北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義-難點(diǎn)探究：線段上的動(dòng)點(diǎn)問題3類熱點(diǎn)題型講練（解析版）

第04講難點(diǎn)探究專題:線段上的動(dòng)點(diǎn)問題（3類熱點(diǎn)題型講練）

目錄

【類型一線段和與差問題】.....................................................................1

【類型二線段上動(dòng)點(diǎn)定值問題】.................................................................7

【類型三線段上動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問題】..............................................................12

【類型一線段和與差問題】

例題：（2023秋?江西南昌?七年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)C在線段上，AC=2BC,點(diǎn)、

D、￡在直線N8上，點(diǎn)。在點(diǎn)E的左側(cè).

ADCEBACB

圖1備用圖

⑴若48=18,DE=8,線段DE在線段上移動(dòng).

①如圖1,當(dāng)E為8C中點(diǎn)時(shí)，求4D的長(zhǎng)；

②若點(diǎn)F在線段8C上，且4F=3/D,CE+EF=3,求40的長(zhǎng)；

（2）若AB=2DE,線段。E在直線48上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式更嚴(yán)=：,求華的值.

BE2AB

【答案】⑴①7；②3或5

⑵口或1

【分析】（1）根據(jù)已知條件得到5c=6,AC=12,①由線段中點(diǎn)的定義得到CE=3,求得CD=5,由線

段的和差得到/。=48-。2=7；②點(diǎn)E在點(diǎn)尸的左側(cè)，點(diǎn)尸是8C的中點(diǎn)，所以CF=B尸=3,可以根據(jù)

/萬=3/。進(jìn)行求解，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)尸的右側(cè)，AC=12,CE+跖=B=3,求出/F的長(zhǎng)度，再根據(jù)/尸=3/。

進(jìn)行求解即可；

24

（2）當(dāng)￡在點(diǎn)。的右側(cè)時(shí)，設(shè)CE=x,DC=y,則。E=x+y,AB=2（^x+y）,AC=—AB=—（x+,

求得17%=4y,當(dāng)￡在點(diǎn)。的左側(cè)時(shí)，設(shè)C￡=x,DC=y,則Z)￡=y—x,AB=2[y-x),

74

AC=^AB=-(y-x),求得llx=8y,分別代入關(guān)系式即可得出答案.

【詳解】(1)解：@AC=2BC,AB=18,DE=8,

BC=6,AC=11,

如圖，

AD""CEB

???E為3C中點(diǎn)，

CE=3,

CD=5,

/.AD=AB-DB=1S-11=1；

②如圖，

ADCEFB

?:CE+EF=3,

二?點(diǎn)片在點(diǎn)尸的左側(cè)，

二?點(diǎn)廠是BC的中點(diǎn)，

：.CF=BF=3,

AF=AB-BF=18-3=15f

AD=-AF=5；

3

當(dāng)點(diǎn)￡在點(diǎn)尸的右側(cè)，如圖

A~D~~FECB

vAC=12fCE+EF=CF=3,

AF=AC-CF=9,

???AF=3AD,

AD=3,

綜上所述，4。的長(zhǎng)為3或5；

jn_i_pca

(2)<AC=2BC,AB=2DE,滿足關(guān)系式:

BE2

如圖，當(dāng)E在點(diǎn)。的右側(cè)時(shí)：

ADCEB

設(shè)CE=x,DC=y,則Z)E=x+y,

24

/.AB=2(x+j^),AC=—AB=—^x+y),

4ii?

/.AD=AC-DC=-x+-yfBC=-AB=-(x+y],

3333V7

:.BE=BC-CE=-y--x,

33

71

A,D+EC——xH—y

33f

-2（AD+EC）=3BE,

解得，17x=4y,

,CD=yy=17

”-2"）-2侑尹丁42；

如圖，當(dāng)E在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)：

DHCB

設(shè)CE=x,DC=y,則DE=y_x,

24

AB=2（y-x）,AC=-AB=-[y-x）,

/.AD=DC-AC=-x--yBC=-AB=-

33f33

:.BE=BC+CE=-y+-x,

33

71

AD+CE=-x——y,

33

-2（AD+EC）=3BE,

解得，llx=8y,

.烏_y_ii

"^4B~2（y-x）~~6

故答案為是1三7或211.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟悉各線段間的和、差及倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意分情況討論是解答本題

的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?山東棗莊?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，/C=6cm,=10cm,點(diǎn)初，N分別

為/C,2C的中點(diǎn).

