中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)：三角形（五種模型）（解析版）

（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

重難點(diǎn)02三角形（五種模型）

目錄

題型一："8"字模型題型二：飛鏢模型

題型三："A"字模型題型四：〃老鷹捉小雞”模型

題型五：（雙）角平分線模型

Q麗方法

一、"8"字模型

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

對(duì)頂角相等

二、飛鏢模型

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

三角形的外角等子與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

三、"A"字模型

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.

四、〃老鷹捉小雞”模型

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.

五、（雙）角平分線模型

1.雙內(nèi)角平分線

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三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.

Q能力拓展

題型一："8"字模型

填空題（共3小題）

1.（2021春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使用?〃勿這條件可以是/BAC=2DCA或

4ABA/CDB或/BAD^/CDA=\琳或//叫/次方=180°.

【分析】利用平行線的判定定理找出內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的滿足條件即可.

【解答】解：???內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，

當(dāng)Z.BAC=N0G4或AABD=ZCDB時(shí)，AB//CD.

.同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行，

當(dāng)/掰3/如=180°或//冊(cè)/。％=180°,AB//CD.

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綜上所述,添加一個(gè)條件使AB//CD,這條件可以是：

/BAC=/DCA或/ABD=/CDB或/BAIKNCDA=\或//冊(cè)/比3=180°,

故答案為：/BAC=/DCA或/ABA/CDB或NBA況/CDA=\御或N4m/4為=180°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，充分利用平行線的判定法則是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖所示，2/+N班/價(jià)/多期母/b=360度.

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得/班/C=/1,/4+/b=/2,則這幾個(gè)角是一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角，故

N/+N班/介N"■/研//=360°.

【解答】解：：/出/。=/1,//+//=/2,

*/盤/分/研/6=N1+N2+N屏/片360°.

故答案為：360.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外角以及四邊形的內(nèi)角和,正確掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2019春?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，加、切相交于點(diǎn)”若龍平分//劭交切于公"平分交

四于G,N4=45°,/BEC=40°,則的度數(shù)為35°.

【分析】先根據(jù)角平分線定義得到/1=/2,/3=/4,再利用三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等得到

Z1+ZZ^Z4+ZXD,N1+N2+N片N3+N4+N4即2N1+N片2N4+N/②,接著利用①X2-②得

2/由此即可解決問(wèn)題.

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【解答】解：如圖,

<BE平分Z.DBA交DC于F,四平分/必交居于G,

；./l=N2,N3=N4,

'：Z1+ZD=Z4+ZB^）,

Nl+N2+/2=N3+/4+N4即2/l+/2=2N4+N/②，

由①X2-②得NA2NE-ZA,

；//=45°，/皈=40°,

：.ZD=35°,

故答案為35°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.解答的關(guān)鍵是找準(zhǔn)相關(guān)的三角形,然后利

用三角形內(nèi)角和定理建立等量關(guān)系.

二.解答題（共8小題）

4.（2012春?金山區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，已知與繆相交于點(diǎn)￡龍平分/期"平分試說(shuō)明

//、/￡、/C三者之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】連接項(xiàng)并延長(zhǎng),根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可以求出

/\+/2+/E=4BFD,Z.A+Z.ADF=/BFD,NG?/儂'=/⑹叨,再根據(jù)角平分線的定義求出

/儂‘=2/1,4ADF=2/2,整理即可得解.

【解答】解：如圖，連接項(xiàng)并延長(zhǎng)，

由三角形的外角性質(zhì)，Nl+N2+N￡=/〃"，

ZA+Z.ADF=ABFD,

/C+/CBF=/BFD,

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:=2Nl+2/2+2N￡

■:BE平分/CBF,龐平分/4明

：.4CBF=24\,/加戶=2/2,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),角平分線的定義,熟記性質(zhì)

并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

5.（2021春葉B江區(qū)月考）如圖1,已知線段/反切相交于點(diǎn)0,連接然、BD,則我們把形如這樣的圖形稱為

“8字型”.

（1）求證：/?+/「=/班

利用以上結(jié)論解決下列問(wèn)題：

⑵如圖2所示，Zl=130°,則N/+/"/仆N狀/瓦//的度數(shù)為260°.

