2024年浙江寧波十校高三二模數(shù)學(xué)試題答案詳解

寧波“十?！?024屆高三3月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題卷

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；

2.答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫

在試題卷和答題紙規(guī)定的地方；

3.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范

答題，在本試卷紙上答題一律無(wú)效；

4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.

第I卷

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)

1.集合M={川一2WxW3},=,則()

A.(0,e]B.[-2,e]C.(—叫3]D.[-2,3]

z—1

2.若復(fù)數(shù)z滿足(l+i”=5i-z,貝IJ―=()

z-1?

A.3B.2C.V2D.1

3.已知平面向量￡1滿足Z=(l,2),歷一2同=4且@-2￡)_LZ,則⑸=()

A.s/~5B.5C.^6D.6

4.某電視臺(tái)計(jì)劃在春節(jié)期間某段時(shí)間連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和

3個(gè)不同的公益廣告，要求第一個(gè)和最后一個(gè)播放的必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能

3個(gè)連續(xù)播放，則不同的播放方式有()

A.144種B.72種C.36種D.24種

5.學(xué)校某生物老師指導(dǎo)學(xué)生培育了一盆綠蘿放置在教室內(nèi)，綠蘿底部的盆近似看成一

個(gè)圓臺(tái)，圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為5:3,母線長(zhǎng)為8cm,其母線與底面所成的角為

60°,則這個(gè)圓臺(tái)的體積為()

39203口7848門1568G「3136G

AA.---------兀cmB.---------兀cm3C.---------兀cm3D.-------兀cm3

3333

6.過(guò)直線〉=3》上的點(diǎn)？作圓。：0+2)2+8-4)2=4的兩條切線4，/2，當(dāng)直線乙工關(guān)于

直線y=3x對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

7.已知S,是公比不為1的等比數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和，貝IJ“邑,、，號(hào)成等差數(shù)歹!!”是“存在

不相等的正整數(shù)私”，使得％,,%",%成等差數(shù)歹『'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.若函數(shù)/'（x）=/+6'在（0,+旬上單調(diào)遞增，貝匹和6的可能取值為（）

A.a=lnl.2,b=5B.〃=lnl5,Z>=0.2

C.a-e02,Z?=0.8D.a=e18,Z>=0.2

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分

分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.已知一組樣本數(shù)據(jù)尤，（z=l,2,3,---,10）,其中x,?=1,2,3,…,10）為正實(shí)數(shù).滿足

網(wǎng)4超Wx3V…W4,下列說(shuō)法正確的是（）

A.樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為Xg

B.去掉樣本的一個(gè)數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變

C.若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均

數(shù)大于中位數(shù)

110

D.若樣本數(shù)據(jù)的方差s2=而-4,則這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于2

1。i=l

10.將函數(shù)/（尤）=$畝（敗-*<。<6）的圖象向右平移展個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（無(wú)）

的圖象，若。工）是g（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則（）

CD

TT

A.”x）的最小正周期為

2

B./（x）在（全I(xiàn)T三27r）上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/（x）=/（無(wú)）+g（x）的最大值為1

D.方程〃x）=-g在［0,可上有5個(gè)實(shí)數(shù)根

11.已知直四棱柱/BCD-4月G。,/4=6,底面48co是邊長(zhǎng)為1的菱形，且

N54D=120。，點(diǎn)后,尸,G分別為4件。2,2。的中點(diǎn)，點(diǎn)H是棱4A上的動(dòng)點(diǎn).以同為

球心作半徑為R的球，下列說(shuō)法正確的是（）

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

A.直線NX與直線8E所成角的正切值的最小值為

B.用過(guò)瓦￡G三點(diǎn)的平面截直四棱柱，得到的截面面積為迎

8

C.當(dāng)R=1時(shí)，球4與直四棱柱的四個(gè)側(cè)面均有交線

D,在直四棱柱內(nèi)，球4外放置一個(gè)小球，當(dāng)小球體積最大時(shí)，球4直徑的最大值為

回一直

2

第II卷

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分

12.若sin?=：,則02。+引=.

