2024-2025學年第一學期高二開學摸底測試卷 數(shù)學21含答案（人教B版2019）（江蘇專用 蘇教版2019）

2024新高二開學摸底考試卷（江蘇專用，蘇教版2019）數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試范圍：蘇教版2019必修第一冊、第二冊以及選修必修第一冊直線與方程4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要2．若復數(shù)滿足，則等于（）A. B. C. D.23．某射擊運動員射擊6次，命中的環(huán)數(shù)如下：7，9，6，9，10，7，則關于這組數(shù)據(jù)的說法正確的是（）A.極差為10 B.中位數(shù)為7.5 C.平均數(shù)為8.5 D.標準差為4．已知向量，向量在上的投影向量為，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.25．已知直線與直線關于點對稱，則實數(shù)的值為（）A.2 B.6 C. D.6．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則7．設為銳角，若，則的值為（）A. B. C. D.8．若函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，，則下列說法不正確的是（）A． B．的圖象關于點中心對稱C．的圖象關于直線對稱 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．盒子里有3個紅球和2個白球，從中不放回地依次取出2個球，設事件“兩個球顏色相同”，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，“兩個球顏色不同”．則（）A.與互為對立事件 B.與互斥 C.A與B相互獨立 D.10．已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.C.的圖象關于直線對稱 D.在區(qū)間上單調遞增11.在正四棱臺中，，，，點E在內部（含邊界），則（）A.平面 B.二面角大小為C.該四棱臺外接球的體積為 D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．直線恒過定點_________13．已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則_________14．古希臘數(shù)學家托勒密于公元150年在他的名著《數(shù)學匯編》里給出了托勒密定理：圓的內接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知平面凸四邊形ABCD外接圓半徑為1，．則（1）__________；（2）的最小值為__________．解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．2024年5月15日是第15個全國公安機關打擊和防范經(jīng)濟犯罪宣傳日，某市組織了多個小分隊走進社區(qū)，走進群眾，開展主題為“與民同心，為您守護”的宣傳活動，為了讓宣傳更加全面有效，某個分隊隨機選擇了200位市民進行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：（1）請估計這200位市民的平均年齡（同組數(shù)據(jù)用組中值代替）；（2）現(xiàn)用分層抽樣方法從年齡在區(qū)間和兩組市民中一共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行電話回訪，求“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，底面ABCD，，，E為PD中點，F(xiàn)為PB中點，M為CE中點．（1）求證：平面平面PAB；（2）求證：平面BDM．17．已知的頂點，，.（1）若直線過頂點，且頂點A，到直線的距離相等，求直線的方程；（2）數(shù)學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共線，這條直線稱為歐拉線.求的歐拉線方程.18．在中，已知角，，所對的邊分別為，，，．（1）求角的大?。唬?）若為銳角三角形，求的取值范圍．19．如圖，在四棱柱中，已知側面為矩形，，，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求證：平面平面；（3）若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值.新高二開學摸底考試卷（江蘇專用，蘇教版2019）數(shù)學·答案及評分標準一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．C.2．A.3．D4．A.5．A6．D7．B8．D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．AD10．BD11.ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．13．14．①.②.解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得這200位市民的平均年齡為：；........5分（2）樣本中年齡在區(qū)間的頻率為，年齡在區(qū)間的頻率為，........7分則年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、、、，年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、，........9分從這6人中隨機抽取2人進行電話回訪可能結果有、、、、、、、、、、、、、、共個，其中滿足抽取的2人的年齡差大于10歲的有、、、、、、、共個，所以“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.........13分16．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【詳解】（1）底面ABCD．平面ABCD，．又，，平面PAB平面PAB．平面ACE，平面平面PAB．.........6分（2）連接EF、AE，連接AC交BD于點O，連接OM．在中，M，O分別為CE，AC中點，．.........7分又平面BDM，OM平面BDM，平面BDM：.........9分在中，E，F(xiàn)分別為PD，PB中點，．又平面BDM，平面BDM．平面BDM；.........12分又AE，平面AEF，，平面平面BDM．又平面AEF，所以平面BDM．.........15分17．