高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 數(shù)列求和與數(shù)列綜合

專題數(shù)列求和與數(shù)列綜合

、題型全歸納

題型一分組轉(zhuǎn)化求和

【題型要點(diǎn)】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

⑴若4=6“士c“，且彷J,也｝為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求｛4｝的前"項(xiàng)和；

[b，〃為奇數(shù)，

(2)通項(xiàng)公式為。=〃./田女的數(shù)列，其中數(shù)列｛b｝,｛。｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法

匕J"為偶數(shù)"

求和.

【例1】(2020?吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二))各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列｛4,｝,其前〃項(xiàng)和為"，4=—1,%，%，

S4+l成等比數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列｛(—1)”％｝的前2〃項(xiàng)和%".

【解析】：⑴設(shè)等差數(shù)列口,｝的公差為d，因?yàn)?=—1,%，%，S4+I成等比數(shù)列，所以歿=叼0+1)，

即(-1+242=(-3+6的，解得d=2舍去，所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=2〃—3.

(2)由⑴可知an—anl—2(ri>2),所以。=(一%+4)+(—%+%)+…十(一%-1+。2”)=2”.

[a+2,〃是奇數(shù)，

【例2】(2020?資陽診斷)已知數(shù)列｛a｝中，a=a=l,a"曰佃曲則數(shù)列｛a｝的前20項(xiàng)和為

+

I2an,〃是偶數(shù)，

()

A.1121B.1122

C.1123D.1124

【解析】：由題意可知，數(shù)列｛4〃｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列｛4〃」｝是首項(xiàng)為1，公差為2的

lx(1—210)10x9

等差數(shù)列，故數(shù)列｛冊(cè)｝的前20項(xiàng)和為——三一+10xl+u—x2=l123.選C.

【例3】已知數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和S〃=—2—，〃￡N*.

⑴求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)乙=2曲+(—1)總“，求數(shù)列｛々｝的前2〃項(xiàng)和.

【解析】⑴當(dāng)“=1時(shí)，。尸尸；當(dāng)近2時(shí)，LL一=空_("T)2.(〃_1)

%也滿足%=小故數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式為a〃=兒

(2)由⑴知a=n,故勺=2〃+(—1)哂.記數(shù)列｛與｝的前2n項(xiàng)和為心〃，

則%”=(21+22+…+22”)+(—1+2—3+4—…+2〃).

、r,2(1—22.)

記”=2i+22+…+22”，8=-1+2—3+4-…+2〃,則/=—^^—=2^-2,

B=(—1+2)+(—3+4)+…+[—(2n—1)+2〃]=〃.故數(shù)列｛6“｝的前2n項(xiàng)和T2n—A-\-B—22n+1+n-2.

題型二錯(cuò)位相減法求和

【題型要點(diǎn)】1.利用錯(cuò)位相減法的一般類型及思路

(1)適用的數(shù)列類型：其中數(shù)列缶“｝是公差為d的等差數(shù)列，步“｝是公比為4力的等比數(shù)歹！].

⑵思路：設(shè)5“=%%+4%+…+。“"，(*)

則恭"=咽+咽+…+。"一億+*+廣(**)

(*)_(**)得：(_q)S"=a&+d(%+/+*..+6J_56"+i，就轉(zhuǎn)化為根據(jù)公式可求的和.

2.用錯(cuò)位相減法求和的策略和技巧

(1)掌握解題“3步驟”

品或藥苒誦曲而有聚至fti'iI摹正豪而謠運(yùn)】

巴等廠項(xiàng)的積，并求出等比數(shù)列的公比

先列出前"項(xiàng)和的表達(dá)式，然后乘以等比數(shù)：

巴守「列的公比得到一個(gè)新的表達(dá)式，西式作差：

〔得%論｝—；即根據(jù)差菱的特征進(jìn)后率確求和

(2)注意解題“3關(guān)鍵”

①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.

②在寫出“S“”與“碼”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“工一猛”的表達(dá)式.

③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q=l和兩種情況求解.

【易錯(cuò)提醒】：用錯(cuò)位相減法求和時(shí)容易出現(xiàn)以下兩點(diǎn)錯(cuò)誤：

(1)兩式相減時(shí)最后一項(xiàng)因?yàn)闆]有對(duì)應(yīng)項(xiàng)而忘記變號(hào).

(2)對(duì)相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)模糊，錯(cuò)把中間的n-l項(xiàng)和當(dāng)作n項(xiàng)和.

