2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：正弦定理和余弦定理 專項訓(xùn)練【原卷版】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)46-正弦定理和余弦定理-專項訓(xùn)練【原卷版】

[A級基礎(chǔ)達標｝

1,^EAABC中，siMa=siMB+sir^C+sinBsinC，貝[]cos2=()

11

c

---V-3-V-3

2B.22D.2

2.設(shè)^ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c.右

a=2,c=2A/3,A=-,且b<c，貝U匕=()

6

A.V3B.2c.2V2D.3

3.某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別是白，白」，則該三角形

141U5

()

A.是銳角三角形B.是直角三角形C.是鈍角三角形D.不存在

4.已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角4,B,C的對邊，sinC=卷,

。=4,8=^，貝！UZBC的面積為()

4

A.1B.2C.1或7D.2或14

5.(多選)已知△ABC的內(nèi)角4,B，。的對邊分別為a,b,c，則下列說法正

確的是()

B.若sin2A=sin2B,則此三角形為等腰三角形

C.若a=1,5=2,2=30。，則此三角形必有兩解

D.若^ABC是銳角三角形，則sin2+sinB>cosA+cosB

6.ABC中,sinAsinB:sinC=3:2:4,貝cosB的值為.

7.已知△ABC的內(nèi)角4,B，。的對邊分別為a”,c,若a=g,c=4,△ABC

的面積為2V3,貝！]△ABC外接圓的半徑為.

8.在△ABC中，角a,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a+b)?cosC=

c(cosA+cosB),<2=4,匕=6,貝[]°=.

9.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c=BasinC—ccosA.

(i)求角a;

(2)若a=V7,b+c=V19,求^ABC的面積S.

[B級綜合運用]

10.在△ABC中，B=?,BC邊上的高等于，貝!]cosZ=()

43

,3V10Vlo?Vion3V10

A.-------D.C.---------D.-----------

10101010

n.(多選)在△ABC中，內(nèi)角a,B，。所對的邊分別為a,b,c，且鳥=

acosD

tan4+tanB,下列結(jié)論中正確的是()

A.4=三

6

?IT

B.A--

3

C.當(dāng)a=4時，△ABC面積的最大值為2V3

D.當(dāng)b—c=當(dāng)時，△ABC為直角三角形

12.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家,大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹

了“趙爽弦圖”一一由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，

如圖①所示.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖②所示的圖形，它是由3個全等的三角形

與中間一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.在△4BC中，若4F=1,FD=

2，貝!MB=.

c

圖①

13.已知△4BC的三個內(nèi)角4,B，。的對邊分別為a,匕，c,從下列四個條件

①a3c；②。=三；③cosB=T；④匕=⑺中選出三個條件，能使?jié)M足所選

64

條件的△ABC存在且唯一，你選擇的三個條件是.(填寫相應(yīng)的序號)，所

選三個條件下的c的值為

14.在△4BC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c，且6a-2csin(B+

弓)=。.

(1)求角C；

(2)設(shè)AC=6,BC=4，若P為上一點，且滿足2P=CP，求2P的長

IC級素養(yǎng)提升]

15.已知△ABC中，角4,B,C所對的邊分別是a,b,c，且a=6,4sinB=

5sinC,A^2C，貝必ABC的周長為，若。為△ABC的內(nèi)心，則△AOB

的面積為.

16.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

①C=2B;②bcosA—acosB;③匕2—c2=a2—y[2ac.

(1)從①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立；

(2)若。為線段AB上一點，且NBCD=郃，6=4，求△BCD的面積.

注:若(1)中選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)46-正弦定理和余弦定理-專項訓(xùn)練【解析版】

IA級基礎(chǔ)達標J

1.在^ABC中，sin2y4=sin25+sin2C+sinBsinC,貝!!cosZ=(B)

A.-B.C,—D.--

2222

［解析］選B.因為sinz力=sin2B+sin2c+sinFsinC,

所以由正弦定理得次=b2+c2+be,

則cosA="片?=一1.故選B.

2bc2

2.設(shè)△ABC的內(nèi)角力,B,C的對邊分別是a,b,c.若

a=2,c=2A/3,A=-，且b<c，則b=(B)

6

A.V3B.2C.2V2D.3

［解析］選B.由余弦定理得，a2-b2+c2-2bccosA4-b2+12-6b,即/-

65+8=0,解得b=2或b=4，又b<c,所以b=2.故選B.

3.某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別是白，去,：，則該三角形

1411)□

(c)

A.是銳角三角形B.是直角三角形C.是鈍角三角形D.不存在

［解析］選C.設(shè)△ABC的內(nèi)角a,B,C的對邊分別是a,c，且a,b,c邊上

1l1

高

為

的

分

另H

u-

5

14,lo

111

-aJL--C-

1O25

令a=14，貝Ub=10,c=5,

所以cosA=<o，所以a為鈍角，又b+c>a,所以該三角形是鈍角三

ZX1UX3

角形.故選c.

