第13講-實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式與因式分解的應(yīng)用八年級數(shù)學(xué)下冊同步講義(北師大版)

第13講實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式與因式分解的應(yīng)用目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航能充分運(yùn)用因式分解和分解因式解決相關(guān)問題.知識精講知識精講知識點(diǎn)01實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式是指可以把因式分解到實(shí)數(shù)的范圍（可用無理數(shù)的形式來表示），一些式子在有理數(shù)的范圍內(nèi)無法分解因式，可是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就可以繼續(xù)分解因式．例如：x2﹣2在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，如果把數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍則可分解x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）【知識拓展1】（2021秋?楊浦區(qū)期中）下列關(guān)于x的二次三項(xiàng)式中，一定能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解的是（）A．x2﹣x﹣m B．x2﹣mx+1 C．x2+x+1 D．x2﹣mx﹣1【即學(xué)即練1】（2021春?楊浦區(qū)期末）如果二次三項(xiàng)式x2+4x+p能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，那么p取值范圍是（）A．p＞4 B．p＜4 C．p≥4 D．p≤4【即學(xué)即練2】（2021秋?徐匯區(qū)期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2x2﹣3x﹣1＝．【即學(xué)即練3】（2021秋?虹口區(qū)校級期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：3x2y2﹣2xy﹣6＝．【知識拓展2】（2021春?臨澤縣月考）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）am2﹣6ma+9a；（2）9a4﹣4b4．【即學(xué)即練1】（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x2﹣3xy﹣4y2．知識點(diǎn)02因式分解的應(yīng)用1、利用因式分解解決求值問題．2、利用因式分解解決證明問題．3、利用因式分解簡化計(jì)算問題．【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用1．因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過因式分解將多項(xiàng)式合理變形，是求代數(shù)式值的常用解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點(diǎn)，先通過因式分解將式子變形，然后再進(jìn)行整體代入．2．用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是其中的一部分．【知識拓展1】（2021秋?興山縣期末）已知a+b＝3，ab＝﹣5，則a2b+ab2＝．【即學(xué)即練1】（2021秋?開封期末）小明是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：x﹣1，a﹣b，5，x2+1，a，x+1，分別對應(yīng)下列六個字：封，愛，我，數(shù)，學(xué)，開．現(xiàn)將5a（x2﹣1）﹣5b（x2﹣1）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．我愛學(xué) B．愛開封 C．我愛開封 D．開封數(shù)學(xué)【即學(xué)即練2】（2021秋?房縣期末）已知x2+x+1＝0，則x2021+x2020+x2019+…+x+1的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【即學(xué)即練3】（2021秋?原陽縣期末）已知a，b，c是△ABC的三邊的長，且滿足2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，則△ABC的形狀為三角形．【即學(xué)即練4】（2021秋?仁懷市期末）如果一個正整數(shù)能表示成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么這個正整數(shù)就被稱為“和平數(shù)”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，所以4和12都是“和平數(shù)”．介于1到350之間的最大“和平數(shù)”是．能力拓展能力拓展1.（2022?開州區(qū)模擬）一個自然數(shù)能分解成A×B，其中A，B均為兩位數(shù)，A的十位數(shù)字比B的十位數(shù)字少1，且A，B的個位數(shù)字之和為10，則稱這個自然數(shù)為“雙十?dāng)?shù)”．例如：∵4819＝61×79，6比7小1，1+9＝10，∴4819是“雙十?dāng)?shù)”；又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4+4≠10，∴1496不是“雙十?dāng)?shù)”．（1）判斷357，836是否是“雙十?dāng)?shù)”，并說明理由；（2）自然數(shù)N＝A×B為“雙十?dāng)?shù)”，將兩位數(shù)A放在兩位數(shù)B的左邊，構(gòu)成一個新的四位數(shù)M．