江蘇省某中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段測(cè)試試題三（含解析）

江蘇省海安中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段測(cè)試試題三(含解析)

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.

1.設(shè)全集。={1,2,3,4,5},若2A={1,2,4},則集合A=.

解：全集U={1,2,3,4,5),

若令4={1，2,4),

則集合A={3,5}.

故答案為：{3,5}.

2.已知復(fù)數(shù)z滿意(z-2)i=l+源為虛數(shù)單位)，貝。z的模為—.

H)(1+0

解：復(fù)數(shù)z滿意(z-2)i=l+/為虛數(shù)單位)，■-.Z=2+—=2+2

i—i

=2+1-i=3-Kz|=79+1=710,

故答案為：回.

3.已知一組數(shù)據(jù)a”外,令,-a“的平均數(shù)為a,極差為d,方差為S2,則數(shù)據(jù)2%+1,2a,+1,

2%+1，2a,+1的方差為.

解：..數(shù)據(jù)a1，a2,…的平均數(shù)為明

，數(shù)據(jù)2%+1,2a2+I，2a3+I…2%+1的平均數(shù)是2a+l；

...數(shù)據(jù)。1，a2,?3<???<a”的方差為§2,

,數(shù)據(jù)2臼+1,2a2+1，2a3+I…2a〃+l的方差是$2x22=452,

故答案為:4s2

4.如圖是一個(gè)算法的偽代碼，其輸出的結(jié)果為—.

S<-0

ForIFrom17b10Step1

iQ+D

EndFor

[PiintS

解：模擬執(zhí)行偽代碼，可得:

5=0+—+^+...+1

1x22x310x11

10

故答案為:

11

5.從0、2中選一個(gè)數(shù)字.從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中無(wú)重

復(fù)的個(gè)數(shù)為—.

解：從0、2中選一個(gè)數(shù)字0,則0不只能排在百位，從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字之一排在百

位，共有￡&=12種；

從0、2中選一個(gè)數(shù)字2,從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字全排列，共有C；用=18種；

故共有12+18=30種.

故答案為：30.

22

6.在平面直角坐標(biāo)系wy中，若雙曲線C:二-與=1(。>0,6>0)的離心率為加，則雙曲

ab

線C的漸近線方程為一.

解：因?yàn)?￡)2=1+(2)2=10,所以2=3,所以漸近線方程為y=±3x.

aaa

故答案為：y=±3x.

7.將函數(shù)/(x)的圖象向右平移聿個(gè)單位后得到函數(shù)y=4sin(2龍的圖象，則丐)的值

為-,

解：由將函數(shù)的圖象向右平移工個(gè)單位后得到函數(shù)y=4sin(2x-工)的圖象，

63

可得把函數(shù)y=4sin(2x-工)的圖象向左平移工個(gè)單位后得函數(shù)/(x)的圖象，

36

故f(x)=4sin(2x+?-()=4sin2尤,貝!］f(?)=4sin(=4，

故答案為：4.

8.設(shè)定義在R上的奇函數(shù)/(無(wú))在區(qū)間［0,+oo)上是單調(diào)減函數(shù)，且/(d-3x)+/(2)>0,

則實(shí)數(shù)x的取值范圍是—.

解：依據(jù)題意，/(元)是在R上的奇函數(shù)/(無(wú))，且在區(qū)間［0,+oo)上是單調(diào)減函數(shù)，

則其在區(qū)間(fo,0D上遞減，

則函數(shù)/(無(wú))在R上為減函數(shù)，

/(x2-3%)+/(2)>0=/(%2-3元)>-/(2)n/(x2-3x)>/(-2)=>x2-3jc<-2,

解可得：1<無(wú)<2；

即實(shí)數(shù)尤的取值范圍是(1,2)；

故答案為：(1,2).

31

9.在銳角三角形ABC中，sinA=-,tan(A-B)=--,則3tanC的值為.

31

解：銳角三角形A5C中，sinA=-,tan(A-B)=--,:.A<B,

,K----.2,4sinA3

cosA=vl-sinA=—,tanA4=-------=—.

