數(shù)列的綜合應用-2025年高考數(shù)學一輪復習（解析版）

第5課時數(shù)列的綜合應用

［典例精研?核心考點］重難解惑?直擊高考

□考點一數(shù)列模型的應用

［典例1］容器Z內(nèi)裝有6L質(zhì)量分數(shù)為20%的鹽水溶液，容器8內(nèi)裝有4L質(zhì)

量分數(shù)為5%的鹽水溶液，先將A內(nèi)的鹽水倒1L進入B內(nèi)，再將B內(nèi)的鹽水倒

1L進入Z內(nèi)，稱為一次操作.這樣反復操作〃次，A,8容器內(nèi)的鹽水的質(zhì)量

分數(shù)分別為0”bn.

(1)求ai,4,并證明｛z—兒｝是等比數(shù)列；

(2)至少操作多少次，A,5兩容器內(nèi)的鹽水濃度之差小于1%(取1g2心0.3010,

1g3=0.4771)；

(3)求斯，兒的表達式.

[解]⑴由題意，，W(｝+4x￡)=,,

仁+5*§=高

??r_。7；+4匕72_r\________26czn+4fon

?bn+l----,an+1-^an+bn+l)---——,

7119

=

.'.an+i—bn+i-bn),又ai—bi=G，，｛斯一兒｝是以元為首項，為公比的等

比數(shù)列.

n—1

(2)由⑴知0L瓦尸5x(§

1

:.n—1>~5.7,

1g3-1g2

???〃27,故至少操作7次.

(3),""+1=],x6)+也,

???'〃+】一兒=言又傳丫，

?*-bn=b\+(b2—b\)+(b3~bl)+u^+(bn~bn-\)

2,3[2,,

—-H-------X—F...+(-)

25100[3\37

9/2\n[7

100\3750

.,13f2\n.7

??Cln-bn?—XI-)-------XI—Ii—.

10k3750V3750

名師點評數(shù)列實際應用中的常見模型

(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這

個固定的數(shù)就是公差；

(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定且不為零的數(shù)，則該模

型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比；

(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化

而變化，則應考慮是第〃項出與第〃+1項.+i的遞推關系還是前n項和必與前

〃+1項和S“+i之間的遞推關系.

一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增加或依次減少要用等差

數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列.

［跟進訓練］

1.(1)(2024?廣東佛山模擬)某牧場今年年初牛的存欄數(shù)為1200,預計以后每年

存欄數(shù)的增長率為10%,且在每年年底賣出100頭牛，牧場從今年起每年年初的

計劃存欄數(shù)構(gòu)成數(shù)列{c“},即ci=1200,則C10大約為()

(參考數(shù)據(jù)：1]8=2.144,119~2.358,1.110^2.594,l.ln^2.853)

A.1429B.1472

C.1519D.1571

(2)(多選)(2024?黑龍江哈爾濱模擬)剛考入大學的小明準備向銀行貸款4)元購

買一臺筆記本電腦，然后上學的時候通過勤工儉學來分期還款.小明與銀行約定:

每個月還一次款，分12次還清所有的欠款，且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款

的月利率為幾設小明每個月所要還款的錢數(shù)為x元，則下列說法正確的是()

A.小明選擇的還款方式為“等額本金還款法”

B.小明選擇的還款方式為“等額本息還款法”

C.小明第一個月還款的現(xiàn)值為三元

1+r

_&r(l+r)12

D.X——~-in-T

(l+r)12-l

(1)B(2)BCD［(1)由題可知c〃=(l+10%)c〃_i—100=l.lci—100,

設為+左=1.1(以-1+左)，解得上=—1000.

即C?-1000=l.l(c?,i-l000),

故數(shù)列｛c〃一1000｝是首項為C1-1000=200,公比為1.1的等比數(shù)列.

所以&-1000=200X1.1"-1,則c?=200Xl.l?-1+l000,

^?cio=2OOXl.l9+l000^200X2.358+1000^1472.

故選B.