⑴求線段的長(zhǎng)；

⑵若點(diǎn)。在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足/C-3C=6cm,點(diǎn)"，N分別為/C/C的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

【答案】⑴6.5cm

⑵;bcm

【分析】（1）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出MC,CN的長(zhǎng)度，再根據(jù)線段的和差進(jìn)行求解即可;

（2）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出MC,CN的長(zhǎng)度，再根據(jù)線段的和差進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）：/C=6cm,點(diǎn)M分別為/C的中點(diǎn)，

：.MC=-AC=3cm,

2

：MB=10cm,

BC=10-3=7cm,

;點(diǎn)N分別為的中點(diǎn)，

CN」5c=3.5cm,

2

MN=CM+CN=6.5cm；

（2）如圖，

I|?||

AMBNC

?.?點(diǎn)N分別為/C,2C的中點(diǎn),

：.MC=-AC,CN=-BC,

22

^MN=MC-CN^AC-^BC^AC-BC^.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)和線段的和差，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?湖南岳陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)3為CD的中點(diǎn)，且40=13。〃,

BC=3cm.

ACUD

⑴圖中共有多少條線段，請(qǐng)寫出這些線段；

⑵求/C的長(zhǎng)；

⑶若點(diǎn)￡在直線/D上，且E4=4CTM,求BE的長(zhǎng).

【答案】⑴圖中的線段有/C,AB,AD,CB,CD,BD共6條

（2）7cm

⑶6cm或14cm

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形，數(shù)出線段即可求解.

(2)根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)可得CD=28C=6cm，根據(jù)/C=4D-CD,即可求解;

(3)分點(diǎn)E在/C上時(shí)，點(diǎn)￡在C4延長(zhǎng)線上時(shí)，兩種情況分別討論即可求解.

【詳解】(1)解：圖中的線段有/C,AB,AD,CB,CD,50共6條，

.ill

ACBD

(2),?,點(diǎn)5為CZ)的中點(diǎn)，5C=3cm,

.e.CD=2BC=6cm.

,.,//)=]3cm,

:.AC=AD-CD=13-6=7(cm)；

(3)分兩種情況討論：

①如圖，當(dāng)點(diǎn)￡在/C上時(shí)，AB=AC+BC=10cm,EA=4cm,

AECBD

5E=/8-/￡=10-4=6（cm）；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)E在。延長(zhǎng)線上時(shí)，

111]________________1

EACBD

AB=10cm,AE=4cm,BE=AE+AB=l4^cm)；

綜上，AE■的長(zhǎng)為6cm或14cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段數(shù)量問題，線段中點(diǎn)以及線段和差問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

3.(2023秋?遼寧撫順?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，P是線段上一點(diǎn)，^5=18cm,C,。兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P,

B同時(shí)出發(fā)沿射線向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)/處即停止運(yùn)動(dòng).

A1CPDB

⑴若點(diǎn)C,。的速度分別是lcm/s,2cm/s.

①若2c機(jī)<4P<14cH7,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C,。運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求/C+PD的值；

②若點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也剛好到達(dá)AP的中點(diǎn)，求4P:PB；

⑵若動(dòng)點(diǎn)C,。的速度分別是lcm/s,3cm/s,點(diǎn)C,。在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有尸。=3/C,求NP的長(zhǎng)度.

【答案】(1)①12cm；②1:2

9

⑵Qcm

【分析】(1)①先計(jì)算3DPC,再計(jì)算NC+PD；②利用中點(diǎn)的性質(zhì)求解；

(2)將/尸用其它線段表示即可.

【詳解】(1)解：①由題意得：SD=2x2=4(cm),PC=lx2=2(cm).

:.AC+PD=AB-PC-BD=18-2-4=12(cm).

②：點(diǎn)C到達(dá)/尸中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也剛好到達(dá)8P的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/,

貝U：AP=2PC=2t,BP=2BD=4t,

AP:PB=2/:4/=1:2.

（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為%s,貝!］尸加，BD=3tcm,

BD=3PC,

\'PD=3AC.

