6.3用樣本估計(jì)總體分布課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

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用樣本估計(jì)總體分布第六章統(tǒng)計(jì)北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解頻率與頻數(shù)對(duì)總體的估計(jì)情況.2.理解用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布的方法.3.會(huì)列頻率分布表,畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖.4.能夠利用頻率分布直方圖解決實(shí)際問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

頻率分布表與頻率分布直方圖1.基本概念名稱(chēng)概念頻數(shù)、頻率將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個(gè)組,各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),叫作該組的頻數(shù).每組頻數(shù)除以全體數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的商叫作該組的頻率.頻率反映該組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小樣本的頻率分布根據(jù)隨機(jī)所抽樣本的大小,分別計(jì)算某一事件出現(xiàn)的頻率,這些頻率的分布規(guī)律(取值狀況)就叫作樣本的頻率分布極差若一組數(shù)據(jù)的最小值為a,最大值為b,則b-a的差就叫作極差組距把所有數(shù)據(jù)分成若干組,每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為組距2.頻率分布表和頻率分布直方圖的意義從一個(gè)總體得到一個(gè)包含大量數(shù)據(jù)的樣本時(shí),我們很難從一個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)中直接看出樣本所含的信息.如果把這些數(shù)據(jù)整理成頻率分布表或頻率分布直方圖,就可以比較清楚地看出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布,從而估計(jì)總體的分布情況.用樣本估計(jì)總體,是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一個(gè)基本思想方法,而對(duì)于總體分布,我們總是用樣本頻率分布對(duì)它進(jìn)行估計(jì).3.頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟(1)頻率分布是指從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度,來(lái)表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.(2)一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.(3)畫(huà)頻率分布直方圖的一般步驟為:第一步,求極差.第二步,確定組距和組數(shù).為了方便起見(jiàn),組距的選擇應(yīng)力求“取整”,極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系:①若

為整數(shù),則

=組數(shù);②若

不為整數(shù),則

+1=組數(shù).([x]表示不大于x的最大整數(shù))第三步,分組.通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間.第四步,列頻率分布表.統(tǒng)計(jì)各組數(shù)據(jù)的頻數(shù),計(jì)算頻率,填入表格中,完成頻率分布表.第五步,依據(jù)頻率分布表畫(huà)頻率分布直方圖.畫(huà)圖時(shí),以橫軸表示樣本數(shù)據(jù),縱軸(小長(zhǎng)方形的高)表示頻率與組距的比值.名師點(diǎn)睛頻率分布直方圖的特征總體分布情況可以通過(guò)樣本頻率分布情況來(lái)估計(jì),樣本頻率分布是總體分布的一種近似表示,頻率分布表和頻率分布直方圖有以下特征:(1)從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì).(2)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.(3)頻率分布表和頻率分布直方圖由樣本決定,因此它們會(huì)隨樣本的變化而變化.(4)若固定分組數(shù),隨著樣本容量的增加,頻率分布表中各個(gè)頻率會(huì)穩(wěn)定在某一個(gè)值的附近,從而頻率分布直方圖中的各個(gè)小長(zhǎng)方形的高度也會(huì)穩(wěn)定在特定的值上.思考辨析1.為什么要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組?2.頻數(shù)分布表與頻率分布直方圖有什么不同?提示

不分組很難看出樣本中的數(shù)據(jù)所包含的信息,分組后,計(jì)算出頻率,從而估計(jì)總體的分布特征.提示

頻數(shù)分布表能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù),而頻率分布直方圖則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來(lái)表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)一般樣本容量越大,所分組數(shù)越多;樣本容量越小,所分組數(shù)越少.(

)(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)表示頻率.(

)(3)頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻數(shù).(

)√××2.[人教B版教材例題]某市為了制定合理的節(jié)水方案,對(duì)家庭用水情況進(jìn)行了調(diào)查,通過(guò)抽樣,獲得了某年100個(gè)家庭的月均用水量(單位:t),將數(shù)據(jù)按照[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中a的值;(2)設(shè)該市有10萬(wàn)個(gè)家庭,估計(jì)全市月均用水量不低于3t的家庭數(shù);(3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,估計(jì)全市家庭月均用水量的平均數(shù).解

(1)因?yàn)轭l率分布直方圖所有矩形的面積之和為1,所以(0.12+0.22+0.36+a+0.12)×1=1,解得a=0.18.(2)抽取的樣本中,月均用水量不低于3

t的家庭所占比例為(a+0.12)×1=0.3=30%,因此估計(jì)全市月均用水量不低于3

t的家庭所占比例也為30%,所求家庭數(shù)為100

000×30%=30

000.(3)因?yàn)?.12×0.5+0.22×1.5+0.36×2.5+0.18×3.5+0.12×4.5=2.46,所以估計(jì)全市家庭月均用水量的平均數(shù)為2.46.知識(shí)點(diǎn)2

