安徽省合肥2024屆高三“九省聯(lián)考”考后適應性測試數(shù)學試題（一）（含答案與解析）

合肥中學2024屆高三“九省聯(lián)考”考后適應性測試數(shù)學試題一

本套試卷根據(jù)九省聯(lián)考題型命制，題型為8+3+3+5模式

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡和試卷上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，務必擦凈后再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.在“美麗鄉(xiāng)村”評選活動中，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)7個村的得分如下：7,6,9,8,9,5,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾

數(shù)分別是（）

A.7,9B.9,9C,9,8D.8,9

V2+3-=1（左〉—8）的離心率為6=3,則左=（

2.如果橢圓二)

k+8

一54-4

A.4B.4或——C.——D.4或一二

45

3.數(shù)列｛%｝中，?-

冊—%+i+2,a5=18f則％+4-----1^io—()

A.210B.190C.170D.150

4.設6、c表示兩條直線，￡、￡表示兩個平面，則下列命題正確的是（）

A.若Z?//c,cua,則》//cB.若bua,bile,則cua

C.若c//a,a±/3,則c,夕D.若c//a,cL（3,則

5.某中學進行數(shù)學競賽選拔考試，A,B,C,D,E共5名同學參加比賽，決出第1名到第5名名

次.A和8去向教練詢問比賽結果，教練對A說：“你和B都沒有得到冠軍.”對8說：“你不是最后一

名.”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（）

A.54種B.72種C.96種D.120種

6.已知直線y=Ax+2(左eR)交圓O：f+,2=9于?兩點，貝U

|3%+4yt+16+3X2+4%+16的最小值為()

A.9B.16C.27D.30

7.已知tan'T=2,則sin(2?+-)值為(

)

1+tana6

、4+3有B4-3代「4+3百D4-373

101010,10

22

8.已知耳，工分別是雙曲線「：1一夕=1(?！?]〉0)的左、右焦點，過耳的直線分別交雙曲線左、

右兩支于A,8兩點，點C在x軸上，CB=3F2A,B舄平分NE5C,則雙曲線「的離心率為()

A.不B.75C.6D.72

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.關于函數(shù)/(x)=sin[2x+1],下列選項錯誤的有()

A.函數(shù)〃力最小正周期為兀B.表達式可寫成y=cos2X+￡

JTJT

c.函數(shù)/(x)在一二上單調(diào)遞增D./(%)的圖像關于直線》=-村對稱

12o

10.設4/2,Z3為復數(shù)，則下列命題正確的是()

A.若同=閭，則Z2=±4B.若y2=+3，則Z2=Z3

C.若Z],Z2互為共朝復數(shù)，則Z]Z2為實數(shù)D.若i為虛數(shù)單位，”為正整數(shù)，則i4"+3=i

11.已知函數(shù)/(%)和其導函數(shù)g(x)的定義域都是R,若/(%)—尤與g(2x+l)均為偶函數(shù)，貝u()

A./(0)=0

B./也關于點(0,1)對稱

X

C.g(2023)=l

D.(g⑴—1)x(g(2)+1)+(g(2)—1)x(g(3)+1)++(g(2023)—1)x(^(2024)+1)=0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合4={%,<左},B={x|l<%<2},且AB=B,則實數(shù)上取值范圍是.

13.球。半徑與圓錐M的底面半徑相等，且它們的表面積也相等，則圓錐M的側(cè)面展開圖的圓心角大小

為,球。的體積與圓錐M的體積的比值為.

11

14.設羽y是正實數(shù)，記S為％,y+—,一中的最小值，則S的最大值為.

%y

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)=—以2+(1—i)x+b(a,0eR),其圖象在點。，/⑴)處的切線方程為

x+y-3=0.

