2023-2024學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)題型突破訓(xùn)練：阿氏圓

專題4.6阿氏圓

區(qū)根型方法

阿氏圓問題

問題：求解“群+〃尸8”類加權(quán)線段和最小值

方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值

②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似

③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計(jì)算定點(diǎn)位置

④轉(zhuǎn)：“〃+〃尸8”轉(zhuǎn)化為“〃+”問題

關(guān)鍵：①可解性：半徑長與圓心到加權(quán)線段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)

②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型

③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型

【問題背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足

PA=kPB(k#l)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼

斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓二

【模型初探】

（-）點(diǎn)P在圓上運(yùn)動----------?"阿氏圓''問題

如圖所示2T-1,。。的半徑為r,點(diǎn)A、B都在。。外，P為00上的動點(diǎn)，

己知r=k?0B.連接PA、PB,則當(dāng)“PA+k?PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確

分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“k?PB”的大小，（如圖2T-2）在線段0B

上截取0C使OC=k?r,則可說明△BPO與△PCO相似，即k?PB=PC。

，本題求“PA+k?PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，即A、P、C

三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D2-1-3）,本題得解。

“阿氏圓”一般解題步驟：

第一步：連接動點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心

相連接），則連接OP、0B；

第二步：計(jì)算出所連接的這兩條線段OP、0B長度；

第三步：計(jì)算這兩條線段長度的比哈=和

第四步：在0B上取點(diǎn)C,使得妾=冬；

第五步：連接AC,與圓0交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點(diǎn)4、B,則所有符合粵=左（左＞0且的點(diǎn)P會組成一個(gè)圓.這個(gè)

PD

結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C（加，0）,D（0,

〃），點(diǎn)尸是平面內(nèi)一動點(diǎn)，且。尸=〃設(shè)罌=后求尸C+狂吵的最小值.

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在OQ上取點(diǎn)防，使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：證明/尸。=PM；第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程（部分）：

解：在上取點(diǎn)M,使得OM：OP=OP：OD=k,

又YNPOD=NMOP,：.XPOMsXDOP.

任務(wù)：

（1）將以上解答過程補(bǔ)充完整.

（2）如圖2,在RtAlBC中，ZACB=90a,AC=4,BC=3,。為△ZBC內(nèi)一動點(diǎn),

滿足CD=2,利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出的最小值.

【變式1-1］如圖，在RtZUBC中，ZABC=90°,48=6,BC=9,。5的半徑為3,點(diǎn)尸

是08上一點(diǎn)，連接4P,CP,則4P+J＜尸的最小值為

【變式1-2］如圖，在Rt△被7中，N4〃=90°,CB=4,。=6,。。半徑為

2,尸為圓上一動點(diǎn)，連接"，BP,則上」在的最小值為（）

2

A.V37B.6C.2V17D.4

【變式1-3］如圖，在正方形儂刀中.AB=8,點(diǎn)戶是正方形儂刀內(nèi)部的一點(diǎn),

且滿足蚪4,則磔的最小值是（)

2

A.6B.8C.10D.12

【變式1-4］如圖，已知拋物線y=-烏方+2戶3與x軸交于A,6兩點(diǎn)（4在點(diǎn)B

44

的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,。。與x軸交于點(diǎn)￡（2,0）,點(diǎn)尸是。。上一

點(diǎn)，連接bBP,求冊的最小值.

3

【變式1-5】如圖，在△48。中，NN=90°,AB=AC=4,點(diǎn)E、尸分別是邊

AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是以/為圓心、以4E為半徑的圓弧上的動點(diǎn)，則/PB+PC

的最小值為—.

【變式1-6】如圖，已知菱形48co的邊長為8,Z5=60°,圓5的半徑為4,

點(diǎn)尸是圓3上的一個(gè)動點(diǎn)，則P的最大值為

2

【變式1-7】【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)N,B,所有滿足性=左（左為

PB

定值）的尸點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為"阿氏圓”

【問題解決】如圖，在△4BC中，CB=4,AB=2AC,則△/SC面積的最大

值為一.