例如：4819＝61×79，M＝6179，若A與B的十位數(shù)字之和能被5整除，且M能被7整除，求所有滿足條件的自然數(shù)N．2．（2021秋?泗陽縣期末）我們規(guī)定：對于數(shù)對（a，b），如果滿足a+b＝ab，那么就稱數(shù)對（a，b）是“和積等數(shù)對”；如果滿足a﹣b＝ab，那么就稱數(shù)對（a，b）是“差積等數(shù)對”，例如：×3，2﹣．所以數(shù)對（，3）為“和積等數(shù)對”，數(shù)對（2，）為“差積等數(shù)對”．（1）下列數(shù)對中，“和積等數(shù)對”的是②；“差積等數(shù)對”的是①．①（﹣，﹣2），②（，﹣2），③（，2）．（2）若數(shù)對（，﹣2）是“差積等數(shù)對”，求x的值．（3）是否存在非零的有理數(shù)m，n，使數(shù)對（2m，n）是“和積等數(shù)對”，同時數(shù)對（2n，m）也是“差積等數(shù)對”，若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．3．（2021秋?公安縣期末）“幻方”最早記載于春秋時期的《大戴禮記》中，如圖1所示，每個三角形的三個頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等，現(xiàn)將﹣5，﹣3，﹣2，2，3，5，7，8填入如圖2所示的“幻方”中，部分?jǐn)?shù)據(jù)已填入，則（d﹣c）a+b的值為（）A．﹣50 B．﹣100000 C．50 D．100000分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共4小題）1．（2021?涼山州模擬）下列多項(xiàng)式中，在實(shí)數(shù)范圍不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣42．（2022?拱墅區(qū)模擬）下列多項(xiàng)式中，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能進(jìn)行因式分解的是（）A．a(chǎn)2﹣1 B．a(chǎn)2+2a+1 C．a(chǎn)2+4 D．9a2﹣6a+13．（2021秋?廣饒縣期末）如圖①，將邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形，并沿圖中的虛線剪開，拼接后得到圖②，根據(jù)圖形的面積，甲同學(xué)寫出了一個等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），乙同學(xué)也寫出了一個等式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，則（）A．甲乙都正確 B．甲乙都不正確 C．甲正確，乙不正確 D．甲不正確，乙正確4．（2021秋?定西期末）小明是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分別對應(yīng)下列六個字：西，愛，我，數(shù)，學(xué)，定．現(xiàn)將2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．我愛定西 B．愛定西 C．我愛學(xué) D．定西數(shù)學(xué)二．填空題（共4小題）5．（2021?天寧區(qū)校級一模）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：12a2﹣3b2＝．6．（2020秋?羅湖區(qū)校級月考）把多項(xiàng)式x3y﹣25xy分解因式的結(jié)果是．7．（2021秋?尋烏縣期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：4x3y﹣4xy＝．8．（2021秋?濮陽期末）若x﹣y＝2，xy＝3，則x2y﹣xy2＝．題組B能力提升練一．選擇題（共3小題）1．（2021秋?泉州期末）若實(shí)數(shù)a、b滿足a2+b2＝1，則ab+a+3b的最小值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．32．（2021秋?江油市期末）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20233．（2021秋?臥龍區(qū)校級月考）三角形的三邊長分別為a，b，c，且滿足a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，則該三角形的形狀是（）A．任意等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．任意直角三角形二．填空題（共3小題）4．（2021秋?江油市期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2x2+3x﹣4＝．5．（2021秋?交城縣期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式a4﹣64＝．6．（2021?臨沂一模）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：4a3﹣8a＝．三．解答題（共8小題）7．（2017秋?瀘縣期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將下列各式分解因式：（1）3ax2﹣6axy+3ay2；（2）x3﹣5x．8．（2017春?武威月考）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將下列各式因式分解（1）x2﹣2x+3（2）x8﹣16．9．（2016秋?南通月考）分解因式（1）a3﹣2a2+a（2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x4﹣9．10．（2021秋?石城縣期末）把代數(shù)式通過配方等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式的非負(fù)性來增加題目的已知條件，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．