【例1】(2020?鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列他,｝中，a=\,a>0,前〃項(xiàng)和為S〃，若(=武+小匚

(〃￡N*,且近2).

(1)求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式；

(2)記『“29求數(shù)列｛的｝的前〃項(xiàng)和卻

【解析】(1)在數(shù)列｛3｝中，a=S-SnJri>2)①，

因?yàn)?=超+而二②，且4>0,所以①一②得色一而二=1(〃22)，

所以數(shù)列｛小"是以西=五=1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

所以，榮=1+(九―1)X1=〃，所以S,=〃2.

當(dāng)近2時(shí),a“=S“-S〃_]=〃2—(〃-1)2=2〃-1,

當(dāng)〃=1時(shí)，%=1,也滿足上式，所以數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式為%=2〃一1.

(2)由⑴知，a〃=2n—l,所以?！?(2〃一1)x22〃-1,則7；="2+3*23+5*25+…+(2〃一1戶22L1,

4T〃=1x23+3x25+5*27+…+(2〃-3)X22”T+(2〃一l)x22?+i,

兩式相減得，一3/=2+2(23+25+…+22〃-1)一(2〃-1)22?+I,

8(1—22?-2)10.f5(6〃-5)22什1+10

=

=2+2x---]_彳------(2〃-1)22場(chǎng)+1=—--1-I——2nl22?+i,所以Tn-------------------

【例2】已知｛a〃｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，%+4=6,%=8.

(1)求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式an；

(2)若勺=3瀘，且色｝的前〃項(xiàng)和為7；,求&

n

\a,+〃M=6,

【解析】：⑴依題意，設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,貝第11則為2—的一4=0,而q>0,

n［。印=8,

所以q=2.于是%=2,所以數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式為a=2n.

(2)由⑴得幺=粵f，所以普=遙+，+…+養(yǎng)

n

4r+^+...+-y-+7—兩式相減得，=^+^~+^~+...+^--,

2n，22,32,n2”+12”2，2232“2”+1

11

1

所以7=1+：+*+…1n2〃-12n〃+2

2n22n.

n乙乙乙2?-i2n14

題型三裂項(xiàng)相消法求和

【題型要點(diǎn)】1.幾種常見的裂項(xiàng)相消及解題策略

(1)常見的裂項(xiàng)方法(其中n為正整數(shù))

數(shù)列裂項(xiàng)方法

<-(人3/為非零常數(shù))

nm+kJ〃(〃+左)\n+k))

[4^2-1]4?2-12(2〃_12/7+1)

"加木+泊金所-的

(1Alog[1+；]=log#+1)—log/

<log1+—Ha>0,存1)

I<n)\

｛。｝為等差數(shù)列，公差為或存0),—1—i____iri1_iiA

aa

na-an'n+i也a

nn+1nn+1

(2)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也

剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使前后相等.

2.裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)和解題關(guān)鍵

裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)是先將數(shù)列中的通項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目

的，其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項(xiàng)和消項(xiàng).

(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止.

(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).

【易錯(cuò)提示】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)，正負(fù)

項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng).

【例。(2020?湖北八校聯(lián)考)已知等差數(shù)列｛5｝的前"項(xiàng)和為Sj且。9=%12+6,4=%則數(shù)列'，的

nJ

前10項(xiàng)和為()

A1110^9-8

入12411JO"9

【解析工設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為力由。9=512+6及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得4+5d=12,又4=4，

所以4=2,d=2,所以S“=〃2+"，所以］=(~T7-

1"Snn("+1)n"+1

【例2】(2020?武漢部分學(xué)校調(diào)研)已知等差數(shù)歹U｛%｝的前三項(xiàng)的和為一9,前三項(xiàng)的積為一15.

⑴求等差數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式；

-1'

(2)若｛?｝為遞減數(shù)列，求數(shù)列｛-----＞的前〃項(xiàng)和S.

naan

lnn+1J

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛a〃｝的公差為d，依題意知q=—3,4=—3—d,%=—3+d,

所以(一3一＜7)x(—3)x(—3+2=—15,"2=4,d=±2,

所以Qn——2〃+n1或a=2n—7.