5cosA4

—3tanB「

一八、1tanA-tanB

tan(A-B)=——=------------------4_______

31+tanAtanB3

1+—?tanB9

4

EH--c/A?、ctanA+tanB/

則3tanC——3tan(A+5)=-3-------------------=79,

1-tanAtanB

故答案為：79.

10.設(shè)S〃為數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，若Sn=n%1—3n(n—l)(nwN*),且出=口，則S2。的值

為—.

解：由$2=烏+%=2%—3x2(2—1),出=11，可得〃1=5.

解法1：當(dāng)〃..2時(shí)，由q二S〃一,得an=幾冊(cè)一3n(n-1)-[(n-1)%-3(〃-1)(〃-2)],

「.(〃-V)an-(ji-V)an_x=6(〃-1),BPan-%=6(〃..2,rieN"),

二.數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)q=5,公差為6的等差數(shù)列，

20x19

』二20x5+---------x6=1240.

202

解法2：當(dāng)〃..2時(shí)，由Sn=nan-3n(n-1)=n(Sn-)-3n(n-1),

可得(〃-1)S〃-=3n(n—1),

?.------------=Jf

nn—\

數(shù)列｛｝｝是首項(xiàng):=5,公差為3的等差數(shù)列，

s

...3=5+3x19=62,

20

/.S20=1240.

11.設(shè)正實(shí)數(shù)尤，y滿意孫=衛(wèi)，則實(shí)數(shù)x的最小值為一.

解：由正實(shí)數(shù)X,y滿意孫二葉1,

化為沖2+(l_%2)y+%=0,

\,=（l-x2）2-4x2..o

2

,_X-1n卜4_6工2+10

??〈％+%=---->0,化為'，

X[x>l

y%=i>°

解得.：\/5+1.

因此實(shí)數(shù)X的最小值為&+1.

故答案為：A/2+I.

12.如圖，正四棱柱ABC。-AAGA的體積為27,點(diǎn)石，尸分別為棱旦5,上的點(diǎn)（異

于端點(diǎn)），且EF//3C,則四棱錐人-A瓦D的體積為.

解：連接DE,

■正四棱柱ABCD-44GA的體積為27,

點(diǎn)石，尸分別為棱片5,G。上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），豆EFIIBC,

…Kl,-AED=V%_FED'

=

KII-AED^E-A{AD=]S

_1_1_9

=%S4??Afi=—VABCD-AHC^=2，

，四棱錐A—AEFD的體積VAx_AEFD=9.

故答案為：9.

13.已知向量神，b,△滿意a+b+C=O,且2與"的夾角的正切為-工，。與c的夾角的

2

正切為-工，1。1=2,貝！的值為.

3

角和可設(shè)AB=Q,BC=b,CA=c,

由題意可得tan3=L,tanC=-

23

…tanB+tanC

貝!JtanA=-tan(B+C)=--------------------

1-tanBtanC

即為4=135°,

sinB_1

又B,C為銳角，B+co^B=l

cos52

可得sinB=(,

同理可得sinC=典,

10

\a\

由正弦定理可得——kl=

sin135°

510

即有I小平，叱咨

則a.c=|cMal-cos45。=平.管考=1.

故答案為：

5

14.已知/(1)=機(jī)(兀一2M(兀+機(jī)+3),g(尤)=2，-2,若同時(shí)滿意條件：

①VxwH,/(x)<0或g(x)<0；

②王￡(-co,-4),/(x)g(x)<0.

則機(jī)的取值范圍是.

