浙江省嘉興市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末檢測數(shù)學(xué)試題

嘉興市2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期末檢測高一數(shù)學(xué)試題卷（2024.1）本試題卷共6頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2．答題時(shí)，請按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：B.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式，求解即可.【詳解】由誘導(dǎo)公式，且，可得，即.故選：D.3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的解析式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則.故選：B.4.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用作差法，得出的等價(jià)條件，再分析充分性和必要性，即可得出結(jié)論.【詳解】由于，則成立，等價(jià)于成立，充分性：若，且，則，則，所以成立，滿足充分性；必要性：若，則成立，其中，且，則可得成立，即成立，滿足必要性；故選：C.5.已知都是銳角，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合同角三角關(guān)系以及兩角和差公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槎际卿J角，則，則，所以.故選：B.6.設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡各選項(xiàng)中函數(shù)的解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，對于A選項(xiàng)，，令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則為奇函數(shù)，A滿足要求；對于B選項(xiàng)，，令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，B不滿足條件；對于C選項(xiàng)，，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，C不滿足條件；對于D選項(xiàng)，，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，D不滿足要求.故選：A.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是等腰直角三角形，為圖象與軸的交點(diǎn)，為圖象上的最高點(diǎn)，且，則（）A B.C.在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱【答案】D【解析】【分析】根據(jù)為圖象上的最高點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，為等腰直角三角形可以求出，進(jìn)而求出周期，即求出，將點(diǎn)代入即可求出，從而確定函數(shù)解析式，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】由為等腰直角三角形，為圖象上的最高點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，所以．則函數(shù)的周期為4，由，，可得，又，所以，則，將點(diǎn)代入，得，則，．而，則，所以,則，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；若，則，顯然函數(shù)不是單調(diào)的，C錯(cuò)誤；，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，D正確.故選：D.8.已知函數(shù)，，若，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得出，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，即可得出，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，，因?yàn)?，其中，所以，，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用指對同構(gòu)思想結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得出，將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為以為自變量的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B.的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增 D.不等式的解集為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，代入法確定函數(shù)解析式，從而依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，得，所以冪函數(shù)，所以A正確；又，即的圖象經(jīng)過點(diǎn)，B正確；且在上單調(diào)遞增，C正確；不等式，即，解得，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用特殊值法可判斷A選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，取，，則，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，且，則，可得，所以，，則，因?yàn)?，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，D對.故選：CD.11.已知函數(shù)，值域?yàn)?，則（）A. B.的最大值為1C. D.，使得函數(shù)的最小值為【答案】AB【解析】【分析】對于A，利用換元法與二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于B，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于C，利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于D，結(jié)合ABC選項(xiàng)的結(jié)論，求得，從而得以判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?，故今，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故A正確；對于B，因?yàn)?，，則且，故，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，，所以最大值為1，故B正確；對于C；因?yàn)?，，則，即，所以，由選項(xiàng)B又知與的最大值都為，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，又，易知，故不可能存在使最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，從而得解.12.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（）A. B.C. D.為偶函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得可判斷A；由可得，列方程組，解出可判斷B；由函數(shù)的周期性、對稱性和對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C；由得可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即關(guān)于對稱，又是定義在上的函數(shù)，則，故A正確；選項(xiàng)B：由可得，則有，故B正確；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，即的周期?；因?yàn)?，即，所以；因?yàn)殛P(guān)于對稱，所以，則，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由得，即為偶函數(shù)，故D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性常有以下結(jié)論（1）關(guān)于軸對稱，（2）關(guān)于中心對稱，（3）的一個(gè)周期為，（4）的一個(gè)周期為.可以類比三角函數(shù)的性質(zhì)記憶以上結(jié)論.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.