河北省2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月聯(lián)合考試試題

PAGEPAGE14河北省2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月聯(lián)合考試試題考生留意：1．本試卷共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語(yǔ)，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，向量，數(shù)列，不等式，立體幾何．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A．B．C．D．2．在公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，則（）A．2B．3C．4D．53．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為（）A．4B．C．2D．4．設(shè)，則“且”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．在正方體中，P是正方形的中心，點(diǎn)Q在線(xiàn)段上，且，E是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)所成角的大小為（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．已知，則（）A．B．C．D．7．如圖，戰(zhàn)國(guó)商鞅銅方升是公元前344年商鞅督造的標(biāo)準(zhǔn)量器．秦始皇統(tǒng)中國(guó)后，仍以商鞅所規(guī)定的制度和標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一全國(guó)的度量衡．經(jīng)測(cè)量，該銅方升內(nèi)口（長(zhǎng)方體）深1寸，內(nèi)口長(zhǎng)是寬的1.8倍，內(nèi)口的表面積（不含上底面）為33平方寸，則該銅方升內(nèi)口的容積為（）A．5.4立方寸B．8立方寸C．16立方寸D．16.2立方寸8．已知所在的平面內(nèi)一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C不重合），且，則與的面積之比為（）A．B．C．D．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9．已知函數(shù)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，且直線(xiàn)是其中一條對(duì)稱(chēng)軸，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心10．下列函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的是（）A．B．C．D．11．斐波那契螺線(xiàn)又叫黃金螺線(xiàn)，廣泛應(yīng)用于繪畫(huà)、建筑等，這種螺線(xiàn)可以按下列方法畫(huà)出：如圖，在黃金矩形中作正方形，以F為圓心，長(zhǎng)為半徑作??；然后在黃金矩形中作正方形，以H為圓心，長(zhǎng)為半徑作??；……；如此接著下去，這些弧就連接成了斐波那契螺線(xiàn)．記弧的長(zhǎng)度分別為l，m，n，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．12．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知正數(shù)a，b滿(mǎn)意，則的最小值為_(kāi)_____．14．在中，為的中點(diǎn)，E，F(xiàn)都在線(xiàn)段上，且，則_______．15．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)H在棱上，且，P是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)______．16．已知數(shù)列滿(mǎn)意的前n項(xiàng)和為，則______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答．問(wèn)題：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，__________，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（12分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．19．（12分）在直四棱柱中，底面為正方形，，M，N，P分別是的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面．（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．20．（12分）如圖，在三棱錐中，，E為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面．（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．21．（12分）已知函數(shù)，，，．（1）若在上的最大值與最小值之和為10，求a的值；（2）若對(duì)隨意的，總存在，能使，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)，探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．21屆河北省高三年級(jí)11月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)參考答案1．C【解析】本題考查集合的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解實(shí)力．因?yàn)?，所以?．A【解析】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解實(shí)力．因?yàn)椋裕?，所以，解得?．B【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解實(shí)力．因?yàn)?，所以?．A【解析】本題考查常用邏輯用語(yǔ)的學(xué)問(wèn)，考查推理論證實(shí)力．因?yàn)榍宜郧?，所以；若，可取，不滿(mǎn)意且，所以前者是后者的充分不必要條件，選A．5．D【解析】本題考查異面直線(xiàn)所成角的大小，考查空間想象實(shí)力．如圖，在正方體中，在底面的射影為，可證平面，而平面，那么，則異面直線(xiàn)所成角的大小為90°．6．C【解析】本題考查三角恒等變換，考查運(yùn)算求解實(shí)力．因?yàn)椋?，且，又，所以?．D【解析】本題考查數(shù)學(xué)文化與空間幾何體的表面積與體積，考查空間想象實(shí)力．設(shè)內(nèi)口寬為a寸，則長(zhǎng)為寸，由，整理得，解得（舍去），故所求的容積為立方寸．8．A【解析】本題考查平面對(duì)量的線(xiàn)性表示，考查運(yùn)算求解實(shí)力．由化簡(jiǎn)得，故．9．ACD【解析】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解實(shí)力．因?yàn)閳D象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，即的最小正周期為，所以，即，A正確；又直線(xiàn)是其中一條對(duì)稱(chēng)軸，所以，即，由，得，所以，從而，所以B錯(cuò)誤：由，解得單調(diào)遞增區(qū)間為，取可知C正確：由，解得，取可知D正確．10．BD【解析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．