三角形壓軸題綜合（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)題型歸納與變式演練（全國卷）

專題10三角形壓軸題綜合

目錄

熱點題型歸納...................................................................................

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換.......................................................................

題型02三角形與平移變換.......................................................................

題型03三角形與翻折變換.......................................................................

題型04三角形類比探究問題.....................................................................

中考練場.......................................................................................

熱點題型歸納

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換

【解題策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線

的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.（2023?四川?中考真題）如圖1,已知線段A3,AC,線段AC繞點A在直線A3上方旋

轉(zhuǎn)，連接8C,以8C為邊在3C上方作RtBDC,且/D3C=30。.

⑴若23DC=90。，以A3為邊在AB上方作,且NAEB=90。，NEBA=30。，連接

DE,用等式表示線段AC與OE的數(shù)量關(guān)系是；

第1頁共97頁

（2）如圖2,在（1）的條件下，若DEJ.AB,AB=4,AC=2,求BC的長；

（3汝口圖3,若4cz）=90。，AB=4,AC=2,當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求此時tan/CBA的值.

【答案】⑴"=：夙石

(2)BC=2A/7

【分析】（1）在Rt中，"3c=30。，RtABAE,且NAEB=90。，ZEBA=30°,可

ARBF

得VABESVCBD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出二廠==,NDBE=NCBA,進(jìn)而證明

BCBD

△ABCSAE3D,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）延長DE交A3于點產(chǎn)，如圖所示，在RtAE尸中，求得EP,AP,進(jìn)而求得母■的長，

根據(jù)（1）的結(jié)論，得出DE=C，在^i.BFD中，勾股定理求得BD,進(jìn)而根據(jù)^ABC"AEBD,

即可求解.

（3）如圖所示，以AB為邊在上方作Rt44E,且/E4B=90。，/ES4=30。，連接8E,

EA,ED,EC,同（1）可得.8DES_5C4,進(jìn)而得出。在以E為圓心，速為半徑的圓上

3

運動，當(dāng)點AE,。三點共線時，陽的值最大，進(jìn)而求得=sin/BD4=@,

77

根據(jù)△ABCSZ^ESD得出=過點A作AF1BC,于點尸，分別求得ARC尸,

然后求得8尸，最后根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】（1）解：在RtBDC中,ZDBC=30°,RtABAE,且ZA￡B=90。，ZEBA=30°,

VABEsVCBD,NDBE+NEBC=ZABC+NEBC,BE=ABxcosNABE=AB

2

.AB_BE

NDBE=NCBA,

"~BC^~BD

：./\ABC^/\EBD

ACABAB2^73

???加一蕨飛,「亍

----AD

2

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/.AC=^#>DE,

3

故答案為：AC=^6DE.