13.已知正實(shí)數(shù)。,6,c滿足6+c=l,則&加+>+_1￡的最小值為_(kāi)________.

bea+\

221

14.已知雙曲線E:三-二=1伍>0,6>0),斜率為一人的直線與E的左右兩支分別交于

a2b29

42兩點(diǎn)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-M),直線AP交E于另一點(diǎn)C,直線8P交E于另一點(diǎn)。.

若直線CD的斜率為-g,則E的離心率為.

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明

過(guò)程或演算步驟.)

15.AABC的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,6,c,J=Lsin(^-5)cosC=cosSsin(^-C).

⑴判斷。的形狀；

1211

⑵若“8C為銳角三角形，sinA=-求=+轉(zhuǎn)+丁的最大值.

bta2b2c

16.已知四棱錐尸-4BCD的底面/BCD是直角梯形，AD//BC,AB1BC,AB=43,

BC=2AD=2,E為CD的中點(diǎn)，PBLAE.

(1)證明：平面平面/BCD；

(2)若尸3=尸。，尸C與平面NBCD所成的角為;，過(guò)點(diǎn)3作平面尸CD的垂線，垂足為N,

求點(diǎn)N到平面ABCD的距離.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

17.已知函數(shù)<(x)=[-qW+lnx；"eN+，左>0.

⑴討論工(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若力卜)有三個(gè)極值點(diǎn)，求正數(shù)上的取值范圍.

18.為了驗(yàn)證某款電池的安全性，小明在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行試驗(yàn)，假設(shè)小明每次試驗(yàn)成功的

概率為。(0<p<l),且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立.

(1)若進(jìn)行5次試驗(yàn)，且P=g，求試驗(yàn)成功次數(shù)X的分布列以及期望；

(2)若恰好成功2次后停止試驗(yàn)，p=g,記事件A：停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)次數(shù)不超過(guò)"("22)

次，事件B：停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)次數(shù)為偶數(shù)，求尸(4S).(結(jié)果用含有〃的式子表示)

22

19.已知拋物線C1：/=4X-4與雙曲線C2:三-一J=1(。>0)相交于兩點(diǎn)4?,F是

a4—a

c2的右焦點(diǎn)，直線N尸分別交GCz于C，。兩點(diǎn)(不同于48點(diǎn))，直線8c,8。分別交X

軸于尸,0兩點(diǎn).

(1)求“的取值范圍；

(2)記A/0尸的面積為岳，VCQ尸的面積為邑，當(dāng)耳=3邑時(shí)，求。的值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

1.D

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義域及解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合N,由并集運(yùn)算即可求解.

［詳解］TN=W1}={X|0（尤<e},M={x|-2<x<31,

：.M<JN=［x\-1<x<?>\,

故選：D.

2.C

【分析】先求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.

【詳解】由（l+i）z=5i-z,得（2+i）z=5i,

5i5i(2-i)

所以z=------=---------------=1+2i,

2+i(2+i)(2-i)

?,z-12i2i(l-i)

所以，=幣=(-)=l+i，

所以b&TT=應(yīng).

故選：c.

3.D

【分析】由垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運(yùn)算律列式計(jì)算即得.

【詳解】由a=(1,2),得由巧-2a)J_a,得@-2a>a=0,則75=27=10,

由出-2。|=4，得@-2a）2=16,即片+4a2Td=16,則片+4x5-4x10=16，

所以⑻=6.

故選：D

4.B

【分析】將第一個(gè)和最后一個(gè)先安排為公益廣告，然后由商業(yè)廣告不能3個(gè)連續(xù)播放，將其

排成一列，之間有兩個(gè)空，將剩下的公益廣告插進(jìn)去即可.

【詳解】先從3個(gè)不同的公益廣告中選兩個(gè)安排到第一個(gè)和最后一個(gè)播放有A；種方法，

然后將3個(gè)不同的商業(yè)廣告排成一列有A；種方法，

3個(gè)不同的商業(yè)廣告之間有兩個(gè)空，選擇一個(gè)將剩下的一個(gè)公益廣告安排進(jìn)去即可,

答案第1頁(yè)，共20頁(yè)

所以總共有：A：A；A；=72種方式.

