2024年成考專升本高等數(shù)學(xué)重點(diǎn)及解析匯報(bào)

高等數(shù)學(xué)（二）重點(diǎn)知識(shí)及解析Ⅰ、函數(shù)、極限一、基本初等函數(shù)(又稱簡(jiǎn)樸函數(shù))：（1）常值函數(shù)：（2）冪函數(shù)：（3）指數(shù)函數(shù)：(〉0,（4）對(duì)數(shù)函數(shù)：(〉0,（5）三角函數(shù)：，，，（6）反三角函數(shù)：，，，二、復(fù)合函數(shù)：要會(huì)判斷一種復(fù)合函數(shù)是由哪幾種簡(jiǎn)樸函數(shù)復(fù)合而成的。例如：是由，這兩個(gè)個(gè)簡(jiǎn)樸函數(shù)復(fù)合而成.例如：是由，和這三個(gè)簡(jiǎn)樸函數(shù)復(fù)合而成.該部分是背面求導(dǎo)的關(guān)鍵！三、極限的計(jì)算1、運(yùn)用函數(shù)持續(xù)性求極限（代入法）：對(duì)于一般的極限式（即非未定式），只要將代入到函數(shù)體現(xiàn)式中，函數(shù)值即是極限值，即。注意：（1）常數(shù)極限等于他自身，與自變量的變化趨勢(shì)無(wú)關(guān)，即。（2）該措施的使用前提是當(dāng)?shù)臅r(shí)候，而時(shí)則不能用此措施。例1：，，，，例2：例3：（非特殊角的三角函數(shù)值不用計(jì)算出來(lái)）2、未定式極限的運(yùn)算法（1）對(duì)于未定式：分子、分母提取公因式，然後消去公因式後，將代入後函數(shù)值即是極限值。例1：計(jì)算.………未定式，提取公因式解：原式=例2：計(jì)算.………未定式，提取公因式解：原式===（2）對(duì)于未定式：分子、分母同步除以未知量的最高次冪，然後運(yùn)用無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小的這一關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。例1：計(jì)算………未定式，分子分母同步除以n解：原式………無(wú)窮大倒數(shù)是無(wú)窮小例2：計(jì)算.………未定式，分子分母同除以解：原式==………無(wú)窮大倒數(shù)是無(wú)窮小，因此分子是0分母是23、運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小的代換求極限（1）定義：設(shè)和是同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，假如=1，稱與是等價(jià)無(wú)窮小，記作～.（2）定理：設(shè)、、、均為無(wú)窮小，又～，～，且存在則=或（3）常用的等價(jià)無(wú)窮小代換：當(dāng)時(shí)，～,～例1：當(dāng)時(shí)，～2，～例2：極限===………用2等價(jià)代換例3：極限==………用等價(jià)代換Ⅱ、一元函數(shù)的微分學(xué)一、導(dǎo)數(shù)的表達(dá)符號(hào)（1）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)記作：，或（2）函數(shù)在區(qū)間（a,b）的導(dǎo)數(shù)記作：，或二、求導(dǎo)公式（必須熟記）（1）（C為常數(shù)）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例：1、=2、3、=4、5、6、三、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算運(yùn)算公式（設(shè)U，V是有關(guān)X的函數(shù)，求解時(shí)把已知題目中的函數(shù)代入公式中的U和V即可，代入後用導(dǎo)數(shù)公式求解.）（1）（2）尤其地（為常數(shù)）（3）例1：已知函數(shù)，求.解：===例2：已知函數(shù)，求和.解：===因此=（注意：lne=1,ln1=0）例3：已知函數(shù)，求.解：===四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)1、方法一：例如求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）首先判斷該復(fù)合函數(shù)是由哪幾種簡(jiǎn)樸函數(shù)復(fù)合而成的.如由和這兩個(gè)簡(jiǎn)樸函數(shù)復(fù)合而成（2）用導(dǎo)數(shù)公式求出每個(gè)簡(jiǎn)樸函數(shù)的導(dǎo)數(shù).即=，=2（3）每個(gè)簡(jiǎn)樸函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積即為復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；注意中間變量要用原變量替代回去.∴=2=22、方法二（直接求導(dǎo)法）：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于構(gòu)成該復(fù)合函數(shù)的簡(jiǎn)樸函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積。假如對(duì)導(dǎo)數(shù)公式熟悉，對(duì)復(fù)合函數(shù)的過(guò)程清晰，可以不必寫出中間變量而直接對(duì)復(fù)合函數(shù)從外往裏求導(dǎo).例1：設(shè)函數(shù)，求.解：==·=·=例2：設(shè)函數(shù)，求.解：==·=注意：一種復(fù)合函數(shù)求幾次導(dǎo)，取決于它由幾種簡(jiǎn)樸函數(shù)復(fù)合而成。五、高階導(dǎo)數(shù)1、二階導(dǎo)數(shù)記作：，或我們把二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).2、求法：（1）二階導(dǎo)數(shù)就是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo)（2）三階導(dǎo)數(shù)就是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)求兩次導(dǎo)，對(duì)二階導(dǎo)求一次導(dǎo)例1：已知，求.解：∵=，∴=例2：已知，求.解：∵==，∴=2=4即=六、微分的求法：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（2）再乘以即可.即.例1：已知，求.解：∵====∴=例2：設(shè)函數(shù)，求.