2021-2022學(xué)年江西省吉安市泰和縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年江西省吉安市泰和縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、精心選一選（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（3分）二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣2，7） B．（2，7） C．（﹣2，﹣7） D．（2，﹣7）2．（3分）從甲、乙、丙三名男生和A、B兩名女生中隨機(jī)選出一名學(xué)生參加問卷調(diào)查，則選出女生的可能性是（）A． B． C． D．3．（3分）某種植基地2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，預(yù)計2018年蔬菜產(chǎn)量達(dá)到100噸，求蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率，設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80 C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝1004．（3分）關(guān)于反比例函數(shù)y＝，下列說法中錯誤的是（）A．它的圖象分布在一、三象限 B．當(dāng)x＞0時，y的值隨x的增大而減小 C．當(dāng)x＞﹣1時，y＜﹣3 D．若點(diǎn)（a，b）在它的圖象上，則（b，a）也在圖象上5．（3分）如圖，△ABC中，BD、CE是兩條中線，則S△ADE：S△DEF＝（）A．2：1 B．4：1 C．3：1 D．5：26．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是（）A． B． C． D．二、耐心填一填（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（3分）若，則的值為．8．（3分）在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的長度為．9．（3分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接AE交對角線BD于點(diǎn)F，連接CF，若∠AED＝50°，則∠BCF＝度．10．（3分）一元二次方程x2﹣4x+2＝0的兩根為x1，x2，則x12﹣4x1+2x1x2的值為．11．（3分）如圖，A、B兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，C為x軸上任意一點(diǎn)，則△ABC的面積為．12．（3分）如圖是一張長方形紙片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E為AB上一點(diǎn)，AE＝5，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片（△AEP），使點(diǎn)P落在長方形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形AEP的底邊長是．三、細(xì)心做一做（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（6分）（1）解方程：2（x﹣1）＝x（x﹣1）；（2）計算：|﹣3|+4sin45°﹣tan60°．14．（6分）如圖，已知平行四邊形ABCD，若M，N是BD上兩點(diǎn)，且BM＝DN，AC＝2MO．求證：四邊形AMCN是矩形．15．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程的兩實根為x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．16．（6分）如圖，在所給的8×8方格紙中，每個小正方形的邊長均相等，小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．請畫出符合要求的格點(diǎn)四邊形（格點(diǎn)四邊形是指四邊形的各頂點(diǎn)均在小正形的頂點(diǎn)上）．（1）在圖1中畫出一個以AB為邊的矩形．（2）在圖2中畫出一個以AB為對角線的正方形．17．（6分）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的長．四、沉著冷靜，周密考慮（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（8分）由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務(wù)．如圖，航母由西向東航行，到達(dá)A處時，測得小島C位于它的北偏東70°方向，且與航母相距80海里，再航行一段時間后到達(dá)B處，測得小島C位于它的北偏東37°方向．如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處，求還需航行的距離BD的長．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）19．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與邊AB和邊CD的延長線交于點(diǎn)M，N，與邊AD交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)O．（1）求證：△AOM≌△CON；（2）若AB＝4，AD＝8，求AE的長．20．（8分）為助力泰和縣“四城同創(chuàng)“（全國文明城市、全國衛(wèi)生縣城、國家森林城市、省級生態(tài)園林城市）工作深入開展，某校組織志愿者進(jìn)行宣傳活動．班主任陳老師決定從4名女班干部（小悅、小惠、小艷和小倩）中通過抽簽的方式確定2名女生去參加．抽簽規(guī)則：將4名女班干部姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，陳老師先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下姓名，再從剩余的3張卡片中隨機(jī)抽取第二張，記下姓名．（1）該班男生“小剛被抽中“是事件，“小悅被抽中“是事件（填“不可能“或“必然“或“隨機(jī)“）；第一次抽取卡片“小悅被抽中”的概率為；（2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示這次抽簽所有可能的結(jié)果，并求出“小惠和小艷被同時抽中“的概率．五、開動腦筋，再接再厲（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（9分）某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)的單價是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具，（1）設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為x元，請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤w元；（2）在（1）問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價x應(yīng)定為多少元？（3）在（1）問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于45元，且商場要完成不少于480件的銷售任務(wù)，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？22．（9分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．（1）求證：△PFA∽△ABE；（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動時，設(shè)PA＝x，是否存在實數(shù)x，使以P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由．六、充滿信心，成功在望（本大題共12分）23．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于C，OA＝OC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值．

