2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破綜合探究題（復(fù)習(xí)講義）（學(xué)生版）

題型十一綜合探究題（復(fù)習(xí)講義）

【考點總結(jié)I典例分析】

（3要點1I納

一、命題內(nèi)容及趨勢：

⑴從數(shù)量角度反映變化規(guī)律的函數(shù)類題型：

⑵以直角坐標(biāo)系為載體的幾何類題型：

⑶以“幾何變換”為主體的幾何類題型：

⑷以“存在型探索性問題”為主體的綜合探究題：

⑸以“動點問題”為主的綜合探究題：

二、需要注意的問題及建義：

⑴在復(fù)習(xí)中要更多關(guān)注“幾何變換”，強(qiáng)化對圖形變換的理解.

加強(qiáng)對圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、對稱多種變換的研究，對不同層次的學(xué)生進(jìn)行分層拔高，使每一

個學(xué)生都有較大的提升空間.

⑵讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維活動，經(jīng)歷問題解決的整個過程。

復(fù)習(xí)中應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生運用“運動的觀點”來分析圖形，要多引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會閱讀、審題、獲取

信息，養(yǎng)成多角度、多側(cè)面分析問題的習(xí)慣，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

⑶要特別重視“函數(shù)圖像變換型”問題教學(xué)的研究。

通過開展“函數(shù)圖像變化”的專題教學(xué)，樹立函數(shù)圖像間相互轉(zhuǎn)換的思維，盡量減少學(xué)生對

函數(shù)“數(shù)形”認(rèn)知的欠缺，比如，平時滲透拋物線的軸對稱、旋轉(zhuǎn)等知識點。當(dāng)某個函數(shù)圖

像經(jīng)過變換出現(xiàn)多個函數(shù)圖像時，要引導(dǎo)學(xué)生從圖形間的相互聯(lián)系中尋找切入點，排除識圖

的干擾，對圖像所蘊含的信息進(jìn)行橫向挖掘和縱向突破，將“有效探索”進(jìn)行到底。此類試

1

題考查的思路是從知識轉(zhuǎn)向能力，從傳統(tǒng)應(yīng)用轉(zhuǎn)向信息構(gòu)建，這就提醒我們課堂上重要的不

是講解，而是點撥、引導(dǎo)、提升，一定要從重視知識積累轉(zhuǎn)向問題探究的過程，關(guān)注學(xué)生自

主探究能力的培養(yǎng)。

⑷突出數(shù)學(xué)核心概念、思想、方法的考查.

中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，也勢必會成為考查綜合應(yīng)用能力的重要載

體，這包括方程、不等式、函數(shù)，以及基本幾何圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)知識

之間橫縱向的聯(lián)系，也包括中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的重要數(shù)學(xué)思想.如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)

合、分類討論思想很化歸與轉(zhuǎn)換思想。而數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)的具體表現(xiàn)，具有模式化和可

操作性，常用的基本方法有配方法、換元法、待定系數(shù)法、歸納法和割補法。

一典例解析

1.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形/BCD中（頂點按逆時針方向排

⑴如圖1,求45邊上的高C3的長.

⑵P是邊AB上的一動點，點同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點C',D'.

①如圖2,當(dāng)點C，落在射線C4上時，求的長.

②當(dāng)△/CD是直角三角形時，求5尸的長.

2.（2022?重慶市A卷）如圖，在銳角△ABC中，NA=60。，點D,E分別是邊AB,AC上一

動點，連接BE交直線CD于點F.

2

(1)如圖1,若AB>AC,且BD=CE,ZBCD=ZCBE,求NCFE的度數(shù)；

(2)如圖2,若AB=AC,且BD=AE,在平面內(nèi)將線段AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到

線段CM,連接MF,點N是MF的中點，連接CN.在點D,E運動過程中，猜想線段BF,CF,

CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)若AB=AC,且BD=AE,將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△ABP,

點H是AP的中點，點K是線段PF上一點，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內(nèi)

得到△QHK,連接PQ.在點D,E運動過程中，當(dāng)線段PF取得最小值，且QK_LPF時，請

直接寫出黑的值.

DU

3.(2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題)【模型建立】

(1)如圖1,“3C和都是等邊三角形，點C關(guān)于4D的對稱點尸在2。邊上.