A

BC

【變式1-8］如圖，扇形中，ZAOB=90a,04=6,C是。4的中點(diǎn)，D

是05上一點(diǎn)，OD=5,尸是誦上一動點(diǎn)，則尸。+工尸1)的最小值為

【變式1-9］如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4),B(4,0),尸是第一

象限內(nèi)一動點(diǎn)，。尸=2,連接4P、BP,則5尸+得好的最小值是__.

【變式1-10］如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A(16,0),B(0,12),點(diǎn)C

是第一象限的動點(diǎn)且OC=6,線段OC繞點(diǎn)、O在第一象限轉(zhuǎn)動；

(1)在轉(zhuǎn)動過程中，求點(diǎn)。到N5的最近距離=；

(2)試求AC,BC的最小值=

【變式1-11］如圖1,在四邊形4BC。中，AC交BD于點(diǎn)、E,A4OE為等邊三

角形.

(1)若點(diǎn)石為5。的中點(diǎn)，40=4,CD=5,求△5CE的面積；

(2)如圖2,若BC=CD,點(diǎn)尸為CD的中點(diǎn)，求證：AB=2AF；

(3)如圖3,若AB〃CD,ZBAD=90°,點(diǎn)尸為四邊形48CZ)內(nèi)一點(diǎn)，且

ZAPD=90°,連接5尸，取5尸的中點(diǎn)0,連接C0.當(dāng)=AD=

4&,tanN48c=2時(shí)，求。0+返/0的最小值.

【典例2】如圖，在扇形ZO5中，ZAOB^90°,。4=4,C,。分別為。4,

06的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是標(biāo)上一點(diǎn)，則2PC+PD的最小值為.

【變式2-1］如圖，在扇形。陽中，/COD=90°,0C=3,點(diǎn)彳是3中點(diǎn)，0B=

2,點(diǎn)P是為切上一點(diǎn)，則PB^2PA的最小值為.

【變式2-2］(梁溪區(qū)校級期中)如圖，。。與y軸、x軸的正半軸分別相交于

點(diǎn)M、點(diǎn)N,。。半徑為3,點(diǎn)/(0,1),點(diǎn)B(2,0),點(diǎn)尸在弧肱V上

移動，連接尸/,PB,則3P/+P5的最小值為

【變式2-3](漂陽市一模)如圖，在。。中，點(diǎn)2、點(diǎn)5在OO上，ZAOB=

90°,OA=6,點(diǎn)C在。4上，5.OC=2AC,點(diǎn)。是05的中點(diǎn)，點(diǎn)〃■是劣

弧48上的動點(diǎn)，則CM+2”/的最小值為.

【變式2-4】如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O,尸為圓。上一動點(diǎn),

則破產(chǎn)幺+尸3的最小值為__.

B

專題4.6阿氏圓

區(qū)模型方弦

阿氏圓問題

問題：求解“群+〃尸8”類加權(quán)線段和最小值

方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值

②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似

③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計(jì)算定點(diǎn)位置

④轉(zhuǎn)：“〃+〃尸8”轉(zhuǎn)化為“〃+”問題

關(guān)鍵：①可解性：半徑長與圓心到加權(quán)線段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)

②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型

③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型

【問題背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足

PA=kPB(kWl)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼

斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。

【模型初探】

（二）點(diǎn)P在圓上運(yùn)動?“阿氏圓”問題

如圖所示2TT,。0的半徑為r,點(diǎn)A、B都在00外，P為。。上的動點(diǎn)，

已知r=k?0B.連接PA、PB,則當(dāng)“PA+k?PB”的值最小時(shí),P點(diǎn)的位置如何確

圖2-1-1圖2-1-2

分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定"k?PB"的大小，（如圖2-1-2）在線段0B

上截取0C使0C=k?r,則可說明△BP0與△PC0相似，即k?PB=PC?

???本題求“PA+k?PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，即A、P、C

三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D2-1-3）,本題得解。

“阿氏圓”一般解題步驟；

第一步：連接動點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心

相連接），則連接OP、0B；

第二步：計(jì)算出所連接的這兩條線段OP、0B長度；

第三步：計(jì)算這兩條線段長度的比黑=如

CZ￡>

第四步：在0B上取點(diǎn)C,使得蕓=%；

第五步；連接AC,與圓。交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點(diǎn)4、B,則所有符合獸=左（后＞0且的點(diǎn)P會組成一個(gè)圓.這個(gè)

PB

結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C（加，0）,D（0,

〃），點(diǎn)尸是平面內(nèi)一動點(diǎn)，且。尸=〃設(shè)器=后求尸C+狂吵的最小值.

y,

阿波羅尼斯

圖1圖2

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在OQ上取點(diǎn)防，使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：證明/尸。=PM；第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程（部分）：

解：在上取點(diǎn)M,使得OM：OP=OP：OD=k,

又YNPOD=NMOP,：.XPOMsXDOP.