(1)求的值；

(2)求函數(shù)八％)的單調(diào)區(qū)間和極值；

16.某地政府為推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展、加快旅游產(chǎn)業(yè)化建設，提出要優(yōu)化傳統(tǒng)業(yè)態(tài)，創(chuàng)新產(chǎn)品和服務方

式，培育新業(yè)態(tài)新產(chǎn)品、新模式，促進康養(yǎng)旅游快速發(fā)展.某景區(qū)為了進一步優(yōu)化旅游服務環(huán)境，強化服務

意識，全面提升景區(qū)服務質(zhì)量，準備從加個跟團游團隊和6個私家游團隊中隨機抽取幾個團隊展開滿意度

調(diào)查.若一次抽取2個團隊，全是私家游團隊的概率為

91

(1)若一次抽取3個團隊，在抽取3個團隊是同類型團隊的條件下，求這3個團隊全是跟團游團隊的概

率；

(2)若一次抽取4個團隊，設這4個團隊中私家游團隊的個數(shù)為求自的分布列和數(shù)學期望.

17.如圖，菱形A3CD的對角線AC與交于點。，AB=5,AC=6,點E，尸分別在A。，CD

上，AE=CF=^,EF交BD于點、H,將.QEF沿EF折到“。公/位置，OD，=回.

(1)證明：￡>力，平面48。；

(2)求平面BAD'與平面ACD'的夾角的余弦值.

18.設拋物線。：/=2內(nèi)(0>0),過焦點產(chǎn)的直線與拋物線C交于點A(玉,%),5(%,%)?當直線

AB垂直于x軸時，|AB|=2.

(1)求拋物線C的標準方程.

(2)已知點P(1,O),直線AP,6F分別與拋物線C交于點C,D.

①求證：直線CD過定點；

②求B鉆與，PCD面積之和的最小值.

19.給定整數(shù)〃》3,由九元實數(shù)集合S定義其相伴數(shù)集T={|?！Ａ邑。工耳，如果min(T)=l,

則稱集合S為一個n元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)/為其中所有元素絕對值之和.

(1)判斷A={-0.1,—1.1,2,2.5}、3={—1.5,-0.5,0.5,1.5}哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；

(2)任取一個九元規(guī)范數(shù)集S,記加、M分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：

|min(5)|+|max(5)|>n-l-

(3)當5={?1M2，L，出M}遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù)/的最小值.

注：min(X)、max(X)分別表示數(shù)集X中的最小數(shù)與最大數(shù).

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.在“美麗鄉(xiāng)村”評選活動中，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)7個村的得分如下：1°，7,6,9,8,9,5,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾

數(shù)分別是()

A.7,9B.9,9C.9,8D.8,9

【答案】D

【解析】

【分析】把7個數(shù)由小到大重新排序，即可得到中位數(shù)為8,眾數(shù)為9.

【詳解】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)7個村的得分：10,7,6,9,8,9,5,由小到大排序為：5,6,7,8,9,9,10,所以中

位數(shù)為8,眾數(shù)為9.

故選：D.

22

加臬木隋原！“*丁—UkG的點心玄頭

7id，:—，則左=()

k+89一2

-54“4

A.4B.4或——C.——D.4或——

455

【答案】B

【解析】

【分析】分焦點在x軸和在y軸兩種情況，分別得到“"的表達式，進而求得c的表達式，然后根據(jù)離心

率得到關于左的方程，求解即可.

r2v21

【詳解】解：因為橢圓一^+乙=1(左〉—8)離心率為6=一,

上+892

當上+8>9時，橢圓焦點在x軸上，可得：

a=y/k+8,b=3,:.c=-\la2—b1=，左―1,e=｝1=—,解得k=4,

+S2

當0〈k+8v9時，橢圓焦點在y軸上，可得：

a=3,b=<k+8,;.c=Ja2-b1=?—ke=，="1解得％=一：.

a324

.,.左=4或左=-*.

4

故選：B.

3.數(shù)列｛2｝中，an=an+i+2,a5=lS,則%+%+…+%o=()

A.210B.190C.170D.150

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義知公差為-2,然后利用求和公式結合等差數(shù)列通項性質(zhì)求和即可;

【詳解】由4=為用+2知數(shù)列｛%｝是公差為—2的等差數(shù)列，

所以q+為H------F=5(%+?6)=5x(18+16)=5x34=170.