【答案】（1）或（2）【詳解】（1）若直線的斜率不存在，顯然不合題意，可設直線，即，由題意可得：，整理得，解得或，.........5分所以直線的方程或..........7分（2）因為的中垂線為，可設的外心，又因為，可得，則，解得，即，.........10分由題意可知：的重心，則歐拉線的斜率為，.........13分故的歐拉線的方程為，即..........15分18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）在中，，.........3分因為，所以，.........5分化簡得，由余弦定理得，又，所以；.........8分（2）由正弦定理知，.........10分由為銳角三角形可知，而，所以得，.........12分所以，所以，即，則的取值范圍為..........17分19．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）或.【詳解】（1）因為，，所以，又平面，平面，所以平面，，，可得，又，，所以是等邊三角形，所以，，又，所以，又平面，平面，平面，又，又平面，所以平面平面；.........5分（2）由側面為矩形，可得，連接，可得是等邊三角形，所以，所以，又，，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；.........10分（3）延長交于，可得是等邊三角形，過作于，由（1）可知平面，所以三棱錐的體積即為三棱錐的體積，又三棱錐的體積等于三棱錐的體積，由（2）可知平面平面ABCD，且兩平面的交線為，所以平面，所以，解得，過作于，連接，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，，所以為平面與平面所成二面角的平面角，.........13分若，則點在線段上，且為中點，又，由勾股定理可得，所以，所以，所以由勾股定理可得，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為；.........15分若，則點在線段延長線上，此時，..........17分新高二開學摸底考試卷（江蘇專用，蘇教版2019）數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試范圍：蘇教版2019必修第一冊、第二冊以及選修必修第一冊直線與方程4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則“”是“”的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要【答案】C【分析】根據(jù)集合的基本關系以及充分必要條件的判斷即可得解.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以是的充要條件,故選：C.2．若復數(shù)滿足，則等于（）A. B. C. D.2【答案】A【分析】由復數(shù)的除法法則求得，可求.【詳解】由，可得，所以，所以.故選：A.3．某射擊運動員射擊6次，命中的環(huán)數(shù)如下：7，9，6，9，10，7，則關于這組數(shù)據(jù)的說法正確的是（）A.極差為10 B.中位數(shù)為7.5 C.平均數(shù)為8.5 D.標準差為【答案】D【分析】利用極差、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差的定義，根據(jù)條件逐一對各個選項分析判斷即可得出結果.【詳解】某射擊運動員射擊6次，命中的環(huán)數(shù)從小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，對A，極差為，故A錯誤；對B，中位數(shù)為，故B錯誤；對C，平均數(shù)為，故C錯誤；對D，標準差，故D正確.故選：D4．已知向量，向量在上的投影向量為，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的定義式，結合題意即可求得.【詳解】由向量，可得，因向量在上的投影向量為，由題意，，解得.故選：A.5．已知直線與直線關于點對稱，則實數(shù)的值為（）A.2 B.6 C. D.【答案】A【分析】根據(jù)線關于點對稱即可得兩直線平行，進而根據(jù)點的對稱代入求解即可.詳解】由于直線與直線關于點對稱，所以兩直線平行，故，則，由于點在直線上，關于點的對稱點為，故在上，代入可得，故，故選：A6．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關系一一判斷即可.【詳解】對于A：若，，則或，又，則或與相交，故A錯誤；對于B：若，，則或，又，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，，則，又，則與平行或異面，故C錯誤；對于D：若，，則或，若，則在平面內存在直線，使得，又，則，又，所以；若，又，所以；綜上可得，由，，，可得，故D正確.故選：D7．設為銳角，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導公式、同角公式及二倍角公式求解即得.【詳解】由為銳角，得，而，因此，所以故選：B8．若函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，，則下列說法不正確的是（）A． B．的圖象關于點中心對稱C．的圖象關于直線對稱 D．【答案】D【分析】對于A：根據(jù)，賦值令，即可得結果；對于C：根據(jù)結合奇函數(shù)定義可得，即可得結果；對于B：根據(jù)選項B中結論分析可得，即可得結果；對于D：分析可知：4為的周期，結合周期性分析求解.【詳解】因為，，對于選項A：令，可得，故A正確；對于選項C：因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，則，則，所以的圖象關于直線對稱，故C正確；對于選項B：因為，可得，則，即，所以的圖象關于點中心對稱，故B正確；對于選項D：因為，令，可得，令，可得，又因為，則，可知4為的周期，可得，即，因為，所以，故D錯誤；故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．盒子里有3個紅球和2個白球，從中不放回地依次取出2個球，設事件“兩個球顏色相同”，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，“兩個球顏色不同”．則（）A.與互為對立事件 B.與互斥 C.A與B相互獨立 D.【答案】AD【分析】依次列出樣本空間，事件、、、包含的基本事件，由事件的基本關系及概率公式一一判定選項即可.【詳解】依題意可設個紅球為，，，2個白球為，，則樣本空間為：，共個基本事件.事件，共個基本事件.事件，共個基本事件.事件，共個基本事件.事件，共個基本事件.