(2)A,B選項，由于每個月還款的錢數(shù)都相等，故小明選擇的還款方式為“等額

本息還款法”，A錯誤，B正確；C選項，設小明第一個月還款的現(xiàn)值為初,

則M(l+r)=x,解得河=擊，故C正確；

D選項，根據(jù)“等額本息還款法”可得，第一個月月末所欠銀行貸款為4=4)(1

+r)—%,

第二個月月末所欠銀行貸款為血=/1(1+廠)-x=Ao(l+r)2—x(l+r)—x,

第三個月月末所欠銀行貸款為幺3=幺2(1+r)-X=ZO(1+7，)3—x(l+r)2—x(l+r)—X,

第12個月月末所欠銀行貸款為An=Ao(l+r)12—x(l+r)n—x(l+r)10-----x(l+

r)—x

=Ao(l+r)12—x[(l+r)11+(l+r)104---b(l+r)+1]

=^o(l+r)12+X(1~(^+r)12\

由于分12次還清所有的欠款，

故4(1+r)12+y(1-(^+r)12)=0,

解得x=署等3，D正確?故選BCD.]

【教師備選資源】

某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，2023年投

入1000萬元，以后每年投入將比上一年減少春本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為

500萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比

上一年增加;.

(1)設〃年內(nèi)(2023年為第一年)總投入為&萬元，旅游業(yè)總收入為。萬元，寫出

S",。的表達式；

(2)至少到哪一年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.

(參考數(shù)據(jù):1g2右0.3010,1g3=0.4771,lg5=0.6990)

［解］(1)第1年投入1000萬元，第2年投入1000X(1—萬元，…，第〃年

投入1000x(1-1萬元，

所以〃年內(nèi)的總投入為

5?=1000+1000X(1-3)+…+1000X(1-獷=5000［1-

笥，

第1年旅游業(yè)收入為500萬元，第2年旅游業(yè)收入為500X(1+J萬元,

/1\1

第〃年旅游業(yè)收入為500X(1+￡)萬元.

所以，〃年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

〃=500+500X(l+￡)+…+500X(1+?”1

=2000X副-1

(2)設至少經(jīng)過〃年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此Tn-Sn>0,

即2000X［?y-1］-5ooo［l-Q)n］>0,

化簡得5乂(§"+2乂0”—7>0,

設x=G)：代入上式得5x2—7x+2>0,

解此不等式，得x<|或x>l(舍去).

即(界,則〃lg［vigg,〃>告=鼠|=張十4］，由此得心5.

即至少到2027年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.

考點二數(shù)列中的不等式證明

［典例2］已知正項數(shù)列｛劣｝的前〃項和為S”且ai=2,4s”=a“a”+i(〃GN*).

(1)求數(shù)列｛念｝的通項公式；

(2)設數(shù)歹!］舄的前〃項和為A,求證：品丹

［解］(iy：4S?=a?an+i,N*,①

4671=Cl\?。2,又。1=2,6/2=4.

當“22時，4s〃-1=即_1斯,②

—

①一②得4an—anan+1an-\an.

由題意知.cin+i—Cln-\=4.

當〃=2k+1,左￡N*時，Q2k+2—a2k=4,即Q2,Q4,…，是首項為4,公差為4

的等差數(shù)列，

Q2左=4+（左—1）X4=4左=2X2左;

當n=2k,左￡N*時，。2k+1—。2k—1=4,

即Q1,。3,…，a2左一1是首項為2,公差為4的等差數(shù)列,

???。21=2+（左一1）X4=4左一2=2（2左一1）.

綜上可知，an=2n,〃￡N*.

⑵證明：.?*=2＞嬴島="一擊)，

"=1+1+…一總=9(1-a)=品?

1111111

又,,__________________

謐4n24n2—1（2n-l）（2n+l）2\2n-l2n+l

-++一熹)=;(1一熹)得

?"產(chǎn)1+尹…—/卜52n-l

綜上所述，六54

名師點評與數(shù)列有關的不等式證明問題的求解常有兩種方法：一是放縮法；二

是借助函數(shù)的單調(diào)性證明.

⑴對于“和式”數(shù)列不等式，若能夠直接求和，則考慮先求和，再放縮證明不

等式；若不能求和，則可考慮先放縮后求和證明不等式.放縮時要研究通項，放

縮是為了能化簡.

