2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)常考題型分類講練

二次函數(shù)常考題型分類講練

題型方法1:已知二次函數(shù)求參

【題目特征】已知某函數(shù)為二次函數(shù)求參數(shù).

【考查知識(shí)點(diǎn)】定義：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a#))的函數(shù),叫做二次函數(shù).其中x是自變量,a,b,c分

別是二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；

注意：二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)a邦，而b、c可以為零.

【解題方法】主要看以下幾個(gè)方面：

1.最高次數(shù)為2；

2.二次項(xiàng)系數(shù)不為。；

3.高于二次的項(xiàng)系數(shù)為0.

例1:函數(shù)y=(m+2次力-2+2工-1是關(guān)于x的二次函數(shù)，求m的值.

解：由題意可知嚴(yán)一二?

Im+20

解得m=2.

例2:函數(shù)y=(m+2)x|m|+l;是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m=__.

解：由題意得：|m|=2,且m+2加，

解得:m=2,

故答案為:2.

27n

【變式1J當(dāng)m=___時(shí)函數(shù)y=(m-4)%?-吁4+x+3是二次函數(shù).

【變式2】當(dāng)m=___時(shí)函數(shù)(m-4)%7n2-5m+6+3%是關(guān)于x的二次函數(shù).

【變式3】已知函數(shù)=(m2+m)xm2~m+(m2+3m+2)x+m2+27n是二次函數(shù)，則函數(shù)為一

題型方法2：二次函數(shù)圖像和性質(zhì)判斷

【題目特征】已知圖像判斷性質(zhì)，或已知性質(zhì)判斷圖像大致位置。

【考查知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖像和性質(zhì)：

1.二次函數(shù)的圖象為拋物線，圖象注意以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn).

2.二次函數(shù)的性質(zhì)：

函數(shù)的圖象與a的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)a>0時(shí)瑚物線開口向上T頁點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)a<0時(shí)u拋物線開口向下T頁點(diǎn)為其最高點(diǎn)；

③間決定拋物線的開口大小：間越大，拋物線開口越??；間越小，拋物線開口越大.如表所示：

y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c

開口a>0,開口向上;a<0,開口向下；

頂點(diǎn)2

(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)(-b3,4ac-b)

對(duì)稱軸

x=0x=0x=hx=hx=-b/a2

最值0k0k4ac-4ar

a>0,x<對(duì)稱軸,y隨x的增大而減小；

x>對(duì)稱軸，y隨x的增大而增大.

增減性

a<0,x<對(duì)稱軸,y隨x的增大而增大;x>對(duì)稱

軸，y隨x的增大而減小.

注意：二次函數(shù)y=axi+bx+c與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

⑴與y軸的交點(diǎn):(0,c);

(2)與x軸的交點(diǎn):使方程ax2+bx+c=0成立的x值.

例1：下列四個(gè)二次函數(shù)：circZely=x2,circle2y=-2x2,circle3y=^x2,circle4y=3/,其中拋物線開口按從大到小的順序排列是.

???|1|<|1|<|-2|<|3|,

???拋物線開口按從大到小的順序排列是③①②④，

故答案為:③①②④.

例2:拋物線y=-^/+x-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為一.

S?：y=+x-4=-1(x-1)2—I，

???頂點(diǎn)的坐標(biāo)是

故答案為(1，

例3:若a+b+c=O,9a-3b+c=0,則拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)的對(duì)稱軸是()

A.直線x=lB.直線x=-1C.直線x=-2D.直線x=—3

解:由題意可知,當(dāng)x=l時(shí),y=a+b+c=O;當(dāng)x=-3時(shí),y=9a-3b+c=0,

，拋物線y=a/+打+c(a*0)經(jīng)過(1,0)和(-3,0)兩點(diǎn)，

拋物線對(duì)稱軸為直線x=^=-l,

故選:B.

例4:已知二次函數(shù)y=x2-4x+3.

(1)在所給的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出它的圖象.

⑵結(jié)合圖象，直接寫出y>3時(shí)，x的取值范圍.

???該拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3,0),(1,0),(0,3),(4,3),頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-1),函數(shù)圖象如右圖所示；

(2)由圖象可得，

y>3時(shí),x的取值范圍是x<0或x>4.

IlliIlli

L-——J---J---1

例5：已知：拋物線y=-x2-6x+21.求：

⑴直接寫出拋物線y=-x2-6x+21的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵當(dāng)x>2時(shí),求y的取值范圍.