⑶如圖3,若/。斤和/初，的平分線"和如相交于點(diǎn)P,且與CD,46分別相交于點(diǎn)M,N.

①若N6=100°,NC=120°，求/戶的度數(shù).

②若角平分線中角的關(guān)系改成々工/0以/切三工/口厲”，試直接寫出/尸與/旦/C之間存在的

44

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

（3）①根據(jù)角平分線的定義得到ZCAP=/BAP,4BDP=ZCDP,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到

4CAR4c=/CDK/P,/物片/加4N6,兩等式相減得到NO-AB,即/々工（/價(jià)/③，然

2

后把/。=120°,/6=100°代入計(jì)算即可；

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②與①的證明方法一樣得到4/片/班3NC.

【解答】解：⑴證明：在圖1中，有//+/C=180°-ZAOC,/班/2=180°-ZBOD,

"：/AOC=ABOD,

⑵如圖2所示,

'：ADME=AA+ZE,/3=/圾分/〃

研/片N3,

：/2=/3+/月Zl=130°,

；.N3+N尸=N2=N1=13O°,

；.//+/后/分//=130°,

,.,/班/「=/1=130°,

；.//+/班///分/4/b=260°.

故答案為：260°.

⑶①以〃為交點(diǎn)“8字型”中，有/丹/四三/仆/◎巴

以“為交點(diǎn)"8字型"中，有/K/BA仁/濟(jì)/BDP

：.2Z,K/BA抖/CDP=4冊(cè)48ZCAK4BDP,

,:AP、分分別平分和/初痣

ABAP=ACAP,ZCDP=ZBDP,

；.2/々/班NG

VZ^lOO0,ZC=120°,

.?./々工(/班/。=工(100°+120°)=110°;

22

②3/々N班2/4其理由是：

,/ZCAP=AzCAB,ZCDP=AzCDB,

44

ZBAP=-IzCAB,ZBDP=3Z.CDB,

44

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以〃為交點(diǎn)“8字型”中，有/nNCXQN行/竊己

以"為交點(diǎn)"8字型”中，有N4N掰々/曲?/薇P

：.ZC-/P=/CDP-/CA-L叱CDB-ZCA&,

4

ZP-/B=/BDP-ZBAP^^ZCDB-ACAB).

4

.\3(ZC-4P)=4P-AB,

：AAP=AB+3ZC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.也考查了角平分線的定義.

6.（2017春?鄲都區(qū)期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.

⑴如圖①,若AB//CD,點(diǎn)？在AB,3外部,則有N6=N6",又因N6勿是N/W的外角，故

4BOD=/BPA/D得NBPD=NB-/〃將點(diǎn)尸移到/A。內(nèi)部，如圖②，以上結(jié)論是否成立?若成立，說(shuō)明

理由;若不成立，則/力刃、/B、N〃之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論；

⑵在圖②中,將直線繞點(diǎn)6逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線切于點(diǎn)。，如圖③,則

/BPD、/B、ZA/版之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖④中//+/班/仆/分/￡的度數(shù).

【分析】⑴延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)、E,根據(jù)AB〃CD得出NB=/BED,再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）連接8并延長(zhǎng)，由三角形外角的性質(zhì)得出/叱=/出/脈;ZDPE=ZIKADQP,由此可得出結(jié)論；

（3）由（2）的結(jié)論得：/AFG=/B+NE./AGF=/C+/D.再根據(jù)//+//用■/43180°即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是/"班/〃

延長(zhǎng)成交切于點(diǎn)￡

'：AB//CD,

：.NA/BED,

又"：4BPD=Z.BEM4D,

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(2)結(jié)論：/BPD=4BQ次乙於2D.

連接在并延長(zhǎng)，

〃個(gè)是△"?的外角，/〃的是△為0的外角，

4BPE=//NBQE,/DPE=ZIAADQP,

：.ZBPE+/DPE=4m/a4BQE+X.DQP,郎/BPD=4BQ史4m/D;

(3)由(2)的結(jié)論得：/AFG=/B+/E./AGF=/C+/D.