4.已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角4,B,C的對邊，sinC=春,

c=4,B=；，則△ABC的面積為(C)

A.1B.2C.1或7D.2或14

［解析］選C.由*=-%可得5=尊,

sinCsinB2

因為sinC=3，所以cosC=-看或cosC=3,

所以sinA=sin(5+C)=sin:cosC+cos；sinC，故sin力=看或sinZ=手，

r-r-l\I仁1j..1.5V2V2y—1..1.5V27V2

所以Suae=-bcsm/=5x4x—x—=1或=-bTcsmA=-x4x—x—=

7.故選C.

5.（多選）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列說法正

確的是（AD）

B.若sin2A=sin2B,則此三角形為等腰三角形

C.若a=1,5=2,4=30。，則此三角形必有兩解

D.若公ABC是銳角三角形，貝（Jsin4+sinB>cosA+cosB

［解析］選AD.由正弦定理可知%=白,又右=\

sinAsinBcosAsinB

所以總二57，可得tanz=l，因為ae（o，m，所以Z=”A正確；

因為2aG(0,2TT),2BG(0,2TT),且內(nèi)角2A,2B最多有一個大于TT,

所以由sin2A=sin2B可知，22=2B或22+2B=n，即2=B或2+B=］,

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；

91

由正弦定理可得sinB=3=T=l,

a1

因為Be(o，m，所以B=5，故此三角形有唯一解，C錯誤；

因為△ABC是銳角三角形，所以a+B>5,

即］>力>］一8>0/

又丫=sin%在(。*)上單調(diào)遞增，

所以sinA>sin(］—B)=cosB,同理sinB>

sin(］—4)=cosA,所以sinA+sinB>cosA+cosB,D正確.故選AD.

6.ABC中，sinA-.sinS:sinC=3:2:4,貝［］cosB的值為工.

8

［解析］設(shè)內(nèi)角4,B，。的對邊分別為a,b,c,因為sin4sinB:sinC=3:2:4，所

2_i_2_i.2

以a\b\c=3:2:4，設(shè)a=3/c,b=2k,c=4k,fc>0，則cosB=-r---n-----=

2ac

16/C2+9/C2-4/C2_21_7

2x3kx4k-24-8,

7.已知△ABC的內(nèi)角4,B,。的對邊分別為。，5,。，若4=］,c=4,△ABC

的面積為2V3，貝必ABC外接圓的半徑為2.

［解析］由SAABC=l^csinA，得;bx4s嗚=2V3,解得b-2.

由余弦定理次=b2+c2-26ccosA,得次=22+42—2x2x4cos|=12,

所以a=，由正弦定理，得△ABC外接圓的半徑R=士=冬=2.

ZsinA2x——?

8.在△力中，角力,B，。的對邊分別為a,b,c，且Q+b)?cosC=

c(cosA+cosB),a=4,b=6,貝!］c=2A/7.

［解析］由正弦定理得(sinA+sinB)cosC=sinC(cosA+cosB),

所以sinAcosC+sinBcosC=sinCeosA+sinCeosB,

所以sinAcosC-sinCeosA=sinCeosB-sinFeosC,即sin(4—C)=sin(C—B).

又力,B，。是三角形的內(nèi)角，力一C+C—8=4—Be(-rm),

所以力—C=C—B，所以4+B=2C,

所以C=g,由余弦定理得c?-a2+b2—2abcosC=42+62—2x4x6x|=28,

所以c-2V7.

9.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c-V3asinC—ccosA.

(1)求角a；

［答案］解：因為c-75asinC—ccosA,所以sinC=V3sin力sinC—sinCcosA,

又sinCW0,所以1=V3sinA—cosA,即sin(力-.

62

又ae(0,-n),所以a=:

(2)若a=V7"+c=V19,求^ABC的面積S.

［答案］因為a-yn,b+c=V19,A=^,

所以由a?=b2+c2—2bccosA，得7=t>2+c?—be，即7=(b+—3bc,解得

be=4.

所以S=jbesinA=y［3.