解:⑴:拋物線丫=-x2-6x+21=-(x+3)2+30,

,該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-3,30);

(2)：拋物線y=-x2-6x+21=-(x+3)2+30,

??.當(dāng)x>-3時(shí),y隨x的增大而減小，

.??當(dāng)x>2時(shí),y的取值范圍是y<-(2+3)2+30=5,

即當(dāng)x>2時(shí),y的取值范圍是y<5.

【變式I］若二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-2(a,b為常數(shù))的圖象如圖，則a的值為

【變式］如圖,拋物線①②③④對(duì)應(yīng)的解析式為2222

2y=axx,y=a2x,y=a3x,y=a4x,^alxa2.a3.從小到大排列為

【變式3】拋物線y=2/+取+3的對(duì)稱軸是直線x=-2,,則b的值為____頂點(diǎn)坐標(biāo)為_____

【變式4］拋物線y=ax2-2ax-3a(aW0)的對(duì)稱軸是直線_,與x軸的交點(diǎn)為—和___

【變式5］二次函數(shù)y=x2-2(k+l)%+4的頂點(diǎn)在y軸上，則k=>,若頂點(diǎn)在x軸上，則k=

2

【變式6］若點(diǎn)4(2，%)］(一3少2),。(5，丫3)三點(diǎn)在拋物線y=x-4x-6的圖象上，則力,丫2,y3的大小關(guān)系是()

4yl>y2>y3B.y2>y1>y3

C.y2>y3>yiD.y3>y2>yi

【變式7］已知二次函數(shù)y=ax2-4ax+c(a<0),當(dāng)自變量x分別取V2,3,0時(shí),對(duì)應(yīng)的值分別為外,y2,丫3,則yi,丫2,丫3的大小關(guān)

系正確的是()

4y3<y2<yiB.yi<y2<ys

C-y2<yi<y3D.y3<y1<y2

【變式8］已知二次函數(shù)y=-%2-(m-1)%+1,當(dāng)x<l時(shí),y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是.

【變式9］已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),D(m,-8),則m=_.

【變式10］已知拋物線y=%?+2%+1經(jīng)過點(diǎn)A(m,n),B(m+6,n),則n=_.

2

【變式11】已知點(diǎn)A(xi,5),B(X2,5);是函數(shù)y=x-mx+3上兩點(diǎn)，則當(dāng)%=%i+不和x=____時(shí)的函數(shù)值相等.

【變式12］已知二次函數(shù)y=(%—3)2+1.下列說法：

①其圖象的開口向下；

②其圖象的對(duì)稱軸為直線x=3；

③其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1);

④當(dāng)x<3時(shí),y隨x的增大而減小.

則其中說法正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式13］對(duì)于二次函數(shù)y=x2-2mx+3(小)0),有下列說法：

①如果m=2,則y有最小值-1;

②如果當(dāng)x<l時(shí),y隨x的增大而減小,則m=l;

③如果當(dāng)x=l時(shí)的函數(shù)值與x=2015時(shí)的函數(shù)值相等，則當(dāng)x=2016時(shí)的函數(shù)值為3.

其中正確的說法是.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)

【變式15］在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=bx2+a的圖象可能是()

題型方法3：求二次函數(shù)的解析式

【題目特征】根據(jù)已知條件求二次函數(shù)解析式。

【考查知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的四種解析式：

1.一般式:y=ax2+bx+c(a*0).

已知圖象上三點(diǎn)((均，%)、(徹，丫2)、(心，丫3),可用一般式求解二次函數(shù)解析式。

2.頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a*0).

已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，可用頂點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式。

3.交點(diǎn)式:y=a(x-%i)(x-x2)(a*0).

已知拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可用交點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式。

4.對(duì)稱式:y=a(x—Xi)(x—x2)+k(aW0)

已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(XX,k)、(X2,k)時(shí)，可以用對(duì)稱式來求二次函數(shù)的解析式。

【解題方法】待定系數(shù)法。

【解題步驟】

1.設(shè)二次函數(shù)解析式；

若已知定點(diǎn)設(shè)頂點(diǎn)式，若已知兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)式，若已知兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等設(shè)對(duì)稱式，其他均設(shè)一般式；

2.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中；

3.求解關(guān)于a、b、c的方程(組).

簡(jiǎn)稱：一設(shè)二代三解.

