7.3 萬有引力理論的成就（解析版）-高一物理同步講義（人教版）

7.3萬有引力理論的成就【學習目標】1．了解地球表面物體的萬有引力兩個分力的大小關系，計算地球質量；2．行星繞恒星運動、衛(wèi)星的運動的共同點：萬有引力作為行星、衛(wèi)星圓周運動的向心力，會用萬有引力定律計算天體的質量；3．了解萬有引力定律在天文學上有重要應用?！緦W習重點】1．地球質量的計算、太陽等中心天體質量的計算。2．通過數(shù)據(jù)分析、類比思維、歸納總結建立模型來加深理解。【學習難點】根據(jù)已有條件求中心天體的質量。一、計算天體的質量1.地球質量的計算(1)思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉，物體的重力等于地球對物體的萬有引力。(2)關系式：mg＝。(3)結果：M＝，只要知道，g、R、G的值，就可計算出地球的質量。2.太陽質量的計算(1)思路：質量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時，行星與太陽間的萬有引力充當向心力。(2)關系式：＝。(3)結論：M＝只要知道行星繞太陽運動的周期T和半徑r就可以計算出太陽的質量。(4)推廣：若已知衛(wèi)星繞行星運動的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r，可計算行星的質量M，公式是M＝。3.eq\a\vs4\al(天體質量和密度的計算)情景及求解思路結果天體質量的計算①已知所求星體的半徑R及其表面的重力加速度g，則Geq\f(Mm,R2)＝mg②質量為m的行星繞所求星體做勻速圓周運動，萬有引力提供行星所需的向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝①②③天體密度的計算ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)①ρ＝eq\f(3g,4πGR)(gR2＝GM)②ρ＝eq\f(3rv2,4πGR3)③ρ＝eq\f(3r3ω2,4πGR3)r＝R時：ρ＝eq\f(3ω2,4πG)④ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)r＝R時：ρ＝eq\f(3π,GT2)4.eq\a\vs4\al(天體運動的分析與計算)(1)掌握一個模型天體(包括衛(wèi)星)的運動可簡化為質點的勻速圓周運動模型。(2)記住兩組公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝mamg＝eq\f(GMm,R2)(g為星體表面處的重力加速度)即GM＝R2g，該公式通常被稱黃金代換。(3)理解四個重要的物理量①線速度v由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，可見，r越大，v越??；r越小，v越大。②角速度ω由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可見，r越大，ω越??；r越小，ω越大。③周期T由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可見，r越大，T越大；r越小，T越小。④向心加速度an由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2)，可見，r越大，an越小；r越小，an越大。利用上述結論可以對行星運動的線速度v、角速度ω、周期T以及向心加速度an等進行定性分析，也可以進行定量計算。二、發(fā)現(xiàn)未知天體1.海王星的發(fā)現(xiàn)：英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家勒維耶根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道。1846年9月23日，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星。2.其他天體的發(fā)現(xiàn)：近100年來，人們在海王星的軌道之外又發(fā)現(xiàn)了冥王星、鬩神星等幾個較大的天體。3.哈雷彗星的回歸：1705年，英國天文學家哈雷根據(jù)萬有引力定律計算出了一顆著名彗星的軌道并正確預言了它的回歸，這就是哈雷彗星。4.“雙星”問題（1）雙星眾多的天體中如果有兩顆恒星，它們靠得較近，在萬有引力作用下繞著它們連線上的某一點共同轉動，這樣的兩顆恒星稱為雙星。（2）雙星的特點如圖所示為質量分別是m1和m2的兩顆相距較近的恒星。它們間的距離為L。此雙星問題的特點是：①兩星的運行軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點；②兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供；③兩星的運動周期、角速度相同；④兩星的運動半徑之和等于它們間的距離，即r1＋r2＝L。（3）雙星問題的處理方法雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2。（4）雙星問題的兩個結論①運動半徑：m1r1＝m2r2，即某恒星的運動半徑與其質量成反比。②質量之和：由于ω＝eq\f(2π,T)，r1＋r2＝L，因此兩恒星的質量之和m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)。1．判斷下列說法的正誤．(1)地球表面的物體的重力一定等于地球對它的萬有引力．(×)(2)若知道某行星的自轉周期和行星繞太陽做圓周運動的軌道半徑，則可以求出太陽的質量．(×)(3)已知地球繞太陽轉動的周期和軌道半徑，可以求出地球的質量．(×)(4)海王星的發(fā)現(xiàn)表明了萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性．(√)(5)海王星的發(fā)現(xiàn)和彗星的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位．(√)2．