(2)常見的放縮技巧:

1111

</c2-l-2\/c^lk+1

1111

.k.+.1.-k2k-1---k-；

③2（，幾+1—y/n）<-^<2（y/n—Vn—1）；

（）

4---V--V—n9—V---W-----

」2九+12n+l23n3n-l2-3rl一「

［跟進訓練］

2.(2024-山西大同模擬)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和總滿足1+2=2z(〃￡N*).

(1)證明：數(shù)列｛S〃+2｝是等比數(shù)列；

(2)設數(shù)列｛(“］；"_］)｝的前〃項和為心,求證：|WA<1.

［證明］⑴當”=1時，S+2=2ai,

??Si=czi=2,

當〃22時，Sn+2=2(Sn-Sn-l1

S?=2Sn.i+2,S,+2=2(S“-i+2),

???47=2,又S+2=4,

數(shù)列｛S,+2｝是以2為公比，4為首項的等比數(shù)列.

(2)由(1)知&+2=4X2"/,Sn=2n+i-2,代入&+2=2Z，得斯=2",

2n2n11

+1?

…(an-l)(an+1-l)—(2幾一1)(2計1—1)―2^-12^-1

"=(六一六)+島-六)+…+島2n+1-l

1

=12…

由〃21,2/124,2/1—123,

1

>

1\--

3

2n+1-l

綜上所述，|WA<1.

，考點三數(shù)列中的不等式恒成立

［典例］?浙江高考)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為且〃

3(2021ai=-4p4S+i=

3S〃一9(〃GN*).

(1)求數(shù)列｛念｝的通項公式；

(2)設數(shù)歹U｛兒｝滿足3兒+(〃―4)a“=0(〃?N*),記｛兒｝的前n項和為若Tn^bn

對任意〃?N*恒成立，求實數(shù)7的取值范圍.

［解］(1)因為4&+I=3SL9,

所以當〃三2時，45?=35?,1-9,

兩式相減可得4.+1=3③，即皿=：.

州4

當7?=1時，4s2=4(—g+藥)=一—9,

解得。2=—,

16

所以&=2.

4

所以數(shù)列｛。“｝是首項為一:，公比為肘勺等比數(shù)列,

44

d“93n+1

所以?尸一7X匕）.

4\474n

(2)因為3b?+(n-4)a?=0,

所以兒=(〃-4)*0.

所以北=—3X：—2X(1?—ixG)3+ox(|y+…+(〃一4)X(0",①

^?=-3X(|)2-2xg)3-lxg)4+0xg)5+...+(?-5)xg)n+(?-

4)X(曠，②

nn+9

5^

①一②得，=_3X3+(￡)2+停)3+.+X-+

74

/?、九+1

所以4=—4〃xQ).

因為AWM”對任意“GN*恒成立,

所以一4〃x（；y+w“〃―4）x（1y恒成立，

即一3〃W”-4）恒成立，

當〃<4時，n—4=-3-n—-4,此時丸W1;

當〃=4時,-12W0恒成立；

當〃>4時，丸三二=一3一二，此時九三一3.

n—4n—4

所以一3W4W1.

名師點評數(shù)列與不等式的恒成立的問題可借助數(shù)列的單調(diào)性或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最

值問題解答.

［跟進訓練］

3.（2024?湖南長沙雅禮中學模擬）各項不為零的數(shù)列｛劣｝滿足.=/"（〃三2,

〃￡N*）,且a2=-1.

（1）求證：數(shù)列｛*｝為等差數(shù)列；

(2)若&±1》丸對任意〃GN*恒成立，求實數(shù)丸的取值范圍.

an

[解](1)證明：?各項不為零的數(shù)列｛斯｝滿足為=廣/(〃三2,〃?N*),

3a九一1+1

兩邊同時取倒數(shù)，可得」=」一+3,A---=3,

anan—lanan—l

,:。2=—1,——=3,解得工=-4.

—1Q[Q]

???數(shù)列目為等差數(shù)列，且公差為3,首項為一4.

