廣東省湛江市博雅學校2023-2024學年高二上學期9月月考數(shù)學試題

湛江博雅學校高中部2023—2024學年第一學期第一次月考高二數(shù)學試卷注意事項：1.本試卷共4頁，22小題，滿分為150分，考試用時120分鐘.2.答題前，請考生務必將答題卷左側密封線內的項日填寫清楚.請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂?寫在答題卷上，在試題卷上作答無效.一?單選題（共8小題，40分）1.在空間直角坐標系中，與點關于平面對稱的點為（）A.B.C.D.2.若平面的法向量，直線的方向向量，則（）A.B.C.D.或3.已知，且，則（）A.B.C.D.4.如圖，直線的斜率分別為，則（）A.B.C.D.5.如圖，在四面體中，且，用表示，則等于（）A.B.C.D.6.已知空間中非零向量，且，則的值為（）A.B.133C.D.617.直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.8.正四面體的棱長為1，點是該正四面體內切球球面上的動點，當取得最小值時，點到的距離為（）A.B.C.D.二?多選題（共4小題，20分）9.下列說法中，錯誤的是（）A.任何一條直線都有唯一的斜率B.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C.任何一條直線都有唯一的傾斜角D.若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等10.已知，則下列結論正確的是（）A.B.C.為鈍角D.在方向上的投影向量為11.已知是不共面的三個向量，則能構成空間的一個基底的一組向量是（）A.B.C.D.12.在正三棱柱中，，點滿足，其中，則（）A.當時，的周長為定值B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，有且僅有一個點，使得平面三?填空題（共4小題，20分）13.平面的法向量是，點在平面內，則點到平面的距離為__________.14.兩平面的法向量分別為，則兩平面的夾角為__________.15.若直線與平行，則實數(shù)的值是__________.16.如圖，棱長為2正方體為底面的中心，點在側面內運動且，則點到底面的距離與它到點的距離之和最小是__________.四?解答題（共6小題，70分）17.已知點.（1）求直線的傾斜角（2）過點的直線與過兩點的線段有公共點，求直線斜率的取值范圍.18.設，向量，且.（1）求；（2）求向量與夾角的大小.19.如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.如圖，在三棱錐中，點為棱上一點，且，點為線段的中點.（1）以為一組基底表示向量；（2）若，求.21.已知.（1）若可以構成平行四邊形，求點的坐標；（2）在（1）的條件下，判斷構成的平行四邊形是否為菱形.22.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，二面角為直二面角.（1）求證：平面；（2）若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.參考答案：1.A【詳解】解：因為點，則其關于平面對稱的點為.2.D【詳解】因為，所以或.3.B【詳解】向量，則，因，于是得，解得，所以.4.D【詳解】由斜率的定義知，.5.C【詳解】因為，所以，故6.A【詳解】因為，所以7.C【詳解】以為原點，直線為軸，直線為y軸，直線為軸，則設，則，故，，所以，故選C.8.A【詳解】因為四面體是棱長為1的正四面體，所以其體積為.設正四面體內切球的半徑為，則，得.如圖，取的中點為，則.顯然，當?shù)拈L度最小時，取得最小值.設正四面體內切球的球心為，可求得.因為球心到點的距離，所以球上的點到點的最小距離為，即當取得最小值時，點到的距離為.9.ABD【詳解】解析A錯，因為傾斜角為的直線沒有斜率；B錯，因為時，時，C顯然對；若兩直線的傾斜角為，則它們的斜率不存在，D錯.10.BD【詳解】因為，所以不垂直，A錯，因為，所以對，因為，所以，所以不是鈍角，C錯，因為在方向上的投影向量對，11.AC【詳解】A.設，則無解，故正確；B.設，則，解得，故錯誤；C.設，則，無解，故正確；D.設，則，解得，故錯誤；12.BD【詳解】易知，點在矩形內部（含邊界）.對于A，當時，，即此時線段周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.對于C，當時，，取中點分別為，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，則，，所以或.故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取中點為，所以點軌跡為線段.設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確.13.【詳解】解：設直線與平面所成的角為，則點到平面的距離為14.【詳解】解：兩平面的法向量分別為，設兩平面的夾角為，所以，因為，所以，即兩平面的夾角為.15.-1【詳解】解：因為直線與平行，所以，解得，當時，直線與，兩條直線重合，故舍去.當時，直線與，符合題意.16.【詳解】以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，設點，，因為，則，即，即點，由題意可得，則，取點，則點的軌跡為線段，設點關于直線的對稱點為點，則線段的中點在直線上，所以，，可得，①，②，聯(lián)立①②可得，則點，由對稱性可知，所以，點到底面的距離與它到點的距離之和的最小值，即為點到平面的距離，即為.17.（1）（2）【詳解】（1）由已知得：直線的斜率，又（2）直線的斜率直線的斜率過點直線與過兩點的線段有公共點，直線斜率的取值范圍為18.（1）；（2）.【詳解】（1）由題意，，可得，解得，則，所以，故.（2）因為，所以，故向量與的夾角為.19.（1）證明見解析（2）【詳解】（1）由題意知，兩兩互相垂直，以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以.底面底面又，且平面，平面，所以是平面的一個法向量.因為，所以.又平面，所以P平面.（2）因為，所以，設平面的法向量為，則由，解得，令，得平面的一個法向量為.設直線與平面所成的角為，則.故：直線與平面所成角的正弦值為.20.（1）；（2）-3.【詳解】（1）為線段的中點，，，（2）21.（1）或或；（2）平行四邊形為菱形，平行四邊形不是菱形.【詳解】（1）由題意得，，設.若四邊形是平行四邊形，則，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，即，解得，即.綜上，點的坐標為或或.（2）若的坐標為，因為，所以，所以，所以平行四邊形為菱形.若的坐標為，因為，所以，所以平行四邊形不是菱形.若的坐標為，因為，直線的斜率不存在，所以平行四邊形不是菱形.因此，平行四邊形為菱形，平行四邊形不是菱形.22.（1）證明見解析（2）【詳解】（1）連接，由題設知四邊形為菱形，，分別為中點，；又為中點，，因