對于A，顯然、不可能同時發(fā)生，且與中一定有一個會發(fā)生，所以與互為對立事件，故A正確；對于B：注意到，則與不互斥，故B錯誤；對于C：因為，則，故與不獨立，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AD10．已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.C.的圖象關于直線對稱 D.在區(qū)間上單調遞增【答案】BD【分析】利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡，在根據(jù)正弦函數(shù)的性質計算可得.【詳解】因為，所以的最小正周期，故A錯誤；因為，所以，故B正確；因為，所以的圖象不關于直線對稱，故C錯誤；當，則，又在上單調遞增，所以在區(qū)間上單調遞增，故D正確.故選：BD11.在正四棱臺中，，，，點E在內部（含邊界），則（）A.平面 B.二面角大小為C.該四棱臺外接球的體積為 D.的最小值為【答案】ABD【分析】對于A，為中點，證明證得平面；對于B，幾何法求二面角的大??；對于C，先假設球心的位置，利用勾股定理與半徑相等建立方程組進而確定的位置，可求得球的半徑并計算體積；對于D，先判斷落在上，再進一步判斷與重合時，取得最小值.【詳解】對于A，如圖1，設底面對角線交于點，由棱臺的結構特征易知與的延長線必交于一點，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由，，，得，，即；所以四邊形是平行四邊形，故，而面，面，所以平面，故A正確；對于B，正四棱臺中，為中點，，則，由，則有，所以二面角的平面角為，，，為正三角形，所以二面角的大小為，故B正確；對于C，如圖2，設為的中點，為正四棱臺外接球的球心，設外接球的半徑為，則，等腰梯形中，易得，為方便計算，不妨設，則由，即，得，又，解得，即與重合，故，故球的體積為，故C錯誤；對于D，由圖2易得，，，面，故面，不妨設落在圖3(在外)處，過作，交于，則面，面，故，故在中，（直角邊小于斜邊）；同理，，所以，故動點只有落在上，才有可能取得最小值；再看圖4，由AB選項可知，，，和都為正三角形，關于的對稱點為，可知，即與重合時，有最小值，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．直線恒過定點______.【答案】ACD【分析】整理直線方程，可化為，當且時，無論取何值，方程恒成立，解方程組即可解得定點，即可判斷正誤；【詳解】因為直線，即，令，解得，即直線恒過定點，故答案為：13．已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則_________【答案】【分析】根據(jù)題意得，由三點共線求得，利用向量數(shù)量積運算求解.【詳解】，，且，而三點共線，，即，，所以.故答案為：14．古希臘數(shù)學家托勒密于公元150年在他的名著《數(shù)學匯編》里給出了托勒密定理：圓的內接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知平面凸四邊形ABCD外接圓半徑為1，．則（1）__________；（2）的最小值為__________．【答案】①.②.【分析】由正弦定理可得的比，由余弦定理可得的值，由正弦定理可得的值，再由托勒密定理可得的表達式，由基本不等式可得它的最小值.【詳解】，由正弦定理可得：，設，由余弦定理可得，在中，，可得，由正弦定理可得，，，設，由余弦定理得，由托勒密定理得，即，平方得，設，，當且僅當且，即時取等號，的最小值為，即的最小值為.故答案為：;.解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．2024年5月15日是第15個全國公安機關打擊和防范經(jīng)濟犯罪宣傳日，某市組織了多個小分隊走進社區(qū)，走進群眾，開展主題為“與民同心，為您守護”的宣傳活動，為了讓宣傳更加全面有效，某個分隊隨機選擇了200位市民進行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：（1）請估計這200位市民的平均年齡（同組數(shù)據(jù)用組中值代替）；（2）現(xiàn)用分層抽樣方法從年齡在區(qū)間和兩組市民中一共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行電話回訪，求“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計算規(guī)則計算可得；（2）首先求出年齡在區(qū)間和中抽取的人數(shù)，再列出所有可能結果，最后由古典概型的概率公式計算可得.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得這200位市民的平均年齡為：；（2）樣本中年齡在區(qū)間的頻率為，年齡在區(qū)間的頻率為，則年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、、、，年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、，從這6人中隨機抽取2人進行電話回訪可能結果有、、、、、、、、、、、、、、共個，其中滿足抽取的2人的年齡差大于10歲的有、、、、、、、共個，所以“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，底面ABCD，，，E為PD中點，F(xiàn)為PB中點，M為CE中點．（1）求證：平面平面PAB；（2）求證：平面BDM．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）證明出即可證明出平面PAB從而證明出平面平面PAB．（2）先證明平面平面BDM．再利用面面平行的性質證明即可..【詳解】（1）底面ABCD．平面ABCD，．又，，平面PAB平面PAB．平面ACE，平面平面PAB．（2）連接EF、AE，連接AC交BD于點O，連接OM．在中，M，O分別為CE，AC中點，．又平面BDM，OM平面BDM，平面BDM：在中，E，F(xiàn)分別為PD，PB中點，．又平面BDM，平面BDM．平面BDM；又AE，平面AEF，，平面平面BDM．又平面AEF，所以平面BDM．17．已知的頂點，，.（1）若直線過頂點，且頂點A，到直線的距離相等，求直線的方程；（2）數(shù)學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共線，這條直線稱為歐拉線.求的歐拉線方程.【答案】（1）或（2）【分析】（1）根據(jù)題意可設直線，結合點到直線的距離公式運算求解；（2）根據(jù)外心在的中垂線為可設，及到頂點距離相等列方程可得，結合重心求直線方程.【詳解】（1）若直線的斜率不存在，顯然不合題意，可設直線，即，由題意可得：，整理得，解得或，所以直線的方程或.（2）因為的