故選：C.

4.設6、C表示兩條直線，￡、夕表示兩個平面，則下列命題正確的是()

A.若Z?//a,cua,則》//cB.若Z?ua,bile,則cua

C.若clla,a10,則D.若clla,cL13,則a_L/?

【答案】D

【解析】

【分析】由直線與平面平行分析直線與平面內(nèi)直線的關系判斷A；由直線與直線平行分析線面關系判斷B；

由直線與平面平行、平面與平面垂直分析線面關系判斷C；由線面平行的性質(zhì)及平面與平面垂直的判定判斷

D.

【詳解】若/?//￡,CU6Z,則。//C或卜與C異面，故A錯誤；

若bua,bile,則cua或c//。，故B錯誤；

若c//a,a±j3,則cu〃或c//萬或c與夕相交，相交也不一定垂直，故C錯誤；

若c//a,過c的平面與e相交，設交線為。，則c//a,又c工0,則而aua,則故

D正確.

故選：D.

5.某中學進行數(shù)學競賽選拔考試，A,B,C,D,E共5名同學參加比賽，決出第1名到第5名的名

次.A和8去向教練詢問比賽結果，教練對A說：“你和B都沒有得到冠軍.”對8說：“你不是最后一

名.”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有()

A.54種B.72種C.96種D.120種

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論：

當A是最后一名，8可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次；

當A不是最后一名，A,B需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法計數(shù)原理可

得.

【詳解】根據(jù)題意可知A和3都沒有得到冠軍，且B不是最后一名，分兩種情況：

①A是最后一名，則8可以為第二、三、四名，即8有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，

有A；=6種情況，此時有3x6=18種名次排列情況；

②A不是最后一名，A,B需要排在第二、三、四名，有A；=6種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，

有A；=6種情況，此時有6x6=36種名次排列情況，則5人的名次排列方式共有18+36=54種.

故選A.

6.已知直線丁=履+2（左eR）交圓0：》2+,2=9于p（菁,乂）,。（9,%）兩點，貝!]

|3%,+4j1+16|+|3X2+4y2+16|最小值為（）

A.9B.16C.27D.30

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題中條件，先求得弦的中點E（x,y）的軌跡方程，則31+；1+16|+|3々+:2+16|的

幾何意義為兩點到直線3x+4y+16=0的距離之和，即點E（x,y）到直線

3x+4y+16=0距離的2倍，結合點到直線的距離公式求解即可.

【詳解】由題設直線與＞軸的交點為4（0,2）,設弦PQ的中點為E（x,y）,

連接OE,則尸。，即OELAE,所以OE.AE=0，

即（x,y）-（x,y-2）=x2+y（y-2）=0,

所以點E的軌跡方程為V+（y—Ip=1,

即E的軌跡是以（0,1）為圓心，1為半徑的圓，

設直線/為3x+4y+16=0,則后到/的最小距離為4手―1=3,

過P、石、。分別作直線/的垂線，垂足分別為,

則四邊形MVQP是直角梯形，且R是的中點,

則用是直角梯形的中位線，所以|"P|+|NQ|=2|E7?|,即苗+:]+16|+|3々+?2+16|=2但固,

即函+4%+6|+|3X2+4%+6|=10|￡R|>30,

所以|3%+4%+16|+|3X2+4%+16|的最小值為30.

7.已知tan&T=2,則sin(2a+-)的值為()