(2)VRtAS4E,且ZAEB=90。，AEBA=30°,AB=4

：.AE=AB-sinZEBA=-AB^2,ZBAE=60°,

2

延長DE交AB于點尸，如圖所示，

D

,/DELAB,

：.NBFD=NDFA=90°,

.?.在Rt/中，EF=AExsinZBA￡=—x2=V3,AF=^AE=l,

22

:.BF=AB-AF=4-1=3f

由⑴可得AC=|?E,

DE=—AC=y/3,

2

DF=DE+EF=2y[3,

在RtRTO中，BD=JBR'+DF。=.+(2目=歷,

?/AABCSZ\EBD,

.BCAC2A/3

BC=^乂亞=23,

3

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/.BC=2^/7；

(3)解：如圖所示，以A3為邊在AB上方作Rt4AE,且/E4B=90。，ZEBA=30°,連

接BE,EA,ED,EC,

則匹=處=氈

ACBC3

；AC=2,貝1」。石=撞

3

在RtAEB中，AB=4,AE=ABxtanZEBA=4x^-=^~,

33

，￡）在以E為圓心，逑為半徑的圓上運動,

3

當(dāng)點AE,。三點共線時，A。的值最大，此時如圖所示，則AD=AE+DE=^①

3

D

在中，BD7ABjAD?45

3

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8A/3

4A/21

4n亍2幣sinZBDA=—

cos/BOA=—BD4>/21~7，

BD4^/21一7

3

3

AABCsAEBD,

：.ZBDE=ZBCA,

過點A作AF人3C,于點尸，

CF=AC義cosNACB=2x型-=過~,AF=ACxsinZACB=

777

,?ZDBC=3Q°,

."一6an一追心歷一萬

,*BC——BD——x--------2、1,

223

/.BF=BC-CF=2不一,

77

25

A_F—7—J

RCAFB+,tanZCBA=-^=-

7

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求

圓外一點到圓的距離的最值問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?貴州貴陽二模）在BBC中，/。鉆=90。，在丫4龍中，/石4￡）=90。，已知RtZkABC

和有公共頂點A,連接和CE.

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⑴如圖①，若AB=AC,AD=AE,當(dāng)，ABC繞點A旋轉(zhuǎn)c(0°＜戊＜360。)，8。和CE的數(shù)

量關(guān)系是,位置關(guān)系是;

(2)如圖②，若AO:AE=A8:AC=1：VL當(dāng)RtaABC繞點A旋轉(zhuǎn)磯0°＜。＜360。)，(1)

中和CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是否依然成立，判斷并說明理由；

⑶在(2)的條件下，若AD=2e，AB=y/3,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C,B,。三點共線時，請

直接寫出CE的長度.

【答案】(1)BD=CE,BDLCE

(2)CE=y/3BD,CE±BD,理由見解析

【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等

知識：

(1)根據(jù)SAS證明上BAI玲CAE得BD=CE,再證明ZOAD=ZEHO=90°,可得BDLCE-,

(2)延長DB交CE于H,與AE交于。，證明BADs1可得結(jié)論；

(3)分兩種情況討論：運用相似三角形的性質(zhì)求出AC,AE,由勾股定理求出DE,在

白△ECD中，運用勾股定理求出3D,從而可求出CE.

【詳解】(1)證明：如圖，延長￡＞8交CE于與AE交于。

：VADE和是等腰直角三角形，

/.AB^AC,AD=AE,

又ZCAE+NEAB=ZDAB+NEAB=90°,

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ZBAD=ZCAE,

：.^BAD^CAE(SAS),

:?BD=CE,ZBDA=ZCEA,

u：ZDOA=ZHOE,

???ZOAD=ZEHO=90°,

：.CE±BD,

故答案為：BD=CE,BD±CE；

(2)解：CE=&D,CE工BD,理由如下:

延長。?交CE于"，與A石交于0,

E

ADAB1

NFFNB3NCAE,

：..BAD^CAE,

BD1

,ZADB=ZAEC

CEf

CE=MBD,

*.*/BOA=/EOH,

：.ZOAD=ZEHO=90°,

JBDLCE

綜上BD上CE,CE=MBD

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(3)解:①如圖:

AD

,乙BDABAD1

由（2）知&B4Z）sC4E,—9且皮）_LCE,

C/5AC\Jj

,:AB=6,

：.AC=3,

在RtZXABC中，由勾股定理得BC={AB。+AC?=2拒，

?AD=2-J3>

：.AE=6

在Rt&lE。中，由勾股定理得DE=JA￡2+AT>2=4#，

VC,B,。三點共線，且NECO=90。

在RtAECD中，由勾股定理得DE2=CE2+CD2

即卜⑹?=（取“+[BD+2再

???加回

2

2

②如圖：

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E

BDAB1

由（2）知,.RWsCAE,,且BD_LCE,

CE-

AB=s/3,

：.AC=3,

由勾股定理得BC=\lAB2+AC2=273，

AD=273,

，AE=6,

在RtZkAED中，DE=yjAE2+AD2=4A/3-

VC,B,。三點共線，且NECO=90。，

二在RtAECD中，由勾股定理得DE2=CE2+CD2,

即［國=（取D『+（BD-2@2,

：.BD=病+6,

2

3（A/13+1）

CE=

2

綜上，當(dāng)C,B,。三點共線時，CE的長度為3（而—1）或3（舊+1）.

