二次根式（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)真題

主題一數(shù)與式

k_____________________________________________________________________

二次根式

目錄一覽

知識目標(biāo)（新課程標(biāo)版提煉）

中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）

考點(diǎn)回歸（梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)，清晰明了，便于識記）

重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一二次根式有意義的條件

A考向二二次根式的性質(zhì)與化簡

A考向三二次根式的乘除法

A考向四分母有理化

A考向五同類二次根式

A考向六二次根式的加減法

A考向七二次根式的混合運(yùn)算

A考向八二次根式的化簡求值

A考向九二次根式的應(yīng)用

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）

'Xa-——

1.了解二次根式、最簡二次根式的概念；

2.了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會用它們進(jìn)行有關(guān)的簡單四則運(yùn)算;

3.能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍.

一^中考解密

二次根式是歷年中考的考察重點(diǎn)，年年考查，分值為10分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)重視對二

次根式的有關(guān)概念、二次根式的性質(zhì)和二次根式的混合運(yùn)算等的考查，且考查形式多樣，為避免丟分，學(xué)

生應(yīng)扎實(shí)掌握.

也7考點(diǎn)回歸

二次根式的定二次根式的定義：一般地，我們把形如4(a>0)的式子叫做二次根

義式.

①“、L”稱為二次根號

②a(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

二次根3

4a

盛開方數(shù)

二次根式有意判斷二次根式有意義的條件：

義的條件(1)二次根式的概念.形如《(a>0)的式子叫做二次根式.

(2)二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)

數(shù).

(3)二次根式具有非負(fù)性.4(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù).

二次根式的基a>0(雙重非負(fù)性)-

本性質(zhì)2.(、份)2=。(a>0)(任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形

式).

'a(a>0)

3.4/=間=<0(a=0)(算術(shù)平方根的意義)

-a(a<0)

二次根式的化1,二次根式的化簡：

簡(1)利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；

(2)利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡.

Vab=Va,Vb屜0，b>0)奈'(a>0,b>0)

2.化簡二次根式的步驟：

(1)把被開方數(shù)分解因式；

(2)利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)(或

因式)都開出來；

(3)化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)(或因式)的指數(shù)都

小于根指數(shù)2.

最簡二次根式1.最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含

能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

2.最簡二次根式的條件（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式

（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

如不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a“）、x+y

等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、/、

（x+y）2、+^xy+寺,

二次根式的乘1.積的算術(shù)平方根性質(zhì)：Va;b=Va-Vb（a>0，b>0）

除法2.二次根式的乘法法則：Va,Vb=Va^b（a>0,b>0）

3.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：樵=親（a>0,b>0）

4.二次根式的除法法則：a=巧（a>0,b>0）

規(guī)律方法總結(jié)：

在使用性質(zhì)4?五=五元（a>0,b>0）時(shí)一定要注意它0，至0的條件

限制，如果a<0,b<0,使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（JR）x

（Q）力-4x-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根

和二次根式的除法運(yùn)算也是如此.

分母有理化1,分母有理化是指把分母中的根號化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方

差公式.

例如：①，=4=4.囪___1___=Va-Vb________

VaVaaVaWb（Va+\/b）（Va-Vb）

=Va-Vb

a-b

2.兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)

代數(shù)式成互為有理化因式.

一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè).

例如：&-我的有理化因式可以是M+如，也可以是a（V2+V3），

這里的a可以是任意有理數(shù).

同類二次根式1.同類二次根式的定義：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，

如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.

2.同類二次根式的理解：同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng).幾個(gè)同類

二次根式在沒有化簡之前，被開方數(shù)完全可以互不相同.判斷兩個(gè)二次根

式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡二次根式，然后再看被開

方數(shù)是否相同.

2.合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開

方數(shù)和根指數(shù)不變.

二次根式的加1,法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被

減法開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.

2.步驟：

（1）如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號.

（2）把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡.

（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式.

3.合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并.合并時(shí)，

只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

二次根式的化二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.

簡求值二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)

算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾.

二次根式的應(yīng)把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受

用所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概

念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法.

V重點(diǎn)考向

A考向一二次根式有意義的條件

廨題技f引嵬錯(cuò)易混/特則提醒

①如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非

負(fù)數(shù).

②如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

1一一五0兀.立西）一再石工有壹父「血一0而循可以昊飛一｝

A.-1B.0C.2D.6

2.（2023?濟(jì)寧）若代數(shù)式《有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

x-2

A.#2B.x>0C.x>2D.x*且*2

3.（2023?丹東）若代數(shù)式心近在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

x-l

A考向二二次根式的性質(zhì)與化簡

廨施按正/嵬錯(cuò)易混/特別提酉星

（1）把被開方數(shù)分解因式（或因數(shù)）；

（2）把各因式（或因數(shù)）積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式（或因數(shù)）的算術(shù)平方根的積；

（3）如果因式中有平方式（或平方數(shù)），應(yīng)用關(guān)系式（6）2=a（aN0）把這個(gè)因式（或因數(shù)）開出來，將二次根式化

簡。

匚…12面臻麗"訐算馨于7—5

A.±2B.2C.4D.我

5.（2023?臺灣）化簡正而的結(jié)果為下列何者（）

A-3V5b-2775c-3V15D-9V15

6.（2023?內(nèi)蒙古）實(shí)數(shù)加在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡：,作_2）2=-

??im；i.