任務(wù)：

（1）將以上解答過程補(bǔ)充完整.

（2）如圖2,在RtAlBC中，ZACB=90a,AC=4,BC=3,。為△ZBC內(nèi)一動點(diǎn),

滿足CD=2,利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出4嗚的最小值.

【解答】解（1）在OD上取點(diǎn)“，使得OM：OP=OP：OD=k,

又,：NPOD=NMOP,

：.XPOMs4DOP.

：.MPxPD=k,

:?MP=kPD,

:?PC+kPD=PC+MP,當(dāng)尸。+甌取最小值時(shí)，PC+MP有最小值，即C,P,河三點(diǎn)共

線時(shí)有最小值，

利用勾股定理得cMcdmM?=7m2+(kr)2=7m2+k2r2-

(2)-：AC=m=4,絲=三，在C8上取一點(diǎn)使得CA/=gcD=2，

BC333

圖2

?AD+BD的最小值為J4*+(3)=生§^,

【變式1-1］如圖，在RtZ\4BC中，ZABC=90a,48=6,BC=9,08的半徑為3,點(diǎn)尸

是。萬上一點(diǎn)，連接4P,CP,則凡嗎CP的最小值為.

O

【答案］V37

【解答】解：連接BP,在上截取80=1,連接尸0,AQ,

A

■:/PBQ=NCBP,

:./XBPQsXBCP,

?.?PQ二BP一二1,

CPBC3

：.PQ^^CP,

：.AP+^CP=AP+PQ^AQ,

當(dāng)4、P、0三點(diǎn)依次在同一直線上時(shí)，Q+^CP=Z0=A/AB2+BQ2的值最小，

0

故答案為：V37.

【變式1-2］如圖，在Rt△上中，ZACB=90°,CB=4,。=6,。。半徑為

2,尸為圓上一動點(diǎn)，連接相，BP,則小工第的最小值為（）

2

A.V37B.6C.2V17D.4

【答案】A

【解答】解：如圖1,連接CP,在龍上取點(diǎn)D,使CD=L則有型=空=工,

CPCB2

又,:4PCQ乙BCP,

：./\PCD^/\BCP,

?.?-P-D—_—1,

BP2

:.PD=XBP,

2

:.A用工BP=AP^PD.

2

要使?!周工在最小，只要加斗也最小，當(dāng)點(diǎn)4P,〃在同一條直線時(shí)，AI斗PD

2

最小，

即：外最小值為

2

在中，CD=1,AC=6,

VAC2-+CD2=V37,

力a』解的最小值為亞，

2

故選：A.

【變式1-3］如圖，在正方形陽笫中.四=8,點(diǎn)尸是正方形極少內(nèi)部的一點(diǎn),

且滿足⑸吟4,則h心/T的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解答】解：在比邊上取一點(diǎn)￡,使班'=2,連接陽如圖

?.,被7?是正方形，AB^8

:.AB=BXCA8,/灰笫=90。

,:BP=4

.BE21BP41

??而W?’而

.?迪迪且/極右/PBC

BPBC

:.APBES^BCP

.PEBP1

"PC"BC'y

：.PE=1PC

2

:.PAPXPAPE

2

在RtZiZO'中，38,CE=BC-BE=6

.,.龐=4CD2KE2=10

'：PIhPE^DE

:.PmP峪\Q

.?.小工產(chǎn)。的最小值是10

2

故選：C.

【變式1-4］如圖，已知拋物線y=-申萬+號什3與x軸交于A,6兩點(diǎn)（/在點(diǎn)B

的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,。0與x軸交于點(diǎn)￡（2,0）,點(diǎn)尸是。。上一

點(diǎn)，連接小BP,求於1）的最小值.