:.PB=PD+BD=3PC+3AC=3（PC+AC）=3//

19

...AP=-AB=-（cm）.

42

【點(diǎn)睛】本題考查線段上動(dòng)點(diǎn)問題、求線段的長(zhǎng)度，充分利用中點(diǎn)和線段的倍數(shù)關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵.

4.（2023秋?山東臨沂?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一段長(zhǎng)為30厘米繩子拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，

折疊處長(zhǎng)度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊.

A-------------------------------------------------B

若將繩子沿W、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在H,夕處.

⑴如圖2,若/,8'恰好重合于點(diǎn)O處，展開拉直后如圖3,求九CV的長(zhǎng)；

M,Q,NN

A.........<----->..............BA>>-------------------------------B

圖2圖3

⑵若點(diǎn)H落在夕的左側(cè)，且/?=10cm，畫出展開拉直后的圖形，并求的長(zhǎng)度；

⑶若點(diǎn)H落在8'的右側(cè)，且/B'=10cm，畫出展開拉直后的圖形，并求的長(zhǎng)度.

【答案】⑴15厘米

⑵20厘米

⑶10厘米

【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出==ON=BN=-OB,進(jìn)而根據(jù)MN=MO+ON即

22

可求解；

（2）先根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì),得出AM=（//'，BN=*BR，根據(jù)MN=AB-（AM+BN）

即可求解；

（3）先根據(jù)題意畫出圖形，同（2）的方法即可求解.

【詳解】（1）解：：繩子沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、3分別落在4、9處，4、8'恰好重合于點(diǎn)。處，

AAM=MO=-AO,ON=BN=-OB,

22

二AGV=MO+ON=+08）=g/3=15（cm）；

0)MA'B'N

⑵，4—?~~?------------------1-----------------1----------------B

VAB=30cm,AB=10cm,

；.//'+55'=/B-42'=30-10=20(cm).

根據(jù)題意得，M、N分別為44，、班，的中點(diǎn)，

VAM^-AA',BN^-BB',

22

AM+BN=-AA+-BB'=Y0cm,

222V72

ACV=AS-(/M+BN)=30-10=20cm；

(3)當(dāng)點(diǎn)H落在點(diǎn)8'的右側(cè)時(shí)，

B'MA*N

A-----------1—1----------------1—*---------------------------B

"：AA'+BB'=AB+A'B'=40cm,

AM+BN^-AA'+-BB'^-(AA'+BB')=20cm.

222、7

：.MN=AB-(AM+BN)=30-20=10cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差，線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【類型二線段上動(dòng)點(diǎn)定值問題】

例題：（2023秋?河南南陽?七年級(jí)南陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知線段/8=15cm,CD=3cm,E是

線段/C的中點(diǎn)，尸是線段的中點(diǎn).

4ECDFB

（1）若NC=5cm,求線段EF的長(zhǎng)度.

⑵當(dāng)線段CD在線段N8上從左向右或從右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷線段E尸的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，如果不變，

請(qǐng)求出線段E尸的長(zhǎng)度；如果變化，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴9cm

⑵不變，還是9cm,理由見解析

【分析】（1）由題意可得，BD=AB-AC-CD=7（cm）,結(jié)合中點(diǎn)的含義可得斯=￡C+8+D尸=9（cm）；

（2）由已知可得BF=-BD,再由EF=4B—AE—BF,結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)即可解.

22

【詳解】（1）解：vAC=5cm,^5=15cm,CD=3cm,

:.BD=AB-AC-CD=15-5-3=7(cm)

??,點(diǎn)￡是ZC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是AD的中點(diǎn)，

EC=^AC=2.5（cm）,DF=^BD=3.5（cm）

EF=EC+CD+DF=2.5+3+3.5=9（cm）；

（2）線段EF的長(zhǎng)度不發(fā)生變化.

???點(diǎn)￡是NC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是8。的中點(diǎn)，

:.AE=-AC,BF=-BD

22

:.EF=AB-AE-BF

=AB--AC--BD

22

=AB-^(AC+BD)

=AB-；(AB-CD)

=15-1X（15-3）

=9（cm）.

【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差運(yùn)算，中點(diǎn)的含義；熟練掌握線段的和差運(yùn)算，靈活應(yīng)用中點(diǎn)的性質(zhì)解題是

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?山東煙臺(tái)?六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是NC、3C的中點(diǎn).