對(duì)于選項(xiàng)A，函數(shù)與的圖象相切于點(diǎn)，因此只有一個(gè)零點(diǎn)：對(duì)于選項(xiàng)B，畫(huà)出和的圖象（圖略）可知它們有兩個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)C，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上最多只有一個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以有兩個(gè)零點(diǎn)．故答案為BD．11．AB【解析】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，考查運(yùn)算求解實(shí)力．不妨設(shè)，則，所以．因?yàn)?，所以．同理可得．所以，所以A，B正確，C，D錯(cuò)誤．12．ABD【解析】本題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算及比較大小，考查推理論證實(shí)力．易知，所以A正確：因?yàn)?，即，又，所以，B正確；又，所以，從而，C錯(cuò)誤；又，可知D正確，綜上，A，B，D正確，C錯(cuò)誤．13．12【解析】本題考查均值不等式的學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力．．14．【解析】本題考查平面對(duì)量的數(shù)量積，考查運(yùn)算求解實(shí)力．如圖，建立直角坐標(biāo)系，則，所以．15．【解析】本題考查立體幾何的有關(guān)學(xué)問(wèn)，考查空間想象實(shí)力．如圖，作交于點(diǎn)G，則．因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，2為半徑的圓弧，所以的最小值為．16．962【解析】本題考查數(shù)列的有關(guān)學(xué)問(wèn)，考查邏輯推理實(shí)力．由題知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，于是，所以．又因?yàn)楫?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，且，所以?xún)墒较嗉涌傻茫谑莾墒较鄿p得．所以，故．17解：選①由，可知數(shù)列的公差為2，2分又，可得，得，4分所以，．6分可知，8分?jǐn)?shù)列的前n項(xiàng)和為．10分選②設(shè)數(shù)列的公差為d，則由，得2分解得4分所以，，6分可知，8分?jǐn)?shù)列的前n項(xiàng)和為．10分選③當(dāng)時(shí)，，2分當(dāng)時(shí)，，解得，4分所以，6分可知，8分?jǐn)?shù)列的前n項(xiàng)和為．10分評(píng)分細(xì)則：（1）不管補(bǔ)充的條件是哪個(gè)，只要算出這一步都得6分；寫(xiě)出累計(jì)得8分，直到算出最終的正確答案得10分．（2）其他解法依據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)依步驟給分．18．解：（1）由圖可知，，所以，2分所以．因?yàn)?，所以，則．4分因?yàn)?，所以?分故．6分（2）函數(shù)．9分因?yàn)?，所以?0分所以當(dāng)，即時(shí)，y取最大值6；當(dāng)，即時(shí)，y取最小值．12分評(píng)分細(xì)則：（）第一問(wèn)中，寫(xiě)出得2分，寫(xiě)出，累計(jì)得4分，求出，累計(jì)得5分，正確寫(xiě)出函數(shù)的解析式累計(jì)得6分；（2）其次問(wèn)中，寫(xiě)出，累計(jì)得9分，寫(xiě)出，累計(jì)得10分，最終正確求出結(jié)果得滿(mǎn)分；（3）其他狀況依據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分．19．（1）證明：因?yàn)镸，N，P分別是的中點(diǎn)，所以．1分又平面，平面，所以平面，3分同理平面，4分又，所以平面平面．5分（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．6分設(shè)平面的法向量為，則8分令，得．9分設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，11分所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，12分評(píng)分細(xì)則：（1）第一問(wèn)中，也可以先建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法證明，不管用哪種方法，證出得5分；（2）其次問(wèn)中，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，得1分，計(jì)算出平面的法向量得3分，整個(gè)題解答完全正確得滿(mǎn)分；（3）若用傳統(tǒng)做法，作出直線(xiàn)與平面所成的角得1分，簡(jiǎn)潔證明得2分，整個(gè)題解答完全正確得滿(mǎn)分．20．（1）證明：取的中點(diǎn)為O，連接，，因?yàn)?，所以?分又，所以，且．2分在中，，所以，即，從而，3分又，所以平面．4分因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?分（2）解：由（1）知，，兩兩垂直，如圖，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．6分設(shè)是平面的法向量，可得令，得．8分設(shè)是平面的法向量，因?yàn)?，則令，得．10分設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．12分評(píng)分細(xì)則：（1）第一問(wèn)中，也可以先建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法證明，不管用哪種方法，證出得5分；（2）其次問(wèn)中，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得1分，計(jì)算出相關(guān)向量坐標(biāo)，得1分，計(jì)算出平面的法向量各得2分，整個(gè)題完全正確得滿(mǎn)分；（3）若用傳統(tǒng)做法，作出二面角的平面角得1分，簡(jiǎn)潔證明得2分，整個(gè)題解答完全正確得滿(mǎn)分．21．解：（1）因?yàn)?，，所以．從而?分由于在上是增函數(shù)，所以，即，解得，4分（2）由題知．5分易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．6分令，則當(dāng)時(shí)，，且．7分若記，，則，且知函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是．8分①當(dāng)，即時(shí)，,,所以，解得，又因?yàn)?，所以?分②當(dāng)，即時(shí)，，，所以，解得，又因?yàn)椋源藭r(shí)a無(wú)解；10分③當(dāng)，即時(shí)，，，所以，解得，又因?yàn)椋源藭r(shí)a無(wú)解．11分綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．12分評(píng)分細(xì)則：（1）第一問(wèn)中，會(huì)去掉肯定值得到給2分，全部正確的得4分；（2）其次問(wèn)中，寫(xiě)到這一步累計(jì)得5分，會(huì)推斷的單調(diào)性，累計(jì)得6分，通過(guò)換元法寫(xiě)出；，累計(jì)得7分，第一次分類(lèi)探討正確寫(xiě)出，累計(jì)得9分，其次次分類(lèi)探討推斷a無(wú)解，累計(jì)得10分，第三次分類(lèi)探討推斷a無(wú)解．累計(jì)得11分，正確寫(xiě)出a的取值范圍得滿(mǎn)分；（3）其他狀況依據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)依步驟給分．22．解：（1）由已知得，所以．1分①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．2分②當(dāng)時(shí)，令，則；令，則．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．4分（2）．令，得．5分設(shè)，則．6分當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以的值域是．