22

2.（2023?廣西桂林?一模）在數(shù)學(xué)活動課上，小麗將兩副相同的三角板中的兩個等腰直角三

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角形按如圖1方式放置，使心斯的頂點。與—ABC的頂點C重合，DEF在繞點C的旋

轉(zhuǎn)過程中，邊DE、DP始終與.ABC的邊A3分別交于M、N兩點.

⑴老師提了一個問題：試證明402+附2=3/2.

小麗開動腦筋，作了如下思考：考慮到C4=CB且ZACB=90。，可將想3繞點C順時針

旋轉(zhuǎn)90。至“AOV'位置，連結(jié)MN',若能證明BN、MN分別等于Rt^AVW'的另兩邊則可

以解決問題.

請幫小麗繼續(xù)完成證明過程.

證明：將想四繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。至1tAeM位置，連結(jié)MN'；

(2)如圖2,小昆另取一塊與「ABC相同的三角板，放在二ABG位置，邊CE與邊AG相交于點

H,連NH、NG.

①小昆猜想：/CNH=物,請幫他給出證明；

②圖2中始終與CN相等的線段有_；

③請?zhí)剿鰽N、BN、AH之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論：

【答案】(1)見解析

(2)①見解析；②NG,NH；③AN-BN=叵AH

【分析】(1)①由“SAS”可證一OV'M絲0V可得MN'=MN,根據(jù)直角三角形中運用

勾股定理4⑷V'2=MN，2,即可得結(jié)論；

(2)①證明A,C,N,”四點共圓即可解題；

②證明aNBC絲.NBG,得到CN=NG,然后根據(jù)等角對等邊得到CN=NH即可得到結(jié)論

③連接CG,推導(dǎo)，HGCSCA?C,貝!1可得到GH=02N，然后根據(jù)A8=0AG即可證明結(jié)

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論.

f

【詳解】(1)由旋轉(zhuǎn)可知：AN'=BN,CN'=CN,ZCAN=ZBfZBCN=ZACN',

VZECF=45°,ZACB=90°,

???/ACM+/BCN=45。,

：.NACM+NAOV'=45。，

即ZN,CM=ZNCM,

又?：CM=CM,

:…CN'M竺CW(SAS),

：.MN'=MN,

ZCAM=ZB=45°f

：.ZNrAM=ZCANf+ZCAM=90°,

AM2+AN,2=MN，2,

又?：AN'=BN,MNf=MN,

???AM2BN2=MN2;

(2)①證明：VZGAB=ZMCN=45°fZAMH=ZCMN,

：.ZAHC=ZANC,

???A,C,N,"四點共圓，

???NCAH+NCNH=180。,

ZCAH=90°f

???ZCNH=90°；

②解：???四邊形AC3G是正方形，

:?BC=BG,ZNBC=ZNBG=45。,

,:BN=BN,

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/.NBC絲ANBG(SAS),

:.CN=NG,

由①可知NOV"=90。，

又：ZHCN=45°,

：.NHCN=NCHN=45°,

：.CN=NH.

故答案為：NH,NG；

③連接CG,

C(D)

'：NHCF=NBCG=45°,

：.NBCN=NGCH,

又,/NCBN=NCGH=45°,

.HGC^iNBC,——=——=0,GH=亞BN，

BNnC

AB=42AG=yl2（AH+GH）^>f2AH+42GH,

AN+BN=s[2AH+2BN，AN-BN=>/2AH.

故答案為：AN-BN=y/2AH.

（點睛】本題是幾何變換綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

3.（2023?吉林?一模）如圖，..ABC和VADE是有公共頂點的直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,

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點P為射線3D,CE的交點.