注意：

(1)二次函數(shù)的解析式求解，最后結(jié)果一般寫成一般式或頂點(diǎn)式，不寫成交點(diǎn)式；

⑵任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交

點(diǎn)，即/-4ac20時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化。

例1:已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(1,0)、B(2,3)、C(3,28)三點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式.

解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c.

(a+b4-c=0(a=11

則由題意得，［4a+2b+c=3,解得\b——30,

(9a+3b+c=28(c=19

...二次函數(shù)的解析式為y=llx2-30x+19.

例2:若二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),且拋物線過(0,3),則二次函數(shù)的解析式是.

解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-hy+k,

??,二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),

???二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2-1,

把(0,3)代入得a=l,

所以y=(x-2)2-1.

例3:如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)和B(-l,0),且與y軸交于點(diǎn)(2,若(0C=2.則這條拋物線的解析式是___.

解:設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)(x+D,

,；OC=2,...C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)或(0,-2),

把C(0,2)代入y=a(x-2)(x+1)得ax(-2)xl=2,解得aa=-l,

此時(shí)拋物線解析式為y=-(x-2)(x+l),即y=-/+x+2；

把C(0,-2)代入y=a(x-2)(x+l)得ax(-2)x1=-2,解得a=1,

此時(shí)拋物線解析式為：y=(x-2)(x+l),即y=公-x-2.

即拋物線解析式為y=-%2+x+2或y=/-久-2.

【變式I】已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(0,-l)、B(l,5)、C(-l,-3)三點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式并把二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式.

【變式2】已知二次函數(shù)過點(diǎn)((0,-1),,且頂點(diǎn)為(-1,2),求二次函數(shù)的解析式.

【變式3］已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為((2,-2),,且其圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,1),求此二次函數(shù)的解析式，并求出該函數(shù)圖象與x軸的交

點(diǎn)坐標(biāo).

【變式4］若拋物線過(-3,0),(1,0),且與y軸交點(diǎn)為(0,4),求二次函數(shù)的解析式.

【變式5】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為：x=2”且經(jīng)過點(diǎn)(1,4)、(5,0),求二次函數(shù)的解析式.

題型方法4:二次函數(shù)圖像判斷

【題目特征】根據(jù)二次函數(shù)圖像判斷系數(shù)的關(guān)系式。

【考查知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：

1.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：

(1)a決定拋物線的開口方向:

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；

當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下.

(2)b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置「'左同右異?

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為y軸；

當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)；

當(dāng)a、b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè).

(3)c的大小決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置

當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)；

當(dāng)c>0時(shí)，交點(diǎn)在y軸的正半軸；

當(dāng)c<0時(shí)，交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸.

2.二次函數(shù)的圖象信息：

⑴根據(jù)拋物線的開口方向判斷a的正負(fù)性.

⑵根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸判斷b的正負(fù)性.

⑶根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)，判斷c的正負(fù)性.

(4)根據(jù)拋物線與x軸有無交點(diǎn)，判斷/-4ac的正負(fù)性.

(5)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸可得-白與±1的大小關(guān)系，可得2a±b的正負(fù)性

(6)根據(jù)拋物線所經(jīng)過的已知坐標(biāo)的點(diǎn)，可得到關(guān)于a,b,c的等式.

⑺根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)，判斷空薩的大小.

例1：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a豐0)圖象的對(duì)稱軸是直線x=L其圖象的一部分如圖所圖示,下列說法中:①abc

<0;②2a+b=0;③當(dāng)一1V%<3時(shí),y>0;?a-b+c<0.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

解：???拋物線開口向下,則a<0.

對(duì)稱軸在y軸右側(cè),a、b異號(hào),則b>0.

拋物線與y軸交于正半軸，則c>0,

abc<0,故①正確；

???拋物線的對(duì)稱軸是直線X=1,則-白=1,b=-2a,

2a

/.2a+b=0,故②正確；

由圖象可知，拋物線與x軸的左交點(diǎn)位于0和-1之間，在兩個(gè)交點(diǎn)之間時(shí)，y>0,在x=-l時(shí),y<0,故③錯(cuò)誤;

當(dāng)x=-l時(shí),有y=a-b+c<0,故④正確；

綜上，正確的選項(xiàng)有：①②④，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè).

故選:C.