又：//+//陷■///=180°

；.N2+N*/堤/分/￡=180°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出三角形,利用三角形外角的性質(zhì)求解是

解答此題的關(guān)鍵.

7.（2022春?新野縣期末）在學(xué)習(xí)并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后,數(shù)學(xué)老師安排了自主探究?jī)?nèi)容一利

用平行線有關(guān)知識(shí)探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°.小穎通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個(gè)內(nèi)

角之和轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角來(lái)解決,也就是可以過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作其對(duì)邊的平行線來(lái)證明.請(qǐng)將下面⑴中

的證明補(bǔ)充完整：

⑴已知：如圖1,三角形力陽(yáng)求證：/胡9/班/C=180°,證明：過(guò)點(diǎn)力作用〃比：

⑵如圖2,線段4?、切相交于點(diǎn)〃連接/〃、紹我們把形如圖2這樣的圖形稱之為"8字形”.請(qǐng)利用小

穎探究的結(jié)論直接寫出//、4B、/C、之間的數(shù)量關(guān)系：NA+/D=/B/B;

⑶在圖2的條件下，/物6和/題的平分線"和少相交于點(diǎn)P,并且與CD、加分別相交于KN,得到圖

3,請(qǐng)判斷/尸與/久/斤之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

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圖2圖3

【分析】（D通過(guò)作平行線把三角形的內(nèi)角轉(zhuǎn)移到同一個(gè)頂點(diǎn),然后利用平角的定義解決問(wèn)題;

（2）利用⑴的結(jié)論即可求解;

（3）利用⑵的結(jié)論即可求解.

【解答】⑴證明：過(guò)A作EF〃BC,

:./EAB=/B,/FAC=4C

又/凡班/掰3/曲。=180°,

N班為。=180°;

（2）解：根據(jù)⑴得力切班/戊月=180°,

又/A0g/B0C,

故答案為：//+/片/8/我

(3)解：2Z,P=/A/B.

根據(jù)(2)6/DAP=/A4DCF?,ZPAB+ZP^/B+4PCE②,

：N/W和/65的平分線"和"相交于點(diǎn)P,

：./DA4ZPAB,/DCP=APCB,

①-②得：ZD-ZP=Z.P-AB,

：.2ZP^ZD^AB.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的證明以及定理的變式題目，對(duì)于學(xué)生的能力要求比較高.

8.（2022春?靖江市校級(jí)月考）己知，如圖，線段/〃、力相交于點(diǎn)。，連結(jié)/NZW和/靦的平分線

/9和"相交于點(diǎn)R試問(wèn)/尸與/〃、N6之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】根據(jù)“8字形”可得/如田/6=/g/〃/1+/片/2+/〃由角平分線的定義可得

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/OA42/1,NOCZH2/2,整理可得結(jié)論.

【解答】解：2/々/m/〃理由如下：

在△/仍和中，

■:/AOB=/COD,

：.ZOAB+/B=ZOCAZD,

在叱和必中，

'：AAEP=ACED,

；.N1+/—N2+N〃

'：AP,"分別是/物6和/9的角平分線，

.?./26=2/1,/和=2/2,

：.2AP-Z.B=2/D-

整理得,2/片/班/〃

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,角平分線的定義,多邊形的內(nèi)角和定理,對(duì)頂角相等的性質(zhì)，整體思

想的利用是解題的關(guān)鍵.

9.（2022春?石家莊期中）如圖1至圖2,在△45T中，/皿C=a°,點(diǎn)。在邊〃所在直線上，作應(yīng)1垂直于直

線BC,垂足為點(diǎn)￡;題為△/回的角平分線，//座的平分線交直線BC于點(diǎn)、G.

特例感悟：

⑴如圖1,延長(zhǎng)交加于點(diǎn)F若陽(yáng)〃國(guó)/6=30°.

解決問(wèn)題：

①/ABC=60°;

②求證：ACLAB\

深入探究；

（2）如圖2,當(dāng)a<90,加與颯反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)〃用含a的代數(shù)式表示/颯?=4與-工a_;

2—

拓展延伸：

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（3）當(dāng)點(diǎn)2在直線/C上移動(dòng)時(shí),若射線2G與射線颯相交，設(shè)交點(diǎn)為人直接寫出/順與a的關(guān)系式.