解：a2+6a+8＝a2+2a?3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因?yàn)椴徽搙取何值，（a+3）2總是非負(fù)數(shù)，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以當(dāng)x＝﹣3時，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）填空：x2﹣8x+＝（x﹣）2；（2）將x2﹣10x+2變形為（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a為任意實(shí)數(shù)，試比較M與N的大小，并說明理由．11．（2022春?大余縣月考）三位數(shù)可表示為100a+10b+c，若三位數(shù)abc能被n整除，將其首位數(shù)字放到末尾，得到新數(shù)能被n+1整除，再次將其首位數(shù)字放到末尾，得到新數(shù)能被n+2整除，則稱這個三位數(shù)是n的一個“派生數(shù)”（n≠1）．對任意三位數(shù)，規(guī)定P（）＝．例如，201能被3整除，012能被4整除，120能被5整除，則三位數(shù)201是3的一個“派生數(shù)”；再如324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，則三位數(shù)324是2的一個“派生數(shù)”，且P）＝＝9．（1）P（）＝，2555的一個“派生數(shù)”；（2）若三位數(shù)4xy是3的一個“派生數(shù)”，且x≠0，請求出滿足條件的所有，并求出P（）的最大值．12．（2022春?九龍坡區(qū)校級月考）對于一個三位數(shù)m，若其各個數(shù)位上的數(shù)字都不為0且互不相等．則稱這樣的數(shù)為“行知數(shù)”．將“行知數(shù)”m任意兩個數(shù)位上的數(shù)字取出組成兩位數(shù)，則一共可以得到6個兩位數(shù)．將這6個兩位數(shù)的和記為D（m）．例如，D（235）＝23+25+35+32+52+53＝220．（1）計(jì)算：D（123）；（2）求證：D（m）能被22整除；（3）記F（m）＝，例如F（235）＝＝＝10．若“行知數(shù)”n滿足個位上的數(shù)字是百位上數(shù)字的3倍，且F（n）除以7余1，請求出所有滿足條件的“行知數(shù)”n的值．13．（2022春?北碚區(qū)校級月考）如果一個自然數(shù)M能分解成p2+q，其中p與q都是兩位數(shù)，p與q的個位數(shù)字相同，十位數(shù)字之和為10，則稱數(shù)M為“方加數(shù)”，并把數(shù)M＝p2+q的過程，稱為“方加分解”，例如：236＝122+92，12與92的個位數(shù)字相同，十位數(shù)字之和等于10，所以236是“方加數(shù)”．（1）判斷212是否是“方加數(shù)”？．并說明理由；（2）把一個四位“方加數(shù)”M進(jìn)行“方加分解”，即M＝p2+q，并將p放在q的左邊組成一個新的四位數(shù)N，若N能被7整除，且N的各個數(shù)位數(shù)字之和能被3整除，求出所有滿足條件的M．14．（2021秋?川匯區(qū)期末）因式定理：對于多項(xiàng)式f（x），若f（a）＝0，則（x﹣a）是f（x）的一個因式，并且可以通過添減單項(xiàng)式從f（x）中分離出來．已知f（x）＝x3﹣5x2+（k+4）x﹣k．（1）填空：當(dāng)x＝1時，f（1）＝0，所以（x﹣1）是f（x）的一個因式．于是f（x）＝x3﹣x2﹣4x2+4x+kx﹣k＝（x﹣1）×g（x）．則g（x）＝；（2）已知關(guān)于x的方程f（x）＝0的三個根是一個等腰三角形的三邊長，求實(shí)數(shù)k的值．題組C培優(yōu)拔尖練一．填空題（共1小題）1．（2021秋?龍鳳區(qū)期末）已知a，b，c是△ABC的三邊，b2+2ab＝c2+2ac，則△ABC的形狀是．二．解答題（共12小題）2．（2017春?廬陽區(qū)校級月考）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式﹣9x4+16．3．（2017春?欽南區(qū)校級月考）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）9a4﹣4b4；（2）x2﹣2x+3．4．（2022春?渝中區(qū)校級月考）材料：對于一個四位自然數(shù)，滿足十位數(shù)字與百位數(shù)字之和等于個位數(shù)字與千位數(shù)字之和的2倍，則稱這個數(shù)為“和倍數(shù)”．若規(guī)定P（N）為千位數(shù)字的3倍與個位數(shù)字的差，Q（N）為千位數(shù)字與個位數(shù)字之和，令F（N）＝．例如：3621，∵6+2＝2×（1+3），∴3621是“和倍數(shù)”，F(xiàn)（3621）＝＝2．再比如4271，∵2+7≠2×（1+4），∴4271不是“和倍數(shù)”．（1）判斷3531，4682是否是“和倍數(shù)”，并說明理由；如果是，請計(jì)算F（N）的值；（2）若四位自然數(shù)是“和倍數(shù)”，其十位數(shù)字能被5整除，且個位數(shù)字與百位數(shù)字的和能被3整除，F(xiàn)（n）為整數(shù)，求出符合條件的n．5．（2022?渝中區(qū)校級開學(xué)）如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，且能分解成A×B，其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為8，則稱數(shù)M為“團(tuán)圓數(shù)”，并把數(shù)M分解成M＝A×B的過程，稱為“歡樂分解”．例如：∵572＝22×26，22和26的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為8，∴572是“團(tuán)圓數(shù)”．又如：∵234＝18×13，18和13的十位數(shù)字相同，但個位數(shù)字之和不等于8，∴234不是“團(tuán)圓數(shù)”．