全國I卷2025屆高三數(shù)學第二次模擬考試題二理

PAGEPAGE19（全國I卷）2025屆高三數(shù)學其次次模擬考試題（二）理留意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆干脆答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復數(shù)與在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，且，則（）A． B． C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則推斷框內(nèi)可以填（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則“”是“為奇函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．給出下列結論：①，，；②，；③點為圖象的一個對稱中心；④在上單調遞減．其中全部正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④6．在中，，，，，則（）A． B． C． D．7．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列的前項和為，，，則（）A． B． C． D．9．如圖所示，高爾頓釘板是一個關于概率的模型，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間．小球每次下落，將隨機的向兩邊等概率的下落，當有大量的小球都滾下時，最終在釘板下面不同位置收集到小球．若一個小球從正上方落下，落到號位置的概率是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)滿意和，且當時，，則（）A．0 B．2 C．4 D．511．已知雙曲線的焦點在，過點的直線與兩條漸近線的交點分別為M?N兩點(點位于點M與點N之間)，且，又過點作于P(點O為坐標原點)，且，則雙曲線E的離心率（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若恰有四個不同的零點，則a取值范圍為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．的綻開式中的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答）14．已知函數(shù)，過點作曲線的切線l，則直線l與曲線及y軸圍成的圖形的面積為___________．15．若實數(shù)，滿意不等式組，則的最大值為________．16．已知圓，，是圓上兩點，點且，則最大值是______．三、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）數(shù)列的前項和為，點在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．18．（12分）甲、乙兩組各有位病人，且位病人癥狀相同，為檢驗、兩種藥物的藥效，甲組服用種藥物，乙組服用種藥物，用藥后，甲組中每人康復的概率都為，乙組三人康復的概率分別為、、．（1）設甲組中康復人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）求甲組中康復人數(shù)比乙組中康復人數(shù)多人的概率．19．（12分）在如圖所示的圓柱中，為圓的直徑，，是的兩個三等分點，，，都是圓柱的母線．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）已知動圓與軸相切且與圓相外切，圓心在軸的上方，點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）已知，過點作直線交曲線于兩點，分別以為切點作曲線的切線相交于，當?shù)拿娣e與的面積之比取最大值時，求直線的方程．21．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，探討函數(shù)的單調性；（2）當時，關于的不等式有解，求的最大值．請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】已知某曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）若是曲線上的隨意一點，求的最大值；（2）已知過的右焦點，且傾斜角為的直線與交于兩點，設線段的中點為，當時，求直線的一般方程．23．（10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)，．（1）若關于的不等式的整數(shù)解有且僅有一個值，當時，求不等式的解集；（2）已知，若，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．理科數(shù)學答案第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】B【解析】由題可得，則，因此，故選B．2．【答案】C【解析】，又復數(shù)與在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，所以，故選C．3．【答案】A【解析】執(zhí)行給定的程序框圖，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第4次循環(huán)：；第5次循環(huán)：；第6次循環(huán)：，要使得輸出的結果為，結合選項，推斷框內(nèi)可以填，故選A．4．【答案】C【解析】若函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)的定義域為，，，解得，所以，“”是“為奇函數(shù)”的充分必要條件，故選C．5．【答案】D【解析】由圖象可知，，，再由，得，故①不正確，②正確；由于為圖象的一個對稱中心，又的最小正周期為，故其全部的對稱中心為，當時，對稱中心為，故③錯誤；由于為的單調遞減區(qū)間，的最小正周期為，故的單調遞減區(qū)間為，當時，即為，故④正確，故選D．6．【答案】A【解析】因為，所以，解得，故選A．7．【答案】B【解析】如圖，三視圖的直觀圖為三棱錐為，且，，按如圖所示放在長方體中，則其外接球的直徑等于長方體的對角線長，且，因為長方體的對角線長為，則外接球半徑為，且體積為，故選B．8．【答案】A【解析】當時，，則，且，即，所以．兩式作差得，即，即，所以，即．則，所以，故選A．9．【答案】C【解析】當小球經(jīng)過第層時，第一次遇到釘子，向左或向右滾下的概率均為，所以，．當小球經(jīng)過第層時，共遇到次釘子，要使得小球經(jīng)過第號通道，必需滿意次向右、次向左滾下，所以，，同理可得．要使得小球經(jīng)過號位置（即第層號通道），可由第層號通道向右滾下、也可以由第層號通道向左滾下，因此，，故選C．10．【答案】C【解析】函數(shù)滿意和，可函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且關于對稱，又由當時，，所以，故選C．11．【答案】C【解析】由題意，可得如下示意圖：其中，，知，又，，即且，∴中，有，得，∴在中，，若與x軸夾角為，即，∴，由，即可得，故選C．12．【答案】B【解析】函數(shù)，，，，因此時，函數(shù)單調遞增；，，，可得函數(shù)在單調遞增；在單調遞減，可得：在時，函數(shù)取得極大值，．畫出圖象：可知：．令，①時，函數(shù)無零點；②時，解得或，時，解得，此時函數(shù)只有一個零點，舍去，，由，可知：此時函數(shù)無零點，舍去；③，解得或，解得，．時，，．此時函數(shù)無零點，舍去；因此，可得．由恰有四個不同的零點，∴，，，解得，則a取值范圍為，故選B．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】由題設二項式知：，∴項，即，∴系數(shù)為，故答案為．14．【答案】【解析】由，過點作曲線的切線l，設切點為，則，所以切線的方程為，由切線過點，則，解得，所以切線的方程為，直線l與曲線及y軸圍成的圖形的面積為，故答案為．15．【答案】256【解析】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），，令，作直線，在直線中為直線的縱截距，直線向上平移時增大，所以平行直線，當直線過點時，，所以，故答案為256．16．【答案】【解析】如圖所示，設是線段的中點，則，因為，于是，在中，，，，由勾股定理得，整理得，故的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，故，又由圓的弦長公式可得，故答案為．三、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意知：點()均在二次函數(shù)的圖象上，故，，當時，，當時，，也適合上式．所以．（2），．18．【答案】（1）分布列見解析，期望為；（2）．【解析】（1）由題意可知，，所以，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：因此，．（2）設乙組中康復人數(shù)為，記事務甲組中康復人數(shù)比乙組中康復人數(shù)多人，，，則．19．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）連接，，因為，是半圓的兩個三等分點，所以，又，所以，，均為等邊三角形，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為，平面，平面，所以平面．因為，都是圓柱的母線，所以，又因為平面，平面，所以平面．又平面，，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）連接，因為是圓柱的母線，所以圓柱的底面，因為為圓的直徑，所以，所以直線，，兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系如圖：因為，所以，，，，，，由題知平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，令，，，∴．所以．由圖可知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意知，到點的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義知，圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線(除去坐標原點)，則的方程為．（2）由題意知，在曲線上，直線的斜率存在，設方程為，因為直線不經(jīng)過點，所以．由，可得，設，，則，，以為切點的切線方程為，即，同理以為切點的切線為，由，故兩式做差整理得，所以，兩式求和整理得，故，所以交點，設到的距離為，到的距離為，則，設，則，當，即時，取最大值，直線的方程為．21．【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減；（2）．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，．，．當時，；當時，，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減．（2）設，則．當時，有兩個根，不妨令，又，，，由題意舍去．當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，存在使成立，，即．又，，，，，．令，則．函數(shù)在上單調遞增，，即得最大值為．22．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依題意得，，，當，即時，，，的最