例2：如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+故+c(aH0)的圖象,有下列5個(gè)結(jié)論:①abc<0;②b>a+c;③2a-b=0;@4a+b2<4ac;⑤3a+c=0,其中

正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

解:開口向下,則a<0,

與y軸交于正半軸，則c>0,

Ab>0,

則abc<0,①正確;

Vx=-1時(shí),y=0,

???a-b+c=0,②錯(cuò)誤；

:拋物線與X軸的交點(diǎn)為(3,0),(-1,0),-*=?=1,

貝Ub=-2a,

a-b+c=O,

3a+c=0,⑤正確;

b=-2a,

2a+b=0,③錯(cuò)誤;

3a+c=0,c=3,

a=-l,

b=-2a=2,

:.4a+b2=—4+4=0,4ac=4x(―1)x3=-12

4a+b2>4ac,④錯(cuò)誤;故選B.

例3：如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖象，則下列說法：①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④△>();⑤4a-2b+c<0,其中正確的

個(gè)數(shù)為(

A.1

解：①由拋物線的開口向下知a<0,故說法錯(cuò)誤；

②由對(duì)稱軸為“芳=1,

b=-2a,則2a+b=0,故說法正確；

③由圖象可知,當(dāng)x=l時(shí),y>0,則a+b+c>0,故說法正確；

④從圖象知，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

...△>0,故說法正確；

⑤由圖象可知,當(dāng)x=-2時(shí),y<0,則4a-2b+c<0,故說法正確;

故選D.

【變式11如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱軸是x=-l,且過點(diǎn)（-3,0）,下列說法:①abc<0;②2a-b=0;③4a+2b

+c<0;④若（-5，%）,（3,yz）是拋物線上兩點(diǎn)，則乃<yz,其中說法正確的是（）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

【變式2］已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖象如圖所示，有下列4個(gè)結(jié)論：

?abc<0;②b>a+c;③2a-b=0;@b2-4ac<0.

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式3］二次函數(shù)y=ax2+bx-\-c的圖象如圖，則一次函數(shù)y=(a+b)x+ac的圖象不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【變式4］二次函數(shù)丫=+b%+。的圖象如圖，則下列六個(gè)代數(shù)式：ab、ac、a+b+c、a-b+c、2a+b、2a-b、b2-4ac中，其值為正的

式子的個(gè)數(shù)是()

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【變式5］二次函數(shù)y=+b%+c的圖象如圖，貝［］|。+b+c|—|a-b+c|+|2。+加一|2。一b|0.(填“>”、或

X

【變式6］如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)((-1，2),下列結(jié)論：①4a-2b+c<0;②2a-b<0;?b<-2;(④(a+c)

【變式7］如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2),下列結(jié)論：①2a+b<0;②abc<0;③a+c<_1;@b2+8a<4

題型方法5:二次函數(shù)圖像變換

【題目特征】和二次函數(shù)的圖像平移、對(duì)稱、翻折有關(guān)的問題。

【考查知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移、對(duì)稱、翻折：

1.二次函數(shù)圖象的平移

平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“左加右減”，“上加下減二

y=ax2+bx+c向上(下)平移m個(gè)單位后，得到y(tǒng)=ax2+bx+c±m(xù).

y=ax2+bx+c向左(右)平移n個(gè)單位后，得到y(tǒng)=a(x±n)2+b(x+n)+c.

2.二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有三種情況：

(1)關(guān)于x軸對(duì)稱

y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對(duì)稱后,x不變,y變-y,BP--y=ax2+bx+c,即得到的解析式是y=-ax2-bx-c.

(2)關(guān)于y軸對(duì)稱

y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱后.y不變x變-x,即y=a(-x)2+b(-x)+c,即得到的解析式是〃=+c.

(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,x變-x,y變-y,BP--y=a(-x)2+b(-x)+c,即得到的解析式是y=-ax2+bx-c.

3.二次函數(shù)圖象的翻折

函數(shù)y=|f(x)出勺圖象可以由函數(shù)y=f(x)通過關(guān)于x軸的翻折變換得到.

具體規(guī)則為函數(shù)y=f(x)圖象在x軸上方的部分不變，在x軸下方的部分翻折到x軸上方.

例1:★各拋物線y=7先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再次平移后得到的拋物線的表達(dá)式為()

4y=(x—1)2—2B.y=(x+I)2—2

C.y=(x-I)2+2D.y=(x+l)2+2

解：拋物線y=好的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，點(diǎn)(0,0)先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),

所以新拋物線的解析式為y=(久-I)?+2.