(1)如圖1,若一MC和VAZ組是等腰三角形，求證：ZABD=ZACE；

⑵如圖2,若NADE=NABC=30。，問：(1)中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

⑶在(1)的條件下，AB=6,AD=4,若把VADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NE4c=90。時，請直

接寫出血的長度.

【答案】(1)見解析(2)成立，見解析⑶小叵或迎叵

1313

【分析】(1)依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到=AC,=依據(jù)同角的余角相等得到

NDAB=/CAE,然后依據(jù)SAS可證明AWB絲△/!￡€,最后，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可

得到/AB￡>=NACE；

(2)先判斷出△ADBS^AEC,即可得出結(jié)論；

(3)分為點E在A3上和點E在的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明

APEB^AAEC,最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.

【詳解】(1)解：MC和VADE是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

.-.AB=AC=3,AD=AE=2,ZDAB=ZCAE.

ADB咨AEC.:.ZABD=ZACE.

(2)(1)中結(jié)論成立，理由：

在RtZkABC中，ZABC=30°,/,AB=-J3AC,

在中，NAOE=30。，

ADAE

AD=《r3AE,…

AB~AC

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ZBAC=ZDAE=90°,:.ZBAD=ZCAE,.NADB^VAEC.:.ZABD=ZACE■,

（3）①當(dāng)點E在A3上時，BE=AB-AE=AB-AD=2.

ZEAC=90°，,-.CE=A/A￡2+AC2=^42+62=2而■

同（1）可證△AT?絲△/1￡€.ZDBA=ZECA.

NPEB=ZAEC,:△PEBsAAEC.

.PBBE.PB_26713

??----=-----...~T~—--/=.，PB=-----.

ACCE62V1313

②當(dāng)點E在54延長線上時，BE=10.

ZEAC=90°，,-,CE=-JAE2+AC2="2+6,=2岳■同（1）可證

△ADB咨AAEC.:.ZDBA=ZECA.

PBBE.PB.1030岳

Z.BEP=Z.CEA,:△PEBsAAEC.，——=—.PR

ACCE62V1313

綜上所述，PB的長為5叵或迎叵.

1313

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角

形的性質(zhì)和判定，分類討論，屬于壓軸題.

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題型02三角形與平移變換

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定[典

理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注

意分類討論.例分

析】

例.(2023?四川攀枝花?中考真題)如圖1,在.ABC中，AB=BC=2AC=8,沿3c

方向向左平移得到A、C對應(yīng)點分別是。、E.點歹是線段BE上的一個動點，連

接AF,將線段■繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至線段AG,使得=連接FG.

C,

圖2

⑴當(dāng)點廠與點C重合時，求FG的長；

(2)如圖2,連接BG、DF.在點b的運動過程中：

①3G和。尸是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；

②當(dāng)所的長為多少時，ABG能構(gòu)成等腰三角形？

【答案】(1)26

⑵①DF=BG；②族的長為14或11或8或0

【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)可得四邊形ABC。、四邊形AC即是平行四邊形，再由已知

推導(dǎo)出AB是NC4G的平分線，由等腰三角形的性質(zhì)可得AfiLCG,過8點作3HJLAC交

——Ire—

于H點，求出=再由sinN84C=2叵=2一，所以CG=FG=2后；

84

(2)①證明A4BG2△ADF(SAS),則。尸=BG；

②過點A作ANLBC交于N,由等積法可得;*4x2厲=；x84V,求出AN=JF,分三種

情況討論：當(dāng)AG=AB時，AG=AF=8；當(dāng)尸點與8點重合時，AF=8,此時3尸=0,當(dāng)

第15頁共97頁

3方=2BN時，AF=8,在RtZ\ABN中，BN=1,可得3尸=14；當(dāng)AG=5G時，DF=AF,

過點尸作月欣_LAD交于“，所以AM=RV=4,能求出CN=1,CF=3,則叱=11；當(dāng)

B4=5G時，DC=DF,當(dāng)廠點在距上時，CD=DF,此時。點與尸點重合，止匕時

BF=BC=8.