1+tancif6

A4+3&D4—36「4+3g4-3A/3

10101010

【答案】A

【解析】

【分析】先由已知條件求出tana的值，再利用三角函數(shù)恒等變換公式求出sin2。,cos2。的值，然后對

7T

sin(2a+：)利用兩角和的正弦公式化簡計算即可

6

【詳解】由tma一」,得tana=—3,

1+tancif

▼」.八2sinocos。2tan。-63

所以smla=——z---------;—=——2------二—=一一‘

sino+cosatana+1105

ccos2a-sin2a1-tan2a1-94

cos2a=——--------2=——2-------=------=——，

sin5a+cosatana+1105

717171

所以sin(2o+—)=sinlacos——Fcos2asin—

666

4+3A/3

10

故選：A

22

8.已知K，工分別是雙曲線—方=1（?！?]〉o）的左、右焦點，過耳的直線分別交雙曲線左、

右兩支于A,8兩點，點C在x軸上，CB=3F2A,B8平分則雙曲線「的離心率為（）

A.#jB.75C.y[3D.V2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)CB=364可知C5〃KA,再根據(jù)角平分線定理得到忸聞，忸C|的關系，再根據(jù)雙曲線定義

分別把圖中所有線段用”,仇c表示出來，根據(jù)邊的關系利用余弦定理即可解出離心率.

因為C3=38A,所以..△耳BC,

設/?=2c,則國C|=4c,設|明|="則忸凰=3/,|陰=2九

|甌區(qū)局2c1

因為3鳥平分N￡3C,由角平分線定理可知，巳=高三=7=彳，

\BC\\F2C\4C2

所以忸C|=2忸胤=61,所以|4周=；忸。|=2/,

由雙曲線定義知|A閭-|A耳|=2a,BP2t—t=la,t=2a,①

又由吃卜陷|=2an\BF^=3t-2a=2t,

所以忸閭=|AB|=|A閶=2f,即AABFZ是等邊三角形，

所以ZF2BC=NABF2=60°.

2

在,耳3月中，由余弦定理知cosNRBF]=M[呷Tp

即L4『+9"4°2

化簡得7〃=402,

22,2t,3t

把①代入上式得e=$=S，所以離心率為，7.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

71)

9.關于函數(shù)/(x)=sin2x+§,下列選項錯誤的有(

A,函數(shù)/(%)最小正周期為兀B.表達式可寫成y=cos

C,函數(shù)/(%)在-上單調(diào)遞增D.〃龍)的圖像關于直線》=-一三對稱

12o

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性可判斷A；根據(jù)誘導公式可判斷B;根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C;根

據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性可判斷D.

【詳解】對于A涵數(shù)/(可最小正周期T=g=兀，故A正確；

對于B,y=cos^2x+—=cos^2x+—+—^=-sin^2x+—豐f(x),故B錯誤；

717171712兀、7171

對于C,xe2x+—e—在一二；,：上不單調(diào)，故C錯誤；

126J3163」L126

對于D,[金]=sin]—+=L，/(x)的圖像關于直線x=~~~~對稱,故D正確；

故選:BC.

10.設4/2,Z3為復數(shù)，馬彳0,則下列命題正確的是()

A.若22|=卜|,則Z2=±Z3B.若Z1Z2=Z1Z3,則Z2=Z3

C.若4/2互為共輾復數(shù)，則Z]Z2為實數(shù)D.若i為虛數(shù)單位，”為正整數(shù)，則j4〃+3=i

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的模、復數(shù)乘法、共輾復數(shù)、復數(shù)的乘方等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】對于A項，取22=1/3="滿足"卜㈤，但是Z2=±Z3不成立，故A項錯誤；

對于B項，當Z1Z2=Z]Z3時，有Z(Z2—Z3)=0,又4彳0,所以Z2=Z3，故B項正確；

對于C項，Z1=a+歷,%=a-歷互為共軌復數(shù),則(「+歷)(a—歷)=〃+/,

即Z1Z2為實數(shù)，故C項正確；

對于D項，i4"+3=i3=_j,故D項錯誤.