故選:c.

例2:已知二次函數(shù)y=ax2-ax(a豐0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,2).

⑴求該二次函數(shù)的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵能否通過所求得的拋物線的平移得到拋物線y=x2+3x如果能，請(qǐng)說明怎樣平移，如果不能，請(qǐng)說明理由.

解:⑴把點(diǎn)①,2)代入y=ax2-ax(a豐0,得a+a=2.

解得a=l.

故該拋物線解析式是：y=/-乂

由y=/-X=(久-：知，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是G，-：)；

(2)可以，理由如下:

由y=/+3x+：,得y=(X+|)一；,

則平移后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是

而拋物線y=必-久的頂點(diǎn)坐標(biāo)是G，_；),

所以將拋物線y=必-x先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移|個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到拋物線y=/+3x+/

【變式1］二次函數(shù)y=-2/+4x+1的圖象如何移動(dòng)就得到y(tǒng)=-2/的圖象()

A.向左移動(dòng)1個(gè)單位，向上移動(dòng)3個(gè)單位

B.向右移動(dòng)1個(gè)單位，向上移動(dòng)3個(gè)單位

C.向左移動(dòng)I個(gè)單位，向下移動(dòng)3個(gè)單位

D.向右移動(dòng)1個(gè)單位，向下移動(dòng)3個(gè)單位

【變式2］—拋物線向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后得拋物線y=-2x2+4久,則平移前拋物線的解析式為.

【變式3］如果將拋物線y=-2x2+8向右平移a個(gè)單位后，恰好過點(diǎn)(3,6),那么a的值為—.

題型方法6:二次函數(shù)的區(qū)間最值—定軸定區(qū)間

【題目特征】求二次函數(shù)的在某個(gè)區(qū)間的最大值或最小值。

【解題方法】

對(duì)于二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a>0)在mSxSn上的最值問題(其中a、b、c、m和n均為定值,ymax表示y的最大值,ymin表

示y的最小值)

⑴若自變量x為全體實(shí)數(shù)，如圖①，函數(shù)在x=-5時(shí)，取到最小值，無最大值.

(2)若幾V-另如圖②,當(dāng)x=m,y=ymax;當(dāng)x=n,y=ymin-

(3)若m>—如圖③,當(dāng)x=m,y=ymin;當(dāng)x=n,y=ymax.

(4)gm<n,n+^->一9一如圖④，當(dāng)支=一9,丫=Ymin；；當(dāng)x=n,y=ymax.

例：分別求出在下列條件下，函數(shù)V=—2/+?乂的最值:

⑴X取任意實(shí)數(shù);(2)當(dāng)-2WX0O時(shí);(3)當(dāng)1<X<3時(shí);(4)當(dāng)-1302時(shí).

解:⑴y=-2(x-；)2+p

，當(dāng)久=1時(shí)，函數(shù)的最大值為,無最小值；

⑵在-2SXS0右側(cè)，在

，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值I;當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)取得最小值-13;

⑶在1SXS3左側(cè)，

???當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最大值2；當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得最小值-8；

(4)-1<;<2,且

???當(dāng)久=|時(shí)，函數(shù)取得最大值?當(dāng)x=-l時(shí).函數(shù)取得最小值4

【變式1】二次函數(shù)y=-%2+2x的最大值為.

【變式2］二次函數(shù)y=-/-2x+c在-3SXS2的范圍內(nèi)有最大值為-5,則c的值是()

A.-2B,3C.-3D.-6

【變式3］二次函數(shù)y=7-2久+1在2WxW5范圍內(nèi)的最小值為.

【變式4］若點(diǎn)P(a,b)在拋物線y=-2x2+2x+1上,則a-b的最小值為」

【變式5】如圖，已知拋物線y=x2+"+c經(jīng)過點(diǎn)4(-1，0)、C(0，-3)兩點(diǎn)

(D求拋物線解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)(0<x<3時(shí)，請(qǐng)直接寫出y的取值范圍.