［B級綜合運用］

10.在△ABC中，B=?,BC邊上的高等于JBC，貝?。輈os4=(C)

43

,3V10Vio?Vio3V10

A.-------D.C.---------Dn.-----------

10101010

［解析］選c.設(shè)△/BC中角力,B,C的對邊分別是a,b,c,由題意可得|。=

csin-=—c，貝［Ja=—c.在^ABC中,由余弦定理可得b?=a2+c2—y［2ac=

422

+2_|2，貝b=手。.由余弦定理可得COSA=2c

2C2c3C2=c44)=覆2c=

2222bc2x苧xcc

Y.故選c

11.(多選)在AaBC中，內(nèi)角4,B，。所對的邊分別為a,b,c，且書=

CLCOSD

tanA+tanB,下列結(jié)論中正確的是（BD）

LA=-

6

BC.AA=-TC

3

C.當(dāng)a=4時，△ABC面積的最大值為2V3

D.當(dāng)b—c=半時，AZBC為直角三角形

［解析］選BD?由■=tanZ+tanB及正弦定理得葛瑞=tan4+tanB，即

代皿4+8).,,門百(sinAcosB+cosAsinB),.,,二

=tan4+tanBn---------------=tan4+tanB

sinTlcosBsinAcosB

即8(tan4+tanB)=tan2+tanB,因為在三角形中tana+tanBH0,

tan4

所以tana=g，又ae(o,ir),所以a=三，故A錯誤，B正確；

若a=4,由/)2+c2-a2=be得16=按+c?—beN2bc—be=be,

即be<16,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時，等號成立，

所以S“BC=；bcsinZW［x16x曰=4百,

即^ABC面積的最大值為4V3，故C錯誤；

由匕一c=牛得匕=c+乎,將其代入/+c2—a2-be中得3c2+V3ac—2a2—

0,

所以(V^c—CL)(V3C+2d)-0,因為a>0,c>0,所以V^c—a=0na=V3c,

即b=2c，所以滿足/=a?+c2，故△ABC為直角三角形，故D正確.故選BD.

12.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家,大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹

了“趙爽弦圖”一一由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，

如圖①所示.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖②所示的圖形，它是由3個全等的三角形

與中間一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.在△ZBC中，若4F=1,FD=

2，貝1MB=回.

c

［解析］由題意△EFD為等邊三角形,貝！,所以NBD4=g，根據(jù)條件

△AFC與^BDA全等,所以2F=B。=1.在△ABD中，4。=3,BD=1,所以

AB2=AD2+BD2-2xADxBDxcos^BDA=32+l2-2xlx3x(-1)=13,

所以4B=vn.

13.已知△ABC的三個內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c，從下列四個條件

①a=V2c；②C=￡；③cosB=-乎；@b-V7中選出三個條件，能使?jié)M足所選

64

條件的△ABC存在且唯一，你選擇的三個條件是①③④（填寫相應(yīng)的序號），所選三

個條件下的c的值為年（或②③④返±.

［解析］選①②④或①②③，由a=魚。及正弦定理，得

sinA-V2sinC=&xJ=孚，所以4=?或2=4,不滿足題意；選①③④，由余

ZL44

弦定理，得COSB=亨W=嚕/=—?,解得c=?,此時△ABC存在且唯一；

2ac2xy2cxc42

選②③④，由C=!,cosB--1，得此時^ABC存在且唯一，sinB-

64

V1-cos2B-中,由正弦定理七-*，得C=則^#=V2.

4sinBsinCsinB

4

14.在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且6a-2csin(B+

3)=0.

(1)求角C；

［答基］解：因為V3a—2csin(B+^)=0,

所以由正弦定理可得sinC(-sinB+—cosB)=—sin^,即sinC(-sinB+—cosB)=

22222

fsin(B+C)=苧sinSeosC+苧cosBsinC,可得sinBsinC—V3sinBcosC,因為

BE(0,n),所以sinB>0,

所以sinC=V3cosC,即tanC=V3,

又因為ce(o,m，所以c=g.

(2)設(shè)"=6,BC=4，若P為ZB上一點，且滿足2P=CP，求ZP的長.

［答案］因為ac=6,BC=4，所以由余弦定理得ZB?=ZC2+BC2—24>BC-

cos乙4cB,BP=62+42-2X6X4X1=28,

夕尸+

解得上(負值舍去)，所以(262-42_2V7

ZB=2cosZ=2x2V7x6-7

設(shè)ZP=%，則COS2=61f=W,解得％=薩

2x6xx72

故ZP的長為子.

[C級素養(yǎng)提升1

15.已知△4BC中，角a,B,C所對的邊分別是a",c,且a=6,4sinB=

5sinC,A^2C，則△ABC的周長為15，若。為△ABC的內(nèi)心，則△AOB的面積

為盛,

[解析]由4sinB—5sinC,得4sin(4+C)=5sinC,即4(sinAcosC+cosAsinC)=

5sinC.又4=2C,所以4(sin2CcosC+cos2CsinC)=5sinC,即

4[2sinCeos2c+(2cos2c—l)sinC]—5sinC.因為A—2C,所以0<C<],所以

sinCA0,所以16cos2c-4=5,解得cosC-,所以sinC=?,所以sinA-

44

sin2C=2sinCeosC=—.由正弦定理，得c=asinC=4.由4sinB=

8sinZsinCsinA

5sinC得4b=5c，所以b=|c=5,所以△ABC的周長為a