(2)由題意得％=_2"+1,所以一--=-TT----］、1”上］、Jc,1，

"aan+i(2/7-1)(2/7+1)2(2〃-12n+lJ

…~/1.11..11)1(,1)n

所以S—不1--+—-—H----1--------------------—z1--------~777-

〃213352n-\2n+lJ2l2n+\2〃+l

題型四數(shù)列與其他知識(shí)的交匯

類型一.數(shù)列與不等式的交匯問題

【例1】（2020?廣東深圳二模）設(shè)S“是數(shù)列｛叫的前n項(xiàng)和，且4=3,當(dāng)n>2時(shí)，有Sn+Sn_-2SSn_=2nan，

則使得SN…5金2019成立的正整數(shù)m的最小值為.

S〃+Si—

【解析】因?yàn)?1Vl=2叫佗2），所以2s戶1=2"以一S-）（論2），

口JLL…2〃+12〃-1

所以（2”+1電_「（2〃—1月=25/1（龍2）.易知S*,所以飛一一--=2（生2）.

2H+1

令bn=—3L，則bn~bn-1=2、（?>2/）,

n

33

又4=拼=：=1,所以數(shù)列色｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以6"=2L1,

LL…2〃+1LLrt2〃+1「L-52m+1LL」

所以一^=2〃一1,所以S=^-7.所以…S=3x^x...x-——=2m+l>2019,所以加之1009.

S,"2〃一11232m-1?

即使得…S22019成立的正整數(shù)m的最小值為1009.

【題后升華】解決本題的關(guān)鍵：一是細(xì)觀察、會(huì)構(gòu)造，即通過觀察所給的關(guān)于S,,,an的關(guān)系式，思考是將

往轉(zhuǎn)化，還是將往轉(zhuǎn)化；二是會(huì)解不等式，把求出的相關(guān)量代入已知不等式，轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足

SnannanS

的不等式，解不等式即可求出參數(shù)的最小值.

類型二.數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

111

【例2】（2020?安徽安慶4月聯(lián)考）在△N8C中，角4,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且也;勺C=smA±smB

（1）求角/的大小;

（2）若等差數(shù)列｛與｝的公差不為零，4sinN=l,且4，%，4成等比數(shù)列，b”=3~，求數(shù)列｛6J的前"項(xiàng)

n"+1

和

Sn.

■AR—.（\/3sin5—sinCsin^4+sin5『口一）一、e一,「xl^b-cb+al

【解析】（1）由=---------,根據(jù)正弦定理可得z_,即枕+。2—。2=小6。，

DClC0cle

LL-bl+c2—a2\[3,z_71

所以cosA=---2bc-----2'由0<“<兀，得幺=不

IT,TT]

⑵由⑴知，4=石，設(shè)數(shù)列｛叫的公差為d（d#0），因?yàn)橥庥?=1,所以。叫%=即]=1,解得％=2.

因?yàn)?，ae4成等比數(shù)列，所以。4=。2。8，即（4+36?）2=（%+菊（4]+72，所以〃2=2d.

又存所以則Q〃，_I_Q\），

0,d=2,n=2bn=--（〃十）^T7

anan+1A2n224"n~\-r

則S"=%（1_｝+（；_；）+…+[*）]=*—擊）=而％

類型三.數(shù)列與函數(shù)的綜合

【例3】（2020?吉林長(zhǎng)春5月聯(lián)考）已知等差數(shù)列｛叫的前n項(xiàng)和為"，公差上0,%和稅是函數(shù)加）=?門

+提2—8X的極值點(diǎn)，則項(xiàng)=（）

A.—38B.38C.-17D.17

J5/1、/15、

15]158xI4(x2)(12)

【解析】因?yàn)椋鹸)=1lnx+/2—8x,所以了(%)=1+%-8=-------------=------------------------

令/(x)=0,解得或■.又綜和。8是函數(shù)外）的極值點(diǎn)，且公差d>0,

4+54=],u——17,

%=今所以18x(8—1)

所以繪=了解得7所以Sq=8aH-------5--------乂4=-38,故選A.

4+71=苧,812

類型四.數(shù)列中的新定義問題

4+2%+…+2)-iq

【例4】（2020?河北石家莊4月模擬）數(shù)列｛aJ的前n項(xiàng)和為S〃,定義｛與｝的“優(yōu)直，為與

n

現(xiàn)已知｛叫的“優(yōu)直耳=2"，則S"

%+2%+…+2〃-1區(qū)

【解析】由〃"=二2"，得+2〃+…+2〃-1。="2〃，①

n1Zn

當(dāng)〃時(shí)，〃②

N2q1+2a2+…+2-2an—1=('n—l)/2?-i,

由①一②得一(n—=(〃+即％=〃+1(〃之2),

當(dāng)〃=1時(shí)，%=2也￥兩足式子Q“=〃+1,

n(2+?+1)n(〃+3)

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為%="+1，所以S“

22

類型五.數(shù)列中的新情境問題

【例5】（2020?安徽六校第二次聯(lián)考）已知｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且4+a,=3,a-a=2,等

差數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和為S/且4=5,54=16.