故選：BC

11.已知函數(shù)"X)和其導函數(shù)g(x)的定義域都是R,若/(x)-尤與g(2x+l)均為偶函數(shù)，貝I()

A./(0)=0

B.工也關于點(0,1)對稱

x

C.g(2023)=l

D.(g⑴-1)x(g(2)+1)+(g(2)-1)x(g(3)+1)++(g(2023)-1)x(g(2024)+1)=0

【答案】BD

【解析】

【分析】用特殊值法，假設/。)=1+X,可判斷選項A；

對/(%)-x=/(-無)+無進行變形處理，即可判斷其對稱性，從而判斷選項B；

對/(X)-X=/(-X)+X兩邊求導，可得g(x)+g(-x)=2,根據(jù)g(2x+l)=g(—2x+l)可判斷g(x)的周

期性和對稱性，再根據(jù)特殊值關系，即可判斷選項C；

由特殊值關系得到g(2)+g(4)=2,g(l)+g(3)=2,化簡

(g(l)-1)x(g(2)+1)+(g(2)-1)x(g(3)+1)++(^(2023)-1)x^(2024)+1),即可判斷選項D.

【詳解】假設/(x)=l+x,則/(x)—x=l,g(2x+l)=l都為偶函數(shù)，則所設函數(shù)/(x)=l+x符合題

意，此時/(。)=1,所以A錯誤；

因為/(無)—為為偶函數(shù)，所以『(九)—x=/(—x)+x,即19+/口=2,

X-X

令/代)=以工，則/i(x)+/z(-x)=2,所以&(力關于點(0,1)對稱,故B正確;

因為g(2x+l)均為偶函數(shù)，所以g(2x+l)=g(—2x+l),所以函數(shù)g(x)的圖象關于直線1=1對稱，即

g(l+x)=g(l-x),

因為/(x)-x=/(_x)+x,所以/'(尤)一1=一/'(一%)+1,所以g(x)+g(-無)=2,

所以g(x+4)=g(x),g(2023)=g(3),又g(-L)=g(3),g(0)=g(4),

所以g(l)+g(3)=g(l)+g(—l)=2,所以無法確定g(2023)的值，所以C錯誤；

又g⑵+g(—2)=2,g(2)^g(-2),所以g(2)=g(—2)=1,又g(4)=g(0)=l,所以

g(2)+g(4)=2,

由g(x+4)=g(x)知函數(shù)g(x)周期為4,則g(x)-g(x+l)的周期也為4,則

(g(l)-l)x(g⑵+1)+(g(2)—1)x(g(3)+1)++(g(2023)-l)x(g(2024)+1)

=g⑴g(2)+g(2)g⑶++^(2023)^(2024)-g(2024)+g⑴-2023

=506[g(l)g(2)+g(2)g(3)+g(3)g(4)+g(4)g(5)]—g(2024)g(2025)—g(2024)+g(l)-2023

=506[(g(2)+g(4))(g(l)+g(3))]-g(0)g(l)—g(0)+g(l)-2023

=506x4-g(l)-l+g(l)-2023=0,所以D正確.

故選：BD

【點睛】對稱性有關結論：

若/(a-x)=/(a+x),則/(x)關于直線x=。對稱；

若f(2a-x)=于(x),則fix)關于直線x=a對稱；

若/(a-x)+f(a+x)=2b,則f(x)關于點(a,。)中心對稱;

f(2a-x)+f(x)=2b,則/(x)關于點(a,。)中心對稱；

周期性結論：

若/(x+T)=/(x),則函數(shù)/(x)的周期為7.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合4={%|尤<左},B={x|l<%<2),且=則實數(shù)上的取值范圍是一

【答案】k>2

【解析】

【分析】根據(jù)交集運算得集合關系，從而列不等式求解即可.

【詳解】因為AB=B,所以BgA,又4={%卜<左},B={x\l<x<2],所以左》2.

故答案為：k>2

13.球。的半徑與圓錐M的底面半徑相等，且它們的表面積也相等，則圓錐M的側(cè)面展開圖的圓心角大

小為,球O的體積與圓錐M的體積的比值為.

【答案】①.三##120。②.72

【解析】

【分析】設球。的半徑及圓錐M的底面半徑均為R,圓錐M的母線長為/,再根據(jù)球與圓錐的表面積公式

求得/=3火，即可得圓錐M的側(cè)面展開圖的圓心角大??；根據(jù)勾股定理求得/z=207?，再結合球與圓錐

的體積公式分析體積比即可

【詳解】設球。的半徑及圓錐加的底面半徑均為R,圓錐〃的母線長為/,則4萬我2=不玄+萬加，所以

l=3R,圓錐M的側(cè)面展開圖的圓心角大小為當=§；球。的體積為四仁，圓錐M的高

/33

”=爐友=2面，圓錐M的體積為g?乃A?二百氏=言⑹，所以球。的體積與圓錐M的體積

的比值為友.