2021-2022學(xué)年江西省吉安市泰和縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、精心選一選（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（3分）二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣2，7） B．（2，7） C．（﹣2，﹣7） D．（2，﹣7）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解析式寫出即可．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+7為頂點(diǎn)式，∴圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，7）．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）是解決問題的關(guān)鍵．2．（3分）從甲、乙、丙三名男生和A、B兩名女生中隨機(jī)選出一名學(xué)生參加問卷調(diào)查，則選出女生的可能性是（）A． B． C． D．【分析】先求出學(xué)生的總數(shù)，再求出可能出現(xiàn)的情況，求出其比值即可．【解答】解：∵共有甲、乙、丙三名男生和A、B兩名女生，∴隨機(jī)選出一名學(xué)生參加問卷調(diào)查，則選出女生的可能性＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是概率公式，用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．（3分）某種植基地2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，預(yù)計2018年蔬菜產(chǎn)量達(dá)到100噸，求蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率，設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80 C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100【分析】利用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），設(shè)平均每次增長的百分率為x，根據(jù)“從80噸增加到100噸”，即可得出方程．【解答】解：由題意知，蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，根據(jù)2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，則2017年蔬菜產(chǎn)量為80（1+x）噸，2018年蔬菜產(chǎn)量為80（1+x）（1+x）噸，預(yù)計2018年蔬菜產(chǎn)量達(dá)到100噸，即：80（1+x）（1+x）＝100或80（1+x）2＝100．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用（增長率問題）．解題的關(guān)鍵在于理清題目的含義，找到2017年和2018年的產(chǎn)量的代數(shù)式，根據(jù)條件找準(zhǔn)等量關(guān)系式，列出方程．4．（3分）關(guān)于反比例函數(shù)y＝，下列說法中錯誤的是（）A．它的圖象分布在一、三象限 B．當(dāng)x＞0時，y的值隨x的增大而減小 C．當(dāng)x＞﹣1時，y＜﹣3 D．若點(diǎn)（a，b）在它的圖象上，則（b，a）也在圖象上【分析】直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)：圖象、增減性、圖象上坐標(biāo)特點(diǎn)，分別判斷得出答案．【解答】解：A．關(guān)于反比例函數(shù)y＝，它的圖象分布在一、三象限，正確，不合題意；B．關(guān)于反比例函數(shù)y＝，當(dāng)x＞0時，y的值隨x的增大而減小，正確，不合題意；C．關(guān)于反比例函數(shù)y＝，當(dāng)0＞x＞﹣1時，y＜﹣3，原說法錯誤，符合題意；D．關(guān)于反比例函數(shù)y＝，若點(diǎn)（a，b）在它的圖象上，則（b，a）也在圖象上，正確，不合題意；故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（3分）如圖，△ABC中，BD、CE是兩條中線，則S△ADE：S△DEF＝（）A．2：1 B．4：1 C．3：1 D．5：2【分析】由題意可得DE為三角形的中位線，利用中位線定理得到DE∥BC，DE＝BC，可得出△DEF∽△BCF，進(jìn)而得到面積之比，且得到S△CDE＝S△ADE，進(jìn)而求出所求．【解答】解：∵在△ABC中，兩條中線BD、CE相交于點(diǎn)F，∴DE為中位線，S△CDE＝S△ADE，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴，∵CF＝2EF，∴S△DEF＝S△DCF，∴S△DEF＝S△CDE，∴S△DEF＝S△ADE，∴S△ADE：S△DEF＝3：1．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形面積，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是（）A． B． C． D．【分析】證明△BEF∽△DAF，得出EF＝AF，EF＝AE，由矩形的對稱性得：AE＝DE，得出EF＝DE，設(shè)EF＝x，則DE＝3x，由勾股定理求出DF＝＝2x，再由三角函數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴BE＝BC＝AD，∴△BEF∽△DAF，∴＝，∴EF＝AF，∴EF＝AE，∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，由矩形的對稱性得：AE＝DE，∴EF＝DE，設(shè)EF＝x，則DE＝3x，∴DF＝＝2x，∴tan∠BDE＝＝＝；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．二、耐心填一填（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（3分）若，則的值為2.5．【分析】＝+＝+1；因為＝，直接代入計算．【解答】解：∵＝∴＝+1＝+1＝2.5．故答案為2.5．【點(diǎn)評】解答本題不僅要會通分，還要將當(dāng)做一個整體看待．8．（3分）在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的長度為1.6m．【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比列式求解即可．【解答】解：設(shè)木竿PQ長為xm，依題意得＝，解得x＝1.6，答：木竿PQ長度為1.6m，故答案為：1.6m．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，在運(yùn)用相似三角形的知識解決實際問題時，要能夠從實際問題中抽象出簡單的數(shù)學(xué)模型，然后列出相關(guān)數(shù)據(jù)的比例關(guān)系式，從而求出結(jié)論．9．（3分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接AE交對角線BD于點(diǎn)F，連接CF，若∠AED＝50°，則∠BCF＝50度．【分析】由“SAS”可證△ADF≌△CDF，可得∠DAF＝∠DCF，由三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)可求解．【解答】解：方法1：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AD∥BC，∠ADF＝∠CDF，在△ADF和△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAF＝∠DCF，∵∠AED＝50°，∴∠DAE+∠ADE＝180°﹣50°＝130°，∴∠ADE+∠DCF＝130°，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠BCD＝180°，∴∠ADE+∠BCF+∠DCF＝180°，∴∠BCF＝180°﹣130°＝50°，故答案為：50．