故選:B

5.B

【分析】

可設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5x,3x,根據(jù)題意求出圓臺(tái)的高和x的值，即可求出圓

臺(tái)的體積.

【詳解】

根據(jù)題意，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5x,3x,

因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為8,且母線與底面所成的角為60。，

所以圓臺(tái)的高為8sin6(T=46，并且2x=8x；=4,得x=2

所以圓臺(tái)的上底面半徑為5x=10,下底面半徑為3尤=6,高為4VL

由此可得圓臺(tái)的體積為廣=$(102+62+10乂6“48=RRcn?).

故選：B.

【分析】

根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、兩直線的交點(diǎn)等知識(shí)求得正確答案.

【詳解】圓C:(尤+21+"-4)2=4的圓心為C(-2,4),

直線關(guān)于直線V=3x對(duì)稱時(shí)，則直線CP與直線y=3x垂直,

所以直線CP的方程為y-4=-；(x+2),x+3y-10=0,

x+3>-10=0

由解得，所以P(L3).

y=3x

故選：C.

7.A

【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式，根據(jù)充分條件、必要條件的概

答案第2頁(yè)，共20頁(yè)

念判斷即可.

【詳解】因?yàn)镾“是公比不為1的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，所以若邑,3，名成等差數(shù)列，則

2s6=82+83,

從而2"1一46)=。(1-/)+。6"),結(jié)合4力1化簡(jiǎn)得2/=夕+1,

1-q1-q\-q

m

若4,amn,an成等差數(shù)列，則2atm=am+an,即=q+q",所以2代力=q*"+1，

巾1)=4時(shí)，有n=2

故當(dāng)

m-n=lm=3'

即“邑,英,邑成等差數(shù)列”能推出“存在不相等的正整數(shù)也〃，使得金，金”嗎,成等差數(shù)列”;

反之，滿足2q"Sf=/-"+1不一定是2/=q+l,如〃=1,m=3,?=-1,

滿足2?"?。?qWf+1,但不滿足2/=q+l,

即“存在不相等的正整數(shù)和，力，使得冊(cè),%”%成等差數(shù)歹廣推不出“邑,邑成等差數(shù)列”;

所以“邑,5,S3成等差數(shù)歹廣是“存在不相等的正整數(shù)也力，使得冊(cè)，冊(cè)"當(dāng)成等差數(shù)列”的充分

不必要條件.

故選：A

8.D

【分析】

二次求導(dǎo)得到/'(刈=。、1加+//1的在(0,+功上單調(diào)遞增，要想“X)=優(yōu)+卜在(0,+功上單調(diào)遞

增，只需ab21,再逐項(xiàng)檢驗(yàn).

【詳解】

f(x)=ax+bx,°>0且"1,6>0且6工1,

f'(x)=a'lna+b'kib,令g(x)=f'(x),

則g'(x)=ax(lna)2+b'(lnb)2>0恒成立，

故f'(x)=a'lna+bxlnb在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

要想/(》)=優(yōu)+//在(0,+8)上單調(diào)遞增，

只需=Ina+Inb>0,即只需21,

答案第3頁(yè)，共20頁(yè)

對(duì)A,令〃(x)=x—l—ku,%>1,

則"。)=1-工=金>0在(1,+8)上恒成立,

XX

故Mx)=x-1-Inx在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故〃(1.2)>〃(1)=0,即0.2>lnl.2,則ab=51nl.2<5x0.2=l,A錯(cuò)誤;

7八cirlnl5In16lnl6,,.「人奸、口

對(duì)B,ab=0.2In15=-----<------<------=ln2〈l,B錯(cuò)厭;

554

對(duì)C,令<x)=(17)e"x瘡(0,1),

則q\x)=-ev+(1-x)ex=-xex<0恒成立,

故g(x)=(1-x)e'在(0,1)上單調(diào)遞減,

故式0.2)<g(0)=l,即仍=0.8e°2<l,C錯(cuò)誤;

1-Inx

對(duì)D,令0(x)=

x2

當(dāng)尤e(e,+8)?(x)<0,0(x)單調(diào)遞減,

/八口口In2In4ln5

故。(4)>9(5),即方=丁>?，

1.8c”In21.8In5,?