故答案為：,y/2

11

14.設x,y是正實數(shù)，記S為％,y+士，一中的最小值，則S的最大值為.

【答案】V2

【解析】

【分析】設。=X〉08=!〉0,。='+,=：+工〉0,通過的分類討論，結合不等式的縮放和基本不

yxba

等式可求解.

【詳解】方法一：設"二%>0,6=—〉0,c=yH>0,當。=b=c='+，時，a=b=y/2

yxbaba

不妨設S=mi設。<一+—}

ba

,—11/—

①當〃=b=行時，S=min{〃,Z?，7+—}二,2

ba

②當0va<<Z?時，S-min{tz,Z?,—H—}=min{6z,—H—},

baba

若aG—I—,則min{—I—}=a<A/2；

baba

什11.11.11大

右a>—I—9則inin{f。,—I—}——I—；

bababa

③當Ova<人時,—>-^-，―>c=—H■—>^2,

a2b2ba

S=min{6i,/?,—+—}-a<0；

ba

④當④<aa時，"等，:〈冷，°=：+2亞

S=min{a,Z?,—+—}=—+—<V2

baba

同理，當。>萬時，可以證明S<0

綜上所述：S的最大值為力.

方法二：由題意知0<SVx,0<S<-,則,<L，y<L

yxSS

111?

所以—<—i—=一,解得0<S?J5，故S的最大值為J￡.

xSSS

故答案為：^2

【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)/'(x)=gx3—以？+(/—J卜+b(a,beR),其圖象在點處的切線方程為

x+y-3=0.

(1)求。值;

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

Q

【答案】(1)4=1/=—；

3

QA

(2)八%)的增區(qū)間是(一%,0)和(2,+8),減區(qū)間是(0,2),極大值是『極小值是相

【解析】

【分析】(1)由出導函數(shù)/'(%),計算/'(1)和/(1),由切線方程列方程組解得仇

(2)由川(勾：>。得增區(qū)間，由/'(力<0得減區(qū)間，從而可得極值；

【小問1詳解】

/'(x)=x2-2ax+a2-l,/,(l)=l-2a+a2-l=a2-2a,

—a+a~—1+Z7—a~—a+b—

/W=33

又圖象在點(1,/(1))處的切線方程為X+y-3=0,

/—2a=—1?a=l

所以《1+[〃2一〃+6一：)一3=0,解得78;

b=—

3

【小問2詳解】

1Q

由⑴得〃X)=gX3_工2+§，r(x)=%2—2x=%(彳_2),

x<0或x>2時，/^)>0,0(尤<2時，/'(x)<0,

所以〃力的增區(qū)間是(—。,0)和(2,+s),減區(qū)間是(0,2),

24

極大值是〃0)=丁極小值是/(2)=3；

16.某地政府為推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展、加快旅游產(chǎn)業(yè)化建設，提出要優(yōu)化傳統(tǒng)業(yè)態(tài)，創(chuàng)新產(chǎn)品和服務方

式，培育新業(yè)態(tài)新產(chǎn)品、新模式，促進康養(yǎng)旅游快速發(fā)展.某景區(qū)為了進一步優(yōu)化旅游服務環(huán)境，強化服務

意識，全面提升景區(qū)服務質(zhì)量，準備從加個跟團游團隊和6個私家游團隊中隨機抽取幾個團隊展開滿意度

調(diào)查.若一次抽取2個團隊，全是私家游團隊的概率為一.

91

（1）若一次抽取3個團隊，在抽取的3個團隊是同類型團隊的條件下，求這3個團隊全是跟團游團隊的概

率；

（2）若一次抽取4個團隊，設這4個團隊中私家游團隊的個數(shù)為求自的分布列和數(shù)學期望.

