超幾何分布 (典型題型歸類訓(xùn)練)解析版-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練

專題02超幾何分布(典型題型歸類訓(xùn)練)

一、必備秘籍

1、超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取〃件(不放回)，用X表

示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

P(X=k)=/N-Mk=m,m+l,m+2,---r

C"N

其中"，N,MwN*，M<N,n<N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},則稱隨機變

量X服從超幾何分布.

2、公式P(X=k尸M中個字母的含義

CN

N一總體中的個體總數(shù)

M一總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))

n一樣本容量

友一樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))

注意：

(1)“由較明顯的兩部分組成”：如“男生、女生”，“正品、次品”；

(2)不放回抽樣；

(3)注意分布列的表達式中，各個字母的含義及隨機變量的取值范圍.

二、典型題型

題型一：超幾何分布的概率問題

1.(2024上?浙江湖州?高三統(tǒng)考期末)杭州第19屆亞運會，是繼1990年北京亞運會、2010年廣州亞運會

之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.2023年9月23日，杭州亞運會開幕式隆重舉行.

某電商平臺亞運周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當(dāng)晚7點前登錄該直播間的前N名觀眾設(shè)置了兩輪"慶亞運、

送吉祥物”的抽獎活動.每輪抽獎都是由系統(tǒng)獨立、隨機地從這N名觀眾中抽取15名幸運觀眾，抽中者平臺

會有亞運吉祥物玩偶贈送.而直播時這N名觀眾始終在線，記兩次抽獎中被抽中的幸運觀眾總?cè)藬?shù)為X(幸

運觀眾總?cè)藬?shù)不重復(fù)計數(shù)，例如若某幸運觀眾兩次都被抽中，但只記為1人).

(1)已知小杭是這前N名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為q，求N的值;

(2)當(dāng)尸(X=20)取到最大值時，求N的值.

【答案】⑴45

（2）22

【分析】⑴記"小杭被抽中"為事件A,"小杭第i次被抽中"為事件4（，=1,2）,可知/=44+4彳+彳4,

利用獨立事件的概率公式可得出關(guān)于N的等式，解之即可；

「5plO

(2)求得尸(X=20)=LN—15^15，解不等式嗎21,解出N的取值范圍，即可得解.

aN

【詳解】（1）解：記"小杭被抽中"為事件A,"小杭第i次被抽中〃為事件4。=1，2）.

尸⑷=尸（44）+尸（/）+哂4）=[2+停產(chǎn)121,

整理可得N2—54N+405=0，即（N-9）（N-45）=0,

又因為N加5且NeN*,解得N=45.

（2）解："X=20"表示第一次在N個人中抽取15個，

第二次抽取的15個人中，有5人在第一次抽取的15人以外，另外的10個人在第一次抽取的15人中，

「1505010-5-10-5010

尸3=20）=寫*=書里，記心=今"，

8=或衛(wèi)>（N-14）!N!15!.（N」4）!5!-（7V-20）!_（jV-14）2

aN%CL5!（N-19）!15!.（NT5）!（N+1）!（#-15）!一（N+1）（N-19）-'

解得N421.5,又NeN*,所以N=22時，P（X=20）取最大值.

2.（2023?上海普陀?統(tǒng)考一模）我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動力人口在不斷減少，"延遲退休"已成

為公眾關(guān)注的熱點話題之一,為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某研究機構(gòu)對屬地所在的一社區(qū)進行了調(diào)

查，并將隨機抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.

女男

67789278

123358323344567

01368994023344589

2385234578

24604

⑴經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；

（2）經(jīng)統(tǒng)計年齡在[50,59）的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機選

取男女各2人進行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）

【答案】⑴44.5

【分析】（1）求出指數(shù)，再根據(jù)百分位數(shù)的求法即可;

（2）利用組合公式結(jié)合古典概型即可得到答案.

