高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-直線的方程及位置關(guān)系

第八章解析幾何

第38講直線的方程及位置關(guān)系

德教前I」夯皇固本

激活思維

L（人A選必一P54例1改）如圖，直線A,h,/3的斜率分別為上,左2,fe,

則（D）

A.k\<ki<kz

B.kz<k\<ki

C.依<左2（左1

D.ki<h<ki

解析：直線/1的傾斜角Otl是鈍角，故匕<0,直線A與/3的傾斜角（Z2與Ct3

均為銳角，且0t2>a3,所以0<fe<fo,因此左1<依<左2.

2.（人A選必一P57練習(xí)1改）已知直線/過點(diǎn)（一1,2）,且與直線2x-3y+4

=0垂直，貝IJ/的方程是（A）

A.3x+2y—1=0B.3x+2y+7=0

C.2x-3y+5=0D.2x—3y+8=0

解析：由題意可得直線/的斜率上=—|,所以/：廠2=—|（x+l）,即3%

+2y~l=0.

3.（人A選必一P77練習(xí)3改）已知點(diǎn)A（a,2）（a>0）到直線/：x-y+3=0的距

離為1,則。等于（C）

A.^2B.2-^2

C.72-1D.72+1

解析：由題意知」譚承=1,公0,解得。=也一L

4.（人A選必一P61例2改）（多選）若直線ax+2y—6=0與x+（tz—l）y+tz2—1

=0平行，則。的值可能是(AB)

A.2B.-1

C.—2或1D.2或1

解析：因?yàn)閮芍本€平行，所以a(a—1)—2=0,且2(q2—1)+6(。-l)W0,即

a2—a—2=0,且屋+3a—4W0,解得。=2或。=—1.

5.(人A選必一P61例2改)已知直線h：(a+2)龍+(1—。)>—3=0與直線hi

(a-l)x+(2a+3)y+2=0,則ua=\n是“/山2”的(A)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

解析:的充要條件是伍+2)(。-1)+(1—。)(2)+3)=0,即層—i=o,

解得a=±L顯然"。=1”是"。=±1”的充分不必要條件，故"。=1”是

/2”的充分不必要條件.

基礎(chǔ)回歸

1.直線的傾斜角

(1)定義：當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線/_國

上方跑—之間所成的角叫做直線/的傾斜角.當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定

它的傾斜角為0°.

(2)范圍：直線/傾斜角的取值范圍是「0,而?

2.斜率公式

(1)若直線/的傾斜角aW90。，則斜率仁tana.

(2)若Pi(xi,yi),Pi(x2,")在直線/上且XI則I的斜率k=

3.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)—yo=k(x—xo)不含直線X=XQ

斜截式不含垂直于X軸的直線

y一"LXI

兩點(diǎn)式—(XI7^X2,VIV2)不含直線和直線

yi~y\xi—xvx=xiy=yi

截距式a+b=1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線

一般式Ax+3y+C=O(A2+32wo)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

4.兩條直線平行與垂直的判定

(1)平行：對(duì)于兩條不重合的直線11,12,其斜率分別為kl,k2,則有h//h

臺(tái)kl=k2.特別地.當(dāng)直線/1,/2的斜率都不存在時(shí)，與/2平行.

(2)垂直：如果兩條直線/1,/2的斜率都存在，設(shè)為片,且則krk2

=—1.特別地.當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂

直.

5.三個(gè)距離公式

(1)點(diǎn)點(diǎn)距：兩點(diǎn)P1(X1,yi),尸2。2,>2)之間的距離為\P\Pi\=

\/(X2—X1?+(V2—yi)2.

(2)點(diǎn)線距：平面上任意一點(diǎn)Po(xo,yo)到直線/：Ax+3y+C=0的距離d=

|Axo+3yo+C

Y/A2+B2

(3)線線距：兩條平彳丁直線h：Ax+_8y+Ci=0,h：Ax+_8y+Q=0之間的

IC1—。2|

距離d=

-^A2+B2-'

6.常用結(jié)論

(1)“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而

“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).

