2025年中考數(shù)學專項復習：二次函數(shù)綜合題的解決方法

第十四單元二次函數(shù)綜合題的解決方法

專題一拋物線與線段關系

核心考點一線段的大小比較

01.如圖，拋物線y=/-2%-3與X軸交于A(-l,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C.有一寬度為1的直尺平行于y

軸，在點O,B之間平行移動，直尺兩長邊被線段BC和拋物線截得兩線段DE,FG.設點D的橫坐標為t,且

(0<t<2?試比較線段DE與FG的大小.

核心考點二化斜為直

02.如圖,拋物線y=-"+4-6與x軸交于A(3,0),B(8,0)兩點與y軸交于點C,直線y=依-6經(jīng)過點B.

點P在拋物線上，設點P的橫坐標為m.若點P在直線BC上方的拋物線上，過點P作.PQ1BC,垂足為Q,求

CQ+?Q的最大值

C

專題二拋物線與點線距離

核心考點一點到直線的距離相等與平行轉(zhuǎn)化，再分類討論

01.如圖，拋物線y=Y-2久-3交X軸于A,B兩點（A在B的左邊），C是第一象限拋物線上一點，直線AC交y

軸于點P.當（OP=。21時，在拋物線上存在點D（異于點B）,使B,D兩點到AC的距離相等，求出所有滿足

條件的點D的橫坐標.

核心考點二化斜為直與配方求最值

02.如圖，拋物線.y=-必+2x+3與x軸交于A和B兩點，與y軸交于點C,連接AC，作直線BC.將直線BC向

下平移.山（巾＞0）個單位長度，交拋物線于B\C兩點.在直線B（，上方的拋物線上是否存在定點D,無論m取

何值時，都是點D到直線的距離最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

專題三拋物線與平行四邊形

01.如圖,拋物線y="2—|x—9與.X軸交于點A,B,與y軸交于點C,連接AC,BC.P是x軸上任意一點.點Q在拋

物線上，若以點A,C,P,Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標.

02.拋物線y=尤2—1交x軸于A,B兩點(A在B的左邊)，平行四邊形ACDE的頂點C在y軸的正半軸上，頂點

E在y軸右側(cè)的拋物線上.

(1)如圖1,若點C的坐標是(0,3),點E的橫坐標是李直接寫出點A,D的坐標；

⑵如圖2,若點D在拋物線上，且平行四邊形ACDE的面積是12,求點E的坐標.

圖1圖2

專題四拋物線與矩形、菱形、正方形

核心考點一拋物線與正方形

01如圖,點A在y軸正半軸上.正方形ABCD的頂點B,D在二次函數(shù).y=f的圖象上，點B,D在y軸的同側(cè)，目

點B在點D的左側(cè)，設點B,D的橫坐標分別為m,n,試探究n-m是否為定值.如果是，求出這個值；如果

不是，請說明理由.

核心考點二拋物線與菱形

02.如圖，點A在y軸正半軸上.菱形ABCD的頂點B,C,D在二次函數(shù).y=/的圖象上,且.AD1y軸，求菱形的邊

長；

核心考點三拋物線與矩形

03.如圖，拋物線y=Y-2久-3交x軸于A,B兩點，交y軸于點C.P是x軸上方拋物線上的一個動點.在平面直

角坐標系內(nèi)是否存在點Q,使得以B,C,P,Q為頂點的四邊形是矩形?若存在,請求出點Q的坐標；若不存

在，請說明理由.

專題五拋物線與面積一割補法與鉛垂法、平行轉(zhuǎn)化法

核心考點一重疊面積的處理---同時加或減重疊面積

01.如圖,拋物線y=，—2x-3交X軸于A,B兩點（點A在點B左側(cè)），交y軸于點C,D為拋物線上第四象限的

動點，直線AD交BC于點P,連接AC,BD,設△4CP和ABDP的面積分別為Si和S?.當S?的值最小時，

求直線AD的解析式.

核心考點二鉛垂法（寬高公式）法

02.如圖,拋物線的頂點在原點,且點C（2,1）在此拋物線上,直線.y=mx-m2+1與拋物線交于A,B兩點（點C在

直線AB下方），若SABC=|,求m的值.

核心考點三平行轉(zhuǎn)化（拉窗簾）法

03.如圖，已知拋物線y=a久2經(jīng)過點A（2,1）,B為y軸右側(cè)拋物線上一點.若△力B。的面積為6,求點B的坐標.