（1）最小的“團(tuán)圓數(shù)”是；（2）判斷195，621是否是“團(tuán)圓數(shù)”？并說明理由；（3）把一個“團(tuán)圓數(shù)”M進(jìn)行“歡樂分解”，即M＝A×B，A與B之和記為P（M），A與B差的絕對值記為Q（M），令G（M）＝，當(dāng)G（M）能被8整除時，求出所有滿足條件的M的值．6．（2022?九龍坡區(qū)校級開學(xué)）對于任意一個四位數(shù)m，若m滿足各數(shù)位上的數(shù)字都不為0，且千位與百位上的數(shù)字不相等，十位與個位上的數(shù)字不相等，那么稱這個數(shù)為“智慧數(shù)”．將一個“智慧數(shù)”m的任意一個數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到四個新三位數(shù)，把這四個新三位數(shù)的和與3的商記為F（m）．例如“智慧數(shù)”m＝1234，去掉千位上的數(shù)字得到234，去掉百位上的數(shù)字得到134，去掉十位上的數(shù)字得到124，去掉個位上的數(shù)字得到123．這四個新三位數(shù)的和為234+134+124+123＝615，615÷3＝205，所以F（1234）＝205．（1）計(jì)算：F（2131）＝；F（5876）＝；（2）若“智想數(shù)”n＝7800+10x+y（1≤x≤5，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），F(xiàn)（n）也是“智慧數(shù)”，且F（n）能被12整除，求滿足條件的n的值．7．（2022?九龍坡區(qū)校級開學(xué)）對任意一個四位正整數(shù)m，如果m的百位數(shù)字等于個位數(shù)字與十位數(shù)字之和，m的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個位數(shù)字之和，那么稱這個數(shù)m為“筋斗數(shù)”．例如：m＝5321，滿足1+2＝3，2×2+1＝5，所以5321是“筋斗數(shù)”．例如：m＝8523，滿足2+3＝5，但2×2+3＝7≠8，所以8523不是“筋斗數(shù)”．（1）判斷5413和9582是不是“筋斗數(shù)”，并說明理由；（2）若m是“筋斗數(shù)”，且m與25的和能被11整除，求滿足條件的所有“筋斗數(shù)”m．8．（2017秋?洛江區(qū)期中）閱讀理解題：定義：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么形如a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫這個復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．（1）填空：i3＝，2i4＝；（2）計(jì)算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；（3）若兩個復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y為實(shí)數(shù)），求x，y的值．（4）試一試：請你參照i2＝﹣1這一知識點(diǎn)，將m2+25（m為實(shí)數(shù)）因式分解成兩個復(fù)數(shù)的積．9．（2021?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）閱讀理解：若一個三位數(shù)m＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，且abc均為整數(shù)），a+b﹣c＝6，則稱這個三位數(shù)m為“牛數(shù)”．比如：341，3+4﹣1＝6，則341為“牛數(shù)”．將三位數(shù)m的個位與百位交換位置得到新的三位數(shù)記為m′，并記F（m）＝m+m′，G（m）＝．（1）判斷453是否為“牛數(shù)”，并說明理由；（2）已知m為“牛數(shù)”，當(dāng)F（m）能被12整除時，求G（m）的最大值．10．（2021?潼南區(qū)一模）閱讀理解：材料1：一個四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x，十位上和個位上的數(shù)字之和為y，如果x＝y(tǒng)，那么稱這個四位數(shù)為“和平數(shù)”，例如：2534，x＝2+5，y＝3+4，因?yàn)閤＝y(tǒng)，所以2534是“和平數(shù)”．材料2：若一個四位數(shù)滿足個位和百位相同，十位和千位相同，我們稱這個數(shù)為“雙子數(shù)”．將“雙子數(shù)”m的百位和千位上的數(shù)字交換位置，個位和十位上的數(shù)字也交換位置，得到一個新的“雙子數(shù)”m′，記F（m）＝為“雙子數(shù)”的“雙11數(shù)”例如：m＝3232，m′＝2323則F（m）＝＝10．請你利用以上兩個材料，解答下列問題：（1）直接寫出：最小的“和平數(shù)”是，最大的“和平數(shù)”．（2）若S是“和平數(shù)”，它的個位數(shù)字是千位數(shù)字的2倍，且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和是14的倍數(shù)，求滿足條件的所有S的值．（3）已知兩個“雙子數(shù)”p、q，其中p＝，q＝（其中1≤a＜b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d且a、b、c、d都為整數(shù)），若p的“雙11數(shù)”F（p）能被17整除，且p、q的“雙11數(shù)”滿足F（p）+2F（q）﹣（4a+3b+2d+c）＝0，求滿足條件的p、q．11．（2021春?銅梁區(qū)期末）一個四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x，十位上和個位上的數(shù)字之和為y，如果x＝y(tǒng)，那么稱這個四位數(shù)為“和平數(shù)”．例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因?yàn)閤＝y(tǒng)，所以1423是“和平數(shù)”．（1）請判斷：2561（填“是”或“不是”）“和