【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得答案;②根據(jù)平行線的性質(zhì)得,再

根據(jù)垂直的定義和角平分線的定義可得結(jié)論；

（2）由八字模型可得,△龍&和△頌中，/BHD=/EDG+90。-ZHBG,再整理可得答案；

⑶分情況討論,分別畫出對(duì)應(yīng)圖形,再整理即可.

【解答】解：9①?：BM〃DG,

；./ABM=/F=30°,

:幽為的角平分線，

:./ABC=2/ABM=6Q°,

故答案為：60°;

②證明：由①得，/頌三//蘇上30°,

'：BM//DG,

:./DGC=/CBM3Q；

'：DELBC,

:./EDG=6Q；

,:DG平分/ADE,

：./ADF=6Q°,

：.ZA=180°-30°-60°=90°,

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：.AC±AB;

(2)由八字模型可得,叢BHG那叢DEG中,

4EDG+9Q°-/HBG=L/ADE吟Q。-(180°-X/ABC)^MZADE+ZABC)-90°=45

222

故答案為：45°-la；

2

⑶①如圖，

NBNgNABN^NA-/MDN=L/ABPa-A(90°-/ACB=L(NABG/AC*+a-45°=45°+工a；

2222

②如圖,

/BNA36y-90°-L/ABC-L/ADE=27Q°-JL(270°-a)=135°+.ka；

2222

③如圖，

由八字模型可得，ZBNDvZABM=ZADG^ADAB,

/.ZW?=AZJZ^(180O-a)-￡胸=_1(90。-㈤+(180。-a)-工/板=135。-rr;

22222

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綜上，/物7=45。+La或135°±^a-

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是解題

關(guān)鍵.

10.（2022春?源城區(qū)校級(jí)期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系

⑴已知平行于CD,如a圖，當(dāng)點(diǎn)尸在AB、5外部時(shí)，2BPA/D=/B郎/BPD=/B-為什么？請(qǐng)說(shuō)

明理由.如6圖,將點(diǎn)戶移動(dòng)到46、"內(nèi)部，以上結(jié)論是否仍然成立?若不成立，則N6陽(yáng)、/B、N2之間有

何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明結(jié)論；

⑵在圖b中,將直線46繞點(diǎn)6逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線少于點(diǎn)Q,如圖c,則

/BPD、/B、ZA/儂之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）

⑶根據(jù)⑵的結(jié)論求圖d中//+/班/價(jià)/分/研/尸的度數(shù).

【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角即可;②利用平行線的特點(diǎn)作出平行線，再利用平行線的

性質(zhì)即可;

（2）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和即可；

⑶利用三角形的外角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到四邊形夕砌中，用四邊形的內(nèi)角和即可.

【解答】解:（。①?：AB〃CD,

:./B=/COP,

■:NCOP=/BPA/D,

:./B=2BP拼2D,

即：ZBPD=Z.B-ND,

②不成立，

結(jié)論：/BPD=/m/D,

理由：如圖b,

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過(guò)點(diǎn)〃作PG//AB,

：./B=/BPG,

9：PG//AB,CD//AB,

：.PG//CD,

:?/DPG=/D,

：.ABPD=/BPG^NDPG=N班

(2)結(jié)論：/DPg/B+/BQa/D,

理由：如圖Q

圖C

連接在并延長(zhǎng)，

是△時(shí)的外角，

:./BPG=/B^4BQP,

同理：ZDPG=ZD^ZDQP,

/BPQ/BPG+ZDPG=2於制小/2;

⑶如圖d,

圖d

■:/DHM是叢BFH的外角,

：.ADHM=AByAF,

同理：/CMH=/A+/E,

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【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形的性質(zhì),主要考查了平行線的性質(zhì)和判定,三角形的外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和,解

本題的關(guān)鍵是作出輔助線，是一個(gè)比較簡(jiǎn)單也比較典型的中考?？碱}.