頻率折線圖在頻率分布直方圖中,按照分組原則,再在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間,從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開(kāi)始,用線段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn),直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn),就可以得到一條折線,我們稱(chēng)之為頻率折線圖.名師點(diǎn)睛頻率折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì),隨著樣本容量的不斷增加,分組的不斷加密,頻率折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑的曲線.自主診斷

判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)分組越密的頻率分布直方圖得到的頻率折線圖越光滑.(

)(2)頻率折線圖不能反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì).(

)√×微拓展總體密度曲線的特征(1)在樣本頻率分布直方圖中,隨著樣本容量的增加,作圖時(shí)所分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)這條光滑曲線為總體密度曲線,如圖所示.(2)總體密度曲線反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比,它能給我們提供更加精細(xì)的信息,圖中陰影部分的面積,就是總體在區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的百分比.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一頻數(shù)與頻率的有關(guān)計(jì)算【例1】

已知一個(gè)容量是40的樣本,把它分成六組,第一組到第四組的頻數(shù)分別是5,6,7,10,第五組的頻率是0.2,那么第六組的頻數(shù)是

,頻率是

.

4

0.1規(guī)律方法

頻數(shù)與頻率的求解策略對(duì)于頻數(shù)與頻率的問(wèn)題,首先要明確幾個(gè)等量關(guān)系,即各組的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組的頻率之和為1,頻率=.在解題過(guò)程中,要明確頻數(shù)、頻率以及樣本容量之間的關(guān)系,弄清已知、未知,選擇合適的公式進(jìn)行解題.探究點(diǎn)二畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖【例2】

某省為了了解和掌握2023年高考考生的實(shí)際答卷情況,隨機(jī)地取出了100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī),數(shù)據(jù)如下:(單位:分)13598

10211099

12111096

100103125 97 117 113 110 92 102 109 104 112105 124 87 131 97 102 123 104 104 128109 123 111 103 105 92 114 108 104 102129 126 97 100 115 111 106 117 104 109111 89 110 121 80 120 121 104 108 118129 99 90 99 121 123 107 111 91 10099 101 116 97 102 108 101 95 107 101102 108 117 99 118 106 119 97 126 108123 119 98 121 101 113 102 103 104 108(1)列出頻率分布表;(2)畫(huà)出頻率分布直方圖和頻率折線圖;(3)估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,120)分之間的比例.解

在100個(gè)數(shù)據(jù)中,最大值為135,最小值為80,極差為135-80=55.取組距為5,則組數(shù)為

=11.(1)頻率分布表如下:分組頻數(shù)頻率[80,85)10.010.002[85,90)20.020.004[90,95)40.040.008[95,100)140.140.028[100,105)240.240.048[105,110)150.150.030[110,115)120.120.024[115,120)90.090.018[120,125)110.110.022[125,130)60.060.012[130,135]20.020.004合計(jì)1001.000.200(2)根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫(huà)出頻率分布直方圖及頻率折線圖,如圖所示.(3)從頻率分布表中可知,這100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,120)分之間的頻率為0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,據(jù)此估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,120)分之間的比例為60%.規(guī)律方法

組距和組數(shù)的確定沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn),將數(shù)據(jù)分組時(shí),組數(shù)力求合適,使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來(lái),組數(shù)太多或太少都會(huì)影響對(duì)數(shù)據(jù)分布情況的了解,若樣本容量不超過(guò)120個(gè)時(shí),按照數(shù)據(jù)的多少常分為5組~12組,一般樣本容量越大,所分組數(shù)越多.變式訓(xùn)練1

為了檢測(cè)某種產(chǎn)品的質(zhì)量(單位:g),抽取了一個(gè)容量為100的樣本,數(shù)據(jù)的分組情況與頻數(shù)如下:[10.75,10.85),3;[10.85,10.95),9;[10.95,11.05),13;[11.05,11.15),16;[11.15,11.25),26;[11.25,11.35),20;[11.35,11.45),7;[11.45,11.55),4;[11.55,11.65],2.(1)列出頻率分布表;(2)畫(huà)出頻率分布直方圖以及頻率分布折線圖;(3)根據(jù)上述圖表,估計(jì)數(shù)據(jù)落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是百分之幾;(4)估計(jì)數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是百分之幾.

