山西省呂梁市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

2024~2025學(xué)年高二9月質(zhì)量檢測卷數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊第一章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，若，則（）A.1B.0C.-1D.-22.已知是坐標(biāo)原點，空間向量，若線段的中點為，則（）A.B.3C.8D.93.若平面的法向量，直線的方向向量，則（）A.B.C.D.或4.已知為空間中不共面的四點，且，若四點共面，則函數(shù)的最小值是（）A.2B.1C.-1D.-25.在平行六面體中，分別是的中點.設(shè)，則（）A.B.C.D.6.已知向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.7.在長方體中，為的中點，則點到平面的距離為（）A.B.C.D.8.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，，點是的中點，則線段上的動點到直線的距離的最小值為（）A.B.2C.D.3二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是空間中三個向量，則下列說法錯誤的是（）A.對于空間中的任意一個向量，總存在實數(shù)，使得B.若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底C.若，則D.若所在直線兩兩共面，則共面10.已知三棱柱為空間內(nèi)一點，若，其中，則（）A.若，則點在棱上B.若，則點在線段上C.若為棱的中點D.若，則點在線段上11.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點，則下列說法正確的有（）A.四點共面B.與所成角的大小為C.在線段上存在點，使得平面D.在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為__________.13.如圖，已知二面角的大小為且，則__________.14.已知正方體的棱長為2，點在線段上（不含端點）.若是銳角，則線段長度的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求的值.16.（本小題滿分15分）如圖，在四面體中，，點，分別在棱上，且.（1）用表示；（2）求異面直線所成角的余弦值.17.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，，平面平面，分別是的中點.（1）證明：；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.18.（本小題滿分17分）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19.（本小題滿分17分）如圖，在三棱臺中，是等邊三角形，，側(cè)棱平面，點是棱的中點，點是棱上的動點（不含端點）.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值的最小值.2024~2025學(xué)年高二9月質(zhì)量檢測卷·數(shù)學(xué)參考答案?提示及評分細則1.A因為，所以，即，解得.故選A.2.B由題意得，所以，所以.故選B.3.D因為，所以或.故選D.4.D因為四點共面，所以，所以，所以，所以函數(shù)的最小值為-2.故選D.5.A如圖所示，，即.故選A.6.C由題意得，設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)是，則，所以解得故選C.7.D如圖，以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，則，設(shè)是平面的一個法向量，則令，則，又，所以點到平面的距離為.故選D.8.C取的中點為，連接，因為為的中點，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，所以，又底面是矩形，所以，以點為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由，得，所以，則，設(shè)，則，因此點到直線的距離，當(dāng)時，取最小值，即線段上的動點到直線的距離的最小值為.故選C.9.ACD由空間向量基本定理，可知只有當(dāng)不共面時，才能作為基底，才能得到，故A錯誤；若是空間的一個基底，則不共面，也不共面，所以也是空間的一個基底，故B正確；若，則不一定平行，故C錯誤；若所在直線兩兩共面，則不一定共面，故D錯誤.故選ACD.10.ABD若，則，即，所以，故點在棱上，故A正確；若，則，所以，故點在線段上，故B正確；若，則，故為的中點，故C錯誤；若，則三點共線，即點在上，故D正確.故選ABD.11.AD以為原點，以所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，所以解得故，即四點共面，故A正確；因為，所以，所以與所成角的大小為，故B錯誤；假設(shè)在線段上存在點，符合題意.設(shè)，則，若平面，則.因為，所以此方程組無解，所以在線段上不存在點，使得平面，故C錯誤；因為，所以，又平面平面，所以平面，故上的所有點到平面的距離即為到平面的距離，是定值，又的面積是定值，所以在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值，故D正確.故選AD.12.求一個點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)，就是將軸的分量取相反數(shù)，而軸和軸的分量不變，故點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)就是.13.因為二面角的大小為，所以與的夾角為，又，所以，所以.14.如圖，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則.因為在線段上，所以可設(shè)，其中.于是，.由于是銳角，所以，即，即.又由于，所以不等式的解集為.因此.15.解：（1）若，則存在實數(shù)，使，即，所以解得所以.所以，所以.（2）因為，所以，解得.因為，所以，所以.當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，，所以.16.解：（1）因為點分別在棱上，且，所以，所以，.（2）因為，所以.所以，，，所以，即異面直線所成角的余弦值為.17.（1）證明：是中點，，平面平面，平面平面平面平面，又平面.（2）解：取中點，連接分別為中點，，又.以為坐標(biāo)原點，為軸正方向，過作軸，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，.設(shè)平面的法向量，則令，解得，，解得或，即的長度為或.18.（1）證明：取的中點，連接，因為分別為的中點，所以，又為的中點，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，故以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，所以.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.19.（1）證明：因為是等邊三角形，點是棱的中點，所以，又平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：在平面中，過點作，所以，又平面平面，所以，