2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：不等式的性質(zhì)、基本不等式 專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第4講-不等式的性質(zhì)、基本不等式-專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)a,b均為非零實(shí)數(shù)且則下列結(jié)論中正確的是（）

A.->-B.01Vbi

ab

C.^<77D.03Vb3

crb1

2.已知實(shí)數(shù)a>6>0>c,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.->-B.[>>[）

bc

C.D.a2>c2

ac

3.已知a>0,Z）>0,若直線/i：ax+by—2=0與直線42：2x+（l—a）v+1

=0垂直，則a+2b的最小值為（）

A.1B.3

C.8D.9

Iio

4.已知x>0,v>0,且一—H=-,若x+v>/〃2+3/%恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)

x+i2y3

的取值范圍是（）

A.（-4,6）B.（-3,0）

C.（-4,1）D.（1,3）

5.（2023?深圳羅湖期末）某科技企業(yè)開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一種智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的

固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本3（x）萬(wàn)元.其中0（x）

x2+10x,0<xW40,

=',10000若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品全部售完，每件

/JL九I>什。，4ivz,

X

的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為（）

A.720萬(wàn)元B.800萬(wàn)元

C.875萬(wàn)元D.900萬(wàn)元

二、多項(xiàng)選擇題

6.下列結(jié)論中，正確的有（）

A.若a>6,則3>與

cc

B.若。6=4，則層+6228

C.若。>仇則Q6VQ2

D.若a>b,c>d,則a~d>b—c

7.(2023,曲靖一模)已知。>0,b>0,且a+b=4,則下列結(jié)論一定正確的

有()

A.(a+2b)2^SabB.：+\》2\lab

\a7b

C.而有最大值4D.有最小值9

ab

8.設(shè)a>0,Z)>0,且a+2b=2,貝lj()

A.ab的最大值為1

2

B.a+b的最小值為1

c.層+〃的最小值為:

D.仁”2的最小值為?

ab2

三、填空題

9.已知實(shí)數(shù)a,b滿足-2,6W4,則3Q—56的取值范

圍是

10.已知Q>0,b>0,且仍=。+6+3,則的最小值為.

11.若。>0,b>0,a+b=9,則的最小值為_(kāi)_.

ab

四、解答題

12.已知a,6為正實(shí)數(shù)，且4a2+〃=2.

(1)求ab的最大值，并求此時(shí)a,6的值；

(2)求a\/TTP的最大值，并求此時(shí)a,b的值.

13.已知Q>1,b>2.

(1)若(a—1)(6—2)=4,求一「十」一的最小值及此時(shí)a,6的值；

a~\b~2

(2)若2a+6=6,求一1+1一的最小值及此時(shí)a,b的值；

a~\b~2

(3)若1+1=1,求」+一L的最小值及此時(shí)a,6的值.

aba~1b~2

14.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家節(jié)水號(hào)召，決定對(duì)污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來(lái)

水的使用量.經(jīng)測(cè)算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈

水設(shè)備的購(gòu)置費(fèi)(單位：萬(wàn)元)與設(shè)備的占地面積x(單位：平方米)成正比，比例系

數(shù)為02預(yù)計(jì)安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費(fèi)C(單位：萬(wàn)元)與設(shè)備占地面積x

之間的函數(shù)關(guān)系為C(x)=：(x>0).將該企業(yè)的凈水設(shè)備購(gòu)置費(fèi)與安裝后4年需

x十5

繳水費(fèi)之和合計(jì)為式單位：萬(wàn)元).

(1)要使y不超過(guò)7.2萬(wàn)元，求設(shè)備占地面積x的取值范圍；

(2)設(shè)備占地面積x為多少時(shí)，y的值最??？

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第4講-不等式的性質(zhì)、基本不等式-專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)a,b均為非零實(shí)數(shù)且。<九則下列結(jié)論中正確的是（D）

A.->-B.01Vbi

ab

C.^<77D.a3<b3

crb1

【解析】對(duì)于A,取Q=—1,b=l,51lJ-<7，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,取Q=-1,

ab

b=l,則/=〃，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,取a=—1,b=l,則'=』，C錯(cuò)誤；對(duì)于

a伏

,、

D,由QV仇可得分―Q3=（6—〃）.32+/+。2）=3—a）[4J>0,所以

a3Vb3,D正確.