題型方法7:二次函數(shù)的區(qū)間最值——?jiǎng)虞S定區(qū)間

【題目特征】已知二次函數(shù)(含參)的在某個(gè)區(qū)間的最大值或最小值，求參數(shù)的取值范圍。

【解題方法】對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+故+c(a>0)中含有參數(shù)，對(duì)稱軸不確定，要求在定區(qū)間m<x<n條件下函數(shù)的最值，那

么就需要分別討論對(duì)稱軸x=-套相對(duì)于區(qū)間m<x<n的位置：

①軸在區(qū)間左側(cè)：-/<%對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)，那么在區(qū)間內(nèi)，y隨著x的增大而增大,所以當(dāng)x=n時(shí),y取值最小值；當(dāng)x=m

時(shí),y取得最大值。

②軸在區(qū)間中間：m<-￡<%對(duì)稱軸在區(qū)間中間，那么在區(qū)間內(nèi)，y值先隨著x的增大而減小，又隨著x的增大而增大，所

以，當(dāng)工=-5時(shí)，y取得最小值，m、n兩個(gè)數(shù)誰離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，就在誰處取得最大值，或者把x=m時(shí)的y值和x=n時(shí)的y值計(jì)算出

來，誰大誰就是最大值。

③軸在區(qū)間右側(cè)：-*>g對(duì)稱軸在區(qū)間右側(cè)，那么在區(qū)間內(nèi)，y隨著x的增大而減小，所以,當(dāng)x=n時(shí),y取值最大值；當(dāng)x=m

時(shí),y取得最小值。

例：關(guān)于x的二次函數(shù)y=(久-+3,當(dāng)1WXV3時(shí),函數(shù)有最小值4,則h的值為____.

解：1,二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：直線x=h,

???分為3種情況.

①當(dāng)h<l時(shí),當(dāng)1WXS3時(shí),y隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=l時(shí)取最小值.即：(1-/i)2+3=4,

解得：hr=0,h2=2.

由h<l.得:h=0;

②當(dāng)lShW3時(shí),y的最小值為頂點(diǎn)值，

??,3^4,

l<h<3時(shí),h無解；

③當(dāng)h>3時(shí).當(dāng)1<xW3時(shí),y隨x的增大而減小，

，當(dāng)久=3時(shí)取最小值，

即：(3-九尸+3=4,

解得：h-i=2,h2=4,

h>3,

:.九二4;

綜上所述,h=0或4.

【變式1】已知二次函數(shù)y=x2-2ax+5,當(dāng)3<x<7時(shí),y在％=7取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___.

【變式2】已知函數(shù)y=-9x2-6ax-a2+2a在區(qū)間-%4余最大值-3,,求實(shí)數(shù)a的值.

【變式3］設(shè)y=必+ax+3-a,當(dāng)-2WxV2時(shí)，y的最小值不小于0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型方法8:二次函數(shù)的區(qū)間最值—定軸動(dòng)區(qū)間

【題目特征】已知二次函數(shù)的在某個(gè)區(qū)間（含參）的最大值或最小值，求參數(shù)的取值范圍。

【解題方法】對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）中1含有參數(shù)，雖然對(duì)稱軸是確定的，但是區(qū)間含有參數(shù)，相對(duì)位置是不確

定的，那么要求函數(shù)的最值，就需要分別討論對(duì)稱軸x=-白相對(duì)于區(qū)間m<x<n的位置：

2a

①軸在區(qū)間左側(cè)：-/<加對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)，那么在區(qū)間內(nèi)，y隨著x的增大而增大.所以，當(dāng)x=n時(shí),y取值最小值;當(dāng)x=m

時(shí),y取得最大值。

②軸在區(qū)間中間:mV-*V九對(duì)稱軸在區(qū)間中間，那么在區(qū)間內(nèi)，y值先隨著x的增大而減小，又隨著x的增大而增大，所

以，當(dāng)工=-5時(shí)，y取得最小值，m、n兩個(gè)數(shù)誰離對(duì)稱軸遠(yuǎn),就在誰處取得最大值，或者把x=m時(shí)的y值和x=n時(shí)的y值計(jì)算出

來，誰大誰就是最大值。

③軸在區(qū)間右側(cè)：-蚩>蛆對(duì)稱軸在區(qū)間右側(cè)，那么在區(qū)間內(nèi)，y隨著x的增大而減小，所以,當(dāng)x=n時(shí),y取值最大值:當(dāng)x=m

時(shí),y取得最小值。

例：已知函數(shù)y=好+%_1在m<x<l上的最大值是1,最小值是-*則m的取值范圍是（）

111

A.m>-2B.0<m<-C.—2<m<--D.m<--

解：函數(shù)y=/+'一1的對(duì)稱軸為直線%=

?,?當(dāng)％=-泄,y有最小值，止匕時(shí)y=l=

函數(shù)y=/+%_1在m<x<l上的最小值是-1,

???根<對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，才能在對(duì)稱軸處取得最小值）

'?當(dāng)x=l時(shí),y=l+l-l=l,對(duì)稱軸為直線x=-］（在x=l處剛好取得最大值1,所以在x=m處的取值一定要小于等于1）

當(dāng)％=［1_（_［）］=—2時(shí),y=l,

,二函數(shù)y=必+%一1在m<x<l上的最大值是1,且租工一條

:.—2<m<—

故選:C.