因?yàn)槎?0.36—>—,eLS>50.2e18>1

5255

即ab=0.2e18,D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，關(guān)鍵是利用二次導(dǎo)數(shù)判斷出仍21.

9.BCD

【分析】由百分位數(shù)的定義即可判斷A；由極差的定義即可判斷B,由頻率分布直方圖中中

位數(shù)、平均數(shù)的求法畫出圖形即可判斷；由方程計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由10x80%=8,所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為耳風(fēng)，故A錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B,由題意存在這樣一種可能，若玉=迎4退4…A/,

則極差為%-網(wǎng)=匕。-3，此時(shí)樣本數(shù)據(jù)的極差不變，故B正確；

對(duì)于C,數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，向右邊“拖尾”，大致如下圖,

答案第4頁(yè)，共20頁(yè)

由于“右拖”時(shí)最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處,平均數(shù)靠近中點(diǎn)處,

此時(shí)平均數(shù)大于中位數(shù)，故c正確;

i10i102

對(duì)于D,由/=x?4=x-X

wl；-w|；z

10_\210_10-2

2I。-2

貝1|2無(wú)；-40==?”10x,所以￡=4,

J七xt一-Xxj=>,x；—2x>x；+10x

Z=1Z=1Z=1Z=1Z=1

因?yàn)椴??=1,2,3,…,10)為正實(shí)數(shù)，所以嚏〉0,即提=2,故D正確.

故選：BCD.

10.ABD

【分析】

根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則得出g(x)解析式，根據(jù)單調(diào)區(qū)間代入特殊點(diǎn)即可求出@，求出“X)和g(x)

解析式，再利用三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】函數(shù)〃x)=sin(@x-巴)(0<。<6)的圖象向右平移二個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

612

g(x)=sin［或X_勺_勺=sin(fflx-魯》，

126126

顯然g(x)的最小正周期為7=打，則(0,工)長(zhǎng)度是g(無(wú))的半個(gè)最小正周期，

CDCD

7T

又(0,-)是g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則g(0)=-1,

CD

TTTT

即有-------=2際——,kEZ,解得。=一24左+4,keZ,

1262

而0<0<6,解得。=4,于是/(x)=sin(4x-5),

6

27r7T

對(duì)于A,函數(shù)/(x)的最小正周期丁=二=大，A正確；

42

對(duì)于B,由x嗚,g),得以-會(huì)(牛苧，函數(shù)y=sinx在(手苧上單調(diào)遞增，

TT27r

因此函數(shù)/(X)在弓,行)上單調(diào)遞增，B正確；

兀

對(duì)于C,g(x)=sin(4x-cos4x,貝!J

答案第5頁(yè)，共20頁(yè)

-cos4xAin4x-^os4^

F(x)=sin(4x--=4-sin(4x-',

22

因此函數(shù)/（x）的最大值為百，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)x?0,可時(shí)，以一^式一與字］，由/（X）=一!

6662

.兀7兀.兀11兀.兀19兀.7123兀

得4%——二——4x--=——、4x---=---、4x-----=-----、4x-----=------

6666666666

因此方程=-；在［0,兀］上有5個(gè)實(shí)數(shù)根，D正確.

