解析不等式恒成立問(wèn)題

解析不等式恒成立問(wèn)題縱觀近年來(lái)各地高考數(shù)學(xué)試題，有關(guān)不等式恒成立問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮，這類問(wèn)題既含參數(shù)又含變量，往往與函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何有機(jī)結(jié)合起來(lái)，具有形式靈活、思維性強(qiáng)、知識(shí)交匯點(diǎn)多等特點(diǎn).考題通常有兩種設(shè)計(jì)方式：一是證明某個(gè)不等式恒成立，二是已知某個(gè)不等式恒成立，求其中的參數(shù)的值或取值范圍.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化能使問(wèn)題起到“柳暗花明”的功效.而等價(jià)轉(zhuǎn)化過(guò)程往往滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，其常用方法主要有：更換主元法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、最值法等，筆者試圖通過(guò)本文能對(duì)學(xué)生突破這一難點(diǎn)有所啟迪.一、更換主元法在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題，同時(shí)注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更加明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù).例1.設(shè)不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍.解：設(shè)則不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)恒成立對(duì)恒成立.當(dāng)時(shí)，即解得故的取值范圍是.注：此類問(wèn)題常因思維定勢(shì)，學(xué)生易把它看成關(guān)于的不等式討論，此種解法因計(jì)算繁瑣易出錯(cuò)；若變換一個(gè)角度，以為變量，使則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）的值在內(nèi)恒為負(fù)時(shí)，參數(shù)應(yīng)滿足的條件——“換位”思考優(yōu)勢(shì)明顯.二、分離參數(shù)法當(dāng)不等式中的參數(shù)（或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式）能夠與其它變量完全分離出來(lái)，且分離后不等式另一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值可求時(shí)，常用分離參數(shù)法.例2.已知函數(shù)（為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).（Ⅰ）求的值與的范圍；（Ⅱ）若對(duì)（Ⅰ）中的任意實(shí)數(shù)都有在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（Ⅲ）若，試討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).立.由于，，亦即，所以.令，則，由得.且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也就是函數(shù)在定義域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范圍為.注：恒成立問(wèn)題多與參數(shù)的取值范圍問(wèn)題聯(lián)系在一起，是近幾年高考的一個(gè)熱門(mén)題型，它以“參數(shù)處理”為主要特征，以“導(dǎo)數(shù)”為主要解題工具.往往與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等有關(guān)，所以解題時(shí)要善于將這類問(wèn)題與函數(shù)最值聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)函數(shù)最值求解相關(guān)問(wèn)題.不等式恒成立問(wèn)題，因題目涉及知識(shí)面廣，解題方法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，難度大等特點(diǎn)，要求有較強(qiáng)的思維靈活性和創(chuàng)造性、較高的解題能力，上述方法是比較常用的，但因?yàn)閱?wèn)題形式千變?nèi)f化，考題亦?？汲Ｐ拢虼嗽趥淇嫉母鱾€(gè)階段都應(yīng)滲透恒成立問(wèn)題的教與學(xué)，在