(2)“直線Aix+Biy+Ci=O,42%+比>+。2=0平行”的充要條件是“4比

且AC2WA2C1”；“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2+B1歷=0”.

研題里:融合貫通

舉題說法

目標(biāo)n直線的方程

例1(1)已知直線I的斜率為小，在y軸上的截距為另一條直線x—2y—4

=0的斜率的倒數(shù)，則直線/的方程為(A)

A.v=^/3x+2B.y=-\[3x—2

C.y=yj3x+^D.y=-6x+2

解析：因?yàn)橹本€x—2y—4=0的斜率為3,所以直線/在y軸上的截距為2,

所以直線I的方程為y=yj3x+2.

（2）已知直線（加2-4）x+（冽+4）y+2機(jī)+1=0的傾斜角為135。，則根的值

是（B）

A.-4或2B.-2或4

C.4或0D.0或一2

加2—m—4QFT?1

解析：將直線方程化為斜截式方程得V=--匚丁-x—即該直線

-機(jī)十4機(jī)十4

m2—m—4m2—m-4,.?

的斜率為一---=tan35°=—1=-------------工1=加2一2加一8=0,解得加=

m+4m+4

—2或m=4.

〈總結(jié)提煉》

求直線方程的兩種方法：（1）直接法，根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程

形式，直接寫出直線的方程.選擇直線方程的形式時(shí)，應(yīng)注意各種形式的方程的

適用范圍，必要時(shí)要分類討論；（2）待定系數(shù)法，具體步驟為：設(shè)所求直線方程

的某種形式，由條件建立所求參數(shù)的方程（組），解這個(gè)方程（組）求出參數(shù)，把參數(shù)

的值代人所設(shè)直線方程.

變式（1）直線/i：y=ax+b,h\y=bx+a（a,6是不相等的正數(shù)）的圖象可

解析：由題意得直線/1,〃的方程為斜截式，因?yàn)樾甭蕿檎龜?shù)，所以傾斜角

為銳角，又兩直線在y軸上的截距均為正數(shù)，即可以判斷A,B,D錯(cuò)誤，故C

正確.

（2）傾斜角為150。，在y軸上的截距為一3的直線方程為y=~o-x~3.

解析：由直線的傾斜角為150°,知該直線的斜率為仁tanl5（T=—苧，依

據(jù)直線的斜截式方程y=kx+b,得y=一q一%一3.

目林巴兩直線的位置關(guān)系

例2(1)(2022?莆田一模)若直線/：(a+l)x—y+3=0與直線相：x~{a+V)y

-3=0互相平行，則。的值為(D)

A.-1B.-2

C.-2或0D.0

解析：由題設(shè)知(a+l)2=l,解得a=0或<7=—2.當(dāng)a=0時(shí)，/：%—>+3=

0,m：x—y—3=0,滿足題設(shè)；當(dāng)a=-2時(shí)，/：x+y—3=0,m：x+y—3=0,

不滿足題設(shè).所以。=0.

(2)(2022?遼南二模)已知直線/：ax+y+a=0,直線機(jī)：x+ay+a=0,貝U/〃

加的充要條件是(A)

A.〃=-1B.ct=1

C.。=±1D.ci=0

解析：因?yàn)橹本€/：ax+y+a=0,直線機(jī)：x+ay+a=0,易知當(dāng)〃=0時(shí)，

兩直線垂直，所以“0,所以/〃機(jī)的充要條件是卜!若，即a=-1.

〈總結(jié)提煉》

平行與垂直關(guān)系的解題策略：(1)已知兩直線的斜率存在.①兩直線平行臺(tái)

兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不相等；②兩直線垂直臺(tái)兩直線的斜率之

積等于一1.(2)當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅

要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注

意x,y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.

變式⑴設(shè)直線/i：(〃+l)x+3y+2=0,直線mx+2y+1=0,若

貝I]若則a=-7.

解析：若/1〃億則2(〃+1)—1X3=0,解得〃=；,當(dāng)〃=；時(shí)，兩直線不重

合，即若U/2,貝U〃+1+3*2=0,解得〃=—7.