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球表面的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半徑R＝6.4×106m，則可知地球的質量約為________．(結果保留一位有效數(shù)字)答案6×1024kg知識點一、天體質量和密度的計算1．計算中心天體質量的兩種方法(1)重力加速度法①已知中心天體的半徑R和中心天體表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于中心天體對物體的引力，有mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得中心天體質量為M＝eq\f(gR2,G).②說明：g為天體表面重力加速度．未知星球表面重力加速度通常這樣給出：讓小球做自由落體、平拋、上拋等運動，從而計算出該星球表面重力加速度．(2)衛(wèi)星環(huán)繞法①將天體的運動近似看成勻速圓周運動，其所需的向心力都來自于萬有引力，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2).②說明：這種方法只能求中心天體質量，不能求環(huán)繞星體質量，其中T為公轉周期，r為軌道半徑．2．計算天體的密度若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)(1)將M＝eq\f(gR2,G)代入上式得ρ＝eq\f(3g,4πGR).(2)將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).當衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).【經(jīng)典例題1】假設在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，已知引力常量為G，忽略該天體自轉．(1)若衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測得衛(wèi)星在該處做圓周運動的周期為T1，則該天體的密度是多少？(2)若衛(wèi)星貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T2，則該天體的密度是多少？答案(1)eq\f(3πR＋h3,GT12R3)(2)eq\f(3π,GT22)解析設衛(wèi)星的質量為m，天體的質量為M.(1)衛(wèi)星距天體表面的高度為h時，Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T12)(R＋h)，則有M＝eq\f(4π2R＋h3,GT12)天體的體積為V＝eq\f(4,3)πR3故該天體的密度為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R＋h3,GT12·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3,GT12R3)(2)衛(wèi)星貼近天體表面運動時有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T22)R，則有M＝eq\f(4π2R3,GT22)ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R3,GT22·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT22).【變式訓練1】(多選)宇航員在月球表面附近高為h處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L.已知月球半徑為R，引力常量為G.下列說法中正確的是()A．月球表面的重力加速度g月＝eq\f(2hv02,L2)B．月球的質量m月＝eq\f(2hR2v02,GL2)C．月球的自轉周期T＝eq\f(2πR,v0)D．月球的平均密度ρ＝eq\f(3hv02,2πGL2)知識點二、天體運動的分析與計算1．一般行星(或衛(wèi)星)的運動可看成勻速圓周運動，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供．基本公式：Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r.2．忽略自轉時，mg＝Geq\f(Mm,R2)，整理可得：GM＝gR2.在引力常量G和中心天體質量M未知時，可用gR2替換GM，GM＝gR2被稱為“黃金代換式”．3．天體運動的物理量與軌道半徑的關系(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))；(2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))；(3)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))；(4)由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2).由以上關系式可知：①衛(wèi)星的軌道半徑r確定后，其相對應的線速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，與衛(wèi)星的質量無關，即同一軌道上的不同衛(wèi)星具有相同的周期、線速度大小、角速度和向心加速度大?。谛l(wèi)星的軌道半徑r越大，v、ω、an越小，T越大，即越遠越慢．【經(jīng)典例題1】如圖所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造地球衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2R(R為地球半徑)．下列說法中正確的是()A．a(chǎn)、b的線速度大小之比是eq\r(2)∶1B．a(chǎn)、b的周期之比是1∶2eq\r(2)C．a(chǎn)、b的角速度大小之比是3eq\r(6)∶4D．