

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，AABO=30°,ACLBD,貝1」8。=2%，再利用含30。角的直角三角形

的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：.??四邊形/5CZ)是菱形，AABC=60°,

：.BO=DO,AABO=30°,ACLBD,AB=AD,

:.BO=2M，

.\AB=2AO=4,

,「E為/。的中點，AAOD=90°,

：.OE=—AD=2,

2

故選：c.

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

典例7：(2022?聊城)如圖，△48C中，點。是48上一點，點E是ZC的中點，過點。作。產(chǎn)〃48,交

DE的延長線于點F.

(1)求證：AD=CF；

(2)連接/凡CD.如果點。是的中點，那么當/C與3C滿足什么條件時，四邊形4DC尸是菱形,

證明你的結(jié)論.

【分析】(1)由CF//AB,得乙/。尸=ACFD,ADAC=AFCA,又AE=CE,nTvEAADE^△CFE(AAS),

即得AD=CF；

(2)由4D=CF,AD//CF,知四邊形4DC尸是平行四邊形，若點。是48的中點，可得CD

=1.AB=AD,即得四邊形4DCF是菱形.

2

【解答】(1)證明：?..C尸〃

AADF=乙CFD,乙DAC=AFCA,

???點E是4c的中點,

：.AE=CE,

：.△/￡)￡1二△CFE(AAS),

：.AD=CF\

(2)解：當4CL8c時，四邊形NOC尸是菱形，證明如下：

由(1)知，AD=CF,

■：AD//CF,

二?四邊形4DCF是平行四邊形，

：ACVBC,

△4BC是直角三角形，

,點。是48的中點，

.-.CD=1-AB=AD,

2

四邊形/DCF是菱形.

【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理及菱

形的判定定理.

典例8：(2022?廣元)如圖，在四邊形/BCD中，AB//CD,4c平分乙D4B,AB=2CD,￡為中點，連

結(jié)CE.

(1)求證：四邊形/ECO為菱形；

(2)若=120。，DC=2,求△/2C的面積.

D________

AEB

【分析】(1)由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形4ECO是平行四邊形，由平行

線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證AD=CD,可得結(jié)論;

（2）由菱形的性質(zhì)可求/￡=3￡=C￡=2,由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求3C,/C的長,

即可求解.

【解答】（1）證明：???￡為中點，

:.AB=2AE=2BE,

■.■AB=2CD,

/.CD=AE,

又..ZE〃CD,

四邊形AECD是平行四邊形，

,；4C平分乙D4B,

乙DAC=乙EAC,

'.'AB//CD,

乙DCA=乙CAB,

/.乙DCA=ADAC,

.,.AD=CD,

???平行四邊形4ECD是菱形；

（2）?四邊形/ECD是菱形，乙。=120°,

；.AD=CD=CE=AE=2,Z￡>=120°=AAEC,

：.AE=CE=BE,ACEB=60°,

ACAE=30°=LACE,△C￡3是等邊三角形，

：.BE=BC=EC=2,/LB=60°,

AACB=90°,

:.AC=MBC=26,

...SAABC=-1X^CX5C=AX2X2近=2?.

【點評】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決

問題是解題的關(guān)鍵.

典例9：（2022?青海）如圖，矩形48cA的對角線相交于點。，過點。的直線交4D,BC于點、E,F,若4B

=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積為6.

AED

BFC

【分析】首先結(jié)合矩形的性質(zhì)證明式△CO足得△/。￡、△CO尸的面積相等，從而將陰影部分的

面積轉(zhuǎn)化為△ADC的面積.

【解答】解：：四邊形/BCD是矩形，/8=3,

OA=OC,AB=CD=?>,AD//BC,

：.乙AEO=乙CFO；

又.：乙AOE=ACOF,

在△NOE和△CO尸中，

，ZAE0=ZCF0

,OA=OC，

LZAOE=ZCOF

△CO廠，

■,-S^AOE=S^COF,

S陰影=S/OE^S4BOF+S4cOD=SACOF+SABOF+SACOD=SABCD,

S^BCD=^BC'CD=X4X3=6,

?1'S陰影=6.

故答案為6.

【點評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形全等，從而將陰影

部分的面積轉(zhuǎn)化為矩形面積的一半，是解決問題的關(guān)鍵.

典例10：(2022?巴中)如圖，-ABCD,E為8C邊的中點，連接4B并延長交DC的延長線于點尸，延長

EC至點、G,使CG=CE,連接DG、DE、FG.

(1)求證：△ABE"dFCE；

"若AD=2AB,求證：四邊形DEFG是矩形.

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)推出N8〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)推出利用44s即

可判定/XABE^△FCE；

（2）先證明四邊形DMG是平行四邊形，再證明。尸=￡G,即可證明四邊形DEFG是矩形.

【解答】證明：（1）?四邊形ABCD是平行四邊形，

■■.AB//CD,

乙EAB=乙CFE,

又???￡為5c的中點，

：.EC=EB,

在△4BE和△/CE中，

，ZEAB=ZCFE

-ZBEA=ZCEF，

EC=EB

/\ABE^/\FCE(AAS)；

(2):△4BE/AFCE,

：.AB=CF,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

?.AB=DC,

：.DC=CF,

又：CE=CG,

四邊形DEFG是平行四邊形，

,JE為2C的中點，CE=CG,

：.BC=EG,

又.；AD=BC=EG=2AB,DF=CD+CF=2CD=2AB,

：.DF=EG,

???平行四邊形。EFG是矩形.