(2)已知過點(diǎn)A(—2,明和點(diǎn)_B(M,4)的直線為/i,直線，2：2x+y—1=0,直

線%+幾y+1=0.若人〃區(qū)Z2-LZ3,求實(shí)數(shù)機(jī)+〃的值.

【解答】因?yàn)?1〃3所以而='=—2,解得加=—8.又因?yàn)?2山3,

所以1一；Jx(—2)=—1,解得“=-2,所以"?+”=—10.

目標(biāo)團(tuán)距離公式問題

例3(1)已知經(jīng)過點(diǎn)P(2,2)的直線/與直線ax—y+l=0垂直，若點(diǎn)M(l,0)

到直線/的距離等于#,則。的值是(C)

A.12B.1

C.2D.1

解析：依題意，設(shè)直線/的方程為％+。＞+。=0,因?yàn)辄c(diǎn)尸(2,2)在/上，且點(diǎn)

j2+2a+c=0,

M(l,0倒直線/的距離等于小，所以1|l+c|r-消去C,得a=2.

〔訴=小，

(2)若動(dòng)點(diǎn)A,3分別在直線/i：x+y—7=0和亂關(guān)+廠5=0上移動(dòng)，則

A3的中點(diǎn)〃到原點(diǎn)的距離的最小值為(A)

A.372B.2^/2

C.3y/3D.4^2

解析：由題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線/i：x+y—7=0的距離和與

b：x+y—5=0的距離都相等的直線，則”到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直

線的距離.設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為/：x+y+m=0,根據(jù)平行線間的距離公式

lzn+71lzn+51

得爽=短今|加+7|=|冽+5|今加=—6,即x+y—6=0,根據(jù)點(diǎn)到直線的距

離公式得，點(diǎn)〃到原點(diǎn)的距離的最小值為*=3啦.

＜總結(jié)提煉》

使用距離公式時(shí)應(yīng)注意：(1)點(diǎn)P(xo,yo)到直線x=a的距離d=|xo—a|,到

直線y=b的距離d=\y0-b\-,(2)應(yīng)用兩平行線間的距離公式時(shí)，要把兩直線方

程中x,y的系數(shù)化為相等.

變式(1)已知直線/過點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(—2,2),點(diǎn)3(4,—2)的距離相等,

則直線/的方程為2x—y—2=0或2x+3y—18=0.

解析：設(shè)所求直線的方程為y—4=左（元一3）,即依一y+4—3左=0，由已知得

|一24一2+4—34I4-+2+4—312

,所以左=2或左=一?所以所求直線/的方程

Vi+^

為2x—y—2=0或2x+3y—18=o.

（2）若兩平行直線統(tǒng)―2>—1=0,6*+今+°=0之間的距離為噌，則中的

值為±1.

解析：由題意得?=士力看，所以「一4,cW—2,貝lj6x+ay+c=0可

化為3x-2y+f=0,所以誓=珪!，解得c=2或。=-6,所以中=一1

V13

隨堂內(nèi)化

1.已知直線/的傾斜角為不，直線/1經(jīng)過點(diǎn)A（3,2）,B（a,-1）,且/i與/

垂直，直線/2：2x+0y+l=0與直線/i平行，則a+〃等于（B）

A.—4B.-2

2—(T)

解析：由已知得/的斜率為一1,則/1的斜率為1,kAB=3_a=1,所以

2

a=0.由/1〃上得一B=l,b=~2,所以a+/?=—2.

2.已知直線3x+4y-3=0與直線6x+my+14=0平行，則它們之間的距離

是（D）

6m14

解析：因?yàn)?=了不二不所以m=8,直線6x+8y+14=0可化為3x+4y+7

兩平行線之間的距禺2.

3.已知直線/i：冗+分+6=0和勿（。-2）x+3y+2〃=0平彳丁，則實(shí)數(shù)〃的

值為（B）

A.3B.11

C.1D.—1或3

id—2

解析：由得一"=