（1）求數(shù)列｛%｝,｛6〃｝的通項(xiàng)公式;

O

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,有點(diǎn)尸]（勺0）,尸2（e0），…，P他，°），尸〃+1&+1，°），。1（勺4），。2（叼

b）...?Q（tz,b）,若記△尸。尸的面積為c,求數(shù)列｛。｝的前〃項(xiàng)和T.

2/fnn，n^nn+1nvnJn

[a.-\-a.q—3,

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為g,因?yàn)?+4=3,4=2,所以

[。1夕2—4q—2,

得%2—5夕-2=0,又9>0,所以q=2,4=1,則a〃=2〃-i.

自+2d=5,自=1,

設(shè)數(shù)列｛6｝的公差為力因?yàn)?=5,5=16,所以,一，，，解得,c則6=2〃-1.

"34[46]+6d=16,[d=2,n

⑵由⑴得尸￡+L"+「"=2L2〃T=2"T,PnQ=b=2n-\,

,,c2?-i（2〃-1）

故c“=SM￡乙+1=2=（2〃一l）2"-2,

，><_><

則7n=c1+c2+c3+...+cn=2Hl3+2x5+...+（2w—1）2〃-2,①

27；=1X1+2X3+4X5+…+（2〃一1）2”T,②

112（1—2〃-1）

由①一②得，-,=1+2（1+2+...+2”-2）—（2n-1）2-1=,+1一（2〃-1）2?-1

3,3

二（3—2〃）2〃-1—2?故/=（2〃-3）2〃-i+z（〃￡N*）.

二、高效訓(xùn)練突破

、選擇題

1.（2020屆河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”）已知數(shù)列｛4｝滿足：an+l=a-aiil（n>2,〃GN*）,a=\,a=2,可為數(shù)

列｛與｝的前"項(xiàng)和，則邑018=（）

A.3B.2C.1D.0

【解析】：因?yàn)閍,=a~a.,a=\,a=2,所以見=1,a=—1,a=—2,a=~l,a=l,a=2,

n+1nn—11234Jo/o

故數(shù)列｛a｝是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項(xiàng)的和為0,故邑c^=336x0+a+a=a+a=3.

<n'2Olo2UI/2Ulo12

故選A.

2.（2020?汕頭摸底）已知數(shù)列｛與｝,若a〃+]=%+%+2（〃￡N*）,則稱數(shù)列｛%｝為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列彷“｝為“凸

數(shù)列”，且4=1,4=—2,則數(shù)列｛々｝的前2019項(xiàng)和為（）

A.5B.-4

C.0D.-2

=

【解析】由"凸數(shù)列''的定乂及41=1,bZ=—2,得6J=—3,b4=—1fb3=2,b0=3,/b=10,b—2,…,

???數(shù)列｛2｝是周期為6的周期數(shù)列，且4+%+與+々+々+66=0,2019=336x6+3,于是數(shù)列｛々｝的前2019

項(xiàng)和為336x（）+4+62+63=-4.

3.(2020?山東臨沂三模)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,

21,34,55,…即尸⑴盤尸(2)=1,F(n)=F(n-t)+F(n-2)(n>3,n￡N*).此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面

都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛4,｝,則數(shù)列｛與｝的前2019項(xiàng)的和為()

A.672B.673

C.1346D.2019

【解析】：.由于｛%｝是數(shù)列1，1，2,3,5,8,13,21,34,55,…各項(xiàng)除以2的余數(shù)，

故｛與｝為1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,所以｛4｝是周期為3的周期數(shù)列，

且一個(gè)周期中的三項(xiàng)之和為1+1+0=2.因?yàn)?019=673x3,

所以數(shù)列｛5｝的前2019項(xiàng)的和為673x2=1346.故選C.