11.（2021秋?正陽(yáng)縣期末）圖1,線段46、5相交于點(diǎn)0,連接/4CB,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字

形”.如圖2,在圖1的條件下，/物6和/9的平分線/尸和爐相交于點(diǎn)P,并且與CD、力6分別相交于

M、N.試解答下列問(wèn)題：

⑴在圖1中，請(qǐng)直接寫出//、NB、/C、之間的數(shù)量關(guān)系：NA+/QNG/8;

⑵仔細(xì)觀察，在圖2中”8字形”的個(gè)數(shù)：6個(gè);

⑶圖2中，當(dāng)/正50度，ZB=40度時(shí),求/戶的度數(shù).

（4）圖2中和N6為任意角時(shí),其他條件不變，試問(wèn)/戶與/〃、N6之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.（直接

寫出結(jié)果,不必證明）.

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出N/+/6N3/氏

（2）根據(jù)"8字形”的定義，仔細(xì)觀察圖形即可得出"8字形”共有6個(gè)；

⑶先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律,可得/的APAB+AF?,再根據(jù)角平分

線的定義,得出/物片NDCP=NPCB,將①+②,可得22片/分/3進(jìn)而求出/戶的度數(shù)；

⑷同（3）,根據(jù)"8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義,即可得出2N々/分N6.

【解答】解：（1丫：/A+NAOD=NB+/BOC=180°,/AOD=NBO&

故答案為：NA+/D=/C+/B;

⑵①線段AB,5相交于點(diǎn)0,形成“8字形”；

②線段AN、相交于點(diǎn)0,形成"8字形”；

③線段4?、少相交于點(diǎn)兒形成"8字形”；

④線段AB、相交于點(diǎn)0,形成“8字形”；

⑤線段/R切相交于點(diǎn)可形成"8字形”；

⑥線段/從繆相交于點(diǎn)。，形成“8字形”；

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第15頁(yè)共56頁(yè)

（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

故"8字形”共有6個(gè)，

故答案為：6;

(3)/DAK/gAP^ADCP,①

ZPCB^ZB=NPAB^NP,②

；/物6和/頗的平分線相和6P相交于點(diǎn)P,

：.NDAP=APAB,"CP=ZPCB,

①+②得：

ZDAPr/況4PCB+/B=/Pr/DCP^/PAB+4P,

即2

又八50度，Z^=40度，

；.2/々50°+40°,

片45°;

⑷關(guān)系：2/々/分N6.

/分/1=/4/3①

/班/4=N—②

①+②得：

/用Nl+N4+N6=/a/3+N2+NA

,//的斤和/9的平分線"和"相交于點(diǎn)P,

；./1=/2,Z3=Z4

：.2Z,P=4於/B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識(shí)的遷移能力.（1）中根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理得出"8字形”中的角的規(guī)律；（2）是考查學(xué)生的觀察理解能力，需從復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)出"8

字形”；（3）（4）直接運(yùn)用〃8字形”中的角的規(guī)律解題.

題型二：飛鏢模型

一.解答題（共6小題）

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（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

1.（2010?上海模擬）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.

⑴如圖1,若AB〃CD,點(diǎn)尸在AB、5外部，則有1勿,又因/6勿是△7W的外角，故

ZBOD^ZBPD^ZD.得NBPA/B-/D.將點(diǎn)戶移到/6、切內(nèi)部，如圖2,以上結(jié)論是否成立?若成立,

說(shuō)明理由;若不成立,則/呼4B、N2之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）在如圖2中,將直線A8繞點(diǎn)6逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線。于點(diǎn)Q,如圖3,則

/BPD、/B、ZA/儂之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中N4+N班/什/必/￡的度數(shù).

圖3

【分析】⑴延長(zhǎng)即交切于點(diǎn)￡根據(jù)相〃切得出/圖9,再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

（2）連接0并延長(zhǎng)，由三角形外角的性質(zhì)得出/叱=/出/屐;4DPE=4M/DQP,由此可得出結(jié)論；

（3）由（2）的結(jié)論得：/AFG=///E.ZAGF=ZC+ZD.再根據(jù)乙4+/"。/45=180°即可得出結(jié)

論.

【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是/的上/班

延長(zhǎng)砂交CD于點(diǎn)、E,

'：AB//CD,

：./B=/BED,

又：/以叼=/瓦沙

N加少=/班/〃；

（2）結(jié)論：/BPD=4BQ及/於2D.