....................................1-------------------------------------1

AMCNBAB

備用圖

（1）若NC=12cm,CB=8cm,求線段MN的長(zhǎng)；

⑵若C為線段N8上任一點(diǎn)，滿足/C+CB=機(jī)，其他條件不變，你能猜想兒W的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)直接寫出你的

答案.

⑶若C在線段N8的延長(zhǎng)線上，且滿足NC-8C=〃，M、N分別為/C、8c的中點(diǎn)，你能猜想的長(zhǎng)度

嗎？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由.

【答案】（l）lOcm

,、m

⑵5

⑶3,圖及理由見解析

【分析】（1）根據(jù)M、N分別是NC,2C的中點(diǎn)，可得MC=\AC,CN=^BC,從而得到

22

MN=MC+CN=^AC+^BC=^(AC+BC),即可求解；

(2)根據(jù)M、N分別是/C,2C的中點(diǎn)，可得MC=」/C,CN=從而得到

22

MN=MC+CN=^AC+^BC=^(AC+BC),即可求角麻

(3)根據(jù)M、N分別是ZC,3c的中點(diǎn)，可得MC=」/C,CN=從而得到

22

MN=MC-CN=；AC-；BC=；(AC-BC),即可求解.

【詳解】(1)解：N分別是/C、3c的中點(diǎn)，

：.MC=-AC,CN=-BC,

22

MN=MC+CN=+：BC=；(/C+BC)=；(12+8)=10cm

線段兒W的長(zhǎng)為10cm.

(2)解：???”、N分別是/C,2C的中點(diǎn)，

：.MC=-AC,CN=-BC,

22

AC+CB=m,

：.MN=MC+CN=-AC+-BC=-(AC+BC}=-m；

222',2

(3)解：MN=；n,理由如下：

如圖：

I1111

AMBNC

■:M、N分別是ZC,8c的中點(diǎn)，

：.MC=-AC,CN=-BC,

22

AC-BC=n,

：.MN=MC-CN=-AC--BC=-(AC-BC]=-n.

222V72

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，明確題意、準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.(2023秋■七年級(jí)單元測(cè)試)如圖，2是線段4D上一動(dòng)點(diǎn)，沿以2cm/s的速度往返運(yùn)動(dòng)1次,

C是線段8。的中點(diǎn)，AD=\Qcm,設(shè)點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為fs。不超過10)

ABCD

⑴當(dāng)f=2時(shí)，AB=cm.

⑵當(dāng)t=8時(shí)，求線段CD的長(zhǎng).

⑶在運(yùn)動(dòng)過程中，若45的中點(diǎn)為￡,則EC的長(zhǎng)是否變化？若不變，求出EC的長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理

由.

【答案】⑴4

（2）3cm

⑶不變，5cm

【分析】（1）利用路程等于速度乘以時(shí)間可得答案；

（2）當(dāng)t=8時(shí)，而〃）=10cm,先求解3O=6cm,再利用中點(diǎn)的含義可得答案；

（3）由的中點(diǎn)為E,C是線段助的中點(diǎn)，可得EB=-AB,BC=-BD.從而可得結(jié)論.

22

【詳解】（1）解：當(dāng)，=2時(shí)，45=2x2=4（cm）；

(2)當(dāng)/=8時(shí)，而40=10cm,

(

??.BD=8-^jx2=6cm).

???c是皮）的中點(diǎn),

』AD=!義6=3,即線段CZ）的長(zhǎng)為3c冽.

22

(3)不變,如圖，

I????

AEBCD

的中點(diǎn)為E,C是線段班的中點(diǎn)，

EB=—AB,BC=—BD.

22

CE=1/2+，3。=！4。=工'10=5,即。￡的長(zhǎng)為5”?.

2222

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的中點(diǎn)的含義，線段的和差運(yùn)算，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?山東濟(jì)寧?七年級(jí)統(tǒng)考期末）探究題：如圖①，已知線段NB=12cm,點(diǎn)C為48上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)。、￡分別是/C和3C的中點(diǎn).