04.如圖,拋物線y=-1/+2%+6與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C(0,6),D為線段BC上的一動點，過動點

D作DPIMC,交拋物線第一象限部分于點P,連接PA,PB,記△PAD與△PBD的面積和為S.當S取得最大值

時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值.

核心考點四鉛錘法(寬高公式)與含參計算

05.如圖，拋物線y=好—軌+3交x軸于A,B兩點(點A在點B的左邊),交y軸正半軸于點C,點P在拋物線

上,平面上有兩點.M(m--m-3),N(m+2>-m-5),求△PMN的面積的最小值.

06.如圖,拋物線y=/-2x-3與x軸交于點A,B,直線1與拋物線有且只有一個公共點E,1與拋物線對稱軸交

于點F,若△AEF的面積為接求點E的坐標.

專題六拋物線與全等及全等構造

01.如圖,過定點的直線:y=kx-k-2與拋物線.y=-久2交于A,B兩點,直線.y-X-2與拋物線交于點E,F,

EG||F”||y軸.點G,H在直線.ykx—k—2上,當.EG=時，求k的值.

02如圖,點A在拋物線.y=(x-2)2-6(對稱軸1右側(cè))上，點B在對稱軸1±,A。48是以OB為斜邊的等腰直角

三角形，求點A的坐標.

專題七拋物線與相似及相似構造（1）一線段比

核心考點一線段最值

01.如圖,拋物線y=-2x+3與X軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,P是直線AC上方的拋物線上一點，連

接BP交AC于點D.當冬的值最大時，求點P的坐標及雄勺最大值.

DUDU

02.如圖，拋物線y=-x2+2x+8分別交x軸于點A,B,交y軸于點C,點G為y軸負半軸上的一動點，過點G

作直線EF與拋物線交于點E,F,與直線.y=-4久交于點H,若2-2=白求點G的坐標.

專題八拋物線與相似及相似構造⑵一特殊角

核心考點一由特殊角構造一線三等角型相似

01.如圖,拋物線y=-?2+?x—6與X軸交于A(3,0),B(8,0)兩點,與y軸交于點C,點P在拋物線上,設點P的橫

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坐標為m.連接AC,AP,PC,若△力PC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐標.

核心考點二由特殊三角函數(shù)值(特殊角)構造一線三等角型相似

02.如圖，拋物線.y=/一八+3交x軸于A,B兩點(點A在點B的左邊)，交y軸正半軸于點C,點P在拋物線

上,若tanzXPC=*求點P的橫坐標.

專題九拋物線與相似及相似構造(3)—妙用三角函數(shù)

核心考點一利用等角構造對稱型相似

01.如圖，已知拋物線y=f-4x+3,與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C,點E為拋物線

上x軸下方一動點，點F在x軸上方的拋物線上，EF交x軸于G,且乙FBA=^EBA,FM1久軸于M,求

tcm/FG。的值.

核心考點二利用內(nèi)心構造對稱型相似

02.如圖,拋物線.y=%2-2%-3與x軸交于點A,B,直線.y=kx+九與拋物線交于點C,D,若△4CD的內(nèi)心落在

x軸上，求k的值.

專題十拋物線與相似及相似構造(4)—定角與角度轉(zhuǎn)化

核心考點一利用三角函數(shù)構造直角得相似與參數(shù)計算

01.如圖，拋物線y=ax2-\+c(a)0)與x軸正半軸交于A,B兩點，與y軸交于點C.若。B=2OC,求sin^ACB

的值.

核心考點二直接利用(或平行轉(zhuǎn)化)定角度構造直角三角形類相似

02.如圖，拋物線y=產(chǎn)—2%—3與x軸交于A,B兩點(A在B左側(cè))，與y軸交于點C.P(—7,0)為x軸上一點，在

拋物線第四象限的圖象上有一點G,連PG交線段AC于點D,當tanzPDX=手寸,求出點G的坐標.

專題十一拋物線與相似及相似構造(5)—阿氏圓與胡不歸

核心考點一由特殊線段構造子母型相似求最值一阿氏圓

01.如圖，拋物線y=Y—6久+5與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P

為。B上一個動點，請求出PC+*4的最小值

核心考點二利用三角函數(shù)化折為直一胡不歸

02.如圖,拋物線y^-x2+bx+c(6>0)與x軸交于4(-1，0),B兩點M(t,0)是x軸正半軸上的動點，點Q(6+

在拋物線上.當正AM+2QM的最小值為竽時，求拋物線的解析式.