解

(1)頻率分布表如下:質(zhì)量分組/g頻數(shù)頻率[10.75,10.85)30.03[10.85,10.95)90.09[10.95,11.05)130.13[11.05,11.15)160.16[11.15,11.25)260.26[11.25,11.35)200.20[11.35,11.45)70.07[11.45,11.55)40.04[11.55,11.65]20.02合計(jì)1001.00(2)頻率分布直方圖及頻率分布折線圖如圖:(3)由上述圖表可知數(shù)據(jù)落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的頻率為0.13+0.16+0.26+0.20=0.75=75%,即數(shù)據(jù)落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是75%.(4)數(shù)據(jù)小于11.20的可能性即數(shù)據(jù)小于11.20的頻率,設(shè)為x,則(x-0.41)÷(11.20-11.15)=(0.67-0.41)÷(11.25-11.15),所以x-0.41=0.13,即x=0.54,從而估計(jì)數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是54%.探究點(diǎn)三頻率分布直方圖的應(yīng)用角度1頻率分布直方圖中的計(jì)算問(wèn)題【例3】

某校在5月份開(kāi)展了科技月活動(dòng).在活動(dòng)中某班舉行了小制作評(píng)比,規(guī)定作品上交的時(shí)間為5月1日到31日,逾期不得參加評(píng)比.評(píng)委會(huì)把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖).已知從左到右各長(zhǎng)方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1,第三組的頻數(shù)為12,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:(1)本次活動(dòng)共有多少件作品參加評(píng)比?(2)哪組上交的作品數(shù)最多,有多少件?(3)經(jīng)過(guò)評(píng)比,第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎(jiǎng),問(wèn)這兩組哪組獲獎(jiǎng)率較高?解

(1)設(shè)從左到右各長(zhǎng)方形的高分別為2x,3x,4x,6x,4x,x.參加評(píng)比的作品總數(shù)為a,又(2x+3x+4x+6x+4x+x)×5=1,解得a=60(件).(2)由頻率分布直方圖可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多,共有6×x×5×a=18(件).(3)第四組上交的作品數(shù)為18,第六組上交的作品數(shù)為x×5×a=3件,則它們的獲獎(jiǎng)率分別為規(guī)律方法

1.頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)因?yàn)樾【匦蔚拿娣e=組距×

=頻率,所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小;(2)在頻率分布直方圖中,各小矩形的面積之和等于1;(3)

=樣本容量.2.頻率分布直方圖反映了樣本在各個(gè)范圍內(nèi)取值的可能性,由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率,可近似地估計(jì)總體在這一范圍內(nèi)取值的可能性.變式訓(xùn)練2為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示,圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?(2)若次數(shù)在110或110以上為達(dá)標(biāo),試估計(jì)該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少?角度2利用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布【例4】

一個(gè)農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長(zhǎng)的分布情況,在一塊試驗(yàn)田里抽取了100株麥穗,量得長(zhǎng)度如下(單位:cm):6.5

6.4

6.7

5.8

5.9

5.9

5.2

4.0

5.4

4.65.8

5.5

6.0

6.5

5.1

6.5

5.3

5.9

5.5

5.86.2

5.4

5.0

5.0

6.8

6.0

5.0

5.7

6.0

5.56.8

6.0

6.3

5.5

5.0

6.3

5.2

6.0

7.0

6.46.4

5.8

5.9

5.7

6.8

6.6

6.0

6.4

5.7

7.46.0

5.4

6.5

6.0

6.8

5.8

6.3

6.0

6.3

5.65.3

6.4

5.7

6.7

6.2

5.6

6.0

6.7

6.7

6.05.6

6.2

6.1

5.3

6.2

6.8

6.6

4.7

5.7

5.75.8

5.3

7.0

6.0

6.0

5.9

5.4

6.0

5.2

6.06.3

5.7

6.8

6.1

4.5

5.6

6.3

6.0

5.8

6.3根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表,繪制出頻率分布直方圖,并估計(jì)在這塊試驗(yàn)田里長(zhǎng)度在5.75~6.35cm之間的麥穗所占的百分比.解