I_____I________I___________I____________I

ADCEB

①

⑴若點(diǎn)C恰好是4B中點(diǎn)，則DE=cm；

（2）若/C=4cm,求DE的長(zhǎng)；

⑶試?yán)?字母代替數(shù)”的方法，設(shè)NC="a"cm,請(qǐng)說明不論。取何值（。不超過12cm）,DE的長(zhǎng)不變.

【答案】⑴6

（2）DE=6cm

⑶見解析

【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出4S=3C,CD=DE,結(jié)合圖形即可求解；

（2）根據(jù)（1）的方法即可求解；

（3）根據(jù)（1）的方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：=12cm,C點(diǎn)為N8的中點(diǎn)，

AC=BC=6cm.

??,點(diǎn)。、￡分別是/C和5C的中點(diǎn)，

，CD=CE=3cm,

DE=6cm.

故答案為：6；

（2）解：v^5=12cm,AC=4cm,

/.BC=8cm.

??,點(diǎn)。、￡分別是力。和8C的中點(diǎn)，

CD=2cm,CE=4cm,

DE=6cm；

（3）解：設(shè)/C=“cm,則BC=/5-4。=（12-。）。加，

??,點(diǎn)。、￡分別是NC和BC的中點(diǎn)，

CD=-AC=-cm,CE=-BC=^—^-cm

2222

DE=CD+CE=-AB=6cm,

2

不論NC取何值（不超過12cm）,DE的長(zhǎng)不變；

【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段和差的計(jì)算，掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

4.（2023秋?河北承德?七年級(jí)統(tǒng)考期末）應(yīng)用題：如圖，已知線段45=12cm,點(diǎn)C為線段上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)。、E分別是ZC和8c的中點(diǎn).

ADCEB

⑴若/C=4,求。E的長(zhǎng)；

⑵若C為的中點(diǎn)，則4D與Z8的數(shù)量關(guān)系是；

⑶試著說明，不論點(diǎn)C在線段上如何運(yùn)動(dòng)，只要不與點(diǎn)A和8重合，那么DE的長(zhǎng)不變.

【答案】⑴?！?6cm

（2）AD=AB

⑶說明見解析

【分析X1）首先根據(jù)線段的和差關(guān)系求出BC=4B-AC=8,然后根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求出。C=2,CE=4,

進(jìn)而求和可解；

(2)根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求解即可；

(3)根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)?C=4,

所以BC=4B-/C=8.

因?yàn)辄c(diǎn)。是ZC的中點(diǎn).

所以。C=2,

因?yàn)辄c(diǎn)E是8c的中點(diǎn).

所以CE=4,

所以。E=OC+CE=6(cm)；

(2)為的中點(diǎn)，

AC=-AB

2

?點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)

AD=-AC=-x-AB=-AB-

2224

(3)因?yàn)辄c(diǎn)。是/C的中點(diǎn).

所以=

因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn).

所以CE=：C3,

所以DEMOC+CEMJ/C+JcBuLASuGlcm),

222'"

所以，DE的長(zhǎng)不變.

【點(diǎn)睛】此題考查了線段的和差計(jì)算，線段中點(diǎn)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系.

【類型三線段上動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問題】

例題：(2023秋?云南臨滄?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，C是線段N8上一點(diǎn)，AB=20cm,8C=8cm,點(diǎn)尸從

/出發(fā)，以2cm/s的速度沿4B向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為3；點(diǎn)0同時(shí)從點(diǎn)2出發(fā)，以Iczw/s的速度沿A4向左運(yùn)

動(dòng)，終點(diǎn)為/,當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為公

III

ACB

⑴當(dāng)尸、。兩點(diǎn)重合時(shí)，求才的值；

⑵是否存在某一時(shí)刻，使得c、尸、。這三個(gè)點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)?若存在，求

出所有滿足條件的r值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴苫20

⑵滿足條件的”直為4或7或,

【分析】（1）根據(jù)相遇時(shí)間=路程和一速度和，列出方程計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；

【詳解】（1）由題意可得：AP=2t,PQ=t,

20

，當(dāng)尸、0重合時(shí)，2t+/=20,解得：Z=y；

（2）由題意可得：4c=20-8=12cm,

①當(dāng)點(diǎn)C是線段P。的中點(diǎn)時(shí)，12-2，=8-f,

解得：/=4；

②當(dāng)點(diǎn)尸是線段C。的中點(diǎn)時(shí)，2（2/-12）=8-/,

解得：r=t32

③當(dāng)點(diǎn)。是線段尸C的中點(diǎn)時(shí)，2（8—）=2/-12,

解得：f=7；

綜上所述，滿足條件的唯為4或7或牛.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于/的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論以防遺

漏

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?河南安陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末）4,2兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點(diǎn)/對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為-2,

點(diǎn)3對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為8.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為/秒（t>0）.