連接?并延長(zhǎng)，

叱是△外。的外角，/叱是的外角，

/BPE=/及4BQE,/DPE=AD^ADQP,

：.ABPE+ADPE=ZB+AD^ZBQerZDQP,輿/BPD=4BQA4型4D;

（3）由（2）的結(jié)論得：/AFG=/孫/E./AGF=/C+/D.

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第17頁(yè)共56頁(yè)

（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

又抬180°

，//+/班///%/￡=180°.

(或由(2)的結(jié)論得：/AGB=/牡/貴/E豆/AGB=/CGD,

；.//+/班///%/￡=180°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出三角形,利用三角形外角的性質(zhì)求解

是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2022春?衡山縣期末）RtZ\4a'中，/490°,點(diǎn)久￡分別是△加7邊然、回上的點(diǎn)，點(diǎn)戶是一動(dòng)

點(diǎn).令/加=/1，/煙=/2,/叱=a.

⑴若點(diǎn)戶在線段四上，如圖⑴所示，且Na=60°，則Nl+N2=150°;

（2）若點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖⑵所示，則/a、ZK/2之間的關(guān)系為90。+a；

⑶若點(diǎn)戶運(yùn)動(dòng)到邊47的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則Na、ZKN2之間有何關(guān)系?猜想并說(shuō)明理由；

（4）若點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到△＜寬形外，如圖（4）所示，則/a、/I、/2之間有何關(guān)系?猜想并說(shuō)明理由.

圖1圖2

【分析】（D由平角的定義得出，NC0Q18O-Z1,/①々180-Z2,最后用四邊形。2陽(yáng)的內(nèi)角和是

360°即可求得N1+N2.

⑵同（1）的方法.

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(中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí))重難點(diǎn)02三角形(五種模型)(解析版)

(3)利用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

(4)利用外角的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)由平角的定義知，

Zl+Z6ZV^180o,Z2+ZCE^180°,

在四邊形。，吻中，NCm/a+/加價(jià)/C=360°,

即(180°-Zl)+Za+(180°-Z2)+Z(7=360°,

180°-Zl+Za+180°-Z2+900=360°,

.\Z1+Z2=9O°+a.

當(dāng)a=60°時(shí)，Nl+N2=150°.

故答案為：150°.

(2)由(1)知，Zl+Z2=90°+a.

故答案為：90°+a.

(3)Z1=900+Z2+Za.理由如下:

由三角形的外角的性質(zhì)知，

/DMC=/2+/a,

A1=ZC+ADMC,

；./1=/3(/2+/a),

即/1=90°+Z2+Za.

(4)Z2=90°+Z1-Za.理由如下：

由三角形的外角的性質(zhì)知，

42=/CFE+/C,

?：4CFE=/PFD,

AZ2-ZC=Z1-Za,

；.N2=/仆/I-Na,

即/2=90°+Z1-Za.

【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理，主要考查了三角形的內(nèi)角和、四邊形的內(nèi)角和、三角形的外

角的性質(zhì)、平角的定義，解本題的關(guān)鍵是把/I,Z2,Za轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形或四邊形中.

3.(2022春?樂(lè)平市期末)在a'中，兩條高劭、CF所在的直線相交于點(diǎn)。.

(1)當(dāng)/掰。為銳角時(shí)，如圖1,求證：/BO8/EAC=180°.

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（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

（2）當(dāng)/掰C為鈍角時(shí),如圖2,請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形（用三角尺），并回答（1）中結(jié)論是否成立?不需

證明.

圖1圖2

【分析】⑴利用直角三角形的兩個(gè)余角相等、同角的余角相等，得出/掰況把/"它/倒C轉(zhuǎn)

化為平角/屐雙

（2）根據(jù)題意,分別作出AB,4C邊上的高,根據(jù)（1）的證明思路得出⑴的結(jié)論在/以。為鈍角時(shí)依舊成

立.