【詳解】（1）解：當(dāng)尸點與。點重合時，AF=AC,

由平移可知，CD=AB,CD//AB,

二?四邊形ABCD、四邊形ACED是平行四邊形，

.\AD=BC,AD〃BC,

ZBAD=AFAG,

..NDAF=NBAG,

AB=BC,

ZBAC=ZACB,

ZDAC=ZACB,

.\ZDAC=ZBAC=ZBAG,

.,.AB是NC4G的平分線，

AC=AGf

:.AB±CGf

如圖1,過B點作交于H點，

G

圖1

AB=BC=2AC=Sf

:.AH=2,

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BH=2715，

sinABAC='

84

：.CG=FG=2岳;

(2)解：①DF=BG,理由如下：

如圖2,AG^AF,NDAF=ZBAG,AB=AD,

AABG冬AW尸(SAS),

:.DF=BG-,

②如圖2,過點A作AN,3c交于N,

由①可知gx4x2厲=gx84V,

:.AN=>/15,

當(dāng)AG=AB時，

AB=BC=8,

AG=8,

AG=AF,

.-.AF=8,

當(dāng)尸點與B點重合時，AF=8,此時3尸=0,

當(dāng)班'=2BN時，AF=8,在Rtz\ABN中，BN=屈=1?=7,

.-.BF=14；

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當(dāng)AG=3G時，AF=BG,

DF=BG,

.\DF=AF,

過點尸作RI/_LAZ）交于Af,

.\AM=DM=4,

FMrAD,ANIBC,

：.AM=FN=4,

BN=7,

：.CN=\,

/.CF=3,

當(dāng)R4=BG時，

DF=BG,

:.AB=DF,

AB=CD=BC=ADf

:.DC=DF,

當(dāng)尸點在班上時，CD=DF,此時。點與廠點重合，

..BF=BC=8；

綜上所述：加的長為14或11或8或0.

【點睛】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形

全等的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?遼寧大連?模擬預(yù)測）如圖，一ABC中，A3=AC=0,ZBAC=90。,經(jīng)過點A,

且￡>E_L3C,垂足為E,Z￡?CE=60°.

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D

（1）以點E為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)CDE,使旋轉(zhuǎn)后的一C'D'E'的邊C力’恰好經(jīng)過點4求此時

旋轉(zhuǎn)角的大小；

⑵在（1）的情況下，將..C力'E'沿8C向右平移設(shè)平移后的圖形與，ABC重疊

部分的面積為S,求S與f的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出/的取值范圍.

【答案】⑴旋轉(zhuǎn)角為30度或90度；

12君-11L/

——t--7=-t+-\0<t<

26+12[

⑵當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30。時，5=彳；

?-2/+1—<?<1

-/2+/+-（0<?<^-1）

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時，S=廠2

【分析】（1）如圖，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知3AEC’是等邊三角形,

則NAEC'=60。，易求NC'EC=30。，即旋轉(zhuǎn)角為30。；或，。點與A重合；

（2）需要分類討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不是為90。時，分0VV也才:口立V<1兩種情況進(jìn)行解答.①

33

當(dāng)0J4走時.如圖2,作NN'_LBC，垂足為N’.設(shè)NN,

=x，則N'C=x.由相似三角形

3

AMPS.CNE'的面積之比等于相似比的平方得到，則

3ACNE

S=SMC+SAMP-SPEE-SCN?+g.②當(dāng)4["1時，如圖3,作MMU3C,

第19頁共97頁

垂足為「設(shè)府一，貝"浮.由『『得到』-2』.當(dāng)旋轉(zhuǎn)

角為90。時，分兩種情形求解即可.

【詳解】(1)解：如圖1,

AB=AC=6,ABAC=90°,AE1BC,

:.AE=EC=l,ZB=ZC=45°.