14

【答案】（1）—

19

（2）分布列見解析，—

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可知共有（加+6）個團隊，根據(jù)全是私家游團隊的概率結合古典概型求出加，再分3

個團隊全是私家游團隊和3個團隊全是跟團游團隊兩種情況討論，結合古典概型即可得解；

（2）先寫出隨機變量占的所有可能取值，再求出對應隨機變量的概率，從而可得分布列，再根據(jù)期望公式

求期望即可.

【小問1詳解】

由題意知共有（加+6）個團隊，

一次抽取2個團隊的情況有C；+6種，其中全是私家游團隊的情況有C；種，

C23015

故一次抽取2個團隊，全是私家游團隊的概率是￡二;一-3一,

C>6（m+6）（/n+5）91

整理得W+]]〃―]52=0，解得m=8或加=—19（舍去），

若一次抽取的3個團隊全是私家游團隊，則共有C：=20種情況，

若一次抽取的3個團隊全是跟團游團隊，則共有C；=56種情況，

所以在抽取的3個團隊是同類型團隊的條件下，

這3個團隊全是跟團游團隊的概率為占一="；

20+5619

【小問2詳解】

由題意知，隨機變量占的所有可能取值為0,1,2,3,4,

p（^=o）=4=—=->齷=1）=&=&=里，

''C：410011431'C：41001143

.-AC^42060”占阻=160

P伶(2)C：4=1001=143)信)C：41001

C41s

相=4)=#而

故J的分布列為

01234

10486016015

P

14314314310011001

c10148c60。160.1512

數(shù)學期望￡(《)=Ox---Fix----F2X----b3x-----b4x----=一.

v7143143143100110017

17.如圖，菱形A3CD的對角線AC與3D交于點。，AB=5,AC=6,點E,尸分別在AD,CD

上，AE=CF=^,所交3。于點H，將J＞砂沿EF折到.D'EP位置，0?=回.

（1）證明：平面A3CD；

（2）求平面B4O'與平面ACD'的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵萼

【解析】

【分析】（1）先利用平行轉(zhuǎn)化得垂直關系，再利用勾股定理計算證明線線垂直，然后利用線面垂直判定定理

證明線面垂直，

（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，利用法向量方法求二面角的余弦值.

【小問1詳解】

由已知得AC-LBD,AD-CD，

又由AE=CF得一=—,敬ACHEF,

ADCD

因此所_L/ZD，從而EF_L￡>'H

由A3=5,AC=6，得￡>0=50=3x52—AO2=4.

OHAE1

由AC〃所得柘=卞=7所以0H=1，D‘H=DH=3?

ODAD4

又已知OD=M，于是D'H2+OH2=32+12=10=D'02>

故DR，。”?又。力，防，且OHEF=H,0",防匚平面口。。?

所以￡>舊_1_平面ABCD.

【小問2詳解】

如圖，以H為坐標原點，以5,所在直線分別為羽％z軸，建立空間直角坐標系”一孫z,則

H（0,0,0）,A（-3,-l,0）,B（0-5,0）,C（3,-l,0）,。'（0,0,3）,AB^（3,-4,0）,

AC=（6,0,0）,A￡＞，=（3,1,3）.

設7%=（%，M，zJ是平面ABD'的法向量,

m-AB=03x-4y.=0/、

則，即《國+"31?！畲?，可得利=（4,3，-5）.

m-AD'=0

設”=（馬,%，Z2）是平面ACD'的法向量,

n-AC=06%?—0/、

則,即《[3w+%+3z2=0'令％7可得乃=（。，-3,1）,

nAD'=Q

設平面JBAD'與平面ACD'的夾角為0,

?\m'n\|-14|_775

于是cos0=|cosm,n\

|m||n|25，

平面B4O'與平面ACD'的夾角的余弦值是拽.

25

18.設拋物線C:y2=2px(p〉0),過焦點產(chǎn)的直線與拋物線C交于點4(冷%)，網(wǎng)8％).當直線

AB垂直于x軸時，|AB|=2.