解：對(duì)于①g(x)=2x-2,當(dāng)無(wú)vl時(shí)，g(x)<0,

又「①VxwH,/(x)v0或g(%)<0

/.f(x)=m(x-2m)(x+根+3)<0在時(shí)恒成立

則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開(kāi)口只能向下，且二次函數(shù)與元軸交點(diǎn)都在(1,0)的左面

m<0

則〈一機(jī)一3<1

2m<1

Y<?i<0即①成立的范圍為-4<〃z<0

又?.?②xe(-co,-4),/(x)g(x)<0

,止匕時(shí)g(x)=2工一2<0,恒成立

/（尤）=機(jī)（尤-2租）（尤+加+3）>0在xe（-co,-4）有成立的可能，則只要T比玉，%中的較小

的根大即可，

（i）當(dāng)一1<〃2<0時(shí)，較小的根為一〃z—3,—〃?一3<T不成立，

①）當(dāng)m=-1時(shí)，兩個(gè)根同為-2>T,不成立，

（位）當(dāng)1時(shí)，較小的根為2;九，2;〃<-4即〃z<—2成立.

綜上可得①②成立時(shí)T<m<-2.

故答案為：（-4,-2）.

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文

字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

15.(本小題滿分14分)

已知AABC的面積為9/，MAC.(AB-CB)=1S,向量加=(tanA+tanB,sin2C)和向量

n=(1,cosAcos3)是共線向量.

(1)求角C;

(2)求AA5c的邊長(zhǎng)c.

解：(1)m/In,.-.(tanA+tanJB)COSACOSB=sin2C,即sinAcos3+cosAsin3=sin2C,

/.sin(A+B)=sin2C,

/.sinC=2sinCeosC

sinCw0,/.cosC=—^

2

??！?0,萬(wàn))

c=-

3

....2

(2)由AC.(AB-CB)=18得：AC.(AB+BQAC=18,

:.b=3叵S=-absinC=-a.3^—=973,

222

a=6^2,c2-a2+b2-2abcosC=54,C=3A/6

16.(本小題滿分14分)

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，且=BC=1,E,尸分別為AB,PC中

點(diǎn).

(1)求證：EF//平面BID；

(2)若平面R4C_L平面ABCD,求證：平面上4C_L平面PDE.

證明：(1)方法一：取線段PD的中點(diǎn)M,連接FM,AM.

因?yàn)槭瑸镻C的中點(diǎn)，所以FM//CD,S.FM=-CD.

2

因?yàn)樗倪呅蜛3CD為矩形，E為筋的中點(diǎn)，

所以E4//CD,B.EA=-CD.

2

所以F7Vf//￡A,且百欣=E4.

所以四邊形A￡W0為平行四邊形.

所以跖//AA1.

又AMu平面P4T>,EF仁平面必⑷，所以呼//平面

方法二：連接CE并延長(zhǎng)交ZM的延長(zhǎng)線于N,連接PN.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AD//3C,

所以NBCE=N/WE,ZCBE=ZNAE.

又AE=EB,所以ACEBM2WEA.所以CE=NE.

又尸為PC的中點(diǎn)，所以EF//NP.…（5分）

又NPu平面R4D,所仁平面R4D,所以EF//平面R4D.

方法三：取CD的中點(diǎn)Q,連接F。，EQ.

在矩形ABCD中，E為鉆的中點(diǎn)，所以AE=E>Q,且AE//DQ.

所以四邊形AEQD為平行四邊形，所以EQ//AD.

又ADu平面R4Q,EQU平面所以E。//平面巴4。.

因?yàn)?。，尸分別為CD,CP的中點(diǎn)，所以尸Q//PD.

又PDu平面7^￡>,F。右平面所以尸。//平面AW.

又FQ,EQu平面EQ尸，F(xiàn)QEQ=Q,所以平面EQF//平面上4D.

因?yàn)镋Fu平面EQF,所以EF//平面R4D.

（2）設(shè)AC,DE相交于G.

lDACDl

在矩形A3CD中，因?yàn)殁}=同。，E為鉆的中點(diǎn).所以——=——=0.

AEDA

JLZDAE^ZCDA,所以AEAfsACD4,所以NADE=NDC4.

XZADE+ZCDE=ZADC=90°,所以ZDG4+NCDE=90。.

由ADGC的內(nèi)角和為180。，得NDGC=90。.即DE_LAC.