【變式1］已知拋物線F：y=%?一2%+2,當(dāng)m％<TH+1時(shí)，求函數(shù)y的最小值和最大值（用含m的代數(shù)式表示）.

【變式2］已知函數(shù)y=公一2》+2在t《xVt+1范圍內(nèi)的最小值為s,寫出函數(shù)s關(guān)于t的函數(shù)解析式.

【變式3］若函數(shù)y=-|^2+3在區(qū)間a<久Wb(b>a)上的最小值為2a,最大值為2b.求a、b的值.

題型方法9:二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

【題目特征】判斷二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，或者根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù).

【考查知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)與一元二次方程的關(guān)系：

求二次函數(shù)y=a/+8久+c(aH0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y=。，求a/+6久+c=0中x的值的問題.此時(shí)二次函

數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個(gè)數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，它們的關(guān)系如下表：

一元二次方程ax2+bx+c=0(a

判別式A=b?-二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^0)

和)

4ac

圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況

y

a>0\__A

拋物線y=ax2+bx+c(a^

0X\^_y/XX一元二次方程

20)與x軸交于&,0),

ax2+bx+c=0(a￥0)有

△>0(X2,O)(X1<X2)i兩點(diǎn),且

y兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

Xi2=七22-4ac,

Xi2=-b<—bse-ba：

a<0X1/^\X2此時(shí)稱拋物線與x軸相交。

0/\,

l\/

a>0]

bx拋物線y=ax?+bx+c(ar一元二次方程

"2a0)與x軸相切于ax2+bx+c=0(a#0)有

△二0

一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與X兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

yb

軸相切。

'2aXi=x2=-b.

a<0x

0/\'

yV一元二次方程

拋物線y=ax2+bx+c(ar0)與x軸無交ax2+bx+c=0(a#：0)iS

△<0a>0

點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離。實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解(或

oX

稱無實(shí)數(shù)根)

⑴當(dāng)二次函數(shù)的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，4=/-4ac>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，/=/-4ac=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)根;

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，/=/-4ac<。，方程沒有實(shí)根.

例：二次函數(shù)y=+(2m-l)x+m+1的圖象總在x軸的上方，求m的取值范圍。

解：據(jù)題意得：b=Rm-I)?-4m(m+1)<0m保證是二次函數(shù)且開口向上，A<0保證無交點(diǎn))

解得:m>/.

【變式1】關(guān)于x的一元二次方程：/-x-n=。沒有實(shí)數(shù)根，則拋物線y=x2-x-ri的頂點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【變式2］已知拋物線y=2(fc+l)x2+4kx+2k-3求

(l)k為何值時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)k為何值時(shí)，拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)；

(3)k為何值時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

【變式3］已知：關(guān)于x的方程：mx2-(3m-l)x+2m-2=0.

(1)求證：無論m取何值時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根；

(2)若關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2-(3m-l)x+2m-2的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2時(shí)，求拋物線的解析式.

2

【變式4］拋物線y=x+Vmx+山2與x軸兩交點(diǎn)間距離的最大值為」

【變式5］設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)、且其圖象在x軸上所截得的線段長(zhǎng)為2企.求這個(gè)二次函數(shù)的解析

式.

題型方法10:二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題

【題目特征】與二次函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)問題。

【考查知識(shí)點(diǎn)】

2

1,函數(shù)y=a6+bl和二次函數(shù)y=a2x+b2x+c的交點(diǎn)

編交點(diǎn)求解，聯(lián)立方程組^，，并代入求解.

(y=a2x+匕2尤+c

⑵交點(diǎn)個(gè)數(shù)，聯(lián)立方程組［y=萼：：尻，消元得到一元二次方程，看判別式(△).

(y=a2x+b2x+c

⑶交點(diǎn)關(guān)系，聯(lián)立方程組［J=答::b\，看判別式(△),再用韋達(dá)定理.