【詳解】（1）由條件得，指數(shù)i=50x60%=30,

則這50人年齡的第60百分位數(shù)是將他們的年齡按從小到大的順序排列后的第30人與第31人的年齡平均

值，

由莖葉圖可知，第30人的年齡為44,第31人的年齡為45,

則所求的第60百分位數(shù)是44.5.

（2）由莖葉圖可知，年齡在［50,59）的被調(diào)查者共9人，其中6名男性，3名女性，

令A(yù)為至少有三人投贊成票，依題意得，

￡

被選中的4人中有兩名女性一名男性投贊成票的概率是

C25

被選中的4人中有一名女性兩名男性投贊成票的概率是窄手=2，

C6c313

被選中的4人中有兩名女性兩名男性投贊成票的概率是盥,

C215

則被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率為=12++1=2

3.（2023?全國?高二課堂例題）某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動.袋中裝有18個除顏色外其余均相

同的小球，其中8個是紅球，10個是白球.抽獎?wù)邚闹幸淮纬槌?個小球，抽到3個紅球得一等獎，抽到

2個紅球得二等獎，抽到1個紅球得三等獎，抽到0個紅球不得獎.求得一等獎、二等獎和三等獎的概率.

【答案】得一等獎的概率約為0.0686,得二等獎的概率約為0.3431,得三等獎的概率約為0.4412.

【分析】由題意，用X表示抽到的紅球數(shù)，則不~〃（18,8,3）,根據(jù)超幾何分布的概率公式得解.

【詳解】解：從18個小球中抽取3個時，有C。種等可能的結(jié)果，用X表示抽到的紅球數(shù)，

則》~8（18,8,3）,則

尸（得一等獎）=尸0=3）=」^=——?0.0686.

C18816

lbOR0

尸（得二等獎）=P（X=2）=^^=-?0.3431.

8o10

P（得三等獎）=P（X=l）=g1h=瞿Q0.4412.

C18816

因此，得一等獎的概率約為0.0686,得二等獎的概率約為0.3431,得三等獎的概率約為0.4412.

4.（2022上?上海虹口?高二華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谀┠撑a(chǎn)品的次品率為2%,現(xiàn)從中任

意地依次抽出3件進行檢驗.

⑴當(dāng)"=500,“=5000,"=50000,若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

（2）當(dāng)“=500,M=5000,n=50000,若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

⑶（1）、（2）分別對應(yīng)哪種分布，并結(jié)合（1）（2）探究兩種分布之間的聯(lián)系.

【答案】(1)0.057624；

(2)見解析；

⑶見解析.

【分析】(1)當(dāng)“=500時，如果放回，是二項分布，計算概率值；

(2)如果不放回，是超幾何分布，分別計算概率值；

(3)對超幾何分布與二項分布關(guān)系的認(rèn)識從共同點、不同點和聯(lián)系三個方面進行說明.

【詳解】(1)若以有回放的方式抽取，每次抽取時都是從這〃件產(chǎn)品中抽取，從而抽到次品的概率都為0.02,

可以把3次抽取看成是3次獨立重復(fù)試驗，這樣抽到的次品數(shù)X?8(3,0.02),

恰好抽到1件次品的概率為尸(X=l)=C；x0.02x(l-0.02『=3x0.02x0.982=0.057624.

(2)若以不回放的方式抽取，抽到的次品數(shù)X是隨機變量，X服從超幾何分布，X的分布與產(chǎn)品的總數(shù)〃

有關(guān)，

所以需要分3種情況分別計算：

①〃=500時，產(chǎn)品的總數(shù)為500件，其中次品的件數(shù)為500x2%=10件，合格品的件數(shù)為490件，

490x489

從500件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為尸(X=1)=—的=500x4/^499°-057853-

3x2x1

②“=5000時，產(chǎn)品的總數(shù)為5000件，其中次品的件數(shù)為5000x2%=100件，合格品的件數(shù)為4900件,

從5000件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為

尸(X=l)=0.057647.