-1012

A考向三二次根式的乘除法

7.（2023?衡陽）對于二次根式的乘法運(yùn)算，一般地，有?飛耳=/器.該運(yùn)算法則成立的條件是（）

A.。>0,b>0B.a<0,b<0C.a<0,b<0D.a>0,b>0

8.（2022?呼和浩特）下列運(yùn)算正確的是（）

A.菽a=±2

B.（m+n）2=m2+n2

c-]-2=一]

X-lXX

D-3所-2y2=-9xi

3x2y

9.（2023?益陽）計(jì)算：^20XV5=?

A考向四分母有理化

10.（2023?阜新）在下列計(jì)算中，正確的是（）

A.5+(-6)(.3x(-2)=6D.sin3(T=我

T

1

11.（2021?婁底）計(jì)算：（標(biāo)五-兀）°+]+（1）--2cos45°.

V2+12

A考向五同類二次根式

12.（2023?煙臺）下列二次根式中，與&是同類二次根式的是（)

A.B.C.V12

13.（2020?上海）下列二次根式中，與舊是同類二次根式的是（)

A.6B.C.D-

A考向六二次根式的加減法

解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒

二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)

行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。

i"一（5o萬?丙豪舌5一下就運(yùn)置正面的臭7）

A-V3+2V3=2V6B.(-a2)3=a6

c-_1_+^=_2_D?1+b=1

2aa3a3ab3a,2

b

15.（2023?十堰）下列計(jì)算正確的是（)

A.&+返=小B.(-2。)3=-8人

C.=D.(6Z-1)?=?-1

16.（2023?哈爾濱）計(jì)算j_J1的結(jié)果是2、斤.

A考向七二次根式的混合運(yùn)算

廨畫技再易錯(cuò)易混7傳則提醒一

二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注

意以下幾點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式”.

③二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式.

④在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往

能事半功倍.

F「一（5o萬?普島）一下列訐算正福的昊一廠一-5

A-V2+>/3=V5B-273-73=2c-V2xV3=V6D-412^3=2

18.（2023?濰坊）從-、歷，正，述中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式（口+O）里面的“口，，與“O”

中，計(jì)算該算式的結(jié)果是.（只需寫出一種結(jié)果）

19.（2023?金昌）計(jì)算：-

A考向八二次根式的化簡求值

儲函法幣易錯(cuò)易混/將則提醒

常見二次根式化簡求值的九種技巧

一、估算法

二、公式法

三、拆項(xiàng)法

四、換元法

五、整體代入法

六、因式分解法

七、配方法

八、輔元法

九、先判后算法

20.（2023?M4k）若a=g，b=?7,廁I----（）

傳

A.2B.4C.4D.加

21.（2022?內(nèi)蒙古）已知x,y是實(shí)數(shù)，且滿足了=交*-2+A/2-X+]'則J；的值是-

7

A考向九二次根式的應(yīng)用

22.（2023?內(nèi)蒙古）不等式x-1<遙的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

23.（2023?常州）如圖，小紅家購置了一臺圓形自動(dòng)掃地機(jī)，放置在屋子角落（書柜、衣柜與地面均無縫

隙）.在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機(jī)能自動(dòng)從底座脫離后打掃全屋地面.若這臺掃地機(jī)能從角落

自由進(jìn)出，則圖中的x至少為（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：標(biāo)=4.58）.

Q

最新真題譽(yù)萃

1.（2023?金華）要使JI工有意義，則x的值可以是（）

A.0B.-1C.-2D.2

2.（2023?通遼）二次根式近彳在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)無的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）

A—?-------1---------1----------1------>R—?----------1---------i?-?

-1012-1012

C―?--------1---------1----------1--------->D—1----------1---------1----------1-------->

-1012-1012

3.（2023?上海）下列運(yùn)算正確的是（）

A.05+a2=03B.a3+a3—a67C.（爐）2—a5D.J-

4.（2020?荊州）若尤為實(shí)數(shù)，在“（北+1）□龍”的“□”中添上一種運(yùn)算符號（在“+,-,x,+”中選擇）后,

其運(yùn)算的結(jié)果為有理數(shù)，則無不可能是（）

A-V3+1B.g-1C,243D.

（多選）5.（2021?濰坊）下列運(yùn)算正確的是（）

A.(Q-])2=Q2_Q+]B.(_QT)2=]

71~2

a

C.a-3=aD-近=2

b-3b-73

6.（2021?泰州）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）

A-我與正B.&與gC.通與后D.氏與歷

7.（2023?西寧）下列運(yùn)算正確的是（）

A-V2+V3=V5b-”7斤=-5

c（3-V2）2=U-6V2D'6+邛hX?=3

V3

8.（2021?包頭）若X=&+1,則代數(shù)式N-2x+2的值為（）

A.7B.4C.3D.3-2加

9.（2023?常德）要使二次根式JU有意義，則x應(yīng)滿足的條件是.

10.（2022?隨州）已知"為正整數(shù)，若T189IU是整數(shù)，則