2.已知實(shí)數(shù)a>b>0>c,則下列結(jié)論一定正確的是（A）

A.->-B,[2]>（2）

bc

C.-<-D.a2>c2

ac

【解析】對(duì)于A,因?yàn)閍>Z）>0>g所以:>0>?,故A正確；對(duì)于B,因

bc

為函數(shù)了二廿在R上單調(diào)遞減，且a>c,所以故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,

因?yàn)閍>0>c,貝「>0>1,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,若a=l,c=-2,滿足a>0>

ac

C,但°2<02,故D錯(cuò)誤.

3.已知a>0,b>0,若直線/1：ax+by—2=0與直線42：2x+（l—a）j+1

=0垂直，則。+2b的最小值為（D）

A.1B.3

C.8D.9

【解析】由題可知兩條直線的斜率一定存在，因?yàn)閮芍本€垂直，所以斜率乘

積為一1,即一一x〔一1—1=-1,即2a+6=a6整理得3+1=1,所以。+26

bba

=(a+2b>[+j="+l+4+獨(dú)三5+2、a^=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)等號(hào)

ba\jba

成立.因此a+26的最小值為9.

1i7

4.已知x>0,^>0,且一H■-=-,若x+y>/+3加恒成立，則實(shí)數(shù)加

x+12y3

的取值范圍是（C）

A.（-4,6）B.（-3,0）

C.（-4,1）D.（1,3）

【解析】因?yàn)閤>0,y>0,且一■一+-=|,所以x+2+y=：（x+2+y）L+2+J

x+2y32

3卜+：+讓2+1］卜+［±2］當(dāng)日.當(dāng)》x+2即

=Ax+2y\jx+2yJ=6,當(dāng)且僅當(dāng)--，二=-，即”

22x+2y

=3,x=l時(shí)取等號(hào)，所以x+yN4.因?yàn)閤+y>7〃2+3機(jī)恒成立，所以機(jī)2+3機(jī)<

4,即（機(jī)一1）（掰+4）V0,解得一4〈掰VL所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（一4,1）.

5.（2023?深圳羅湖期末）某科技企業(yè)開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一種智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的

固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本3（x）萬(wàn)元.其中o（x）

x2+10x,0<xW40,

=7210000945,x>40,若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品全部售完，每件

.x

的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為（C）

A.720萬(wàn)元B.800萬(wàn)元

C.875萬(wàn)元D.900萬(wàn)元

【解析】該企業(yè)每年利潤(rùn)為?=

70X-(X2+10X+25),0VXW40,

f7hI10000945I25〕當(dāng)0VxW40時(shí)，?0=—》2+60%-

.7Ox—LxJ,x>40,

25=30)2+875,當(dāng)x=30時(shí)，道x)取得最大值875；當(dāng)x>40時(shí)，於)=920

x+

W920—2?坨則=720,當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí)等號(hào)成立，即在x

X

=100時(shí)，義x)取得最大值720.由875>720,可得該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為875

萬(wàn)元.

二、多項(xiàng)選擇題

6.下列結(jié)論中，正確的有(BD)

A.若a>b,則?

cC

B.若。6=4，則4+6228

C.若a>b,則ab<a2

D.若a>b,c>d,則a~d>b—c

【解析】對(duì)于A,若。=0,則4?無(wú)意義，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,若曲=4,

cC

則/十〃三2況)=8,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=±2時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C,由于

不確定。的符號(hào)，故無(wú)法判斷，例如。=0,b=~l,則。6=/=0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若a>6,c>d,則一d>—c,所以口一4>6一0,故D正確.

7.(2023,曲靖一模)已知。>0,b>0,且a+6=4,則下列結(jié)論一定正確的

有(AC)

A.(a+2b)2三8abB.:+'》2\lab

7aylb

C.仍有最大值4D.有最小值9

ab

【解析】對(duì)于A,(a+2b)2=a2+4b2+Aab^2-a-2b+4ab=Sab,故A正確；

對(duì)于B,找反例，當(dāng)a=6=2時(shí)，1+\=也，2\fab=4,」+]=<2\lab,故

\layJb\ja7b

B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)椤?6=4?2誣，所以MW4,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=2時(shí)取等

14P+4J1+4+。也<5+2—7

虧，故C正確；對(duì)于D,-~zJ(a+/?)=-lab

ab44

=：,當(dāng)且僅當(dāng)a=(,b=:時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.