故選：ABD

11.ABC

【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出H（0,九道），0<m<l,表達(dá)

7

出直線4H與直線BE所成角的余弦值，求出最大值為85。=和，從而得到正切值的最小

值；B選項(xiàng)，作出截面，進(jìn)而求出截面面積；C選項(xiàng)，找到與四個(gè)側(cè)面的交線即可；D選項(xiàng),

球4外放置一個(gè)小球。，當(dāng)小球。與四個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，小球。體積最大，得到小球。的

、

半徑為」/G=正，結(jié)合（，君）得到球直徑的最大直

，得到。40,04

平4,］4乎4

247

【詳解】A選項(xiàng)，連接/G,因?yàn)榈酌?8CD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且/840=120。，所以“BC

為等邊三角形,

因?yàn)镚分別為的中點(diǎn)，所以ZGL8C,故/GLAD,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，NG,/。,/4所在直線分別為x/,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

h1、

故4(0,0,0),5―,0,E，-“百，設(shè)7/（0,加,6）,0<m<1,則

4

\

由1

~AH=((),m,y[3^,BE=-.?.J

44

7

7T

設(shè)直線與直線所成角的大小為0,-,

V31

AHBE4'4'-m+3-m+6

則cos0=742

雨忸0+^+3屈dm2+3

1616

令:用+6=/e61,3(,故

2

答案第6頁(yè)，共20頁(yè)

cos6=_]----=

巫，4*—48/+147

1349cos°=

因?yàn)?￡所以當(dāng)”時(shí)，24取得最大值,

oH---

49

7_______巧

最大值為cos。=/=,此時(shí)sin0=Jl-cos?。=——,

2VI32而

因?yàn)閥=cosx在xe]o,1|上單調(diào)遞減，y=tanx在xe]o,1|上單調(diào)遞增,

故直線AH與直線BE所成角的正切值的最小值為—=①，A正確；

cos。7

B選項(xiàng)，取4A，CD,54的中點(diǎn)0,印，連接EQ,旌,GW,MG,FM,QF,

由平行關(guān)系可知，過(guò)瓦RG三點(diǎn)的平面截直四棱柱，得到的截面為六邊形EQFMGP,

其中EW=MF=FQ=WG=^DM2+DF2

1V3rh工口61R「6CC

GM=EQ=-BD=—,由于E--,V3，G—-,0,0

442

22\7\7

故EG=+,[_()]+(C0『=手,同理可得QA/=浮,

▽8口力6177

又EG=—,0,0-——,V3，21_百、

2144

答案第7頁(yè)，共20頁(yè)

、

。0,5，石，故麗=,-,0

44

一*—?fA/3133

故EG，EQ=--,-,-V3-一--,-,0=--+—=0,所以EQ_L￡G,

144JI44J1616

則矩形EQMG的面積為￡G-GM=叵x@=叵,

224

取EG的中點(diǎn)J,連接叼，因?yàn)?所以即LEG,

由勾股定理得WJ=yJWE2-EJ2=.11--=—,

V164

EWG=-WJEG=-x—x—=叵，同理可得s=叵，

回

G224216"2"16

故用過(guò)E,￡G三點(diǎn)的平面截直四棱柱，得到的截面面積為11x2+叵=次叵，B正確;

1648

c選項(xiàng)，連接4G，則4G=4月=/Q=i,AAX=V3>1,

2

如圖，當(dāng)尺=1時(shí)，直四棱柱截球體下半部分的］,

球4與直四棱柱四個(gè)側(cè)面都有一段圓弧狀交線，c正確；

答案第8頁(yè)，共20頁(yè)

D選項(xiàng)，球4外放置一個(gè)小球。，當(dāng)小球。與四個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，小球。體積最大,

此時(shí)小球。在底面/BCD上的投影剛好與菱形相切，故小球。的半徑為=

24

痂-1⑻

131而

故。7。，因?yàn)?（0,0,班），則40=一+一+

161644

7iJ

故球4直徑的最大值為24。-亍⑸號(hào)-與,D錯(cuò)誤.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí),解題的關(guān)鍵是確定球心的位

置.對(duì)于球內(nèi)切于幾何體問(wèn)題時(shí)要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于幾何體

的外接球問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

7

12.—##0.28

25

271

【分析】令。一2=乙代入cos（20+,利用三角公式變形計(jì)算即可.

jr4

【詳解】令e'=t,則sin:—,

65

「廣」（cC2兀）_f兀）2兀

以cosI2夕H——I=cos21Z+—IH——=cos⑵+兀）

__.21c1617

=-cos2，=2sm，-l=2x-----1=—

2525

故答案為：焉.