①求證：AE=CD;

3

②用等式寫出線段/D,BD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

［模型應(yīng)用】

（2）如圖2,"3C是直角三角形，AB=AC,CD1BD,垂足為。，點C關(guān)于4D的對稱

點尸在8。邊上.用等式寫出線段BD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

［模型遷移】

（3）在（2）的條件下，若/。=4逝，BD=3CD,求cos//用的值.

4.（2022?廣東省深圳市）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將

△AEB沿BE翻折至BEF處，延長EF交CD邊于G點.求證：△BFG/aBCG；

⑵探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8,AB=6.將△AEB沿BE

4

翻折到4BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H,且FH=CH,求AE

的長.

(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6,E為CD邊上的三等分點，ND=60。.將aADE

沿AE翻折得到aAFE,直線EF交BC于點P,求PC的長.

圖①圖②圖③

5.(2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題)1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題:

給定不在同一條直線上的三個點B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位

置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里

拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

5

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法,請補充以下推理過程:(其中①處從“直角”和“等邊”

中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處

填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點)

當(dāng)^ABC的三個內(nèi)角均小于120°時,

如圖1,將△2PC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到AHPC,連接PP,

由PC=PC,/尸CP=60。，可知△PCP為①三角形,故.PP=PC,又PA'=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P',/在同一條直線上時，P/+P8+PC取最小值，如圖2,最小

值為A'B,此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有NAPC=ZBPC=AAPB=(3);

已知當(dāng)小3C有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若

ABAC>120°,則該三角形的“費馬點”為④點.

(2)如圖4,在“BC中，三個內(nèi)角均小于120。，且/C=3,3c=4,N/CB=30。，已知點P

為^ABC的“費馬點”，求尸4+P8+PC的值；

A

(3)如圖5,設(shè)村莊B,。的連線構(gòu)成一個三角形，且已知

/C=4km,BC=2V3km,AACB=60°.現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向/,B,C三個村莊鋪

設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊N,B,C的鋪設(shè)成本分別為a7L/km,a兀/km,亞0兀/km,

選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果用含°的式子表

示)

6

6.（2022?重慶市B卷）在△ABC中,ZBAC=90°,AB=AC=21/市D為BC的中點，E,F

分別為AC,AD上任意一點，連接EF,將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EG,連

接FG,AG.

（1）如圖1,點E與點C重合，且GF的延長線過點B,若點P為FG的中點，連接PD,求PD

的長；

（2）如圖2,EF的延長線交AB于點M,點N在AC上，NAGN=NAEG且GN=MF,求證:

AM+AF=V2AE；

（3）如圖3,F為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接BE,H為直線BC上一動點，連

接EH,將△BEH沿EH翻折至^ABC所在平面內(nèi)，得到△B，EH,連接B，G,直接寫出線段

B'G的長度的最小值.

7（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）（1）［問題探究］

如圖1,在正方形/BCD中，對角線/C、8。相交于點。.在線段工。上任取一點尸（端點

除外），連接尸DPB.

7

圖1

①求證：PD=PB;

②將線段DP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA的延長線上的點Q處.當(dāng)點P在線段AO

上的位置發(fā)生變化時，40尸。的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

③探究么。與。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)［遷移探究］

如圖2,將正方形48CD換成菱形48CD,且N48c=60。,其他條件不變.試探究工。與CP

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

8.(2021?四川省達(dá)州市)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線

段做了如下探究：

8

圖1圖2

【觀察與猜想】

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點E,F分別是AB,AD上的兩點，連接DE,CF,DE1CF,

則"的值為;

(2)如圖2,在矩形ABCD中,AD=7,CD=4,點E是AD上的一點,連接CE,BD,且CE1BD,

則案的值為;

bU

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，NA=NB=90。，點E為AB上一點，連接DE,過點C作

DE的垂線交ED的延長線于點G,交AD的延長線于點F,求證：DE-AB=CF-AD；

圖3圖4

【拓展延伸】

(4)如圖4,在RtaABD中，NBAD=90°,AD=9,tanNADB=*將△ABD沿BD翻折,

點A落在點C處得^CBD,點E,F分別在邊AB,AD±,連接DE,CF,DE1CF.