5000x4999x4998

3x2x1

③“=50000時，產(chǎn)品的總數(shù)為50000件，其中次品的件數(shù)為50000x2%=1000件，合格品的件數(shù)為49000

件，

從50000件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為

49000x48999

尸(X=I)=C1000。49000

50000x49999x49998

3x2x1

(3)對超幾何分布與二項分布關(guān)系的認(rèn)識：

共同點：每次試驗只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗.

不同點：

1、超幾何分布是不放回抽取，二項分布是放回抽??；

2、超幾何分布需要知道總體的容量，二項分布不需要知道總體容量，但需要知道"成功率";

聯(lián)系：當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時，超幾何分布近似于二項分布.

題型二：利用超幾何分布求分布列、期望和方差

1.（2024上?山東德州?高二統(tǒng)考期末）為落實"雙減"政策，提升課后服務(wù)水平，某小學(xué)計劃實行課后看護

工作.現(xiàn)隨機抽取該小學(xué)三年級的8個班級并調(diào)查需要課后看護的學(xué)生人數(shù)，分布如下：

班級代號12345678

需看護學(xué)生人數(shù)2022273025233221

⑴若將上述表格中人數(shù)低于25人的班級兩兩組合進行看護，求班級代號為1、2的兩個班合班看護的概率;

（2）從已抽取的8個班級中隨機抽取3個班，記3個班中需要課后看護的學(xué)生人數(shù)低于25人的班級數(shù)為X,

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴；

3

（2）分布列見解析，E（X）=,

【分析】（1）求出將人數(shù)少于25人的4個班兩兩組合進行課后看護的不同組合方法種數(shù)，結(jié)合古典概型的

概率公式可求得所求事件的概率；

（2）分析可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2、3,計算出隨機變量X在不同取值下的概率，可得出

隨機變量X的分布列，進而可求得E（X）的值.

【詳解】（1）解：若將表中人數(shù)少于25人的4個班兩兩組合進行課后看護，

￡1=3種不同的方法，其中班級代號為1、2的兩個班合班看護共1種方法.

A2

記A表示事件"班級代號為1、2的兩個班合班看護"，則其概率P（/）=；.

（2）解：隨機變量X的可能取值為0、1、2、3,

C2cl

尸243

可得P（X=0）=屋=色=1_(X=1)=*

56-14567

P(X=2)=皆243P（X=3）=旨1

55675614

則X的分布列為:

X0123

1331

P

147714

1Q313

所以數(shù)學(xué)期望為E(X)=0xq+lx,+2x,+3xq=5.

2.（2024上?廣東潮州?高三統(tǒng)考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，

首期共有70個攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又

一里程碑.為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機對100名游客進行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名

游客的評分分別落在區(qū)間[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]內(nèi)，統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直方圖所

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值(同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代表)；

(2)為了進一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組[50,60),[60,70),

[80,90)的游客中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于[80,90)的人數(shù)J的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)74

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計算方法計算即可；

(2)先由題意得到隨機變量J的取值，并分別計算相應(yīng)的概率，然后列出分布列，并按期望公式計算即可.

【詳解】(1)根據(jù)頻率分布直方圖得：

x=(55x0.01+65x0.02+75x0.045+85x0.02+95x0.005)x10=74.

(2)由題意可知[50,60),[60,70)和[80,90)的頻率之比為：1:2:2,

故抽取的10人中[50,60),[60,70)和[80,90)分別為:2人,4人,4人,

隨機變量J的取值可以為0,1,2,3,

C31c2cl1

P4=0)=沙尸C=1)=音

jo°Jo2

C1C23C31

尸C=2)=^y^=—,PC=3)=d=—

10Co30

故J的分布列為:

自0123

31

P

671030

所以EC)=0XL1XL+2X』+3X‘=9.

6210305

3.(2024上?廣東揭陽?高三統(tǒng)考期末)為增強學(xué)生體質(zhì)，某校高一(1)班組織全班同學(xué)參加限時投籃活動,

記錄他們在規(guī)定時間內(nèi)的進球個數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成[6,10),[10,14),[14,18),[18,22),[22,26]這5組,

并得到如下頻率分布直方圖：

［頻率/組即

0號.08r.......口.