11

(2)由(1)可得L=_4+3(〃-l)=3〃-7,：.an=-^—,

ctnSn—/

...況三丸對任意〃?N*恒成立，...XW也對任意〃GN*恒成立，

an3n-4

人rz、___3n_7___3?i_4—3___3

令f(〃)=---=------=A1—----,

J')3n-43n-43n-4‘

當n=l時，/(1)=4;

當〃=2時，/(2)=-1;

當〃三3時，/(〃)單調(diào)遞增，|=/(3)W/(〃)<1,

11

?V(〃)而n=/(2)=-5，.“W—5

I.實數(shù)丸的取值范圍為(一8,

課時分層作業(yè)(四十)數(shù)列的綜合應用

[A組在基礎中考查學科功底]

1.(2021?新高考n卷)記出為公差不為零的等差數(shù)列｛端的前〃項和，若

Ss，a2a4=$4.

(1)｛廄｝的通項公式；

⑵使得&>4.成立的n的最小值.

［解］(1)設等差數(shù)列｛斯｝的公差為d(d￥0),

(a1+2d=5a1+^^d,①

+d)(Qi+3d)=4alH—~~-d,(5)

由①得ai+2d=0nai=-2d,代入②得(一d)?d=-8d+6"=>泮-2d=0,

=

?「dWO,:?d=2,/.a\=—4,/.an-4+2(〃-1)=2〃—6.

(2)5?=-4?+^^2=n2—5n,

由7n層一5〃>2〃-6,.?.原一7〃+6>0,(〃一1)(〃-6)>0,

.\n>6,?.,“GN*,故〃的最小值為7.

2.(2024?遼寧鐵嶺模擬)在數(shù)列｛a〃｝中,。2=),即+i="+?,〃?N*.

1644

(1)證明：數(shù)歹久念一1｝是等比數(shù)列；

(2)令兒=2〃+i?廄+3,數(shù)列｛5｝的前〃項和為&,求證：S”法.

［證明］(1)由斯+1=；。"+',得—1),由42=9得

444164

則ai—l=；W0,所以的一1/0,得%?=；,

4an—14

所以數(shù)列｛斯一1｝是以!為首項，9為公比的等比數(shù)列.

44

(2)由(1)得。〃一1=±,則以=5+1,所以兀=2〃+i?廄+3=2〃+1+++3,

44Z

_2n

-2n-2n+1+2n+14-2n+2

2n2n

—(2n+l)(2n+1+l)+l(2n+l)(2n+1+l)

_11

~2n+l~2n+1+l'

所以(告—表)+(&_&)+…+(高—^0

=蘭一――蘭

402n+1+l40,

［B組在綜合中考查關鍵能力］

3.森林資源是全人類共有的寶貴財富，其在改善環(huán)境，保護生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方

面發(fā)揮重要的作用.為了實現(xiàn)“到2030年，中國的森林蓄積量比2005年增加

60億立方米”的目標，A地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃.經(jīng)

統(tǒng)計，A地2020年年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長

率自然生長，而為了保證森林通風和發(fā)展經(jīng)濟的需要，每年冬天都要砍伐掉

/(10</<30)萬立方米的森林.設呢為自2021年開始，第n年年底的森林蓄積量(例

如<21=150—^).

(1)試寫出數(shù)列｛斯｝的一個遞推公式；

(2)設兒=斯一4/(〃?N,心1),證明：數(shù)列｛兒｝是等比數(shù)列；

(3)若到2030年年底，A地要實現(xiàn)“森林蓄積量要不少于640萬立方米”這一目

標，那么每年的砍伐量/最多是多少萬立方米？(精確到1萬立方米)

參考數(shù)據(jù):$=5.96,(￡)9=7.45,(*9.36

［解］(1)由題意，得0=120X(1+25%)—，=150—/,

a”+i=a”(l+25%)―t=~ctn-t.

(2)證明：因為07+1=1?！?t,故即+i—4t=-(a—4。，

44n

當n=1時，b\=a\—^t=150—r—4r=150—5r,

即皿故｛兒｝是以150—5/為首項，：為公比的等比數(shù)列.

an-4t44

(3)由(2)得，tz,-4r=(150-50*(|)n\

所以?！?今+(150