一十十c

22

2.一元二次方程(atx+兒=a2x+b2x+c的解也可以看成函數(shù)y=的久+/和二次函數(shù)y=a2x+b2x+c的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

總結(jié)：

當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)u兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)方程組有兩組相同的解時(shí)u兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)方程組無解時(shí)U兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，

總之，探究直線與拋物線的交點(diǎn)的問題，最終是討論方程(組)的解的問題。

例1：已知拋物線y=ax2+bx+c(a)0)與直線y=k(x-1)-授無論k取任何實(shí)數(shù)，此拋物線與直線都只有一個(gè)公共點(diǎn).那么，拋

物線的解析式是()

A.y=x2B.y=x2-2xC.y=x2—2x+1D.y=2x2—4x+2

y=ax2+bx+c

y=fc(x-l)-

{T

???ax2+bx+c=k(x—1)—^k2,

整理得：a/+(b—k)x+c+k+^k2=0,

??.無論k為何實(shí)數(shù)，直線與拋物線都只有一個(gè)交點(diǎn)，

.?.=(b-k)2—4a(c+上+［I)=(1—a)k2—2k(2a+b)+b2-4-ac=0,

可得1—a=0,2a+b=0,b2-4ac=0,

解得a=l,b=-2,c=l,

..?拋物線的解析式是y=x2-2x+l,

故選:C.

例2:如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-3,0)和B(1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)C、D是二次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，一次

函數(shù)的圖象過點(diǎn)B、D.

(D求二次函數(shù)的解析式；

⑵根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；

(3)若直線與y軸的交點(diǎn)為E,連結(jié)AD、AE,求八ADE的面積.

解：⑴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a。0,a、b、c常數(shù)),

(9a—3b+c=0

根據(jù)題意得|a+b+c=0

(c=3

(a——1

解得：\b=—2,

Ic=3

所以二次函數(shù)的解析式為：y=-d—2%+3.

⑵如圖，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍是：XV-2或x>L

(3),??對(duì)稱軸：x=L

???D(-2,3);

設(shè)直線BD:y=mx+n,代入B(l,0),D(-2,3):

得：［=%

I—2m+n=3,

產(chǎn)=-1,

解得：I九=1

故直線BD的解析式為:y=-x+1,

把x=0代入求得E(0,1),

???OE=1,

又???AB=4,

???^ADE=1x4x3-|x4xl=4.

【變式1】拋物線y=%2+5x+/與一次函數(shù)y=ax+2a-l有交點(diǎn),則a的取值范圍;

題型方法11：二次函數(shù)與一元二次不等式

【題目特征】通過二次函數(shù)圖像解一元二次不等式。

【考查知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)y=a%?+.+c(a)0)與一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)及ax2+bx+c<0(G)0)之間的關(guān)系

如下(X1<%2)：

a>0

判別式

拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)不等式ax2+bx+c>0的解集不等式ax2+bx+c<0的解集

X<X1或X>X2

△>0Xi<x<x2

_]X^/XX

I2

有兩個(gè)交點(diǎn)

U

△=0xAl（或X彳X2）無解

X|(x2)X

有一個(gè)交點(diǎn)

\

△<0全體實(shí)數(shù)無解

0X

無交點(diǎn)

注：a<0的情況請(qǐng)同學(xué)們自己完成.

【解題方法】數(shù)形結(jié)合：依據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)直接得到x的取值范圍。

例：畫函數(shù)y=(%-2)2-1的圖象，并根據(jù)圖象回答：

(1)當(dāng)x為何值時(shí),y隨x的增大而減小.

(2)當(dāng)x為何值時(shí),y>0.

解：函數(shù)y=(久-2尸-1的圖象如右圖所示，

⑴由函數(shù)圖象可知,當(dāng)x<2時(shí),y隨x的增大而減小；

⑵由函數(shù)圖象可知,當(dāng)x<l或x>3時(shí),y>0.

題型方法12:二次函數(shù)和一元二次方程根的分布問題

【題目特征】已知一元二次方程根的分布情況，求參數(shù)。

【考查知識(shí)點(diǎn)】

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)兩根Xi,x2二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)|的圖像與軸交點(diǎn)

需要滿足的條件

的分布情況情況

Xi<0<x1.當(dāng)x=0時(shí),y<0.

2o-

\J

1