由旋轉(zhuǎn)過程知EC'=EC=AE,/GCE=60°，

「AEC'是等邊三角形，

ZAEC'=60°=90°-AC'EC■

AC'EC=30°>即旋轉(zhuǎn)角為30。；

。點與A重合，即旋轉(zhuǎn)角為90度；

綜上，旋轉(zhuǎn)角為30。或90。；

(2)解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是為30。時：

①當(dāng)OVW/時.如圖2,設(shè)C'E，AB、AC分別相交于點M、N,￡)'￡'與AE相

交于點、P.作NN'LBC，垂足為N’.

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D'

圖2

設(shè)MV'=x，則N'C=x，

由平移過程知ZNE'C=30°，

:工N=氐.

Ll-t

由E'N'+N'C=E'C知，y/3x+x=l-t,BP-^='

ZAPM=NE'PE=90°-Z.P^E=ZNE'N',ZPAM=NE’CN=45°>

AMPs或CNE'，

???S=SQ+5p-S.EETCN6+-1>4（1T）X對=一52一需人;

AM

②當(dāng)#D<1時，如圖3,設(shè)D'E'、c'E'與AC分別相交于點M、N.作M0U3C,垂

足為M'.

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D'

圖3

=y>貝!JM'E'=#y.

MEr+E，C=M，C=M，M，

即#y+(i-f)=y，則，=31,，

1z\3(1—1z\1—t/\20

-S=sMEr-SNE,C=-(l-Z)x——-=(l-z)=t-2t+1

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時，如圖4中，當(dāng)0＜力（6-1時，重疊部分是五邊形MNKE’5，

11V6+V2A/6-A/2"、221

S=SABC—SAMN_S=1-----------------1------------1一一(1-r)=-1+%+一,

CKE'2222V72

如圖5中，當(dāng)當(dāng)-k/vl時，重疊部分是四邊形MNE'。'，

第22頁共97頁

A

BD'E'c

圖5

3+1）一；（1-）2='產(chǎn)+乎，所以，

SS1

SMCDCNE'-22

-t2+r+g（04wg-l）

2V3+12（31

綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不是為90。時，S=，（廣、當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時

Z2-2Z+1—</<1

-t2+r+^0<z<73-1）

一

【點睛】本題考查了幾何變換綜合題.需要學(xué)生熟練掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、等腰直角三角

形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),函數(shù)關(guān)系式是求法.解答（2）題時，一定要分類討

論，以防漏解或錯解.

2.（2023?四川成都?一模）如圖1,在.ABC中，AC=4,以A5為底邊作等腰連接PC,

作PCD,使得尸C=PD,S.ZCPD=ZAPB.

B

:B;R

DED

圖1圖2圖3

第23頁共97頁

（1）如圖2,若NAP3=60。，請按題意補(bǔ)全圖形，并寫出畫圖步驟；

（2）將線段CA沿CD的方向平移得到線段DE,連接BE,

①如圖3,若NCPD=ZAPB=90°,求班的長；

②若/AP3=36。，直接寫出3E的長.

【答案】（1）見解析

⑵①4vL②26-2

【分析】（1）根據(jù)題意，作等邊△CP。即可；

（2）①連接8。，證明CPAgDPB（SAS）,得BD=AC=4,N3DP=NACP,由AC〃OE,

知NEDC+ZACD=180。，可推得/EDB=90。，在RtZXBED中，BE=^BD2+DE2-即可

得答案；

②連接3。，作/EBD角平分線交瓦?于b，證明..CM四OP3（SAS）,得

BD=AC=4,ZBDP=ZACP,IfnAC//DE,可推得/ED3=36。，_EBF^_EDB,得

RF斤斤1x4—x

——=——，設(shè)8E=x,則EF=DE-DF=DE—BE=4—x,歹U出方程一=——，即得

DEBE4x

BE=2下-2.

【詳解】（1）解：如圖所示：

畫圖步驟：①連接PC,

②分別以尸、C為圓心，PC長為半徑畫弧，兩弧相交于點D,

③連接尸”CD-.