因?yàn)槠矫鍼AC，平面ABCD

因?yàn)?。Eu平面ABCD,所以DE_L平面上4C,

又Z）Eu平面尸DE,所以平面R4C_L平面PDE.

17.（本小題滿分14分）

如圖，OM,。”是兩條海岸線，。為海中一個(gè)小島，A為海岸線上的一個(gè)碼頭.已

知tan/MQV=-3,OA=6km,。到海岸線OM,QV的距離分別為3機(jī)，現(xiàn)

要在海岸線OZV上再建一個(gè)碼頭，使得在水上旅游直線AB經(jīng)過(guò)小島。.

(1)求水上旅游線4?的長(zhǎng)；

(2)若小島正北方向距離小島6協(xié)7處的海中有一個(gè)圓形強(qiáng)水波P,從水波生成功時(shí)的半徑

為r=為大于零的常數(shù)).強(qiáng)水波起先生成時(shí)，一游輪以18?〃/%的速度自碼頭

A開(kāi)往碼頭3,問(wèn)實(shí)數(shù)“在什么范圍取值時(shí)，強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行.

解：(1)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為X軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示.

則由題設(shè)得：A(6,0),直線QV的方程為y=-3x,Q(%,3)(%>0).

由|3x仁3|二處,及無(wú)得%=3,，。(3,3).

7105

二.直線AQ的方程為y=—(％—6),BPx+y-6=0?

由得即止二"

[x+y-6=0[y=9

AB=7(-3-6)2+92=9A/2,

即水上旅游線鉆的長(zhǎng)為

(2)設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓P,

由題意可得P(3,9),生成f小時(shí)時(shí)，游輪在線段4?上的點(diǎn)C處，則

AC=1842t,臉出.'.C(6-18z.l8n.

2

強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行即PC2>/對(duì)/Jo,“恒成立.

_2_

PC2=(18?-3)2+(18/-9)2>r2=9at,

當(dāng)r=0時(shí)，上式恒成立，

當(dāng)fwO時(shí)，即時(shí)，a<72f+J—48.令g(f)=72r+?—48,/e(0,g

g⑺=72/+?-48..24追一48,當(dāng)且僅當(dāng)f=骼e(0,；］時(shí)等號(hào)成立，

所以，在0<a<24君-48時(shí)r<PC恒成立，亦即強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知橢圓召推+方=1(。>6>0)過(guò)點(diǎn)(1,拳，其左、右焦點(diǎn)分

別為耳、F2,離心率為

(1)求橢圓E的方程；

(2)若A、3分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿意"BLAB,且M4交橢圓E于點(diǎn)P.

⑴求證：OP.OM為定值；

(也設(shè)PB與以為直徑的圓的另一交點(diǎn)為Q,問(wèn)：直線V。是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

13,

-22~]

解：(1)由題意可得“,且片—/二已

2

解得a=2fb=A/2,

22

即有橢圓方程為土+匕=1;

42

(2)⑴證明：由4-2,0),B(2,0),MB1AB,

設(shè)”(2,%),尸(石，弘)，

可得M4:產(chǎn)工+包，

42

22

代入橢圓方程可得，+”尤+組.4

22

由_2網(wǎng)=4（廣8）,可得2（年-8）

年+8為2+8

v__%—8%

%—4*2一年+8'

則OP.OM=_4（yj-8）+_8^0_

:=4為值;

%+8%+8

(拓)直線MQ過(guò)定點(diǎn)0(0,0).

8%.城+82

理由如下：由題意可得原

2

xx-2為2+8-2(y0-8)-2(%~+8)%

由與以為直徑的圓的另一交點(diǎn)為Q,

可得即有上也=".

則直線MQ:y-yO=￡(無(wú)一2),

即y——x，

2

故直線M。過(guò)定點(diǎn)0(0,0).

19.(本小題滿分16分)

已知數(shù)列｛6｝滿意：al=a2=a3=k(常數(shù)4>0),%=>+.3,weN*).數(shù)列出,｝

-an-2

滿意：,=%+”"+2(neN*).