13.16

答案第9頁(yè)，共20頁(yè)

【分析】變形得到"士+二三=。?（絲+；+2）+—,利用兩次基本不等式，求出最小值.

bea+1cba+\

【詳解】任意的正實(shí)數(shù)。，b,c,滿足6+c=l,

rt,,,Sab2+a188/+118Sb2+（b+c）218

所以------+---=a----------+------=a----------------—+------

bea+1bea+1beQ+1

9b2+2bc+c218,9bc、、18

=a-------------------+------=a?（——+-+2）+-------,

beQ+1cbQ+1

由于b,。為正實(shí)數(shù)，

故由基本不等式得絲+￡22,區(qū)￡=6,

cbNeb

當(dāng)且僅當(dāng)9迫b=：c,即b=1j0二3時(shí)，等號(hào)成立，

cb44

匚u1、i,9bc..18

所以。?（一+1+2）+--

cba+1

>8tz+------=8（。+1）+----------8

a+1a+1

當(dāng)且僅當(dāng)8(a+l)='\,即。=[時(shí)，等號(hào)成立,

綜上，酬?+里的最小值為16.

bea+1

故答案為：16.

14.巫

3

【分析】設(shè)4區(qū),乃)乃(12/2)，，線段45的中點(diǎn)M(時(shí),加)，代入雙曲線的方程中可得

2

%

F

=1_]2

,兩式相減得匕三區(qū)=-6,可得加=-當(dāng).時(shí)①，設(shè)C(X3，%),O(XQ4)，線

2

22x—xya

〃12

=1

9772

段CD的中點(diǎn)以心,川),同理得以=-蕓?/②，由時(shí),=%＞，得P,W,N三點(diǎn)共線，從

a

而求得4c2=5/,由此可求得雙曲線的離心率.

答案第10頁(yè)，共20頁(yè)

設(shè)4國(guó),%）,5（%乃）,，線段的中點(diǎn)加），

I22

^-4=1

￡廿,兩式相減得91b1x+x_b1x_1

則{2M

反_反三f。2IyM9

db2~

所以加=多,%①

97）2

設(shè)C（X3，%）,O（X4,居），線段⑦的中點(diǎn)N（%,%），同理得%=-咚?%②,

a

因?yàn)榛?=無(wú)8，所以4B//CD,則尸,M,N三點(diǎn)共線,

9bz,

所以2k==將①②代入得：一f”-1

%+14+1——

4M十］q+1

即（%河一％N＞（1----廠）=3

a

所以/=9廿=9(cU),即9c2=10。%

故答案為：巫

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了雙曲線離心率的求解，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于

結(jié)合點(diǎn)差法表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而得到。6的關(guān)系式，即可求解.

15.（1）“3C為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形

⑵+i

【分析】

（I）利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)后分別討論各項(xiàng)為0時(shí)的情況即可；

（2）先根據(jù)（1）中的結(jié)論判斷此時(shí)“3C為等腰三角形，再利用正弦定理將邊化為角，構(gòu)

造關(guān)于角B的三角函數(shù)求值域，注意角B在銳角三角形中的范圍即可.

【詳解】（1）由題意：（sin4cos3-cos/siiiB）cosC=cosB,（siiL4cosc-cosNsinC）,

整理得cosA■（cosSsinC-sinScosC）=cosA-sin（C-5）=0,

故cos/=0或sin（C-B）=0,

答案第11頁(yè)，共20頁(yè)

7T

當(dāng)cos/=0時(shí)，A=-,“3C為直角三角形，

當(dāng)sin(C-3)=0時(shí)，B=C,"8C為等腰三角形,

當(dāng)cos/=0且sin(C-3)=0時(shí)，A=^,B=C=^,AABC為等腰直角三角形.

所以為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.

