2024年復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

復(fù)數(shù)【知識(shí)梳理】復(fù)數(shù)的大體概念一、虛數(shù)單位的性質(zhì)叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：①可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算；②；這樣方程就有解了，解為或二、復(fù)數(shù)的概念（1）概念：形如(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位，a叫做，b叫做。所有復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)一般常運(yùn)用字母表達(dá)，即(a，b∈R)對(duì)于復(fù)數(shù)的概念要注意如下幾點(diǎn)：①(a，b∈R)被稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中表達(dá)與虛數(shù)單位相乘②復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)，否則不是代數(shù)形式（2）分類：滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0例題：當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？復(fù)數(shù)相等也就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，充要條件是他們的實(shí)部和虛部別離相等注意：只有兩個(gè)復(fù)數(shù)盡是實(shí)數(shù)，才可以比較大小，否則無法比較大小例題：已知求的值共軛復(fù)數(shù)與共軛的共軛復(fù)數(shù)記作，且復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面的概念成立直角坐標(biāo)系來表達(dá)復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸。顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表達(dá)實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表達(dá)純虛數(shù)。復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)及平面向量是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，有序?qū)崝?shù)對(duì)既可以表達(dá)一種點(diǎn)，也可以表達(dá)一種平面向量）相等的向量表達(dá)同一種復(fù)數(shù)例題：（1）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表達(dá)復(fù)數(shù)的點(diǎn)①位于第三象限；②位于直線上（2）復(fù)平面內(nèi)，已知，求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模：向量的模叫做復(fù)數(shù)的模，記作或，表達(dá)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即，若，，則表到達(dá)的距離，即例題：已知，求的值復(fù)數(shù)的運(yùn)算（1）運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R①②③（2）幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反應(yīng)出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).常常運(yùn)用結(jié)論（1），，，求，只需將除以4看余數(shù)是幾就是的幾回例題：，，【思索辨析】判斷下面結(jié)論是不是對(duì)的(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解.()(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(4)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()(5)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.()【考點(diǎn)自測(cè)】1.(·安徽)設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1－i)(1＋2i)等于()＋3iB.－1＋3i＋iD.－1＋i2.(·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知復(fù)數(shù)z知足(z－1)i＝1＋i，則z等于()A.－2－iB.－2＋i－i＋i3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)別離為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()＋8i＋2i＋4i＋i4.已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位.若a＋i＝2－bi，則(a＋bi)2等于()－4i＋4i－3i＋3i5.已知(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，則z＝________.【題型分析】題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)設(shè)i是虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)z＝a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為()A.－3B.－1(2)已知a∈R，復(fù)數(shù)z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若eq\f(z1,z2)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)eq\f(z1,z2)的虛部為()\f(2,5)(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的()A.充足沒必要要條件B.必要不充足條件C.充要條件D.既不充足又沒必要要條件引申探討1.對(duì)本例(1)中的復(fù)數(shù)z，若|z|＝eq\r(10)，求a的值.2.在本例(2)中，若eq\f(z1,z2)為實(shí)數(shù)，則a＝________.思維升華處理復(fù)數(shù)概念問題的方式及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)當(dāng)知足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部知足的方程(不等式)組即可.(2)解題時(shí)必然要先看復(fù)數(shù)是不是為a＋bi(a，b∈R)的形式，以肯定實(shí)部和虛部.(1)若復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為()A.－1D.－1或1(2)(·浙江)已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，則“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A.充足沒必要要條件B.必要不充足條件C.充足必要條件D.既不充足也沒必要要條件題型二復(fù)數(shù)的運(yùn)算命題點(diǎn)1復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算例2(1)(·湖北)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為()B.－iD.－1(2)(·北京)復(fù)數(shù)i(2－i)等于()＋2i－2iC.－1＋2iD.－1－2i命題點(diǎn)2復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算例3(1)(·湖南)已知eq\f(1－i2,z)＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z等于()＋i－iC.－1＋iD.－1－i(2)(eq\f(1＋i,1－i))6＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝________.命題點(diǎn)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合問題例4(1)(·天津)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________.(2)(·江蘇)已知復(fù)數(shù)z＝(5＋2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為________.命題點(diǎn)4復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算例5(1)(·安徽)設(shè)i是虛數(shù)單位，eq\x\to(z)表達(dá)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).若z＝1＋i，則eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)等于()A.－2B.－2i(2)若復(fù)數(shù)z知足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為()A.－4B.－eq\f(4,5)\f(4,5)思維升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的常見類型及解題方略(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將具有虛數(shù)單位i的看做一類同類項(xiàng)，不含i的看做另一類同類項(xiàng)，別離歸并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式.(3)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題，先運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合有關(guān)概念解答.