解：∵==∴=Ⅲ、二元函數(shù)的微分學(xué)一、多元函數(shù)的定義：由兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量所構(gòu)成的函數(shù)，稱為多元函數(shù)。其自變量的變化圍稱為定義域，一般記作。例如：二元函數(shù)一般記作：，二、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1、偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)措施：（1）設(shè)二元函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)域D對(duì)和對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)記為：，，；，，（2）設(shè)二元函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)和對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)記為：，，；，，；2、偏導(dǎo)數(shù)的求法（1）對(duì)求偏導(dǎo)時(shí)，只要將當(dāng)作是常量，將當(dāng)作是變量，直接對(duì)求導(dǎo)即可.（2）對(duì)求偏導(dǎo)時(shí)，只要將當(dāng)作是常量，將當(dāng)作是變量，直接對(duì)求導(dǎo)即可.假如規(guī)定函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)，只規(guī)定出上述偏導(dǎo)函數(shù)後將和代入即可.例1：已知函數(shù)，求和.解：=，=例2：已知函數(shù)， 求和.解：=，=三、全微分1、全微分公式：函數(shù)在點(diǎn)處全微分公式為：2、全微分求法：（1）、先求出兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)和.（2）、然後裔入上述公式即可.例1：設(shè)函數(shù)，求.解：∵=，=∴例2：設(shè)函數(shù)，求.解：∵=，=∴四、二階偏導(dǎo)的表達(dá)措施和求法：（1）===……兩次都對(duì)求偏導(dǎo)（2）===……先對(duì)求偏導(dǎo)，再對(duì)求偏導(dǎo)（3）====……先對(duì)求偏導(dǎo)，再對(duì)求偏導(dǎo)（4）===……兩次都對(duì)求偏導(dǎo)可見(jiàn)二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)共四種，它們都是的函數(shù)。在求二階偏導(dǎo)的時(shí)候一定要注意對(duì)變量的求導(dǎo)次序（寫在符號(hào)前面的變量先求偏導(dǎo)）.例1：設(shè)函數(shù)，求，，和.解：∵=，=得=，=，=，=例2：設(shè)函數(shù)，求，.解：∵=得=，=Ⅳ、一元函數(shù)的積分學(xué)一、原函數(shù)的定義：設(shè)是區(qū)間I上的一種可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于區(qū)間I上的任意一點(diǎn)，均有，則稱是在區(qū)間I上的一種原函數(shù).例1：，因此是的一種原函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù).由于，可見(jiàn)只要函數(shù)有一種原函數(shù)，那么他的原函數(shù)就有無(wú)窮多種.例2：設(shè)的一種原函數(shù)為，求.解：由于是的一種原函數(shù)，即=，因此===.得==（注：）二、不定積分（一）、定義：我們把的所有原函數(shù)稱為在區(qū)間I上的不定積分，記作：（其中）注意：不定積分是原函數(shù)的的全體，因此計(jì)算成果常數(shù)C勿忘?。ǘ?、不定積分的性質(zhì)〈1〉〈2〉（其中為常數(shù)）（三）、基本積分公式（和導(dǎo)數(shù)公式同樣，必須熟記）〈1〉〈2〉（k為常數(shù)）〈3〉〈4〉〈5〉〈6〉〈7〉〈8〉〈9〉例1：例2：（運(yùn)用換元法，設(shè)）又如：（四）、不定積分的計(jì)算1、直接積分法：對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形，并用積分性質(zhì)和積分公式進(jìn)行積分的措施。例1：===例2：2、湊微分法（1）合用前提：假如被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)相乘（或相除）或者被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)（一般為較為簡(jiǎn)樸的復(fù)合函數(shù)）的狀況，此時(shí)可以考慮用湊微分法。（2）湊微分法解法環(huán)節(jié)〈1〉湊微分〈2〉換元〈3〉直接積分法〈4〉反換元例1：求不定積分解：原式==……（1.湊微分）將湊成=……（2.換元）將換元成=……（3.直接積分法）求出的不定積分=……（4.反換元）再用反換元例2：求不定積分解：原式=……（1.湊微分）將湊成=……（2.換元）將換元成=……（3.直接積分法）求出的不定積分=……（4.反換元）再用反換元例3：求不定積分解：原式=……（1.湊微分）將湊成=……（2.換元）將換元成=……（3.直接積分法）求出的不定積分=……（4.反換元）再用反換元注意：湊微分時(shí)要注意湊完微分後前後變量要統(tǒng)一！假如能純熟掌握換元過(guò)程，此時(shí)就可以不必寫出中間變量，而直接進(jìn)行積分。例4：==（將湊成）例5：==（將湊成）3、分部積分法三、定積分（一）、定積分的定義：由曲邊梯形的面積引出定義公式A=（A為曲邊梯形的面積）其中為被積函數(shù)，為積分區(qū)間，為積分下限，為積分上限。用定積分所要注意的事項(xiàng)：1、由于定積分是曲邊梯形的面積，因此定積分的值一定是一種常數(shù)，因此對(duì)定積分求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值必為零。例：，2、當(dāng)a=b時(shí)，=0因定積分上限b＞a，當(dāng)b＜a時(shí)，=例：，（二）、定積分的計(jì)算1、變上限積分的計(jì)算（1）定義：積分上限為變量時(shí)的定積分稱為變上限積分，變上限積分是上限的函數(shù)，記作（2）變上限積分的導(dǎo)數(shù)：……將代入到即可例1：設(shè)，則.例2：2、牛頓—萊布尼茨公式（1）公式：假如是持續(xù)函數(shù)在上的一種原函數(shù)，則有==（2）由公式可知：持續(xù)函數(shù)在上定積分，就是的一種原函數(shù)在上的增量（上限值減下限值）。而持續(xù)函數(shù)的不定積分，就是的全體原函數(shù)（原函數(shù)背面加常數(shù)C）。