?！?1

(1)求片，b2,b3,用的值；

(2)求出數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式；

(3)問(wèn)：數(shù)列｛%｝的每一項(xiàng)能否均為整數(shù)？若能，求出左的全部可能值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

2

解：(1)由已知可知：氏=左+1，〃5=左+2,4=女+4H--.

k

把數(shù)列&｝的項(xiàng)代入6"=""+4+2,求得…3=2,%=%=至土1；

%k

(2)由%+1=:+(〃..3,〃eN*),可知：an+ian_^=k+anan_x.…①

an-l一

則:%+2?！啊?=上+%+~“?…②

①一②有：氏+4+2="“-2+&,即：bn=bi2

%+1%

4+為=2777%+CLA2k+1

…?bu2n-\bl?=blnl=---=b2------=^—

,4k+1(-1)"

b=----+-——

n2k2k

(3)假設(shè)存在正數(shù)左，使得數(shù)列｛q｝的每一項(xiàng)均為整數(shù),

a2n+\~2%〃一〃2〃-1

則由⑵可知：(2Z+1，…③

a2ri+2=ja2n+l~。2n

Ik

2

由4=kGZ,4=K+4H—wZ,可知k=1,2.

k

當(dāng)無(wú)=1時(shí)，=3為整數(shù)，利用q,出，/eZ,結(jié)合③式，可知伍“｝的每一項(xiàng)均為整

數(shù)；

a2n+l=2a2n—2〃-1

當(dāng)上=2時(shí)，③變?yōu)椤禵5，…④

a2n+2=]a2n+\~〃2〃

用數(shù)學(xué)歸納法證明%1為偶數(shù)，%”為整數(shù).

幾=1時(shí)，結(jié)論明顯成立，假設(shè)〃必時(shí)結(jié)論成立，這時(shí)。21為偶數(shù)，為整數(shù)，

故。2〃+1=2%〃-。2〃一1為偶數(shù)，%+2為整數(shù)，???〃=k+1時(shí)，命題成立.

故數(shù)列｛%｝是整數(shù)列.

綜上所述，上為1,2時(shí)，數(shù)列｛〃“｝是整數(shù)列.

20.(本小題滿分16分)

設(shè)函數(shù)/(%)=(%—a)lnx—x+a,aeR.

(1)若，=0,求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若avO,試推斷函數(shù)/(%)在區(qū)間("2,f)內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

(3)求證：對(duì)隨意的正數(shù)都存在實(shí)數(shù)乙滿意：對(duì)隨意的工￡(，,，+〃)，f(x)<a-\.

解：(1)當(dāng)〃=0時(shí)，f(x)=xlnx-x,f\x)=Inx,

令)=。，x=l，列表分析

X(0,1)1

f'(x)—0+

/(X)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

故/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+00).

(2)/(x)=(x-a)ln)c-x+a,f\x)=lnx~—,其中x>0,

x

令g(x)=xlnx-a,分析g(x)的零點(diǎn)狀況.g\x)=lnx+l,令，(%)=0,x=-,列表分析

X1

(0,-)(—,+oo)

eee

g'(.x)—0+

g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

g(x)加〃=g(3=_工_a，

ee

而/r(—)=-ae=-\-ae,f\e~2)=-2-ae2=-(2+ae2),f^e2)=2--=—(2e2-a),

eee2e2

①若％-L則f\x)-Inx--..0,

ex

2

故/(%)在(1,e)內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)；

,2

②若--<a<-—,貝ljf(^-)=ln--ae<0ff\e-)=—(2+〃/)>。，1(/)=LQ/一。,

ee2eee2

22

因此廣(龍)在(I,e)有兩個(gè)零點(diǎn)，/(元)在(e-2,e)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

③若-2,,a<0,則/'(3=山』一四<0,f'(e^)=-(2+ae2)?0,f'(e2)=—(2e2-a)>0,

e2eee2

因此廣(無(wú))在(1，e2)有一個(gè)零點(diǎn)，/(尤)在(1,e2)內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)ae(-oo,時(shí)，/(x)在(1,e?)內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)；

e

1o

當(dāng)ae(——,-一)時(shí)，/(尤)在(I,e?)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

eel

o

當(dāng)ae[-一，0)時(shí)，/(尤)在(1,e?)內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn).

el

(3)猜想：XG(1,1+^z),/(x)va-l恒成立.