4.(2020?河北保定期末)在數(shù)列｛%｝中，若4=1,%=3,%+2=%+i—a“(〃GN*),則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和

是()

A.18B.8

C.5D.2

[解析]：因?yàn)椤=1，4=3,%=3—1=2,%=2—3=—1,a5=—1—2=—3,

%=—3+1=—2,a7=—2+3=1,a8=l+2=3,a9=3—1=2,所以｛3｝是周期為6的周期數(shù)列，因

為100=16x6+4,所以S]oo=16x(l+3+2—1—3—2)+(1+3+2—1)=5.故選C

號(hào),a是偶數(shù),

5.數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，前〃項(xiàng)和為"，若a“+]=j2"且％=5,則％)2o=()

3a+n1,na是奇數(shù)，

A.4740B.4737

C.12095D.12002

g,a是偶數(shù),

n且%=5,。2=3義5+1=16,。3=?=8,。4=￡=4,%=?=2,

【解析】依題意與+iz

、是奇數(shù),

3a+n1,na

2

。6=]=1，%=3'1+1=4,…所以數(shù)列｛%｝從第四項(xiàng)起構(gòu)成周期為3的周期數(shù)列.因?yàn)?020=3+3x672+1,

所以$2020=5+16+8+(4+2+1)x672+4=4737.

6.(2020?江西省五校協(xié)作體試題)設(shè)可是數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，若4+S〃=2",2么=24+2—%+/則，+奈+…

+15^=()

979899100

A,98B,99C,100D-TOI

【解析】：因?yàn)閍〃+S〃=2"①，所以分+]+S〃+]=2〃+i②，②一①得2Q〃+]—a[=2〃，所以北叱2一"用=2"+1，

又26=2Q~a=2"+i,所以b=〃+1,=-=-(L、=」--Li■，則3+5^--卜…+1人一―1-

”"+2,1+1"叫〃(〃+l)nn+142b2100%22

3+???+loo-IoT=1-IoT=ToT,故選D,

7.(2020?洛陽模擬)記數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知％=1,(S“+]—S〃)尢=2〃(〃￡N*),則82020=()

3

A.3x(21010—1)B.2X(2IOIO—1)

3

C.3x(22020—1)D.1X(22020—1)

【解析】因?yàn)?S“+1—S")%=2，，(〃GN*),所以外+]%=2"(〃eN*),所以％+，%+]=2"+i.兩式作比可得今4=2(〃

n

GN*).又因?yàn)?=1,a,a=2,所以q=2.所以數(shù)歹!Hq”｝是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，｛4一j是首項(xiàng)

為1,公比為2的等比數(shù)列.所以$2020=(4+%+…+02017+02019)+(02+"4+…+°2018+“2020)=1

2x(l—2ioio),,山

--Y-2----=3x(21010—1).故選A.

8.(2020?河北五個(gè)一名校聯(lián)盟第一次診斷)數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式為4=〃cos登，其前n項(xiàng)和為S”,則邑⑵等于

()

A.-1010B.2018C.505D.1010

JT

【解析】易知4=cos]=0,a2=2cos7r=-2,%=0,超=4，.…所以數(shù)列｛與｝的所有奇數(shù)項(xiàng)為。，前2020

項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)(共1010項(xiàng))依次為一2,4,—6,8,…，-2018,2020.故$2020=。+(—2+4)+(—6+8)+...+

(-2018+2020)=1010.a2021=0,：.S2QV=1010.故選D.

9.(2020?黑龍江牡丹江一中模擬)已知數(shù)列｛與｝滿足％=2,4a3="，｛：｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛(一1)"%｝的

前10項(xiàng)的和與是()

A.220B.110

C.99D.55

【解析】：設(shè)等差數(shù)列]，1的公差為d,則2=%+51,系=?+3/將已知值和等量關(guān)系代入，計(jì)算得

=

d=2,所以丁=%+("—l)d=2",a“=2〃2,所以510—4+%—%+%—…+。]°=2(1+2+…+10)=110,

故選B.

10.(2020?北京市石景山區(qū)3月模擬)九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連

成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)援，解之為二，又合而為一.”

在某種玩法中，用a“表示解下〃(於9,〃GN*)個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，數(shù)列｛aj滿足4=1,且a=

\2a.-L〃為偶數(shù)，

2a"+2"為奇數(shù)則解下4個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)。4為()

1n—\

A.7B.10

C.12D.22

[2a—L〃為偶數(shù)，

【解析工因?yàn)閿?shù)列｛嗎滿足%=1,且%=J+2,〃為奇數(shù)，

In—l

所以—1=2—1=1,所以4=2〃,+2=2xl+2=4,所以%二？%?1=2乂4-1=7.故選A.