【解答】解：（1）證明：：儆四是△/回的兩條高，

：.AADB=ACEB=^°

:./BAC+/ABA90°,

/BOE+/ABD=9Q：

/./BAC=N6如同角的余角相等），

ABOC+ABAC=/夕。捻/比雙等量代換）,

■:/BOC+/BOE=M（平角的定義），

：.ABOC+ABAC=\^°.

（2）

成立.

理由：

?:BD、四是△力回的兩條高,

：./OEB=/BDC=9Q°

:.NBOC+Z,OBE=9Q；

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第20頁(yè)共56頁(yè)

（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

N加班N（W=90°

/.^BOC=/血?（同角的余角相等），

4BOC+4BAC=/加班/掰C（等量代換），

物班/胡C=180°（平角的定義），

：.ZBOC^-ZBAC^180°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,綜合運(yùn)用了直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、平

角的定義.

4.（2022春?源城區(qū)校級(jí)期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系

（1）己知平行于以如a圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB、5外部時(shí)，/出階/2=/6即/"少=/6-N〃，為什么？

請(qǐng)說(shuō)明理由.如b圖，將點(diǎn)尸移動(dòng)到AB、切內(nèi)部，以上結(jié)論是否仍然成立?若不成立,則

NBPD、NB、/〃之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明結(jié)論；

（2）在圖b中,將直線46繞點(diǎn)6逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線切于點(diǎn)Q,如圖c,則

/BPD、/B、ZA/磔之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中/4+/班/仆/分/4/b的度數(shù).

圖c圖d

【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角即可;②利用平行線的特點(diǎn)作出平行線,再利用平行線

的性質(zhì)即可；

（2）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和即可；

⑶利用三角形的外角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到四邊形。枷中，用四邊形的內(nèi)角和即可.

【解答】解：（。①?：AB〃CD,

：.AB=ACOP,

,：ACOP^ABPD^AD,

：.AB=ZBPIKZD,

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第21頁(yè)共56頁(yè)

（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

即：ABPD^ZB-ZD,

②不成立，

結(jié)論：/BPAN及/D,

理由：如圖b,

過(guò)點(diǎn)戶作PG//AB,

：.NB=Z.BPG,

'：PG//AB,CD//AB,

：.PG//CD,

：./DPG=AD,

：.ABPD=/BPG*/DPG=/班

(2)結(jié)論：/勿gN班/勿//〃

理由：如圖c,

連接?并延長(zhǎng)，

?.?/郎/6是△如。的外角，

同理：ADPG=AIAADQP,

：.4BPAZBPG+ZDPG^4階/BQR/DQH4g/加/6斷/2;

⑶如圖d,

圖d

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第22頁(yè)共56頁(yè)

（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

是△〃歸的外角，

：.ADHM=AByAF,

同理：4CMH=ZA+/E,

【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形的性質(zhì),主要考查了平行線的性質(zhì)和判定,三角形的外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和,解

本題的關(guān)鍵是作出輔助線,是一個(gè)比較簡(jiǎn)單也比較典型的中考?？碱}.

5.（2021秋?東源縣校級(jí)期末）如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī).我們不妨把這樣圖形

叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智,解決以下問(wèn)題：

（1）觀察〃規(guī)形圖”，試探究/初C與//、/B、NC之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由；

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論,解決以下三個(gè)問(wèn)題：

①如圖2,把一塊三角尺才修放置在回上，使三角尺的兩條直角邊必恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)跟C若

/力=50°,直接寫出/超肝N/CT的結(jié)果；

②如圖3,戊7平分N4亞以平分//期若/物￡=50°，/頌=130°,求N4若的度數(shù)；

③如圖4,//初,的10等分線相交于點(diǎn)&、的、…、氏若NMC=140°,N購(gòu)C=77°，求//的

度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接力。并延長(zhǎng)至點(diǎn)月由外角定理可知，一個(gè)三角形的外角等于與它不相

鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,則容易得到/如C=N9犯；

⑵①由⑴的結(jié)論可得肝/力加//=/甌然后把N%=50°,N"T=90°代入上式即可得到

N4即//CT的值.

②結(jié)合圖形可得/幽?=/物4//g微代入/物￡=50°,/幽?=130°即可得到/兒///"的

直再利用上面得出的結(jié)論可知班//砌+N4易得答案.