°,02)^^1

0^610141?2226

⑴估計全班同學(xué)的平均進球個數(shù).(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

(2)現(xiàn)按比例分配的分層隨機抽樣方法，從進球個數(shù)在［10,14),［14,18),［22,26］內(nèi)的同學(xué)中抽取8人進行培

訓(xùn)，再從中抽取3人做進一步培訓(xùn).

(i)記這3人中進球個數(shù)在［14,18)的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ii)已知抽取的這3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率.

【答案】⑴17.12

34

(2)(i)分布列見解析，-；(ii)—

【分析】(工)每一組的中點值乘以對應(yīng)的頻率即可得到平均值；

(2)由頻率比得到各小組內(nèi)的人數(shù)，再利用超幾何分布得到X的分布列與數(shù)學(xué)期望，即可得到(i)的答

案；又利用條件概率即可得到(ii)的答案.

【詳解】(1)該班同學(xué)的平均進球個數(shù)：

x=8x0.02x4+12x0.04x4+16x0.08x4+20x0.07x4+24x0.04x4=17.12.

(2)由題意可知進球個數(shù)在口0,14),［14,18),［22,26］內(nèi)的頻率分別為0.16,0.32,0.16,

頻率比為0.16:0.32:0.16=1:2:1；

所以抽取的8人中，進球個數(shù)在［10,1中，［14,18),［22,26］內(nèi)的人數(shù)分別為2,4,2.

(i)由題意可知，X=0,1,2,3,

C313

所以尸(x=o)=m=—,尸(x=i)=T^=—,

c；14C；7

C2cl3C31

P(X=2)=^^=-f尸(X=3)=W=2，

C；7C；14

所以X的分布列為

X0123

1331

p

147714

13313

所以E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=一.

1477142

(ii)記事件4="抽取的3人的進球個數(shù)不全在同一區(qū)間",

事件2="抽取的這3人的進球個數(shù)在不同區(qū)間",

則尸(N)=晨130Ki2

—,P(AB)=2=-

14Cj7

2

P(AB)4

所以尸(同/)=7

P⑷1313

14

4

即這3個人的進球個數(shù)在不同區(qū)間的概率為廣.

13

4.(2023上?河南南陽?高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí))假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購物者，某電子商務(wù)公司

對該地區(qū)〃名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度上半年前6個月內(nèi)的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都

在區(qū)間［0.5,1.1］內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a,b,c,d滿足

d=c+Q.5=b+］=a+1.5,且從左到右6個小矩形依次對應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400.

(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，

①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；

②在前2組所抽取的人中，再隨機抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列與

數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)。=1.5,6=2,c=2.5,d=3

(2)①各組應(yīng)該抽取的人數(shù)分別為3,4,5,6；②分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為。

【分析】(1)結(jié)合題意及頻數(shù)與頻率，頻率之和為1等知識建立方程組，計算即可；

(2)根據(jù)分層抽樣的定義即可求得各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；根據(jù)古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)可求得分布列,

進一步求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為0.8x0」=0.08,又因為第五小組的頻數(shù)為2400,

所以樣本容量九=----=30000.

0.08

因為第六小組的頻率為0.2x0.1=0.02,所以第六小組的頻數(shù)是30000x0.02=600.

由頻率之和為1,得(。+6+。+4/+0.8+0.2)*0.1=1,所以a+6+c+d=9.

因為頻率分布直方圖中的Q,4<d滿足d=c+0.5=b+l=a+1.5,

所以6=Q+0.5,c=〃+l,d=Q+1.5.

所以彳弋a(chǎn)+b+c+d—9中，,1^。+。+0.5+。+1+。+1.5=9,

得4〃+3=9,解得a=l.5.所以b=2,c=2.5,d=3.

(2)①因為前4組的頻率之比為a:6:c:d=1.5:225:3=3:4:5:6,

且現(xiàn)從前4組中選出18人進行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，

所以在[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9)應(yīng)該抽取的人數(shù)分別是

18x--------------=3,18x---------------=4,18x---------------=5,18x---------------=6.