11.設(shè)了=/)是一次函數(shù)，若｛0)=1,且人1),黃4),人13)成等比數(shù)列，則人2)+44)+…+人2〃)等于()

A.〃(2〃+3)B.〃(〃+4)

C.2〃(2〃+3)D.2"(〃+4)

【解析】：由題意可設(shè)｛x)=fcc+l(際0),則(4左+1)2=%+16(13左+1),解得％=2,人2)+負(fù)4)+…+｛2〃)

=(2x2+l)+(2x4+l)+…+(2x2〃+l)=〃(2"+3).

12.(2020?山東臨沂三模)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,

21,34,55,…即尸(1)=網(wǎng)2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(M>3,nGN*).此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面

都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛aj,則數(shù)列｛%｝的前2019項(xiàng)的和為()

A.672B.673

C.1346D.2019

【解析】：由于｛冊(cè)｝是數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各項(xiàng)除以2的余數(shù)，

故｛4,｝為1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,所以｛4｝是周期為3的周期數(shù)列，

且一個(gè)周期中的三項(xiàng)之和為1+1+0=2.因?yàn)?019=673x3,

所以數(shù)列｛4｝的前2019項(xiàng)的和為673x2=1346.故選C.

二、填空題

1.(2020?九江聯(lián)考)若｛與｝,｛6J滿足a“6〃=l,4=〃2+3〃+2,則也J的前18項(xiàng)和為.

【答案】：，9

【解析】：因?yàn)閍n6n=1,且。n=〃2+3〃+2,

_1________1___________1_____1_

'〃2+3〃+2(〃+2)(H+1)H+1〃+2'

、的--岳IJIJ1,?111110-19

所以色｝的刖18項(xiàng)和為爹一g+g—q+彳―5+…+正一前=/一加=/-=而.

2.已知數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和為S〃，4=1,4=2，且“〃+2-2a〃+i+%=0(〃￡N*),記丁〃=，+芥+…+，

12n

("GN*),貝172018=-

【解析】：由冊(cè)+2—2%+]+%=0(〃eN*),可得%+2+%=2%+],所以數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，公差%

=2-1=1,通項(xiàng)公式a=%+("—l)xd=l+〃-1=〃，則其前〃項(xiàng)和S=上巴普2="耍匕，所以1

"1nZZO

n

211、11,,111,11,,11、…12n

=〃(力+1)=2(]一幣)，？?=￡+&+…+不=2(1—/+2—3+…+/—幣)=2(1—干尸干，故7^8

_2x2018_4036

=2018+1=2019

3.（2020,商丘質(zhì)檢）有窮數(shù)列1,1+2,1+2+4,…，1+2+4+...+2”-1所有項(xiàng)的和為

2n—1

【解析】因?yàn)?+2+4+..,+21=門=2"—1

所以=1+(1+2)+(1+2+4)+…+(1+2+4+…+2?-1)

2(2,一1)

—(2—1)+(22—1)+(23—1)+...+(2?—1)=(2+22+23+…+2〃)一n=-2_】---n—2n+i—n—2.

4.（2020?棗莊模擬）已知等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,a=5,S=15,則數(shù)列一-—1的前100項(xiàng)和為

n

〃,'a,a

nn+1

%+4d=5,

【解析】等差數(shù)列｛與｝中，???%=5,§5=15,?'4x5解得力=1，d=l,

-2~d=15,

[11___]_

.??%=]+(〃―l)=nf

a,an+~n(n+l)~nn+1

1

數(shù)歹！I]-----------1的前100項(xiàng)和S1001-g…+島焉=1-看嘲.

a-a1UU

nn+1)

5.（2020-湖南郴州第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知數(shù)列｛與｝和｛6“｝滿足a產(chǎn)2%…%=26“（〃6脂），若數(shù)列應(yīng)｝為等比

,,[1'

數(shù)列，且a1=2,a4=16,則數(shù)列<—>的前n項(xiàng)和S“=.

2,所以%〃

【解析】：因?yàn)椋??！埃秊榈缺葦?shù)列，且4=2,a=\6,所以公比4=\憐==2,

“九”+1)、〃(m+1)

所以4產(chǎn)2。3…“〃=21X22X23X…X2〃=21+2+3+...+"=22.因?yàn)椤óa(chǎn)2a3…%=2%所以bn=------2-----

n

三解答題

1.已知數(shù)列｛〃“｝滿足4]=1,且%