(1)計(jì)算極差:7.4-4.0=3.4.(2)決定組距與組數(shù):若取組距為0.3,因?yàn)?/p>

≈11.3,需分為12組,組數(shù)合適,所以取組距為0.3,組數(shù)為12.(3)分組所分的12個(gè)小組可以是3.95~4.25,4.25~4.55,4.55~4.85,…,7.25~7.55.分組頻數(shù)頻率[3.95,4.25)10.01[4.25,4.55)10.01[4.55,4.85)20.02[4.85,5.15)50.05[5.15,5.45)110.11[5.45,5.75)150.15[5.75,6.05)280.28[6.05,6.35)130.13[6.35,6.65)110.11[6.65,6.95)100.10[6.95,7.25)20.02[7.25,7.55]10.01合計(jì)1001.00(4)列頻率分布表:(5)繪制頻率分布直方圖如圖.從表中看到,樣本數(shù)據(jù)落在5.75~6.35之間的頻率是0.28+0.13=0.41,于是可以估計(jì),在這塊試驗(yàn)田里長(zhǎng)度在5.75~6.35

cm之間的麥穗約占41%.規(guī)律方法

1.頻率分布表能比較準(zhǔn)確地反映樣本的頻率分布,而頻率分布直方圖則能直觀地反映樣本的頻率分布.2.估計(jì)總體分布時(shí),樣本容量越大,估計(jì)越準(zhǔn)確.變式訓(xùn)練3公交車(chē)的數(shù)量太多容易造成資源的浪費(fèi),太少又難以滿足乘客的需求.為此,公交公司在某站臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了80名乘客,他們的候車(chē)時(shí)間如下所示(單位:分鐘):17

14

20

12

10

24

18

17

1

2213 19 28 5 34

7

25

18

28

115 31 12 11 10

16

12

9

10

1319 10 12 12 16

22

17

23

16

1516 11 9 3 13

2

18

22

19

923 28 15 21 28

12

11

14

15

311 6 2 18 25

5

12

15

20

1612 28 20 12 28

15

8

32

18

9(1)將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M,并畫(huà)出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率折線圖.(2)候車(chē)時(shí)間15分鐘以上的頻率是多少?你能為公交公司提出什么建議?解

(1)該數(shù)據(jù)中最大值為34,最小值為1,兩者之差為33,故取組距為5,分為7組.分組頻數(shù)頻率

[0,5)60.0750.015[5,10)90.112

50.022

5[10,15)220.2750.055[15,20)220.2750.055[20,25)100.1250.025[25,30)80.1000.020[30,35]30.037

50.007

5頻率分布直方圖如圖所示:頻率折線圖如圖所示:(2)候車(chē)時(shí)間不低于15分鐘的比例為0.275+0.125+0.100+0.037

5=0.537

5.建議:公交公司可以適當(dāng)增加公交車(chē)的數(shù)量.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)頻數(shù)與頻率的關(guān)系;(2)列頻率分布表、畫(huà)頻率分布直方圖與頻率折線圖;(3)頻率分布直方圖的應(yīng)用.2.方法歸納:數(shù)據(jù)分析.3.常見(jiàn)誤區(qū):誤把頻率分布直方圖中的縱坐標(biāo)當(dāng)成頻率,導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]已知樣本:10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,11,那么頻率為0.4的范圍是(

)A.5.5~7.5 B.7.5~9.5C.9.5~11.5 D.11.5~13.5C解析

由題可得,頻率分布表如下:分組頻數(shù)頻率[5.5,7.5)20.1[7.5,9.5)60.3[9.5,11.5)80.4[11.5,13.5]40.2合計(jì)201從表中可以看出,頻率為0.4的范圍是9.5~11.5,故選C.1234561234562.[探究點(diǎn)三]某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè),如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重?cái)?shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100g的個(gè)數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98g并且小于104g的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是(

)A.90 B.75

C.60

D.45A123456解析

由頻率分布直方圖可知,產(chǎn)品凈重小于100

g的頻率是0.05×2+0.1×2=0.3,所以樣本中產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為

=120.由圖知,產(chǎn)品凈重大于或等于98

g而小于104

g的頻率為(0.1+0.15+0.125)×2=0.75,則凈重在此范圍內(nèi)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為120×0.75=90.1234563.[探究點(diǎn)三]將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組,繪制頻率分布直方圖,若第一組至第六組的頻率之比為1∶4∶4∶6∶3∶2,且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27,則n=

.

601234564.[探究點(diǎn)三]某電子商務(wù)公司對(duì)10000名消費(fèi)者的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位:萬(wàn)元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.(1)a=

;

(2)在這些購(gòu)物者中,消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為

.

36000

123456解析

(1)由0.1×1.5+0.1×2.5+0.1a+0.1×2.0+0.1×0.8+0.1×0.2=1,解得a=3.(2)區(qū)間[0.3,0.5)內(nèi)的頻率為0.1×1.5+0.1×2.5=0.4,故[0.5,0.9]內(nèi)的頻率為1-0.4=0.6.因此,消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為0.6×10

000=6

000.1234565.(多選題)某市教體局對(duì)全市高三年級(jí)的學(xué)生身高進(jìn)行抽樣調(diào)查,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,他們的身高都處在A,B,