3+4+5+63+4+5+63+4+5+63+4+5+6

②由題意，隨機變量X的所有可能取值是(M,2,3.貝I」

故隨機變量X的分布列為

X0123

418121

P

35353535

41R1?1Q

故隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=0x至+lx至+2、至+3義后=亍

5.（2023上?甘肅白銀?高三甘肅聯(lián)考階段練習(xí)）某商家2023年1月至7月A商品的月

銷售量的數(shù)據(jù)如下圖所示，若月份X與A商品的月銷售量y存在線性關(guān)系.

⑴求月份x與A商品的月銷售量V的回歸直線方程；

（2）若規(guī)定月銷售量大于35的月份為合格月，在合格月中月銷售量低于50的視為良好，記5分，月銷售量

不低于50的視為優(yōu)秀，記10分，從合格月中任取3個月，用X表示賦分之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

￡x,?一“盯?

參考公式：回歸直線方程f=八+&,其中力=3-宸花=三---------,^x,.Z.=l344,y=43.

之x；-nx2Z=1

J=I

【答案】⑴夕=5x+23

⑵分布列見解析，E（X）=21

7

【分析】（1）由題意先分別算出元=4,2=140,結(jié)合已知參數(shù)即可算出5=5，a=23,從而即可得

1=1

解.

（2）合格月有5個，其中記為5分的月份有3個，記為10分的月份有2個，由超幾何分布的概率公式即

可求出分布列，進一步得出數(shù)學(xué)期望.

17

【詳解】（［）于=—（1+2+3+4+5+6+7）=4,3=43,￡西弘=1344,

7i=i

7

22222222

^xz=1+2+3+4+5+6+7=140,

z=i

「1344-7x4x43「、

所以6=-----------=5,a=v-b?-x=43-5x4=23,

140-7x4?-

所以，=5x+23.

（2）由題可知，合格月有5個，其中記為5分的月份有3個，記為10分的月份有2個，

所以*X=15）=卜1=1aRX=2。）=專aX=2$冶ClC23

所以X的分布列為

X152025

133

P

10510

1?3

數(shù)學(xué)期望￡（X）=15xm+20x1+25x歷=21.

三、專項訓(xùn)練

1.（2024上?湖南常德?高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）火車晚點是人們在旅行過程中最常見的問題之一，

針對這個問題，許多人都會打電話進行投訴.某市火車站為了解每年火車的正點率x%對每年顧客投訴次數(shù)V

（單位：次）的影響，對近8年（2015年~2022年）每年火車正點率X%和每年顧客投訴次數(shù)V的數(shù)據(jù)作了

初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.

8888

儲Sz￡（王-可2

1=1i=li=lZ=1

60059243837.293.8

⑴求》關(guān)于尤的經(jīng)驗回歸方程；若預(yù)計2024年火車的正點率為84%,試估算2024年顧客對火車站投訴的

次數(shù)；

（2）根據(jù)顧客對火車站投訴的次數(shù)等標(biāo)準(zhǔn)，該火車站這8年中有6年被評為“優(yōu)秀"，2年為"良好"，若從這8

年中隨機抽取3年，記其中評價“良好"的年數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：經(jīng)驗回歸直線》=涼+。的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：

.2陽?一〃孫

b=^--------------,a=y-bx

Z=1

【答案】⑴9=3+524,20次；

3

(2)分布列見解析，E(X)=-.

4

【分析】(1)應(yīng)用最小二乘法求回歸直線，再代入x=84估算2024年顧客對火車站投訴的次數(shù);

(2)根據(jù)題意寫出X的可能取值，應(yīng)用超幾何概率公式求對應(yīng)概率，即得分布列，進而求期望.

n__

Vx.y.-nxy

…不,、4日寸幾一600?_592.nit￡￡''43837.2-8x75x74

【詳解】(1)由題設(shè)％=丁=75,y=—=74,貝!Jb=-^---------=-------——-------=一

oo(—\293.0

7)

Z=1

所以2=57-宸=74+6x75=524,所以，=-6x+524；

當(dāng)x=84時，代入？=-6x+524,得到y(tǒng)=20,

所以2024年顧客對該市火車站投訴的次數(shù)約為20次.