【解答】解：如圖，在。上取一點(diǎn)7,使得。7二/連接"，BT,0P.

由題意C(0,3),￡(2,0),4(-1,0),6(4,0)

,.OE=2,OC=3,如=4,OA=\,

\OP=OT*OB,

?0P=0B

"ofOP'

：4POT=/COP,

..△POTsXCOP,

.PT=0P==2

"PCOC百’

\PT^lpc,

3

*.PB^~PgBP^PT^BT,

3

在Rt△SOT中，0B=4,以三仔，

^^VoB2-^)!2=^42+(y)2=?

:.ABRNPC^4百5,

33

...冊之尸。的最小值為工叵.

33

【變式1-5］如圖，在△48C中，ZA=90°,AB=AC=4,點(diǎn)石、尸分別是邊

43、4c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是以/為圓心、以4E為半徑的圓弧上的動點(diǎn)，則/pB+PC

的最小值為

【答案】V17.

【解答】解：如圖，在48上截取/。=1,連接4P,PQ,CQ,

?.?點(diǎn)￡、廠分別是邊43、NC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是以/為圓心、以4E：為半徑的圓

弧上的動點(diǎn)，

???A-P=--2=—1,

AB42

'：AP=2,AQ=1,

??--A-Q-—1>

AP2

,:APAQ=ABAP,

：./\APQ^/\ABP,

：.PQ=1PB,

：.^PB+PC=PC+PQ^CQ,

在RtA4C0中，AC=4,AQ=\>

Q^=ylAC2+AQ2=V16+1=VT7.,

.?」P5+PC的最小值,

2

故答案為：V17.

【變式1-6］如圖，已知菱形48CZ）的邊長為8,N8=60°,圓5的半徑為4,

點(diǎn)尸是圓3上的一個(gè)動點(diǎn)，則PD-2PC的最大值為_2V37_.

【答案】2技.

【解答】解：連接尸5,在3C上取一點(diǎn)G,使得5G=2,連接尸G,DG,過

點(diǎn)。作DHLBC交BC的延長線于H.

：.PB2=BG'BC,

.PB=BC

"BGPB,

?:APBG=Z.CBP,

：.△尸5Gs△CSP,

?PG=PB=_1

"PCBCT

：.PG=^PC,

2

?；四邊形488是菱形，

J.AB//CD,AB=CD=BC=S,

：./DCH=NABC=60°,

在中，CH=CD?cos60°=4,ZW=CD?sin600=4對，

:.GH=CG^CH=6+4=10,

)：=222

^GVGH+DH=VIO+(4V3)2=2V37,

,:PD-^-PC=PD-PGSDG,

2

:.PD-工PCW2行,

2

：.PD-1PC的最大值為2倔.

【變式1-7】【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)/,B,所有滿足段=左(左為

PB

定值)的尸點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”

【問題解決】如圖，在△48C中，CB=4,AB=2AC,則△NBC面積的最大

值為兇.

一3一

BC

【答案】兇.

3

【解答】解：以幺為頂點(diǎn)，NC為邊，在△4SC外部作NC4P=NN5C,AP

與5c的延長線交于點(diǎn)尸，

4

,：ZCAP=ZABC,ZBPA=ZAPC,AB=2AC,

:.△APCS/\BPA,

AP_CP_AC_1

B^"AP"AB"2"

：.BP=2AP,CP=LP,

2

,:BP-CP=BC=4,

，Z4P-L尸=4,解得：4P=旦，

23

：.BP=^-,CP=A,即點(diǎn)尸為定點(diǎn)，

33

.?.點(diǎn)Z的軌跡為以點(diǎn)P為圓心，區(qū)為半徑的圓上，如圖，過點(diǎn)尸作5C的垂線,

3

交圓產(chǎn)與點(diǎn)小，此時(shí)點(diǎn)4到3c的距離最大，即△48C的面積最大，

s》c=Uc?4尸Tx4X8=也

2233

故答案為：.16.

3

【變式1-8］如圖，扇形205中，ZAOB=90°,04=6,C是。4的中點(diǎn)，D

是05上一點(diǎn)，02)=5,尸是定上一動點(diǎn)，則尸C+工產(chǎn)。的最小值為

2

--1-3-?

