高考數(shù)學（題型預測+范例選講）綜合能力題選講 第04講 三角函數(shù)的圖象與性質（含詳解）

三角函數(shù)的圖象與性質題型預測我們在中學階段所學習的函數(shù)的各種性質，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等，在三角函數(shù)中都可以得到充分的體現(xiàn)，而且，不僅僅如此，三角函數(shù)還具有對稱、有界等其他性質．因此，三角函數(shù)的圖象和性質就成為研究函數(shù)性質時的典型例證．從這樣一個角度出發(fā)，熟練掌握和運用三角函數(shù)的圖象和性質，不僅是本章的要求，而且有助于我們對函數(shù)綜合問題有進一步的理解．范例選講已知函數(shù)（，且均為常數(shù)），（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且恰好能夠取到的最小值2，試求的值．講解：研究三角函數(shù)的性質（如周期、最值、單調(diào)性、奇偶性等）時，首先應該對所給的函數(shù)關系式進行化簡，最好化為一個角（形如）、一種三角函數(shù)的形式．（1） （其中由下面的兩式所確定：） 所以，函數(shù)的最小正周期為． （2）由（1）可知：的最小值為，所以，． 另外，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知：在區(qū)間上的最小值為，所以，=． 解之得：點評：三角函數(shù)的單調(diào)性、周期是本章考察的重點．三角函數(shù)的值域經(jīng)常與二次函數(shù)等其它問題綜合，考察函數(shù)在確定區(qū)間上的最值．設，試比較=與=的大小關系．講解 觀察所給的兩個函數(shù)，它們均是兩個三角函數(shù)的復合函數(shù)，因此，我們不難想到：它們可能仍然具備三角函數(shù)的某些性質，如單調(diào)性、周期性、奇偶性等．初步判斷便可以確定：、都是周期函數(shù)，且最小正周期分別為、．所以，只需考慮的情形．另外，由于為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，很自然的可以聯(lián)想到：能否把需考慮的的范圍繼續(xù)縮??？事實上，當時，>0，恒成立，此時，>．下面，我們只需考慮的情形．如果我們把看作是關于的余弦函數(shù)，把看作是關于的正弦函數(shù)，那么這兩個函數(shù)既不同名，自變量也不相同，為了能進行比較，我們可以作如下恒等變換，使之成為同名函數(shù)，以期利用三角函數(shù)的單調(diào)性．至此為止，可以看出：由于和同屬于余弦函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，（即，），所以，只需比較與的大小即可．事實上，（）—=—=所以，利用余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得：<．也即<綜上，<．點評 本題好在充分地運用了正余弦函數(shù)的值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質，對于訓練學生思維、加