(2)由(1)知，若為銳角三角形，則一定為等腰三角形，，。二。,

由正弦定理-^―=”—得asiaS=6sirU=1,a=---

siib4sinBsinB

.,.-^-+—+—=-4-4--=2sin25+siib4

a2b2cab

2sin25+sirU=1-cos2B+sin2B=1+V2sin125-：

0<B<-_

2

因?yàn)闉殇J角三角形，所以,解得:<3<,,

Q<A=n-2B<-42

2

.?.當(dāng)28-：=弓時(shí)，即8=《時(shí)取最大值，最大值為亞+1.

42o

綜上，最大值為夜+1

16.(1)證明見(jiàn)解析

⑵11

【分析】(1)根據(jù)題意，證得5Z)_L他和,得到/E_L平面PBD,進(jìn)而證得平面

PBD_L平面/BCD.

(2)取8。的中點(diǎn)O,連接尸O,根據(jù)題意求得OP=3和OCL8。，以。為原點(diǎn)，建立空

__._._._.廣\BN-PC=Q

間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸N=4尸D+〃PC,得到=(-4-1,-3(2+〃-1)),結(jié)合1一一

[BN-PD=O

求得彳,〃的值，即可求解.

【詳解】(1)證明：由四邊形/BCD是直角梯形，S.AB=6,BC=2AD=2,ABLBC,

_________jr

在直角△48。中，BD=-JAB2+AD2=2>可得。C=2,/BCD=§,

從而△BCD是等邊三角形，BD=2,BD平分/ADC,

因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以DE=AD=1,所以助，4￡,

又因?yàn)槭?_1/瓦尸2門2。=2且尸8,5。(=平面尸3。,所以/E_L平面尸3。，

答案第12頁(yè)，共20頁(yè)

又因?yàn)?Eu平面/BCD,所以平面PAD_L平面48CD.

(2)解：取8。的中點(diǎn)0,連接尸。，因?yàn)槭?=尸。，所以尸。_13。于。，

因?yàn)槠矫鍼AD_L平面/BCD,平面尸5。門平面/BCD=AD,所以尸01平面48cZ),

TV

連接OC,可得NPCO為尸c與平面/HC。所成的角，則NPCO=§,

在直角△28。中，BD=y]AB2+AD2=2>

在等邊△BCD中，可得OC=VL

在直角△PCO中，nJMOP=OCtanZPCO=3,

又因?yàn)榈冗叀鰾CD,且。為AD的中點(diǎn)，所以O(shè)CLAD.

以。為原點(diǎn)，以。氏OC,。尸所在的直線分別為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，則S(1,O,O),C(O,6,0),。(-1,0,030,3),

可得麗=(-1,0,-3),PC=(0,V3,-3),

PN=APD+juPC>可得"卜九石〃+〃-I)),

貝！I麗=(-2_l,G/z,—3(2+〃_1)),

項(xiàng)A=3〃+9(4+〃-1)=0

[II<解得彳=三,〃=二，滿足題意,

[麗屈=4+1+9(%+4-1)=0

17.(1)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)得工'(x),然后分A=e,左>6與0〈左<e討論，即可得到結(jié)果;

答案第13頁(yè)，共20頁(yè)

(2)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得力，然后將極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根問(wèn)題，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，即

可得到結(jié)果.

【詳解】⑴工⑴上-左己+lnx],則工")=叫丁)_/？」=?(e?)

X[XJXyXJCJX

當(dāng)月＞0時(shí)，＜'(無(wú))=0的兩根為無(wú)I=1/2=lnh

①若萬(wàn)=e,工(x)在(0,+司上單調(diào)遞增；

②若左＞e,則迎=1很＞1=網(wǎng)，則工卜)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,19)上單調(diào)遞減，在

(1吹+(?)上單調(diào)遞增；

③若l＜發(fā)＜e,則％=ln左＜1=網(wǎng)，則/(x)在(0,In上)上單調(diào)遞增，在(1旅,1)上單調(diào)遞減，在

(1,+8)上單調(diào)遞增；

④0〈上VI時(shí)，則％=＜0＜1=再，則/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+℃)上單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)左=e時(shí)，無(wú)單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間為(0,+“)；

當(dāng)上〉e時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為(1,1#),單調(diào)增區(qū)間為(0,1)和(1M,+“)；