a(chǎn)、b的向心加速度大小之比是9∶2答案C解析兩衛(wèi)星均做勻速圓周運動，則有F萬＝F向．由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)得eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))＝eq\r(\f(3R,2R))＝eq\r(\f(3,2))，故A錯誤；由eq\f(GMm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2得eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(r13,r23))＝eq\f(2,3)eq\r(\f(2,3))，故B錯誤；由eq\f(GMm,r2)＝mrω2得eq\f(ω1,ω2)＝eq\r(\f(r23,r13))＝eq\f(3\r(6),4)，故C正確；由eq\f(GMm,r2)＝man得eq\f(an1,an2)＝eq\f(r22,r12)＝eq\f(9,4)，故D錯誤．【變式訓練1】(多選)如圖所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運動的三顆衛(wèi)星，a和b的質量相等，且小于c的質量，則()A．b所需向心力最小B．b、c的周期相同且大于a的周期C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度D．b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度答案ABD解析因衛(wèi)星運動的向心力是由它們所受的萬有引力提供的，即Fn＝eq\f(GMm,r2)，則b所需向心力最小，A對；由eq\f(GMm,r2)＝mr(eq\f(2π,T))2得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B對；由eq\f(GMm,r2)＝man，得an＝eq\f(GM,r2)，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C錯；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以b、c的線速度大小相等且小于a的線速度，D對．一、單項選擇題1.設地球表面重力加速度為，物體在距離地球表面3R（R是地球半徑）處，由于地球的作用而產(chǎn)生的加速度為g，則等于（）A.3 B.4 C.9 D.16【答案】D【解析】【詳解】當重力與萬有引力相等時有：可得地球表面重力加速度：在距地球表面3R處的重力加速度：則等于16，故D正確ABC錯誤。故選D。2.地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G，則地球的平均密度為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】在地球表面有，且地球的質量，由兩式可得，故A正確，BCD錯誤．3.升降機中有一質量為m的物體，當升降機以加速度a勻加速上升h高度時，物體增加的重力勢能為()A.mgh B.mgh＋mahC.mah D.mgh－mah【答案】A【解析】重力勢能的增加量等于物體克服重力做的功，A對，B、C、D錯．4.若有一艘宇宙飛船在某一行星表面做勻速圓周運動，設其周期為T，引力常數(shù)為G，那么該行星的平均密度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)萬有引力等于向心力，可以列式求解出行星的質量，進一步求出密度．【詳解】飛船繞某一行星表面做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力：解得：根據(jù)，聯(lián)立可得：A．，與結論不相符，選項A錯誤；B．，與結論相符，選項B正確；C．，與結論不相符，選項C錯誤；D．，與結論不相符，選項D錯誤；故選B．【點睛】本題主要考查了環(huán)繞行星表面做圓周運動的衛(wèi)星，其公轉周期平方與行星平均密度的乘積是一個定值．5.木衛(wèi)1、木衛(wèi)2繞木星的運動看做勻速圓周運動，已知木衛(wèi)2的軌道半徑大于木衛(wèi)1的軌道半徑，則它們繞木星運行時（）A.木衛(wèi)2的周期大于木衛(wèi)1的周期B.木衛(wèi)2的線速度大于木衛(wèi)1的線速度C.木衛(wèi)2的角速度大于木衛(wèi)1的角速度D.木衛(wèi)2的向心加速度大于木衛(wèi)1的向心加速度【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)可得，，，因為木衛(wèi)2的軌道半徑大于木衛(wèi)1的軌道半徑，則它們繞木星運行時木衛(wèi)2的周期大于木衛(wèi)1的周期；木衛(wèi)2的線速度小于木衛(wèi)1的線速度；木衛(wèi)2的角速度小于木衛(wèi)1的角速度；木衛(wèi)2的向心加速度小于木衛(wèi)1的向心加速度，故A正確，BCD錯誤。故選A。6.如圖所示，實線圓表示地球，豎直虛線a表示地軸，虛線圓b、c、d、e表示地球衛(wèi)星可能的軌道，對于此圖，下列說法正確的是（）A.b、c、d、e都可能是地球衛(wèi)星的軌道B.c不可能是地球衛(wèi)星的軌道C.b可能是地球同步衛(wèi)星的軌道D.d一定是地球同步衛(wèi)星的軌道【答案】B【解析】【詳解】AB．地球的所有衛(wèi)星的軌道圓心一定在地心，故b、d、e都可能是地球衛(wèi)星的軌道，c不可能是地球衛(wèi)星的軌道，故A錯誤，B正確。CD．地球同步衛(wèi)星和地面相對靜止，一定在赤道的正上方，所以b不可能是地球同步衛(wèi)星的軌道，d可能是地球同步衛(wèi)星的軌道，故CD錯誤。故選B。7.有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星，a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉動，b處于地面附近近地軌道上正常運動，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測衛(wèi)星，各衛(wèi)星排列位置如圖，則有（）A.a的向心加速度等于重力加速度gB.