(2)由題意，X服從超幾何分布，可取0,1,2,

C°C35Cd15C2cl3

P(X=0)=,=五，P(x=l)=h=p(x=2)=,=*

X012

5153

P

142828

51533

BfW^m=0x—+lx—+2x—=-

1428284

2.(2023?陜西西安?統(tǒng)考一模)為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對

照組(不加藥物)和實驗組(加藥物).

⑴設(shè)其中兩只小鼠中在對照組中小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)測得40只小鼠體重如下(單位：g)：(已按從小到大排好)

對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)加，并完成下面2x2列聯(lián)表:

<23.4>23,4合計

對照組

實驗組

合計

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.

n^ad-bc)'

其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

2

P(K>k0)0.100.050.010

ko2.7063.8416.635

【答案】⑴分布列見解析，期望為1

(2)(i)m=23.4,2x2列聯(lián)表見解析；(ii)有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用

【分析】(1)根據(jù)超幾何分布求分布列，進而可得期望;

(2)(i)直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)計算中位數(shù)及填寫二聯(lián)表即可；(ii)利用卡方公式及對照表計算即可.

【詳解】(1)依題意，X的可能取值為(M,2,

尸(X=l)=^^4,尸(X=2)=C^pC；19

貝ijP(X=0)=

C403’C；78

所以X的分布列為:

X012

192019

P

783978

192019

故E(X)=0x——+lx——+2x——=l.

783978

「234,

(2)(i)由所給數(shù)據(jù)可知40只小鼠體重的中位數(shù)為機=

填二聯(lián)表如下:

<23.4>23.4合計

對照組61420

實驗組14620

合計202040

(ii)已三上表及一三方公式可知：

n(ad-bc)2=40x(62-14。

=6.4>3.841

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)20x20x20x20

所以有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.

3.（2023上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高二海拉爾第二中學(xué)?？计谀┮阎凶觾?nèi)有大小相同的10個球，其中紅球

2

有小個，已知從盒子中任取2個球都是紅球的概率為石.

（1）求俄的值；

⑵現(xiàn)從盒子中任取3個球，記取出的球中紅球的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）4

⑵分布列見解析，j

【分析】（1）結(jié)合組合知識利用古典概型概率公式列方程求解即可；

（2）由題意得到隨機變量X的取值為0,1,2,3,分別求出概率，寫出分布列，求出X的數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）已知盒子內(nèi)有大小相同的10個球，其中紅球有加個，

因為從盒子中任取2個球都是紅球的概率為尚，所以,=於，所以C：=6,

所以加2一冽-12=0，解得加=4或冽=一3（舍去）；

（2）由題意X可能的取值為0,1,2,3,

C31clc21C2cl

則尸(x=0)=*=[P(X=1)=*pP(X=2)=*cl=j_

2)=C3；30

jo°jo。10

故X的分布列為:

X0123

￡31

P

6~21030

所以X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=gxO+gxl+\x2+\x3=g

4.（2023?全國?模擬預(yù)測）為落實節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使用壽命進行調(diào)

查統(tǒng)計，隨機抽取A型和3型設(shè)備各100臺，得到如下頻率分布直方圖.

⑴將使用壽命

超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值c=0.001的獨立性檢驗，判

斷使用壽命是否超過2500小時與型號有沒有關(guān)聯(lián)，說明理由.

使用壽命

型號合計

超過2500小時不超過2500小時

A型

B型

合計

（2）用分層抽樣的方法從使用壽命不超過2500小時的A型和8型設(shè)備中共抽取16臺，再從這16臺設(shè)備中隨機

抽取2臺，設(shè)其中A型設(shè)備有X臺，求X的分布列和￡（》2）.