AB

------4-------------------------1------A

-208

（1）當(dāng)f=3時(shí)，/尸的長(zhǎng)為，點(diǎn)尸表示的有理數(shù)為；

⑵若點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，則點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為;

（3）當(dāng)尸3=（48時(shí)，求，的值.

【答案】⑴6,4

（2）3

⑶當(dāng)尸3=（/8時(shí)，/的值為4或6

【分析】（1）根據(jù)路程=速度x時(shí)間進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)中點(diǎn)公式進(jìn)行求解即可；

（3）先求出48=10,再由尸8得到尸8=2,然后分點(diǎn)尸在點(diǎn)3左側(cè)和右側(cè)兩種情況，利用線段

的和差關(guān)系求出AP的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】（1）解：由題意得，AP=3x2=6,

???點(diǎn)P表示的數(shù)為-2+6=4,

故答案為：6,4；

（2）解：???點(diǎn)尸為48的中點(diǎn)，點(diǎn)4對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為-2,點(diǎn)/對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為8,

點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為二^=3,

故答案為：3；

（3）解：???/B=8—（―2）=10,

二.當(dāng)尸2=1/2時(shí)，則尸3=2,

①當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)3左邊時(shí)，

PB=2,

/尸=10-2=8,

；"=8+2=4；

②當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)3右邊時(shí)，

PB=2,

：.AP=10+2=12,

；"=12+2=6；

綜上所述，當(dāng)尸2=g/B時(shí)，/的值為4或6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，線段的和差計(jì)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?河北唐山?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知線段按下列要求完成畫圖和計(jì)算：

（1）延長(zhǎng)線段到點(diǎn)C,使3c=348（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)。為線段2C的中點(diǎn)，且/2=2,求線段4D的長(zhǎng)度；

（3）在以上的條件下，若點(diǎn)尸從4點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，到點(diǎn)C時(shí)停止.設(shè)

點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，是否存在某時(shí)刻34吏得PB=P4-PC?若存在,求出時(shí)間/：若不存在，請(qǐng)說明理

由.

?--------------------?

AB

【答案】（1）詳見解析；（2）5；（3）時(shí)間t為2.

【分析】（1）延長(zhǎng)線段到點(diǎn)C,使3c=3/2即可；

（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)。為線段的中點(diǎn)，且/2=2,即可求線段/。的長(zhǎng)度；

(3)在以上的條件下，若點(diǎn)尸從/點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，到點(diǎn)C時(shí)停止.設(shè)

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在某時(shí)刻3使得PB=PA-PC?即可求出時(shí)間t.

【詳解】解:(1)如圖所示：延長(zhǎng)線段到點(diǎn)C,使BC=3/2；

P'P

A'BDC

(2)'：AB=2,

:?BC=3AB=6,

:?AC=AB+BC=8,

??,點(diǎn)。為線段5C的中點(diǎn)，

1

:?BD=—BC=3,

2

：.AD=AB+BD=5.

答：線段/。的長(zhǎng)度為5；

(3)點(diǎn)P從4點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)。移動(dòng)，到點(diǎn)。時(shí)停止.

設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

貝U尸5=|L2|,PA=t,PC=8-t,

PB=PA-PC

即"-2|=L(8-1)

解得f=2或?(舍去).

答：時(shí)間才為2.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一基本作圖、兩點(diǎn)間的距離，掌握尺規(guī)作圖的方法和各線段之間的比例關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

AT

3.(2023秋?湖南岳陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末)材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)。在線段43上，且七=〃時(shí)，我們稱〃為點(diǎn)。在

AB

線段N8上的點(diǎn)值，記作如點(diǎn)C是的中點(diǎn)時(shí)，則考=!，記作分在=!；反過來，當(dāng)左

AB222

Ar1AC

時(shí)，則有片=7.因此，我們可以這樣理解：=〃與d=〃具有相同的含義.

A