(1)求拋物線C的標準方程.

(2)已知點P(1,O),直線AP,6F分別與拋物線C交于點C,D.

①求證：直線CD過定點；

②求.與「PCD面積之和的最小值.

【答案】(1)C：V=2x

(2)①證明見解析；②三

2

【解析】

【分析】(1)利用弦長求解p,即可求解拋物線方程；

(2)(i)設直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達定理找到坐標關系，表示出直線方程，即可求出定點;

(ii)利用面積分割法求出兩個三角形面積表達式，然后利用二次函數(shù)求最值即可.

【小問1詳解】

由題意，當直線A5垂直于x軸時，網(wǎng)',代入拋物線方程得％=土。，貝小的=2°,所以功=2,

即，=1,所以拋物線C：V=2%.

【小問2詳解】

⑴設。(%,%)，。(乂，％)，直線AB:x=7〃y+g,

與拋物線C：V=2x聯(lián)立，得y2_2my_1=0,因此%+%=2m，%%=一1?

設直線AC:x="y+l,與拋物線C：V=2x聯(lián)立，得/一2〃丁—2=0,

-2-2

因此M+%=2〃,%%=-2,則為=——.同理可得為=——.

%%

h―3--__2—2—%%—1

22

所以CDx3-x4y3y4%+%二+二為+為2m.

22X%

因此直線8：X=2m（y一%）+%3，由對稱性知，定點在x軸上,

令y=o得,

/、2

ccKc-21(-24m2

—

X=—2my+%=2my+=—2m----\~一+

33=i~

,'2%2Ui；%%

=2(i)+E=2+2(&+4]=2+2.%%+1=2,

%KIXK)蘇

所以直線CD過定點。（2,0）.

（ii）因為S咖=3歸斗|%一力|=：民一％|，

yiy2

sPCD=；|「2卜|%-%|=；二---=---|=||=|yi-y2|，

22x%Xy2|IM%I

所以SPAB+SPCD=Ijx—|V4m2+4=-|y1m2+1>|-,

當且僅當m=0時取到最小值3.

2

19.給定整數(shù)〃23,由〃元實數(shù)集合S定義其相伴數(shù)集T={|。一41a、"wS,aHh},如果min（T）=l,

則稱集合S為一個〃元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)f為其中所有元素絕對值之和.

⑴判斷A={-0.1,—1.1,2,2.5}、5={-1.5,-0.5,0.5,1.5}哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由;

（2）任取一個九元規(guī)范數(shù)集S,記冽、M分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：

|min（5）|+|max（5）|>n-l-

（3）當S={o1M2，L,02G遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù)/最小值.

注：min（X）、max（X）分別表示數(shù)集X中的最小數(shù)與最大數(shù).

【答案】（1）集合A不是規(guī)范數(shù)集；集合B是規(guī)范數(shù)集;

（2）證明見詳解；（3）1012x1011.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)〃元規(guī)范數(shù)集的定義，只需判斷集合A3中的元素兩兩相減的差的絕對值，是否都大于

等于1即可；

(2)利用n元規(guī)范數(shù)集的定義，得到x,.+1-x,.>1,從而分類討論藥20、%<。與X]<0,%>0三種情況，

結合去絕對值的方法即可證明；

(3)法一：當％20時，證得&—1)+%,從而得到了21011x2023；當。2023<。時，證得

—422023—〃—“2023,從而得至11/21011x2023；當4<0<%“+i時，分類討論mW1011與加21012

兩種情況，推得了?1012x1011,由此得解；

法二：利用規(guī)范數(shù)集的性質(zhì)與(2)中結論即可得解.

【小問1詳解】

對于集合A：因為|2.5—2|=0.5<1,所以集合A不是規(guī)范數(shù)集；

對于集合3因為5={—1.5,-050.5,1.5},

又卜1.5-(-0.5)|=1,|-1.5-0.5|=2,|-1.5-1.5|=3,|-0.5-0.5|=