線速度關系va＞vb＞vc＞vdC.d的運動周期有可能是20小時D.c在4個小時內(nèi)轉過的圓心角是【答案】D【解析】同步衛(wèi)星的周期必須與地球自轉周期相同，角速度相同，則知a與c的角速度相同，根據(jù)a=ω2r知，c的向心加速度大，解得：，衛(wèi)星的軌道半徑越大，向心加速度越小，則同步衛(wèi)星的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度約為g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力：，解得：，衛(wèi)星的半徑越大，速度越小，所以有：，同步衛(wèi)星的周期必須與地球自轉周期相同，角速度相同，則知a與c的角速度相同，根據(jù)，可知，故B錯誤；由開普勒第三定律：可知，衛(wèi)星的半徑越大，周期越大，所以d的運動周期大于c的周期24h，故C錯誤；c是地球同步衛(wèi)星，周期是24h，則c在4h內(nèi)轉過的圓心角是，故D正確．所以D正確，ABC錯誤．8.經(jīng)長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“雙星系統(tǒng)”．“雙星系統(tǒng)”由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的線度遠小于兩個星體之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體，如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動．現(xiàn)測得兩顆星之間的距離為L，質量之比為m1:m2=3:2，下列說法中正確的是：A.m1、m2做圓周運動的線速度之比為3:2B.m1、m2做圓周運動的角速度之比為3:2C.m1做圓周運動的半徑為LD.m2做圓周運動的半徑為L【答案】C【解析】【詳解】由于雙星系統(tǒng)中，m1、m2完成一次圓周運動的時間相同，故它們的角速度之比；兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動，設它們的軌道半徑分別為和，則：聯(lián)立解得：又根據(jù)圓周運動角速度和線速度的關系可知：A與計算不符，故A錯誤；B.與分析不符，故B錯誤；C.與計算相符，故C正確；D.與計算不符，故D錯誤．二、多項選擇題9.已知某星球半徑為R，表面處的重力加速度為g，一探測器在距該星球表面高度為3R處繞其做勻速圓周運動，下列說法正確的是（）A.探測器的周期為4πB.該星球的平均密度為C.探測器的線速度為D.探測器的向心加速度大小為g【答案】BCD【解析】【詳解】A．在地表萬有引力提供向心力解得A錯誤；B．星球的平均密度B正確；C．萬有引力提供向心力解得C正確；D．萬有引力提供向心力解得D正確。故選BCD。10.一行星繞恒星作圓周運動，由天文觀測可得，其運動周期為T，速度為v，引力常量為G，則A.恒星的質量為 B.行星的質量為C.行星運動的軌道半徑為 D.行星運動的加速度為【答案】ACD【解析】【詳解】AC．設恒星的質量為M，行星繞恒星運動的半徑為r，行星質量為m，則：解得故AC正確；B．根據(jù)行星繞恒星運動學量，求不出行星的質量，故B項錯誤；D．設行星運動的加速度為a，則：故D項正確。故選ACD。11.在圓軌道上運動著質量為m的人造地球衛(wèi)星，它到地面的距離等于地球半徑R的三倍，地球表面重力加速度為g，則()A.衛(wèi)星運動的速度為 B.衛(wèi)星運動的周期為C.衛(wèi)星運動的加速度為 D.衛(wèi)星受到的地球引力為【答案】CD【解析】【詳解】A.根據(jù)解得衛(wèi)星運動的速度A錯誤；B.衛(wèi)星運動的周期B錯誤；C.衛(wèi)星運動的加速度C正確；D.衛(wèi)星受到的地球引力為D正確。故選CD。12.宇宙中兩個星球可以組成雙星，它們只在相互間的萬有引力作用下，繞球心連線上的某點做勻速圓周運動。則下列說法正確的是（）A.兩星球的運行周期一定相同B.兩星球的運行的線速度大小一定相等C.兩星球的軌道半徑一定相等D.兩星球的向心力大小一定相等【答案】AD【解析】【詳解】A．兩星球同軸轉動，所以運行周期和角速度相同，A正確；BC．假設兩星球之間距離為，萬有引力提供向心力兩星球圓周運動半徑可能不同，線速度大小可能不同，BC錯誤；D．萬有引力提供向心力，可知兩星球的向心力大小一定相等，D正確。故選AD。三、計算題13.為了方便研究物體與地球間的萬有引力問題，通常將地球視為質量分布均勻的球體．已知地球的質量為M，半徑為R，引力常量為G，不考慮空氣阻力的影響．（1）求北極點的重力加速度的大??；（2）若“天宮二號”繞地球運動的軌道可視為圓周，其軌道距地面的高度為h，求“天宮二號”繞地球運行的周期和速率；（3）若已知地球質量M=6.0×1024kg，地球半徑R=6400km，其自轉周期T=24h，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2．在赤道處地面有一質量為m的物體A，用W0表示物體A在赤道處地面上所受的重力，F(xiàn)0表示其在赤道處地面上所受的萬有引力．請求出的值（結果保留1位有效數(shù)字），并以此為依據(jù)說明在處理萬有引力和重力的關系時，為什么經(jīng)?？梢院雎缘厍蜃赞D的影響．【答案】（1）g0=GM/R2（2）v=2π(R+h)/T1=（3）3×10-3【解析】（1）設質量為m0的物體靜止在北極點時所受地面的支持力為N0，根據(jù)萬有引力定律和共點力平衡條件則有：即質量為m0的物體在北極點時所受的重力為：設北極點的重力加速度為g0，則有：解得：（2）設“天宮二號”的質量為m1，其繞地球做勻速圓周運動的周期為T1，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：解得：運行速率為：（3）物體A在赤道處地面上所受的萬有引力對于物體A在赤道處地面上隨地球運動的過程，設其所受地