【點評】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行

四邊形的判定與性質(zhì)，證明AFCE是解題的關(guān)鍵.

典例11：（2022?云南）如圖，在平行四邊形48co中，連接8。，￡為線段4D的中點，延長與CD的

延長線交于點G連接//，乙BDF=90。.

（1）求證：四邊形48。尸是矩形；

（2）若/D=5,DF=3,求四邊形48CF的面積S.

【分析】（1）由四邊形N3CD是平行四邊形，得4氏4￡=乙如&而點￡是/。的中點，可得

△FED（4SA）,即知所=班，從而四邊形45。尸是平行四邊形，又乙BDF=90。,即得四邊形/AD尸

是矩形；

（2）由44FD=90°,AB=DF=3,AF=BD,得山-DF2=正-32=4,S矩形ABDF=DF-AF

=12,四邊形是平行四邊形，得CD=48=3,從而S^BCD=■1瓦＞8=6,即可得四邊形N8C產(chǎn)

的面積S為18.

【解答】（1）證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

：.BA//CD,

Z.BAE=Z.FDE,

???點￡是40的中點，

:.AE=DE,

在和△月￡7)中，

，ZBAE=ZFDE

<AE=DE，

,ZBEA=ZFED

△BEA"dFED(ASA),

：.EF=EB,

5L.-：AE=DE,

???四邊形/5DF是平行四邊形,

???ABDF=90°.

「?四邊形45。尸是矩形；

（2）解：由（1）得四邊形45。尸是矩形，

/.AAFD=90°,AB=DF=3,AF=BD,

'-AF=7AD2-DF2=VB2-32=4，

,?S矩形43。廠=DF?AF=3x4=12,BD=AF=4,

■■■四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.CD=AB=3,

S.BCD=—BD-CD=1X4X3=6,

22

???四邊形ABCF的面積S=S矩形NBDKSABCD=12+6=18,

答：四邊形ABCF的面積S為18.

【點評】本題考查平行四邊形性質(zhì)及應用，涉及矩形的判定，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應用

等，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理，證明△2E4二△FED

典例12：（2022?重慶）如圖，在正方形N8CD中，對角線NC、8。相交于點。.E、尸分別為/C、BD上一

點，且尸，連接4F,BE,EF.若乙4FE=25°,則乙C8￡的度數(shù)為（）

-------------------------y.D

A.50°B.55°C.65°D.70°

【分析】利用正方形的對角線互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和全

等三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【解答】解：四邊形ABCD是正方形，

AAOB=AAOD=90°,OA=OB=OD=OC.

：OE=OF,

aoM為等腰直角三角形,

AOEF=ZOFE=45°,

VAAFE=25°,

.?.乙AFO=乙AFE+乙OFE=70。,

.,./40=20。.

在△力（?/和中，

'0A=0B

<ZA0F=ZB0E=90o,

0F=0E

/\AOF^RBOE（SAS）.

:.乙FAO=LEBO=20°,

：OB=OC,

.?.△08。是等腰直角三角形，

:.乙OBC=LOCB=45°,

二乙CBE=LEBO+乙OBC=65。.

故選：C.

【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三

角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

典例13：（2022?邵陽）如圖，在菱形45C。中，對角線4C,AD相交于點。，點￡,產(chǎn)在對角線助上，且

BE=DF,OE=OA.

求證：四邊形/EC尸是正方形.

【分析】先證明四邊形ZEW是菱形，再證明￡尸=4。，即可得出結(jié)論

【解答】證明：???四邊形是菱形,

...ACLBD,OA=OC,OB=OD,

.:BE=DF,

?.OE=OF,

四邊形是菱形;

■：OE=OA=OF,

:.OE=OF=OA=OC,BPEF=AC,

菱形/EC尸是正方形.

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，正方形的判定，掌握相關(guān)定理是解題基礎

考點三、梯形

1.梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.

⑴互相平行的兩邊叫做梯形的底；較短的底叫做上底，較長的底叫做下底.

⑵不平行的兩邊叫做梯形的腰.

⑶梯形的四個角都叫做底角.

2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

3.等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.

4.等腰梯形的性質(zhì)：

⑴等腰梯形的兩腰相等；⑵等腰梯形同一底上的兩個底角相等.⑶等腰梯形的對角線相等.

5.等腰梯形的判定方法：

⑴兩腰相等的梯形是等腰梯形(定義)；

⑵同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；

⑶對角線相等的梯形是等腰梯形.

6.梯形中位線：連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.

7.面積公式：S=」(a+b)h(a、b是梯形的上、下底h是梯形的高).

2

【要點詮釋】

解決四邊形問題常用的方法

(1)有些四邊形問題可以轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決.

(2)有些梯形的問題可以轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形問題來解決.

(3)有時也可以運用平移、軸對稱來構(gòu)造圖形，解決四邊形問題.

典例14：(2021?畢節(jié)市)如圖，攔水壩的橫斷面為梯形/BCD,其中4/2C=45。，4。。3=30。，

斜坡AB長8加,則斜坡CD的長為()

A.6\[2mB.81\/2?7C.D.8y[3m

【分析】過