8.設(shè)a>0,b>0,且a+2b=2,貝lj(ACD)

A.必的最大值為!

2

B.a+b的最小值為1

C./+接的最小值為3

D.匚吐2的最小值為《

ab2

【解析】對(duì)于A,a>0,b>0,2\/^i)Wa+2b=2nabW；,當(dāng)且僅當(dāng)。=1,

時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B,a+b=2~b,。=2—24因?yàn)椤?gt;0,b>0,

所以0VAV1,lVa+AV2,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,a2+b2=(2-2b)2+b2=5b2~Sb

+4=5[~j+卜!當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確;對(duì)于D,匕*

5555ab

a~b+a+2b2a+b2.1P+3/.1

ababba2

?2Z)|2dT|?hb2a\

4+7+TJ^4+nV7TJ=^,當(dāng)且僅當(dāng)獨(dú)T=?,即a=b=|時(shí)取等號(hào)，故

222ab3

D正確.

三、填空題

9.已知實(shí)數(shù)。，力滿足-2,IWQ—6W4,則3Q—56的取值范

圍是」6,19].

【解析】因?yàn)?。-5b=—(a+b)+4(a—b),由一3Wa+bW—2,得2W—(a

+6)W3,由IWa—6W4,得4W4(〃一b)W16,所以6W3〃一56W19,即3a—56

的取值范圍是[6,19].

10.已知Q>0,b>0,且ab=a+b+3,則a+b的最小值為_(kāi)6_.

【解析】因?yàn)閍b=Q+b+3W；(a+b)2,所以(a+b)2—4(a+Z?)—1220,即(a

+b—6)(〃+b+2)>0,解得Q+6>6或Q+6W—2.因?yàn)镼>0,b>0,所以Q+

626(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)).

11.若。>0,b>Q,a+b=9,則4+:的最小值為8.

【解析】"+及=幽±")+[=4+4"+：三4+2\e。=8,當(dāng)且僅當(dāng)。=6,

ababab\lab

6=3時(shí)取等號(hào)，故的最小值為8.

ab

四、解答題

12.已知a,b為正實(shí)數(shù)，且4a2+^=2.

(1)求ab的最大值，并求此時(shí)a,b的值；

【解答】由不等式4屋+〃三4碗，解得abW；,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=l時(shí)取等

號(hào)，所以曲的最大值為g此時(shí)。=；,b=\.

(2)求a\/1+按的最大值，并求此時(shí)a,6的值.

【解答】由4屋+〃=2,得4a2+(1+〃)=3.由4a52)

=4*1+P,得八i+Pw,，當(dāng)且僅當(dāng)4a2=1+/，即a=*，6=逆時(shí)取等號(hào)，

442

所以八TIN的最大值為］,此時(shí)k/,b=?.

442

13.已知Q>1,b>2.

(1)若(a—1)S—2)=4,求」一十一匚的最小值及此時(shí)a,6的值；

a~\b~2

【解答】因?yàn)椤?gt;1,b>2,所以。-1>0,b-2>Q,所以，+1—=

a~lb~2

1+3—21°—1)(5—2)=/S—2)+(a—l)],；X2^(Z)：：2)(?Z：l)=l,當(dāng)且僅

b-2=a-1,

當(dāng)即“=3,I時(shí)等號(hào)成立，所以上十上的最小值為

(a—1)0—2)=4,

1,此時(shí)。=3,b=4.

求的最小值及此時(shí)“''的值;

(2)若2a+b=6,L+L

A—7

【解答】由2a+b=6,得2(a—1)+(6—2)=2,所以(a—1)+\=1,所

一]b~2

11(Q—1)43￡^l^2^3+2j2當(dāng)

以a—12_++

a-1b~22b~22(a—1)2

b-2=^2(a-1),

且僅當(dāng),即a=3—/，6=2啦時(shí)等號(hào)成立，所以-1+

b(a—D+S—2)=2,a~1

上的最小值為手，此時(shí)尸3一也，42也

(3)若1+1=1,求―1+1-的最小值