（2）①連接即,如圖：

第24頁共97頁

B

'：ZCPD=ZAPB=90°,

：.NCPA=NDPB,

又,：PA=PB,PC=PD,

：..CB4^..DPB（SAS））,

二BD^AC=4,NBDP=ZACP,

,?AC//DE,

Z.EDC+ZACD=180°,

即Z.EDB+ZBDP+ZPDC+ZACD=180°,

Z.EDB+ZACP+ZPDC+ZACD=180°,即Z.EDB+NPDC+ZPCD=180°,

而ZPDC+ZPCD=90°,

：.ZEDB=90°,

1/將線段C4沿C￡＞的方向平移得到線段DE,

DE=AC=4,

在RtABED中，BE=dBD。+DE。=472；

②連接5D,作NEBD角平分線交研＞于F，如圖：

第25頁共97頁

B

ZCPD=ZAPB=36°f

：./CPA=/DPB,

又?：PA=PB,PC=PD,

，_CRgOP3（SAS）,

ABD=AC=4,/BDP=ZACP,

■:AC//DE,

???NEDB+NBDC+NPCD+ZACP=180。,

：.NEDB+NBDC+NPCD+NBDP=180。,即NEDB+NPDC+NPCD=180。,

而NPDC+NPCD=180°-ZCPD=144°,

:?/EDB=36。,

???將線段CA沿CD的方向平移得到線段DE,

JDE=AC=BD=4,

：./EBD=ZBED=M,

?；BF平分/EBD，

ZEBF=ZFBD=ZEDB=36°f

；?BF=DF,/BFE=/BED=7T,

:?BE=BF=DF,

VZEBF=ZEDB,ZE=/E,

：?LEBFS^EDB,

第26頁共97頁

.BEEF

??一,

DEBE

設(shè)匹=尤，則EF=DE—DF=DE—BE=4—x,

.x_4-x

??—=--,

4x

解得x=26-2或x=-26-2（舍去），

/.BE=245-2.

【點睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等判定及性質(zhì)、三角形相似判

定及性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似

三角形解決問題.

題型03三角形與翻折變換

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊幾何性質(zhì)、三角形內(nèi)角和

定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形,

注意分類討論.

【典例分析】

例.（2023?湖北武漢?中考真題）問題提出：如圖（1）,E是菱形ABCD邊BC上一點，AAEF

是等腰三角形，AE=EF,NA斯=/旬。=&（。290。）,4廠交8于點G,探究/GCF與a

的數(shù)量關(guān)系.

(3)

第27頁共97頁

問題探究：

(1)先將問題特殊化，如圖(2),當(dāng)&=90。時，直接寫出NGB的大?。?/p>

(2)再探究一般情形，如圖(1),求NGCP與。的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展：

nr1RH

⑶將圖(1)特殊化，如圖(3),當(dāng)。=120。時，若會=：,求生的值.

CG2CE

【答案】⑴45。

3

(2)ZGCF=-a-90°

⑶歿=2

CE3

【分析】(1)延長BC過點尸作證明，ABE咨qBHR即可得出結(jié)論.

(2)在A3上截取4V,使AN=EC,連接AE,證明通過邊和角的關(guān)系

即可證明.

(3)過點A作8的垂線交。的延長線于點P,設(shè)菱形的邊長為3加，由(2)知，

ZGCF=^-a-90°=90°,通過相似求出。尸=述用，即可解出.

25

【詳解】(1)延長5c過點方作

「ZBAE+ZAEB=90°,

NFEH+ZAEB=90。,

ZBAE=/FEH,

在△石胡和_77位中

ZABE=ZEHF

<ZBAE=ZFEH

AE=EF

，；ABE^EHF,

AB=EH,

第28頁共97頁

BE=FH,

：.BC=EH,

：.BE=CH=FH,

：.7GCFIFCH45?.

故答案為：45°.

(2)解：在A3上截取4V,使4V=EC,連接7VE.

ZABC+ZBAE+ZA￡B=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180°,

ZABC=ZAEF,

:.ZEAN=ZFEC.

AE=EF,

.'.AANE^AECF.