2

③由（2）的方法,進(jìn)而可得答案

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第23頁(yè)共56頁(yè)

（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

【解答】解：（1）連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)公

由外角定理可得/質(zhì)'=/為用/6,/CDF=/C^/CAD;

且/BDC=/BDR/CDF,ABAC=ABAD^ACAD\

相加可得/劭C=//+/班NG

（2）①由（1）的結(jié)論易得：ZABX+ZACXvZA=ZBXC,

又；N/=50°,/斯=90",

：.ZAB^-ZACX=90°-50°=40°;

②由⑴的結(jié)論易得/頌=/A+/ADB+/AEB,易得NA場(chǎng)NAEB=8Q°;

而/〃四=工（//g//即+//,

2

代入/物￡=50°，/頗'=130°,易得/〃/=90°;

@ZBGIC^-L（ZABIAZACD）+ZA,

10

,:NB￡C=TT,

.?.設(shè)//為x°,

,：AABD^AACD^\^>O-x

.,._1_（140-x）+x=77,

10

14--LX+X=77,

10

x=70

：?/4為70。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出/如C=//+/班/C是解答

的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°,三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

6.（2018春?莘縣期末）一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定//應(yīng)等于90°,/反應(yīng)分別是20°和

30°.

（1）李叔叔量得/9=142。，根據(jù)李叔叔量得的結(jié)果，你能斷定這個(gè)零件是否合格?請(qǐng)解釋你的結(jié)論；

（2）你知道/氏ZA/靦三角之間有何關(guān)系嗎?請(qǐng)寫出你的結(jié)論.（不需說(shuō)明理由）.

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第24頁(yè)共56頁(yè)

（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

【分析】此題要作輔助線：延長(zhǎng)加交46于點(diǎn)￡根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和

即可求解.

【解答】解：（1）不合規(guī)格.理由如下：

連接/C并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,則/%》=/比階/以力=/班/的3/09?//?=/班/掰分/。=140°,故不合

格.

（2）根據(jù)第⑴小題的求解過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)：N班/分90。=ABCD.

【點(diǎn)評(píng)】注意構(gòu)造三角形,運(yùn)用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的內(nèi)角和即可解決此題.

題型三："A"字模型

一.選擇題（共1小題）

1.（2019秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）已知如圖，△/回為直角三角形，NC=90°,若沿圖中虛線剪去NC則

/1+N2等于（）

C.180°D.135°

【分析】利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和解答.

【解答】解：N2是△。應(yīng)的外角,

AZ1=Z4+Z6；Z2=Z3+ZC；

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（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

即Nl+N2=2/介（Z3+N4）,

*/Z3+Z4=180°-ZC=90°,

.\Zl+Z2=2X90o+90°=270

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

—.填空題（共3小題）

2.（2022春?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△力回中，久￡分別為64月。的中點(diǎn)，連接力久能交點(diǎn)為月若必

的=12,跖=8,則點(diǎn)〃到斯的距離為3.

【分析】首先利用三角形的中線性質(zhì)可以求出必隨和S^CBF,S^BFD,然后利用三角形面積公式即可求出點(diǎn)

〃到如的距離.

【解答】解：連接CF,

■:D、￡分別為此；力C的中點(diǎn)，

尸為△/6C的重心，

：.BF=2EF,

??S&AE產(chǎn)履CEL-^S/XAFC—12,

2

S/\ABE^S/\CBE^36,

2

S^AB產(chǎn)S>煙=24,

屣%。=12,

如圖，過(guò)〃作加_郎于"

s4BF產(chǎn)LxBFADH=\2,

2

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第26頁(yè)共56頁(yè)

（中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）重難點(diǎn)02三角形（五種模型）（解析版）

而郎=8,

：.DH=Z.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的面積公式，同時(shí)也利用了三角形的中線的性質(zhì)，有一定的綜合性.

3.（2022春?濮陽(yáng)期中）如圖，在△力回中，AA=m,//寬和的平分線交于點(diǎn)小，得/小，/小笈和

/小磔的平分線交于點(diǎn)A2,得/血…，//2020比'和/的0205的平分線交于點(diǎn)/2021,得/的021,//20