一個(gè)扇形的弧長和面積都是，則這個(gè)扇形的半徑為________．【答案】【解析】【分析】由扇形的面積公式求解即可.【詳解】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，所以，，解得：.故答案為：.14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.詳解】，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.15.海洋潮汐是在太陽和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的現(xiàn)象．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，?？看a頭；在落潮時(shí)離開港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（單位：）與時(shí)間（單位：）之間滿足關(guān)系式：，且當(dāng)?shù)爻毕兓闹芷跒椋F(xiàn)有一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與洋底的距離）．若該船計(jì)劃在當(dāng)天下午到達(dá)港口，并在港口?？恳欢螘r(shí)間后于當(dāng)天離開，則它最多可停留________h．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)周期性可得，令，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析求解即可.【詳解】由題意可得：，則，令，則，可得，解得，設(shè)該船到達(dá)港口時(shí)刻為，離開港口時(shí)刻為，可知，則，即，所以最多可停留時(shí)長為小時(shí).故答案為：.16.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】令，則只有一個(gè)零點(diǎn)，即，據(jù)此即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則只有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)為正數(shù)，，根據(jù)函數(shù)和的圖象及凹凸性可知，只需滿足即可，即：，又因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題令，則只有一個(gè)零點(diǎn)，即的分析.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合．（1）求集合；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求解，從而可得或，從而可求解.（2）分別求出，，再利用集合的并集運(yùn)算從而可求解.【小問1詳解】由題意得，解得或，所以或.【小問2詳解】由（1）可得，，所以.18.如圖，以為始邊作角與，它們的終邊與單位圓分別交于、兩點(diǎn)，且，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的定義可得出的正弦值和余弦值，分析可得，利用誘導(dǎo)公式可求得的值，由此可得出的值；（2）利用誘導(dǎo)公式求出的值，可求得的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值.【小問1詳解】解：由三角函數(shù)的定義可得，，將因?yàn)?，且角、終邊與單位圓分別交于、兩點(diǎn)，且，結(jié)合圖形可知，，故.故.【小問2詳解】解：由（1）可知，且，故，根據(jù)二倍角公式得．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域，并根據(jù)定義證明函數(shù)是增函數(shù)；（2）若對任意，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）定義域?yàn)椋C明見解析（2）【解析】【分析】（1）由對數(shù)的真數(shù)大于零，可得出關(guān)于的不等式組，即可解得函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；（2）分析可知，，由可得出，結(jié)合參變量分離法可得出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：對于函數(shù)，則，可得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋C明單調(diào)性：設(shè)，則有，，由于，所以，，，并且，則，于是，所以，即：，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以不等式恒成立等價(jià)于對任意的恒成立，等價(jià)于在恒成立．由可得，所以，，則，于是實(shí)數(shù)的取值范圍是．20.噪聲污染問題越來越受到人們重視．我們常用聲壓與聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，其中聲壓（單位：）是指聲波通過介質(zhì)傳播時(shí)，由振動(dòng)帶來的壓強(qiáng)變化；而聲壓級(jí)（單位：）是一個(gè)相對的物理量，并定義，其中常數(shù)為聽覺下限閾值，且．（1）已知某人正常說話時(shí)聲壓的范圍是，求聲壓級(jí)的取值范圍；（2）當(dāng)幾個(gè)聲源同時(shí)存在并疊加時(shí)，所產(chǎn)生的總聲壓為各聲源聲壓的平方和的算術(shù)平方根，即．現(xiàn)有10輛聲壓級(jí)均為的卡車同時(shí)同地啟動(dòng)并原地急速，試問這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級(jí)是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因?yàn)槭顷P(guān)于的增函數(shù)結(jié)合聲壓的范圍是，即可得出答案；（2）由題意可得出求出，代入可求出總聲壓，再代入，求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)槭顷P(guān)于的增函數(shù)，所以正常說話時(shí)聲壓級(jí)．【小問2詳解】由題意得：（其中）總聲壓：故這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級(jí)．21.設(shè)函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到曲線，則曲線關(guān)于軸對稱．（1）求的值；（2）若直線與曲線在區(qū)間上從左往右僅相交于三點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等變換化簡可得，根據(jù)圖象變換結(jié)合對稱性分析求解；方法二：利用三角恒等變換化簡可得，由題意可知函數(shù)關(guān)于直線對稱，根據(jù)對稱性分析求解；（2）方法一：根據(jù)題意結(jié)合圖象可知：且，進(jìn)而結(jié)合對稱性分析求解；方法二：根據(jù)題意結(jié)合圖象可知：且，，可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【小問1詳解】方法一：因?yàn)?，由題意可知：曲線為函數(shù)因?yàn)榍€關(guān)于軸對稱，則，解得，又因?yàn)椋?；方法二：因?yàn)?，由題意可知：函數(shù)關(guān)于直線對稱，則，解得，又因?yàn)?，所?【小問2詳解】方法一：由（1）可知：，根據(jù)函數(shù)在上的圖象，如圖所示：設(shè)可知：且，由，得①，又因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對稱，則②由①②可得，于是；方法二：由（1）可知：，設(shè)，根據(jù)函數(shù)在上的圖象，如圖所示：由題意可知：，且，又因?yàn)?，得，則，而，即，可得，令，則，可得，即，故．22.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在上的值域；（2）若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不等實(shí)根，且，求的最大值，并求出此時(shí)實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）12，【解析】【分析】（1）根據(jù)和的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可求解；（2）構(gòu)造，根據(jù)，可得關(guān)于直線對稱，進(jìn)而可得，即可代入化簡得的表達(dá)式，即可結(jié)合二倍角公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】若，因?yàn)楹瘮?shù)和均在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋拘?詳解】，顯然：當(dāng)時(shí)，，由于方程有三個(gè)不等實(shí)根，所以必有，令