:.ZANE=ZECF.

AB=BC,

:.BN=BE

ZEBN=a,

ZBNE^90°--a.

2

:.ZGCF=NECF-ZBCD=ZANE-/BCD

=190o+|aj-(180°-a)=|a-90°.

第29頁共97頁

A

BEC

（3）解：過點A作。。的垂線交。。的延長線于點P,設(shè)菱形的邊長為3根,

DG_1

CG-2,

\DG=m,CG=2m.

在RtAOP中，

?ADC2ABe120?,

.\ZADP=60°,

/.PD=—m,AP=—y/3m.

22

3

er=120°,由（2）知，ZGCF=-a-90°=90°.

2

?AGP?FGC,

\APGS-FCG.

APPG

'~CF~~CG'

—y/3m—m

...2=2，

CF2m

:.CF=—m,

5

在A3上截取AN,使AN=EC,連接A?,作30,NE于點。

由（2）知，AANE四△ECF,

：.NE=CF,

第30頁共97頁

,:AB=BC,

：.BN=BE,OE=EF=-EN=—m.

25

???ZABC=120°,

，/BNE=/BEN=30°,

OE

Vcos30?

BE

BE=gm,

9

\CE=—m

5

.BE_2

"CE-3'

【點睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角

形全等、三角形相似.

【變式演練】

1.(2024.安徽阜陽.一模)(1)如圖1,在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,點E為邊BC

上一點，沿直線DE將矩形折疊，使點C落在邊上的點C'處.求AC'的長；

(2)如圖2,展開后，將一。C'E沿線段A2向右平移，使點C'的對應(yīng)點與點8重合，得到

^D'BE',DE與BC交于點F,求線段E廳的長；

(3)在圖1中，將.DC'E繞點C'旋轉(zhuǎn)至A,C,E三點共線時，請直接寫出CD的長.

第31頁共97頁

【答案】(1)3；(2)1:(3)底或小

【分析】(1)本題利用折疊和矩形的性質(zhì)得出CD=CZ)=AB=5,AD=BC=4,再利用

勾股定理即可解題；

(2)本題利用平移的性質(zhì)證得一CDEs.CD'F，設(shè)旗長為x,利用勾股定理算出x,推出CE,

再利用相似三角形的性質(zhì)得到空=工，算出CF,從而求得跖的長；

(3)本題根據(jù)4,C,E三點共線，分以下兩種情況討論，①當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到C'左側(cè)時，②當(dāng)

E旋轉(zhuǎn)到C'右側(cè)時，根據(jù)以上兩種情況作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形

的性質(zhì)和判定、以及勾股定理進(jìn)行分析求解，即可解題.

【詳解】(1)解：ABCD為矩形，AB=5,8C=4,

:.CD=C'D=AB=5,AD=BC=4,

：.AC'^yJc'lf-AD2=3；

(2)解:D8E為&￡>C'E平移后的圖形，AC=3,AB=5,

C'B=DD/=AB-AC'=2,DE//DE,

CDEs,CD'F,

設(shè)目5長為x,

第32頁共97頁

CB2+EB2=CE2,CE=CE=BC-EB,

/.x2+22=（4-x）2

3

解得：x=1,

35

CE=4——=-,

22

CD'CF

——，CD'=CD—DD'=5—2=3,

CDCE

3CF

55,

2

??CF4

:.EF=CE—CF=1；

(3)解:將一。C'E繞點C'旋轉(zhuǎn)至A,C,E三點共線,

分以下兩種情況：

①當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到C'左側(cè)時，如圖所示：

作交CB的延長線于點"，

由(2)可知3C'=2,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，NDC'E=90°,

第33頁共97頁

ZDCB=90°,

-ZCBC=90°,

ZC'BM=ZM=ZDC'B=90°,

四邊形3Moe'為矩形，

:.BM=DC'=5,DM=BC'=2,

DC=^DM2+（BM+BC）2=V22+92=底,

②當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到C'右側(cè)口寸，如圖