2-

【答案】13

2

【解答】解：如圖，延長。4使連接EC,EP,OP,

?.70=05=6,C分別是的中點(diǎn)，

：.OE=\2,OP=6,OC=AC=3,

OPOC2,且NCOP=NEOP

OE=OP=-2

:.ROPEsfxocP

.PC=_OP=_1

，，-PEOE~2

：.EP=2PC,

:.PC+工PD=ZC2PC+PD)=A(PD+PE)，

222

.?.當(dāng)點(diǎn)上，點(diǎn)尸，點(diǎn)。三點(diǎn)共線時(shí)，尸。+2包>的值最小,

2

^>￡，:=VOD2-H3E2=A/52+122=13，

:.PD+PE》DE=13,

...PZJ+PE的最小值為13,

:.PC』D的值最小值為

22

【變式1-9］如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，N(0,4),B(4,0),尸是第一

象限內(nèi)一動點(diǎn)，OP=2,連接4P、BP,則5尸+/股的最小值是

【答案］V17.

【解答】解：如圖，取點(diǎn)T(0,1),連接尸T,BT.

,:T(0,1),/(0,4),5(4,0),

07=1,OA=4,03=4,

?：OP=2,

：.OP2=OT'OA,

?0P=0A

"ofOP'

,:4POT=NAOP,

：.△POTs—op,

.PT=0P=2

**PAOA~2'

：.PT=1PA,

2

:.PB+、PA=PB+PT,

2

V5r=^12+42=A/i7,

：.PB+PT^417,

:.BP+LAP2g

2

：.BP+1PB的最小值為

故答案為：V17.

【變式1-10］如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A(16,0),B(0,12),點(diǎn)C

是第一象限的動點(diǎn)且。。=6,線段OC繞點(diǎn)O在第一象限轉(zhuǎn)動；

(1)在轉(zhuǎn)動過程中，求點(diǎn)C到48的最近距離=歿；

一5一

(2)試求AC+^BC的最小值=—V265—.

(2)V265.

【解答】解：(1)如圖1,以點(diǎn)。為圓心，6為半徑作弧，作于點(diǎn)

?.?點(diǎn)C是第一象限的動點(diǎn)且。。=6,

...點(diǎn)C在以點(diǎn)。為圓心，6為半徑的圓弧上，

在RtZLdOB中，04=16,05=12,

&B=^/OA2-K)B2=V162+122=2。,

SUOB=卷。4?OB--^AB*OE,

即16X12=20XOE,

解得OE=整，

5

CE=OE-OC=壁-6=旭.

55

故答案為：21

5

(2)如圖2,在05上取00=3,連接CD,AD,

??毀且」QC_6__1

'OCOB"1TV

?.O?D0C,

OC0B

又,:NDOC=/COB,

SDsXBOC,

?.?C-D=O-D=1,

BCOC2

:.CD=LBC,

2

：.AC+^BC=AC+CD,

2

?.,在ZUCD中，AC+CD>AD,

當(dāng)點(diǎn)。、C、/三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CD=AD,此時(shí)月C+C。值最小，

在Rt-)中，

；SD=y/的2皿2=4廿+32=:265，

:.AC+1BC的最小值為正函.

2

故答案為：A/265.

【變式1-11］如圖1,在四邊形48CD中，AC交BD于點(diǎn)、E,△ADE為等邊三

角形.

(1)若點(diǎn)石為5。的中點(diǎn)，40=4,8=5,求△5CE的面積；

(2)如圖2,若BC=CD,點(diǎn)尸為8的中點(diǎn)，求證：AB=2AF-,

(3)如圖3,若AB〃CD,N34D=90°,點(diǎn)尸為四邊形4ss內(nèi)一點(diǎn)，且

ZAPD=90°,連接5尸，取5尸的中點(diǎn)0,連接C0.當(dāng)45=6a，AD=

4五,tanN48c=2時(shí)，求C0+返的最小值.

【答案】（1）<39-2V3.

（2）證明見解析部分.

（3）。少年30的最小值為」誓

【解答】（1）解：如圖1中，過點(diǎn)C作CHLBD于H,設(shè)EH=x.