⑶現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設(shè)備同時工作2500小時才能完成，工作期間若設(shè)備損壞，則立即更換同型

號設(shè)備（更換設(shè)備的時間忽略不計）.A型和8型設(shè)備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和3型設(shè)

備每臺每小時分別耗電2度（1度=1千瓦時）和6度，電價為0.75元/度.用頻率估計概率，只考慮設(shè)備的成

本和電費，你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種型號的設(shè)備？說明理由.

n(ad-bc\廿上,,

附：/=7-----rr-i~77——------r，其中〃=a+b+c+d.

(a+6)(c+(a+c)(b+(/)

尸年次）0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

【答案】⑴列聯(lián)表見解析；使用壽命是否超過2500小時與型號無關(guān)，理由見解析

（2）分布列見解析；￡（產(chǎn)）=1

⑶應(yīng)選擇A型設(shè)備，理由見解析

【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖可計算得到列聯(lián)表所需數(shù)據(jù)，由此可得力2。8.333<10.828,根據(jù)獨立性

檢驗的思想可得結(jié)論；

（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定抽取的48型設(shè)備的臺數(shù)，進而確定X的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可

求得X每個取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式可求得期望值；

（3）估算出需更換的42型設(shè)備的數(shù)量，從而計算出使用48型設(shè)備的總費用，比較費用大小即可得到結(jié)

論.

【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可補全列聯(lián)表如下:

使用壽命

型號合計

超過2500小時不超過2500小時

A型7030100

B型5050100

合計12080200

提出零假設(shè)：使用壽命是否超過2500小時與型號無關(guān),

2_200x(70x50-30x50)"

Y--------------------------------------~8.333<10,828，

100x100x120x80

根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷〃。不成立,

,?.可以認(rèn)為“°成立，即使用壽命是否超過2500小時與型號無關(guān).

⑵由分層抽樣定義知：抽取的A型設(shè)備有瓦蜷于6臺，抽取的3型設(shè)備有叵篙=1。臺，則X

所有可能的取值為0』,2,

???尸4。）=導(dǎo)言j尸"）=警假4W）卷喧4

J-1

入—1.

8

（3）由頻率分布直方圖中的頻率估計概率知:

A型設(shè)備每臺更換的概率為0.3,，10臺A型設(shè)備估計要更換3臺;

B型設(shè)備每臺更換的概率為0.5,10臺3型設(shè)備估計要更換5臺.

則選擇4型設(shè)備的總費用%=（10+3*1+10乂2乂0.75乂2500乂10"=16.75（萬元）；

選擇8型設(shè)備的總費用%=(10+5)x0.6+10x6x0.75x2500x107=20.25(萬元),

:20.25>16.75,.?.應(yīng)選擇A型設(shè)備.

5.（2023?全國?高二課堂例題）一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨

機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù).

⑴分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；

⑵分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例,求誤差不超過0.1的概率:

【答案】⑴答案見解析

⑵答案見解析

【分析】（1）由題意，摸出20個球，采用有放回摸球，各次試驗的結(jié)果相互獨立，X~2（20,0.4）；采用

不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，X服從超幾何分布，可寫出分布列.

(2)利用統(tǒng)計軟件可以計算出兩個分布列具體的概率值，進而可算得尸(區(qū)。-0.4歸0.1)=尸(6WXW10),進

行比較可判斷.

【詳解】(1)對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為04且各次試驗之間的結(jié)果是獨立的，因此

X~3(20,0.4),X的分布列為：

kA20k

pik=P{X=k)=C10x0.4xQ.6,k=0,1,2,20.

E(X)="0=20x0.4=8.