方法2：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AB，∠CBF＝∠ABF，AB∥CD，∴∠BAE＝∠AED＝50°，在△CBF和△ABF中，，∴△CBF≌△ABF（SAS），∴∠BCF＝∠BAF＝50°，故答案為：50°．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．10．（3分）一元二次方程x2﹣4x+2＝0的兩根為x1，x2，則x12﹣4x1+2x1x2的值為2．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解可得出x12﹣4x1＝﹣2、x1x2＝2，將其代入x12﹣4x1+2x1x2中即可求出結(jié)論．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2＝0的兩根為x1、x2，∴x12﹣4x1＝﹣2，x1x2＝2，∴x12﹣4x1+2x1x2＝﹣2+2×2＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記兩根之和等于﹣、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．11．（3分）如圖，A、B兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，C為x軸上任意一點(diǎn)，則△ABC的面積為1．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，得出S△ABC＝S△ABO＝S△BOM﹣S△AOM＝2，進(jìn)而得出12|k|﹣12＝2，求解即可．【解答】解：如圖，延長BA交y軸于點(diǎn)M，連接OA，OB，∵直線AB與x軸平行，∵S△AOM＝1，S△BOM＝2，∴S△ABC＝S△ABO＝S△BOM﹣S△AOM＝2﹣1＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，k的幾何意義，理解反比例函數(shù)k的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖是一張長方形紙片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E為AB上一點(diǎn)，AE＝5，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片（△AEP），使點(diǎn)P落在長方形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形AEP的底邊長是5或4或5．【分析】分情況討論：①當(dāng)AP＝AE＝5時，則△AEP是等腰直角三角形，得出底邊PE＝AE＝5即可；②當(dāng)1PE＝AE＝5時，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出等邊AP1即可；③當(dāng)P2A＝P2E時，底邊AE＝5；即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖所示：①當(dāng)AP＝AE＝5時，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底邊PE＝AE＝5；②當(dāng)P1E＝AE＝5時，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝＝4，∴底邊AP1＝＝4；③當(dāng)P2A＝P2E時，底邊AE＝5；綜上所述：等腰三角形AEP的底邊長為5或4或5；故答案為：5或4或5．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．三、細(xì)心做一做（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（6分）（1）解方程：2（x﹣1）＝x（x﹣1）；（2）計算：|﹣3|+4sin45°﹣tan60°．【分析】（1）先移項得到2（x﹣1）﹣x（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）根據(jù)絕對值的意義和特殊角的三角函數(shù)值得到原式＝3﹣2+4×﹣×，然后進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算．【解答】解：（1）2（x﹣1）﹣x（x﹣1）＝0，（x﹣1）（2﹣x）＝0，x﹣1＝0或2﹣x＝0，所以x1＝1，x2＝2；（2）原式＝3﹣2+4×﹣×＝3﹣2+2﹣3＝0．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了實數(shù)的運(yùn)算．14．（6分）如圖，已知平行四邊形ABCD，若M，N是BD上兩點(diǎn)，且BM＝DN，AC＝2MO．求證：四邊形AMCN是矩形．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可證四邊形AMCN是平行四邊形，通過證明MN＝AC，可得結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四邊形AMCN是平行四邊形，∵M(jìn)O＝NO，∴MN＝2MO，∵AC＝2MO，∴MN＝AC，∴四邊形AMCN是矩形．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，掌握矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．15．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程的兩實根為x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．【分析】（1）要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，只要證明原來的一元二次方程的△的值大于0即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到關(guān)于m的方程，從而可以求得m的值．【解答】（1）證明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，方程的兩實根為x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，∴，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）＝7，解得，m1＝1，m2＝2，即m的值是1或2．【點(diǎn)評】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用方程的思想解答．16．（6分）如圖，在所給的8×8方格紙中，每個小正方形的邊長均相等，小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．請畫出符合要求的格點(diǎn)四邊形（格點(diǎn)四邊形是指四邊形的各頂點(diǎn)均在小正形的頂點(diǎn)上）．（1）在圖1中畫出一個以AB為邊的矩形．（2）在圖2中畫出一個以AB為對角線的正方形．【分析】（1）根據(jù)矩形的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)正方形的定義畫出圖形即可．【解答】解：（1）如圖1中，矩形ABCD即為所求；（2）如圖2中，正方形AEBF即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．17．（6分）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的長．【分析】過C作CD⊥AB于D，求出∠BCD＝∠B，推出BD＝CD，根據(jù)含30度角的直角三角形求出CD，根據(jù)勾股定理求出AD，相加即可求出答案．【解答】解：過C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的長是3+．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．四、沉著冷靜，周密考慮（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（8分）由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務(wù)．如圖，航母由西向東航行，到達(dá)A處時，測得小島C位于它的北偏東70°方向，且與航母相距80海里，再航行一段時間后到達(dá)B處，測得小島C位于它的北偏東37°方向．如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處，求還需航行的距離BD的長．