???△/0石是等邊三角形，

:.AD=DE=4,/AED=NCEH=60°,

?：NCHE=90°,

：.CH=EH*tan60°=岳,

,:CD2=C*DIP,

1.25=3/+(x+4)2,

?MR&r-9=0

2jV13-2-V13

x=z（舍棄），

2-2

(7//=V39-2^3

2

―/4X運(yùn)尹=體-26

解法二：過點(diǎn)3作A7J_NC交ZC的延長線于J,過點(diǎn)刀作O7UZE于T.

圖1

證明3J=Z)T,求出。T,即可解決問題.

(2)證明：如圖2中，延長在'到G,使得FG=4F,連接。G,CG,延長

GC交BD于T,過點(diǎn)。作CH_LaD于H

'：AF=FG,CF=FD,

四邊形4CG。是平行四邊形,

：.AC//DG,GC//AD,

/.ZCAD+ZADG=180°,

???△40七是等邊三角形，

：.AE=AD,/AED=/ADE=/EAD=60°,

AZAEB=ZADG=120°,

:./CGD=NEAD=60°=ZGDT,

.,.△OGT是等邊三角形，

：.DG=DT,ZCTE=ZCET=60°,

.,.△CET是等邊三角形，

：.CT=CE,NCTE=NCET=60°,

,:CB=CD,CHLBD,

：.BH=DH,TH=EH,

：.BT=DE,

：.BE=DT=DG,

：./\AEB^/\ADG(SAS),

'.AB=AG=2AF.

(3)解：如圖3中，取40的中點(diǎn)O,連接OPOB,OC,取05的中點(diǎn)J,

連接0J,CJ,過點(diǎn)。作C尸，4s于尸，在上取一點(diǎn)T,使得〃=返，連

5

，N4DC=90°,

'：CF±AB,

.?.NCE4=90°,

.??四邊形4E8是矩形,

'.AD=CF=4^2,

,：XanZCBA=-^-=2,

BF

：.BF=242,

'：AB=&/2,

尸=4近,

??AD=-A.FJ

，四邊形是正方形，

?"BC=1VBF2-K?F2~-V(2V2)2+(4^2)2=2VlO,CO=VOD2-K；D2=

V(2V2)2+(4V2)2=2V15,OB=-VOA2+AB2=4正,

：.CB=CO,

'：CF=CD,/CFB=/CDO=90°,

.,.RtACra^RtACnO(HL),

：.4BCF=NDCO,

：.ZBCO=ZDCF=90°,

：.CJ=^OB^245,

2_______________

.,。=府壽T(\)2+(2遙)2=等,

，：BQ=QP,BJ=JO,

:.QJ=1OP=42,

,?3=2,TJ?JB=叵-X2爪=2,

5

：3=JT?JB,

?01=JB

"JTQj'

'：^QJT=AQJB,

近

?QT^JT^5,V10

?夜JQV2H，

/.Cp+2^_80=Cp+072CT=2^L,

??.C0+瞎30的最小值為」等.

【典例2】如圖，在扇形幺。中，乙4。5=90°,。4=4,C,。分別為。4,

05的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是AB上一點(diǎn)，則2尸C+尸。的最小值為

【答案】2A

【解答】解：如圖，延長。4使幺七=。4,連接即，EP,OP,

,:AO=OB=4,C,。分別是。4,03的中點(diǎn),

：.OE=S,OP=4,OD=OC=2,

?,博雪且NCOP=/EOP,

OP=52=OE

：.AOPE^/\OCP,

?PC=OP=_1

"PEOE~2'

:.EP=2DC,

：.2PC+PD=PE+PD,

工當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)尸，點(diǎn)。三點(diǎn)共線時(shí)，2PC+P。的值最小,

2PC+PD最小值=五互7=2417.

【變式2-1］如圖，在扇形口切中，/COD=90°,00=3,點(diǎn)/是0中點(diǎn)，0B=

2,點(diǎn)尸是為切上一點(diǎn)，則儂2為的最小值為

【答案]WI5

【解答】連接0P,延長0C至點(diǎn)、E,使得0E=6,

則空區(qū)=上空用」，

0P320E62

.OA=0P

*"OP=OE'

■:/AO—AAOP,

:.XAOP^XPOE、

空二，BP2PA=PE,

PE2

:.P/2PA=P/PE,

，當(dāng)