對于不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，X服從超幾何分布，X的分布列為：

C

P2=p(x=k)=fo°>k=0,1,2,20.

kjoo

(2)利用統(tǒng)計軟件可以計算出兩個分布列具體的概率值(精確到0.0001),如下表所示.

kPikP2kkPikP2k

00.000040.00001110.070990.06376

10.000490.00015120.035500.02667

20.003090.00135130.014560.00867

30.012350.00714140.004850.00217

40.034990.02551150.001290.00041

50.074650.06530160.000270.00006

60.124410.12422170.000040.00001

70.165880.17972180.000000.00000

80.179710.20078190.000000.00000

90.159740.17483200.000000.00000

100.117140.11924

樣本中黃球的比例上。=會V是一個隨機變量，根據(jù)上表，計算得

有放回摸球：

P(|/io-O.4|<O.l)=F(6<X<10)?0.7469.

不放回摸球：尸(伉°-0.4區(qū)0.1)=P(64X<10)?0.7988.

因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些.

兩種摸球方式下，隨機變量X分別服從二項分布和超幾何分布.雖然這兩種分布有相等的均值（都是8）,

但從兩種分布的概率分布圖（下圖）看，超幾何分布更集中在均值附近.

6.（2022上?上海嘉定?高二校考期中）已知共15張卡牌由5張紅卡、10張其它顏色卡組成，混合后分3

輪發(fā)出，每輪隨機發(fā)出5張卡.

⑴求事件"第1輪無紅色卡牌”的概率Pi;

（2）求事件"第1輪有至少3張紅色卡牌"的概率°?；

⑶求事件"每輪均有紅色卡牌"的概率。3.

【答案】（1）苗12;

（嚙

【分析】（1）應(yīng)用組合數(shù)，結(jié)合古典概型的概率求法求0;

（2）應(yīng)用組合數(shù)，結(jié)合互斥事件的加法公式求。2；

（3）討論第一輪有紅牌1、2、3張，對應(yīng)第二輪出現(xiàn)紅牌可能張數(shù)的概率和，即可求

【詳解】（1）由題意，"第1輪無紅色卡牌"的概率0=夢=圣.

（2）由題意，"第1輪有至少3張紅色卡牌"的概率2=。?。+Cf；°+C/=舄.

5J.UU1

（3）要使每輪都有紅色卡牌，有如下情況：

第一輪抽到1張紅牌，則第二輪紅牌有1張、2張、3張，

C*c4c'c4+C2C3+C3C250201000

此時每輪都有紅牌的概率為:巫?46點$46=/，

1]5Go143213UU3

第一輪抽到2張紅牌，則第二輪紅牌有1張、2張，

此時每輪都有紅牌的概率為衿?堂產(chǎn)=焉、"黑，

C15C101UU1o3UU3

第一輪抽到3張紅牌，則第二輪紅牌有1張,

3*24

此時每輪都有紅牌的概率為c廿c?C皆C=?2sn,

綜上，3輪中"每輪均有紅色卡牌”的概率03=湍750

7.（2022?北京?景山學(xué)校?？寄M預(yù)測）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的"世界讀書日為了解某地

區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高一學(xué)生進行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)

生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,10],（10,12],（12,14],

（14,16],（16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

of

0.15

a

O5

OS.O4

O3

OS.O2

O1

O.

024681012141618日平均閱讀時間/小時

⑴從這500名學(xué)生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在（10,12]內(nèi)的概率；

（2）為進一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在

（12,14],（14,16],（16,18]三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3

人，記日平均閱讀時間在。4,16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生，用尸化）表示這10名學(xué)生中恰有

左名學(xué)生日平均閱讀時間在（8,12]內(nèi)的概率，其中左=0,1,2,10.當(dāng)尸（左）最大時，寫出發(fā)的值.（只

需寫出結(jié)論）

【答案】（1）0.20

（2）X的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1

（3）5

【分析】（1）由頻率分布直方圖列出方程，能求出。的值，進而估計出概率；

（2）先按比例抽取人數(shù)，由題意可知此分布列為超幾何分布，即可求出分布列；

（3）求出尸（左）的式子進行判斷.

【詳解】（]）由頻率分布直方圖得：

2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+。+0.05+0.04+0.01）=1,

解得。=0.10,0.10x2=0.20,所以日平均閱讀時間在（10,12］內(nèi)的概率為0.20；

（2）由頻率分布直方圖得：