①求頡勺值；

②連接BF,若AE=1,直接寫出BF的長度.

9.(2023?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在AABC中，4B=4C,點、M,N分別為邊AB,BC

的中點，連接兒W.

9

初步嘗試：（]）MN與NC的數(shù)量關(guān)系是,與/C的位置關(guān)系是.

特例研討：（2）如圖2,若NB/C=90。,3c=4后，先將ABMV繞點3順時針旋轉(zhuǎn)a（a為

銳角），得至U48跖，當(dāng)點4及尸在同一直線上時，NE與BC相交于點。，連接CF.

（1）求N8C尸的度數(shù)；

（2）求CC的長.

深入探究：（3諾N8/C＜90。，將^BMN繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a,得至!]△成尸，連接AE,CF.^

旋轉(zhuǎn)角a滿足0。＜。＜360。，點。,瓦廠在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究NR4E與

乙42歹的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

10.（2021?山西中考真題）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題:

如圖①，在口48?！辏局?，BEVAD,垂足為E,尸為的中點，連接￡/，BF,試

10

猜想EE與5尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將口4BCD沿著BF（/為C。的中點）所在

直線折疊，如圖②，點C的對應(yīng)點為C',連接。。并延長交48于點G,請判斷NG與BG

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將口45CD沿過點B的直線折疊，如圖③，點A的對

應(yīng)點為ZL使451CO于點〃，折痕交2。于點連接交3于點N.該

小組提出一個問題：若此口45CD的面積為20,邊長48=5,BC=245,求圖中陰影部

分（四邊形的面積.請你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

11.（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）【問題呈現(xiàn)】

△C4B和ACDE都是直角三角形，NACB=NDCE=91,CB=mCA,CE=mCD,連接4D,

BE,探究4D,BE的位置關(guān)系.

11

DD

常用圖

(1)如圖1,當(dāng)m=l時，直接寫出4。，BE的位置關(guān)系:

(2)如圖2,當(dāng)加N1時，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應(yīng)用1

(3)當(dāng)加=，，出=4時，將ACDE繞點C旋轉(zhuǎn)，使4。,E三點恰好在同一直線上,

求8E的長.

12.(2021?北京中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。。的半徑為1,對于點A和線段BC,

給出如下定義：若將線段繞點A旋轉(zhuǎn)可以得到0。的弦BC(8',。分別是5,C的對

應(yīng)點)，則稱線段是。。的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

12

(1)如圖，點4綜G，%G，83c的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)?在線段4。1，32c2,罵03中,

。。的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是;

(2)4/臺。是邊長為1的等邊三角形，點/(01),其中，W0.若5C是。。的以點A為

中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求才的值；

(3)在△45。中，AB=1,AC=2,若是。。的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接

寫出0A的最小值和最大值，以及相應(yīng)的BC長.

13.(2023?河北?統(tǒng)考中考真題)如圖1和圖2,平面上，四邊形48co中，

48=8,8。=241,。。=12,。/=6,乙4=90。，點〃■在么。邊上，S.DM=2.將線段繞

點M順時針旋轉(zhuǎn)?°(0<?<180)到MA；AA'MA的平分線MP所在直線交折線AB—BC于點

P,設(shè)點P在該折線上運動的路徑長為x(x>0),連接4尸.

13

(1)若點尸在上，求證：A'P=AP;

(2)如圖2.連接AD.

①求的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)〃=180時，x的值;

②若點P到BD的距離為2,求tanAA'MP的值;

⑶當(dāng)0<xw8時，請直援寫出點H到直線的距離.(用含x的式子表示).

14.(2021?湖南中考真題)如圖，在Rta/BC中，點P為斜邊上一動點，將

沿直線/尸折疊，使得點3的對應(yīng)點為玄，連接Z5‘，CB1,BB',PB'.

(1)如圖①，若PB'14C,證明：PB'=AB'.

(2)如圖②，若4B=4C,BP=3PC,求cos/B'/C的值.

14

PC

（3）如圖③，若乙4cB=30。,是否存在點P,使得4B=CB'.若存在，求此時三片的

BC

值；若不存在，請說明理由.

①