當(dāng)1〈人＜e時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為(1吹1),單調(diào)增區(qū)間為(0,蕨)和(1,+8)；

當(dāng)0〈左VI時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1),單調(diào)增區(qū)間為(L+8)；

(2)根據(jù)題意可知,函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+/),

?i\eJ-%3—e'-3x2.(31]/e'—kx~

則n加(x)=——---------上一

人?\AA-J4

由函數(shù)力(X)有三個(gè)極值點(diǎn)為應(yīng)生可知力(力=(X-3)=0在(0,+4上至少有三個(gè)

實(shí)數(shù)根；顯然右(3)=0,則需方程2二=0,

也即日2=0有兩個(gè)不等于3的不相等的實(shí)數(shù)根；

由"一版2=0可得攵=彳,(0,4-0?),

令g(x)=三,%￡(0，+8)，則g〈￥)=e(“2),寸$(0,+a?),

xx

顯然當(dāng)x.0,2)時(shí)，gr(x)＜0,即g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；

答案第14頁(yè)，共20頁(yè)

當(dāng)xe(2,+s)時(shí)，g'(x)>0,即g(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增;

2

所以g(x)2g(2)=e1，

2

經(jīng)檢驗(yàn)可知當(dāng)上A00］時(shí)，導(dǎo)函數(shù)/'(.=卜-3)2二產(chǎn)=0在西、,馬左右符

號(hào)不同，即%,乙,當(dāng)均是/'(x)=0的變號(hào)零點(diǎn)，滿足題意；

因此實(shí)數(shù)左的取值范圍是丘.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零

點(diǎn)問(wèn)題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于分類討論以及合理構(gòu)造函數(shù)求解.

18.(1)分布列見(jiàn)解析，期望為g

【分析】

(1)根據(jù)題意，由條件可得x~8m結(jié)合二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可

得到分布列；

(2)根據(jù)題意，分"為偶數(shù)與〃為奇數(shù)討論，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式以及錯(cuò)位相減法代

入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

答案第15頁(yè)，共20頁(yè)

【詳解】（1）依題意，

則尸(x=o)=3

p(X=2)=C；

p(X=4)=C；

（2）事件“丫=〃”表示前n-1次試驗(yàn)只成功了1次，且第〃次試驗(yàn)成功,

故尸"=〃）=。

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

所以P（/8）=P（2）+尸（4）+……+…+*T

令S"“⑶+382

+…+

則S"

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，同理可得

尸（48）=尸（2）+尸（4）+,

答案第16頁(yè)，共20頁(yè)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了二項(xiàng)式分布與數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度較大，解答本題的

關(guān)鍵在于將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和，結(jié)合數(shù)列求和的知識(shí)求解.

19.⑴a1,2）

⑵”無(wú)

【分析】

（1）由雙曲線方程的特征求出。的大致范圍，再聯(lián)立拋物線與雙曲線方程，消去了整理得

2

至1）（4一/-4/x+/=o,分析其兩根得至解得。的范圍，再將雙曲線過(guò)點(diǎn)（2,2）

2-a

時(shí)。的值去掉，即可求出a的范圍；

（2）設(shè)直線"'的方程為》=陽(yáng)+2,/（再,必）、C（x2,y2）,聯(lián)立直線與拋物線方程，即可

求出必%=-4,根據(jù)對(duì)稱性可知-必），即可求出BC的方程，從而求出馬，設(shè)。（毛,力）,

聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，表示出直線3。的方程，從而求出演，再由

s

U=--------=3得到方程，從而求出”.

邑jkel-kl

a2>0

22

【詳解】⑴由雙曲線方程與-上〒=1,則4-〃>（）,得到0<°<2,即ae（0,2）,

a24-a2

a>0

對(duì)于拋物線G：/=4x-4,令y=0解得x=l,所以拋物線G：/=4x-4的頂點(diǎn)為（1,0）,

22

又雙曲線G:雪-一J=l（a>0）的右焦點(diǎn)F（2,0）,

a4—a

[22

聯(lián)立拋物線與雙曲線方程何4-a2-，得到（4--44+