專題十二拋物線與相似及相似構造(6)——分類討論思想

核心考點一由等角構造相似與分類討論

01如圖，拋物線y=-1%2-|%+^x軸交于A,B兩點，點C(-3，|)在拋物線上.(CD1x軸于點D,連接AC.E

為拋物線上一點，當乙EAB=時，求點E的坐標.

核心考點二頂點不確定對應關系與分類討論

02.如圖，拋物線.y=必一2x-8交x軸于A,B兩點(A在B的左邊),交y軸于點C.作直線%=t(0<t<4),,分別

專題十三拋物線與角的關系處理⑴——等角和角度差

01.如圖，拋物線y=2/+比_3交X軸于A,B兩點與y軸交于點C,連AC,BC,點P在拋物線上，且乙PCB=

乙4C。，，求點P的坐標.

02.如圖，拋物線.y=-/+2久+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,P為第一象限內(nèi)

拋物線上一點，若點E的坐標為(1,0),且.NPOC+乙OCE=45。,求點P的坐標

專題十四拋物線與角的關系處理⑵一二倍角

方法：直接構造二倍角或者利用軸對稱或者直角三角形斜邊上的中線.

01.如圖，拋物線y=-12+|久+2與X軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,P為第一象限拋物線上的點,連接C

A,CB,PB,PC.當工PCB=2NOC4時，求點P的坐標.

02.如圖，已知拋物線G：y=|一一X—|與X軸交于點A,B兩點（點A在點B的左邊）與y軸交于點C.點D是拋物

線加上一點，并且4DAB=2乙4BC,求點D的坐標.

專題十五拋物線與角的關系處理(3)—角平分線

01.如圖，拋物線y=/-4x交x軸于原點O和點A,頂點為點B,在第四象限拋物線上有一點P,OP平分乙4OB

,,求點P的坐標.

02.如圖，拋物線y=12_2_爪的頂點為P,交x軸負半軸于點M,交射線AB:y=2x-2于點N,NQ1x軸于點Q,當

NP平分NMNQ時，求m的值.

專題十六拋物線與參數(shù)計算⑴一線參處理(熱點方法)

01.如圖，直線.y=kx-2k+3(k^0)與拋物線y=a(x-2)2(a>0)相交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，頂點

為點D,過點A作AE1x軸，垂足為E,與直線BD交于點F,求線段EF的長.

02.如圖,直線y=履—2k+3(k豐0)與拋物線y=4%—2)2(a〉0)相交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)).

(1)不論k取何值，直線y=kx-2k+3必經(jīng)過定點P,直接寫出點P的坐標；

(2)已知B,C兩點關于拋物線y=l(x-2尸的對稱軸對稱.求證：直線AC必經(jīng)過一定點.

專題十七拋物線與參數(shù)計算⑵一點參處理（熱點方法）

01.如圖,過B（2,0）點的直線BD交拋物線y=于點D,F,過點F的直線.y=x+6交拋物線于另一點E,試說明

直線DE恒過一定點.

02.如圖，點P是y軸負半軸上一點，PM,PN與拋物線y=%2-2x均有唯一公共點M,N（異于原點）,過點P的直線

交拋物線于點E,G,交MN于點F,若白+白=2,求k的值.

專題十八拋物線與參數(shù)計算(3)—恒存在

核心考點一直角恒存在性

01.如圖，直線y=依+k+1與拋物線y=%2-2%-3交于M,N兩點，在拋物線上存在定點Q，使得對于任意實

數(shù)k,都有乙MQN=90。.求點Q的坐標.

核心考點二等角恒存在

02如圖,拋物線y=|久2_|%_4與x軸交于A,B兩點(A在B點左邊),與y軸負半軸交于C點，P是線段AC上

一個動點，F(xiàn)點在線段AB上，且.4F=皿，若P點總存在兩個不同的位置使乙BPF=NB4C,求m滿足的條

件.

專題十九拋物線與參數(shù)計算(4)—唯一存在

01.如圖,M是x軸正半軸上一動點,N(0,3).經(jīng)過點M的直線PQ交拋物線y=Y于P,Q兩點當點M運動到某一

個位置時，存在唯一的一條直線PQ，使乙PNQ=90。,求點M的坐標.

02.如圖，拋物線y=/+5依-3k(k>0)與y軸交于點C,過C作(CD，y軸與拋物線交于點D,在直線.y=kx

+k上是否存在唯一一點P,使得乙CPD=90。?若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由.

專題二十拋物線與參數(shù)計算⑸一過定點的動直線

01.如圖，已知拋物線為y=/-6,直線y=kx（k豐0,k為常數(shù)）與拋物線交于E,F兩點，M為線段EF的中點，

直線y=-楙％與拋物線交于G,H兩點，N為線段GH的中點.求證：直線MN經(jīng)過一個定點.