證明如下：

由(2)得g(x)在d，+00)上單調(diào)遞增，且g(1)=—av0,g(l+a)=(1+a)ln(l+a)—a.

e

因?yàn)楫?dāng)x>l時(shí)，lnx>l--(*),所以g(l+a)>(l+a)(l--—)-a=0.

xa+1

故g(x)在(1,1+a)上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為飛.由

X

a,無(wú)0)%(七，1+a)

廣(x)—0+

/(尤)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

知,xe(l,l+a),f(x)<max{f(1),f(l+a)}.

X/(I+a)=Z?(l+a)—1,而x>l時(shí)，Inx<x—1(**),

所以/(l+a)<(a+l)-l—1=4—1"(1).

即xc(l,l+o),f(x)<a—1.

所以對(duì)隨意的正數(shù)a,都存在實(shí)數(shù)f=l,使對(duì)隨意的xe(f,f+a),使

補(bǔ)充證明(*)：

111r—1

令P(X)=/MX+——1,X..1.尸(x)=———=——..0,

xxx2x2

所以歹(X)在［1,+8)上單調(diào)遞增.

所以%>1時(shí)，F(xiàn)(x)>F(1)=0,即加x>l-L

X

補(bǔ)充證明(**)

4G(x)=Z/u-x+l,x.l.G'(x)=」-L,o,

X

所以G(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減.

所以無(wú)>1時(shí)，G(x)<G(1)=0,即/nx<龍一1.

海安中學(xué)2025屆高三階段測(cè)試三

數(shù)學(xué)附加題

21.[選做題，本題包括三小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)區(qū)域作答]

A.已知二階矩陣A=["矩陣A屬于特征值4=-1的一個(gè)特征向量為弓=[1]，屬于特

ca-1

3

征值&=4的一個(gè)特征向量為4=[9.求矩陣A.

解：由特征值、特征向量定義可知，A%=4%，

同理可得!解得a=2,b=3,c=2,d=1.

[3c+2d=8

-23"

因此矩陣人=

21

B.在極坐標(biāo)系中，已知A(1,王)，B(9,王)，線段AB的垂直平分線/與極軸交于

33

點(diǎn)C,求/的極坐標(biāo)方程及AABC的面積.

解：由題意，線段4?的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,?),

設(shè)點(diǎn)P{p,e)為直線I上隨意一點(diǎn)，

JT

在直角三角形中，pcos(0--)=5,

所以，/的極坐標(biāo)方程為/>COS(^-y)=5,

令夕=0,得夕=10,即C(10,0).(8分)

所以，A4BC的面積為：-x(9-l)xl0xsin--20^.

23

22.已知實(shí)數(shù)a,/?滿意|a+Z?|,,2,求證:la2+2a-b2+2b]?4(|a|+2).

證明：由網(wǎng)-|a倒a+b|2,可得|勿”|a|+2,

22

\a+2a—b+2b|=|(Q+b)(a—b)+2(Q+b)\

=|a+Z?|.|a—Z?+21,,21a—Z?+2],

要證+24-^+261,,4(|a|+2),

即證|a-b+2|,,2(|o|+2),

由于|a—6+2|”|a|+|6|+2,

即證|a|+|b|+22(|a|+2),

即為|b|”|a|+2,明顯成立.

故原不等式成立.

23.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，已知棱至，AD,Q兩兩垂直，長(zhǎng)度分別為1,2,2.若

DC=AAB,且向量產(chǎn)。與加＞夾角的余弦值為巫.

15

(1)求實(shí)數(shù)幾的值；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以他