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】根據(jù)題意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，在直角三角形ACD中，由三角函數(shù)得出CD＝27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．【解答】解：由題意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，在直角三角形ACD中，CD＝AC?cos∠ACD＝27.2海里，在直角三角形BCD中，BD＝CD?tan∠BCD＝20.4海里．答：還需航行的距離BD的長為20.4海里．【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，三角函數(shù)的應(yīng)用；求出CD的長度是解決問題的關(guān)鍵．19．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與邊AB和邊CD的延長線交于點(diǎn)M，N，與邊AD交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)O．（1）求證：△AOM≌△CON；（2）若AB＝4，AD＝8，求AE的長．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB∥CD，求出∠M＝∠N，AO＝CO，再根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推出即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB＝CD＝4，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝CE，再根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠M＝∠N，∵AC的垂直平分線是MN，∴AO＝CO，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS）；（2）解：連接CE，設(shè)AE＝x，則DE＝8﹣x，∵AC的垂直平分線是MN，∴AE＝CE＝x，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，∴DC＝AB＝4，∠ADC＝90°，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得：x＝5，即AE＝5．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識點(diǎn)，能熟記矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．20．（8分）為助力泰和縣“四城同創(chuàng)“（全國文明城市、全國衛(wèi)生縣城、國家森林城市、省級生態(tài)園林城市）工作深入開展，某校組織志愿者進(jìn)行宣傳活動．班主任陳老師決定從4名女班干部（小悅、小惠、小艷和小倩）中通過抽簽的方式確定2名女生去參加．抽簽規(guī)則：將4名女班干部姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，陳老師先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下姓名，再從剩余的3張卡片中隨機(jī)抽取第二張，記下姓名．（1）該班男生“小剛被抽中“是不可能事件，“小悅被抽中“是隨機(jī)事件（填“不可能“或“必然“或“隨機(jī)“）；第一次抽取卡片“小悅被抽中”的概率為；（2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示這次抽簽所有可能的結(jié)果，并求出“小惠和小艷被同時抽中“的概率．【分析】（1）根據(jù)隨機(jī)事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；（2）列舉出所有情況數(shù)，看所求的情況占總情況的多少即可．【解答】解：（1）該班男生“小剛被抽中“是不可能事件，“小悅被抽中“是隨機(jī)事件；第一次抽取卡片“小悅被抽中”的概率為，故答案為：不可能，隨機(jī)，；（2）記小悅、小惠、小艷和小倩這四位女同學(xué)分別為A、B、C、D，列表如下：ABCDA﹣﹣﹣（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）﹣﹣﹣（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）﹣﹣﹣（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）﹣﹣﹣由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中“小惠和小艷被同時抽中“的有2種結(jié)果，所以“小惠和小艷被同時抽中“的概率為＝．【點(diǎn)評】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．五、開動腦筋，再接再厲（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（9分）某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)的單價是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具，（1）設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為x元，請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤w元；（2）在（1）問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價x應(yīng)定為多少元？（3）在（1）問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于45元，且商場要完成不少于480件的銷售任務(wù)，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？【分析】（1）根據(jù)銷售量與銷售單價之間的變化關(guān)系就可以直接求出y與x之間的關(guān)系式；根據(jù)銷售問題的利潤＝售價﹣進(jìn)價就可以表示出w與x之間的關(guān)系；（2）根據(jù)題意得方程求得x1＝50，x2＝80，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)銷售單價不低于45元且商場要完成不少于480件的銷售任務(wù)求得45≤x≤52，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)45≤x≤52時，y隨x增大而增大，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000，w＝（﹣10x+1000）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）根據(jù)題意，得：﹣10x2+1300x﹣30000＝10000，解得：x1＝50，x2＝80，答：玩具銷售單價為50元或80元時，可獲得10000元銷售利潤；（3）根據(jù)題意得，解得：45≤x≤52，w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，∵a＝﹣10＜0，對稱軸x＝65，∴當(dāng)45≤x≤52時，y隨x增大而增大．∴當(dāng)x＝52時，W最大值＝10560（元），答：商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是10560元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解法的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．22．（9分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．（1）求證：△PFA∽△ABE；（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動時，設(shè)PA＝x，是否存在實數(shù)x，使以P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形也與△A