02.如圖，點F在拋物線.y=/+%—2上，點E平移線段EF至HG,使H,G分別與E,F對應，且H,G均

落在拋物線上，連接FH.求證：直線FH經(jīng)過一個定點.

專題二十一拋物線與參數(shù)計算(6)——定直線上的動點

01.如圖，過點(1,4)的直線與拋物線y=交于c,D兩點,直線PC,PD與拋物線均只有一個公共點，且PC,PD

與y軸不平行，問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由.

02.如圖，直線.y=2%與拋物線y=好交于O,G兩點，過OG的中點H作直線MN(異于直線OG)交拋物線C?于

M,N兩點，直線MO與直線GN交于點P.問點P是否在一條定直線上?若是，求該直線的解析式；若不是，

說明理由.

專題二十二拋物線與參數(shù)計算⑺一直線的位置關系

核心考點一互相垂直

01.如圖，拋物線y=直線1：y=七久+1（七＜0）與X軸交于點D，經(jīng)過點D的直線y=k2x+6（后＞0）與拋物

線只有唯一公共點，求M與七的數(shù)量關系.

核心考點二互相平行

02.如圖,拋物線y=a/+c（a）0）交y軸于點C,過點D（0,2c）的直線交拋物線于點F,E,FC交x軸于點Q,過點

E的直線1與拋物線只有一個公共點，1交y軸于點P.求證：PQ\\EF.

03.如圖,拋物線y=-/+久+2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C.平行于BC的直線MN交拋物線于M,N

兩點，作直線MC,NB的交點P,求點P的橫坐標.

04.如圖,點P是拋物線y=之一上不與原點重合的點，直線y=丘+b與拋物線只有唯一公共點P,交y軸于點Q,

過點Q的直線QS交拋物線于點R,S（R,S與點P不在同一象限），且瞿=，點T是PS中點，求證：RT||y軸.

專題二十三拋物線與參數(shù)計算⑻——定值

核心考點一截距相關的線段

01如圖,拋物線.y=/-1交X軸于A,B兩點（A在B的左邊）,F是原點O關于拋物線頂點的對稱點，不平行y軸

的直線1分別交線段AF,BF（不含端點）于G,H兩點，若直線1與拋物線只有一個公共點，求證：FG+FH的

值是定值.

核心考點二拋物線和直線的參數(shù)關系

02如圖.拋物線y=a/+法+c與x軸負半軸交于點C,與y軸交于點G,點P在點C左側(cè)拋物線上，點Q在y

軸右側(cè)拋物線上，直線CQ交y軸于點F,直線PC交y軸于點H,設直線PQ解析式為.y=kx+t若SHCQ=2

SGCQ,試證明￡為一個定值.

專題二十四拋物線與參數(shù)計算⑼一拋物線內(nèi)接斜X型

核心考點一截距相關的線段

01如圖,拋物線y=Y-2x-3交x軸于A,B兩點（A在B的左邊），C是第一象限拋物線上一點，直線AC交y軸

于點P.直線BP交拋物線于另一點E,連接CE交y軸于點F,點C的橫坐標為m.求.蕓的值（用含m的式子表

示）.

核心考點二線段比

02.如圖，已知拋物線y=/-2尤_3與x軸交于A,B,與y軸交于點C.點N為y軸上一點,AN,BN交拋物線于E,

F兩點,求簫肆勺值.

專題二十五拋物線與參數(shù)計算（10）——倒數(shù)和

01.如圖,過點D（2,0）的直線交拋物線y=,2于點E,F,點Q（4,m）為拋物線上一點射線QE,QF分別交x軸于點

GH,求親+總的值

02.如圖,拋物線y=Y-2%-3與x軸交于點A,B（點B在點A的右側(cè)），與y軸交點為C.直線y=丘（公0）與拋

物線交于P,Q兩點（點Q在點P的右側(cè)），與直線y=-2x+3交于點R.試證明：無論k取任何正數(shù)，9+

1=日立?

OR

CM

專題二十六拋物線大綜合⑴一定直線上的動點

01拋物線y=-K2+?+C與X軸交于A,B(l,0)兩點與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,Q是AC上方拋物線上一點，若SACQ=js^Bc，求點Q的坐標；

(3)如圖2,過點D(0,1)的直線交拋物線于E,F兩點，過點E的直線與過點F的直線交于點P,若直線PE和

PF與拋物線均只有一個公共點，求