(4)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.(5)復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算.別離運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運(yùn)算，要注意運(yùn)算次序，要先算乘除，後算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)裏面的.(1)(·山東)若復(fù)數(shù)z知足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()－i＋iC.－1－iD.－1＋i(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2016＝________.(3)eq\f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2016＝________.題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例6(1)(·重慶)實(shí)部為－2，虛部為1的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)△ABC的三個(gè)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)別離為z1，z2，z3，若復(fù)數(shù)z知足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為△ABC的()A.心裏B.垂心C.重心D.外心思維升華由于復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，規(guī)定某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或用向量相等直接給出結(jié)論即可.(1)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表達(dá)復(fù)數(shù)z，則圖中表達(dá)z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()(2)已知z是復(fù)數(shù)，z＋2i、eq\f(z,2－i)均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【思想與方式】處理復(fù)數(shù)問題的實(shí)數(shù)化思想典例已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.思維點(diǎn)撥(1)x，y為共軛復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的大體形式表達(dá)出來；(2)運(yùn)用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題.溫馨提醒(1)復(fù)數(shù)問題要把握一點(diǎn)，即復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，這是處理復(fù)數(shù)問題最大體的思想方式.(2)本題求解的關(guān)鍵是先把x、y用復(fù)數(shù)的大體形式表達(dá)出來，再用待定系數(shù)法求解.這是常常運(yùn)用的數(shù)學(xué)方式.(3)本題易錯(cuò)原由于想不到運(yùn)用待定系數(shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解.【方式與技能】1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算重要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的進(jìn)程.2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的實(shí)部和虛部唯一肯定的，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的重要方式.對(duì)于一種復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，既要從整體的角度去熟悉它，把復(fù)數(shù)當(dāng)作一種整體，又要從實(shí)部、虛部的角度分解成兩部份去熟悉.3.在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對(duì)應(yīng)向量的三角形法則，其方向是應(yīng)注意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合.【失誤與防備】1.鑒定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅重視虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是不是成心義.2.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.3.注意復(fù)數(shù)的虛部是指在a＋bi(a，b∈R)中的實(shí)數(shù)b，即虛部是一種實(shí)數(shù).【鞏固練習(xí)】1.(·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值別離等于()，－2 ,2，－3 D.－1,42.設(shè)z＝eq\f(1,1＋i)＋i，則|z|等于()\f(1,2)\f(\r(2),2)\f(\r(3),2)3.(·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)若a為實(shí)數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a等于()A.－14.若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表達(dá)復(fù)數(shù)z，則表達(dá)復(fù)數(shù)eq\f(z,1＋i)的點(diǎn)是()5.(·江西)eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，若z＋eq\x\to(z)＝2，(z－eq\x\to(z))i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z等于()＋iB.－1－iC.－1＋i－i6.(·江蘇)設(shè)復(fù)數(shù)z知足z2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為________.7.若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝________.8.復(fù)數(shù)(3＋i)m－(2＋i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.9.計(jì)算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2).10.復(fù)數(shù)z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，若eq\x\to(z)1＋z2是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.【能力提高】11.復(fù)數(shù)z1，z2知足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，則λ的取值范圍是()A.[－1,1]\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，1))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)，7))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,16)，7))12.設(shè)f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n(n∈N*)，則集合{f(n)}中元素的個(gè)數(shù)為()D.無數(shù)個(gè)13.已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值為________.14.設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)z＝eq\f(a,1－i)＋eq\f(1－i,2)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＝0上，則a的值為____________.15.若1＋eq\r(2)i是有關(guān)x的實(shí)系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一種復(fù)數(shù)根，則b＝________，c＝________.【鞏固練習(xí)參照答案】1A.....\r(5)..<eq\f(2,3).9.解(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－3＋i,－i)＝－1－3i.(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)＋eq\f(1＋i,－2i)＝eq\f(1＋i,－2)＋eq\f(－1＋i,2)＝－1.(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)＝eq\f(\r(3)＋i－i,\r(3)＋i2)＝eq\f(－i,\r(3)＋i)＝eq\f(－i\r(3)－i,4)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i.10.解eq\x\to(z)1＋z2＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝eq\f(a－13,a＋5a－1)＋(a2＋2a－15)i.∵eq\x\to(z)1＋z2是實(shí)數(shù)，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2cosθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))化簡(jiǎn)得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3s